Nguyên lý maximum đối với gradient

Đối với các đạo hàm cấp một của nghiệm của phương trình elip tuyến tính, nói chung nguyên lý maximum không đúng. Phương trình cấp hai trên mặt phẳng dạng

( , ) xx 2 ( , ) xy ( , ) yy 0

A x y u  B x y u C x y u  (2.67) (ACB2 0) là một ngoại lệ. Nếu nghiệm u được xác định trong miền G,

thì các hàm số ux, uy không thể đạt được giá trị cực đại tại các điểm trong, nếu chúng không là hằng số. Khẳng định này ta đã chứng minh ở trên. Bây giờ ta nhận thấy nó là hiển nhiên, nếu các hàm số A B C, , thuộc lớp C1, còn nghiệm u nằm trong C3. Thực vậy, nếu chia hai vế của phương trình cho C

(hoặc cho A) và lấy vi phân theo x (hoặc theo y), thì ta nhận được ux(hoặc

)

y

u thỏa mãn phương trình elip tuyến tính cấp hai. Đối với phương trình dạng

1 0 n i i i u u a au x         (2.68) với các hệ số bị chặn định lý sau đây đúng:

Định lý 2.26.

Giả sử các giá trị tuyệt đối của các hệ số trong phương trình (2.68) không vượt quá K. Khi đó tồn tại các hằng số dương R0 và k chỉ phụ thuộc vào K và n, sao cho đối với nghiệm bất kỳ u của phương trình (2.68) được

xác định trong miền lồi  đường kính RR0 thuộc lớp C2 trên biên  và bằng không tại điểm nào đó của  đúng bằng bất đẳng thức

sup gradu k



 max gradu

 .

Chứng minh. Cho  sup grad



 ,   max gradu

 .

Vì u0 tại điểm nào đó của miền , nên u R và nhờ có (2.68) đặt

ra là R < 1 ta có ( ) u K n R     Ta đặt 2 1 ( ) ( ) n n u y dy x x y         (n2), 1 1 ( ) ( ) ln 2 x u y dy x y       ( n2),

trong đó kí hiệunlà diện tích mặt hình cầu đơn vị trong không gian n-chiều. Lấy vi phân dưới qua dấu tích phân ta nhận được đánh giá gradient

sup gradv



cKR

 ,

trong đó c chỉ tùy thuộc vào n. Rõ ràng, ( )x thuộc lớp C1 trên toàn không gian và nhờ công thức Green thứ ba hàm số ( )x u x( )( )x là hàm điều hòa trong . Do đó đạo hàm  cũng là hàm điều hòa và thỏa mãn nguyên lý maximum. Nên

sup grad max grad  cKR

     , nghĩa là sup grad cKR 2cKR           Nếu RR01 / 2cK, thì rõ ràng  k, tại 1 0 (1 2 ) k cKR    .

Tính lồi của miền được sử dụng chỉ để chứng minh bất đẳng thức

maxu Rmax gradu

   ; thật vậy chỉ cần giả thiết  là miền hình sao đối với điểm mà tại đó ubằng không. Định lý đúng ngay cả đối với miền không lồi với biên khá trơn, nhưng khi đó k phụ thuộc vào . Sự đòi hỏi tính lồi là không cần thiết nếu a0. Trong trường hợp này điều kiện về hướng của hàm

u biến thành không là không cần thiết. (Điều đó có thể đạt được bằng cách bổ xung u là hằng số).

Phương pháp đó có thể chứng minh nguyên lý maximum đối với hệ elip trên mặt phẳng. 11 12 x y       , 21 22 y x      (2.69) với các ij bị chặn. Điều này là hiển nhiên, vì trong trường hợp, khi

21 22 0

   , có thể đặt ux,   uy, trong đó u là nghiệm của phương

trình: 11 x 12 y 0 u  u  u     (2.70) Đặt i , ta có thể viết (2.69) dưới dạng phức z a b    , (2.71) Trong đó a và b là hàm số giá trị phức bị chặn. Từ phương trình đó, tất nhiên suy ra bất đẳng thức

z K

  , (2.72) và từ bất đẳng thức đó suy ra định lý sau:

Định lý 2.27. Giả sử hàm số ( )z thuộc lớp C1 trong miền đường kính

0

RR , thỏa mãn bất đẳng thức (2.81) và liên tục trên biên  của miền . Khi đó

sup kmax

 

hơn nữa, R0 0 và k0 chỉ phụ thuộc vào K.

Chứng minh của định lý được dẫn đến sự áp dụng nguyên lý maximum đối với hàm điều hòa ( )z r z( ), z , trong đó

( ) 1 ( ) z z d d r z z           ,   i, (2.74) và bất đẳng thức đơn giản: supr 2 supR z 2RKsup

  

  .

