Cách giải phương trình sai phân bằng phương pháp xấp xỉ liên

Phương pháp số giải bài toán Dirichlet đối với phương trình sai phân với sự giúp đỡ của các máy tính là đối tượng của đa số sự nghiên cứu mà nhiều tài liệu dành cho nó. Chúng ta chỉ chứng tỏ nhờ nguyên lý maximum chứng minh sự hội tụ của một dãy xấp xỉ bằng một phương pháp đơn giản - phương pháp Lifman.

Để thuận lợi ta xét bài toán Dirichlet đối với phương trình sai phân thuần nhất L uh 0 trong Gh, u trên Gh.

Phương pháp Lifman tóm tắt như sau: Ta chọn các số tùy ý u P0( )1 ,...,u P0( N).

Ta đánh số các nút của lưới sao cho P1 có số 1 trong các điểm lân cận

h- kề và là điểm nào đó trên biên Gh, P2 là điểm h - kề của P1 và v.v.... Bây giờ ta thay giá trị u P0( )1 sao cho tại điểm đó phương trình sai phân được thỏa

mãn. Sau đó cũng làm như thế ta điều chỉnh giá trị u P0( )2 khi sử dụng giá trị mới u P1( )1 . Bằng cách như thế, sau khi thay giá trị của tất cả các điểm

1,..., N

P P , ta nhận được sự xấp xỉ u P1( )1 ,..., u P1( N). Sau đó ta lặp lại quá trình này và nhận được sự xấp xỉ liên tiếp u u2, 3,....

Theo Lepner, ta chứng minh,

lim j( ) ( ),

j u P u P

   1, 2,....,N,

trong đó u là nghiệm của bài toán biên (2.65). Muốn thế, ta nhận thấy xấp xỉ thứ k là uk phụ thuộc tuyến tính vào (k1) giá trị biên đã cho của . Nên tồn tại các ma trận (), (), sao cho

1 1 1 ( ) ( ) ( ) N M N k k N u P a u P  P             .

Dễ dàng thấy rằng mỗi sự chỉnh lý bao gồm các sự thay thế giá trị

1( )

k

u  P bằng tổ hợp tuyến tính với hệ số dương của các giá trị uk1 tại các điểm kề. Do đó  0.

Nếu như ta lấy làm xấp xỉ đầu tiên là nghiệm đúng, thì không cần phải chỉnh lý.Nên ( ) ( ) ( ) u P u P   P và do đó 1 maxu Pk( ) u P( ) max (uk (P) u P( ))         max uk1(P)u P( ) maxuk1(P)u P( ) trong đó max  

   . Bây giờ ta giả thiết , lấy hàm số u1 làm xấp xỉ đầu tiên, còn điều kiện biên  bằng không. Khi đó mỗi sự chỉnh lý làm dẫn

đến giảm giá trị ban đầu và sấp xỉ đầu tiên cho giá trị dương nhỏ hơn 1.

1 0

max max ... kmax

k k

u u  u  u   u u ,

nên ta thấy rằng phương pháp Lifman hội tụ.

Việc vận dụng nguyên lý maximum vào phương pháp sai phân hữu hạn bị hạn chế bởi trường hợp phương trình cấp hai. Phương pháp loại trừ (Kurant - Fridrix - Levi và những người khác) sử dụng đánh giá trong L2, do đó thuận lợi đối với phương trình cấp tùy ý.