2.2.9.Định lý Karleman về tính duy nhất của thác triển.

Từ nguyên lý maximum vừa được chứng minh suy ra định lí Carleman nổi tiếng.

Định lí 2.28. Hàm số ( )z thuộc lớp C1 thỏa mãn bất đẳng thức (2.72) trong

miền G, đồng nhất bằng không, nếu nó có một không điểm bội vô hạn tại một điểm nào đó trong miền G

Chứng minh. Giả sử ( )z O z( N) khi z0 đối với mọi N 0. Chỉ cần chứng minh ( )z 0 với z R, trong R > 0 và đủ nhỏ. Hàm số

( ) n ( )

n z z z

    , n = 1, 2, ... bằng không khi z0và thỏa mãn (2.72). Khi áp dụng đối với miền 0 z R bất đẳng thức (2.73), ta thấy

max n ( ) nmax ( )

z R z  z kR z R  z

  

với n1,2,... Điều này không thể, nếu  không đồng nhất bằng không.

Nếu chú ý tới mối liên hệ giữa hệ (2.69) và phương trình (2.70) ta nhận được từ định lý Carleman tính chất duy nhất của thác triển theo nghĩa yếu đối với nghiệm phương trình (2.70). Để chứng minh tính chất duy nhất của thác triển theo ý nghĩa mạnh cần chứng tỏ từ (2.70) và đẳng thức uO z( N)đối với

mọi N, suy ra ux và uy có số không điểm bội vô hạn. Điều này có thể xảy ra. Định lý về sự duy nhất của thác triển theo nghĩa mạnh đối với phương trình

0

x y

u au bu cu

     (2.75) có thể chứng minh được, sau khi nhận xét phương trình này được đưa về dạng (2.70) bằng việc đưa ra một hàm số mới chưa biết U u u/ 0, trong đó u0là nghiệm dương nào đó của phương trình (2.75). Cuối cùng, phương trình elip tuyến tính bất kỳ bậc hai trong mặt phẳng có thể đưa về dạng (2.75) với điều kiện các hệ số của nó là đủ trơn. Chứng minh tính duy nhất của thác triển không cần giả thiết về tính trơn sẽ được đưa ra muộn hơn.

Kết luận

Sau khi nghiên cứu và tìm hiểu kỹ nguyên lý maximum theo hướng ứng dụng và đề xuất các ứng dụng của nó, luận văn đã đạt được những kết quả sau: 1. Tìm hiểu về nguyên lý maximum và các tính chất liên quan của nó trong không gian hàm số biến số phức.

2. Tìm hiểu những ứng dụng của nguyên lý maximum.

 ứng dụng để giải quyết những vấn đề về lý thuyết.

 Một số ứng dụng khác liên quan tới nguyên lý maximum

Mặc dù rất cố gắng, nhưng do thời gian và khả năng của bản thân còn hạn chế, nên luận văn khó tránh khỏi thiếu sót. Kính mong các thầy giáo, cô giáo cùng các bạn nhận xét và đóng góp ý kiến để luận văn được hoàn thiện hơn.

Một lần nữa, cho phép tôi được bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc của mình tới các thầy giáo, cô giáo của Khoa toán, các thầy cô của Phòng Sau đại học Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2, đặc biệt là PGS.TS.NGƯT Nguyễn Huy Lợi đã nhiệt tình hướng dẫn tôi hoàn thành luận văn này.

Tài liệu tham khảo

Tiếng Việt

[1] Trần Anh Bảo (1976), Lý thuyết hàm số biến số phức, Nhà xuất bản Giáo dục.

[2] Đậu Thế Cấp (2003), Bài tập hàm số biến số phức, Nhà xuất bản Giáo dục.

[3] Nguyễn Phụ Hy- Nguyễn Quốc Bảo(1993), Giáo trình hàm số biến số

phức, tập1, tập 2, Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 .

[4] Nguyễn Văn Khuê-Vũ Tuấn (1990), Hàm số biến số phức, Nhà xuất bản Giáo dục.

[5] B.V SaBat (1979), Nhập môn giải tích phức, phần I, phần II, Nhà xuất bản Đại học và THCN, Hà Nội.

[6] Nguyễn Mạnh Hùng (2005), Phương trình đạo hàm riêng, phần I,

phần II, Nhà xuất bản Đại học Sư phạm.

[7] Trần Đức Vân(2005), Lý thuyết phương trình vi phân đạo hàm riêng, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội, Hà Nội.

Tiếng Anh

[8] Sheldon Axler, Paul Bourdon and Wade Ramey(2001), Harmonic

Function Theory, Springer Verlag, New York,Inc.

Tiếng Nga [9]

M. A. Лаврентьев и Б. В. Шабат (1973), Методы теории

функций комплексного переменного, издательство “наука” физико-