Dạng mạnh của nguyên lý maximum được nêu trong 4 định lý sau
(Hopf(2), Zhiro(2))
I. Nếu Mu0 trong F và hàm u đạt được maximum của nó trong điểm bên trong thì u không đổi(cố định).
II. Nếu a0, Lu0 và hàm u đạt maximum của nó tại điểm nằm trong u và cực đại này dương thì u không đổi.
III. Cho Mu0, còn hàm u có giá trị rất lớn ở điểm x trên biên G của miền G. Chúng ta khẳng định rằng tồn tại hình cầu đóng, nằm hoàn toàn trong
G, sao cho điểm x
nằm ở trên biên của nó. Khi đó u hoặc là hằng số, hoặc là
đạo hàm của hàm này tại điểm x
theo hướng của pháp tuyến ngoài du/dN dương.
IV. Giả sử a0, Lu0, hàm u đạt maximum ở điểm x nào đó trên
biên G. Giả thiết rằng điều này thỏa mãn điều kiện được nêu ra ở III. Nếu
maximum u dương, thì hoặc u là hằng số, hoặc đạo hàm của hàm này tại điểm
x
theo hướng pháp tuyến ngoài du/dN dương.
Trong các định lý III và định lý IV đạo hàm du dN/ được giả thiết là tồn tại, nhưng nếu đạo hàm này không tồn tại thì hiển nhiên từ sự chứng minh bản thân sự khẳng định đã đúng liên quan tới số tùy ý nhỏ hơn theo hướng pháp tuyến ngoài.
Chúng ta bắt đầu chứng minh định lý III với giả thiết bổ xung là
( )
uu x trong G.
Ta chọn hai hình cầu đồng tâm S0 và S1 sao cho hình cầu ngoài S0 đi qua x
, còn bao đóng của miền G0, nằm giữa hai hình cầu này, với sự đảm bảo rằng điểm x
, hoàn toàn nằm trong G. Giả sử rằng tồn tại hàm số g x( ) thuộc lớp 2
0
C (G ) sao cho Mg 0 trong G0, còn trên hình cầu ngoài g0 và
/ 0
dg dN tại x
. Cho ug, đủ nhỏ sao cho u x( ) trên hình cầu
trong S1. Khi đó M 0 trong G0 và u x( ) trên S1. Trước hết ta khẳng định trước hết, đạt maximum tại điểm x0
của miền G. Có thể coi aij 0
tại điểm x0
với i j, aii 0 và điều đó luôn thực hiện được bằng phép quay trục tọa độ. Vì các đạo hàm cấp 1 của bằng 0 ở điểm x0
, còn
0
( ) 0
M x ,
tại điểm bên trong của cực đại. Do đó maximum trong miền G0 đạt được trên S0 và vì vậy u trên S0, điều này chỉ có thể xảy ra ở điểm x
. Cho nên đạo hàm của theo hướng pháp tuyến ngoài tại điểm này là không âm
0(du dN/ )(dg dN/ ). Từ đó suy ra du dN/ 0. Hàm số g có thể viết dưới dạng 2 2 0 ar ar g e e ,
trong đó a > 0 là hằng số, r là khoảng từ tâm x1
của các hình cầu S0 và S1, còn r0 là bán kính của hình cầu ngoài. Nếu chuyển gốc tọa độ đến điểm x1
kí hiệu r1 là bán kính của S1, ta được
2 2 (4 2 2 ) ar ij i j i i ii Mge a x x a x a ear2(42mr12 2n Kr 0 2n K ),
Vậy Mg 0 tại G0, nếu đủ lớn.
Bây giờ ta sẽ chứng minh định lý I. Ta giả thiết maximum của hàm u
đạt được tại điểm trong x0 và giả sử 0 đủ nhỏ, sao cho hình cầu
0 2
xx nằm ở trong G. Ta chứng minh u x( ) khi xx0 . Thật vậy, giả sử u x( )1 , x1x0 . Khi đó tồn tại số , 0, sao cho
u trong hình cầu x1x và u tại điểm biên nào đó x
của hình cầu này ( xx1 ). Do phần đã chứng minh của định lý III, đạo hàm của u tại
điểm x
theo hướng nào đó có lẽ được xác định. Nhưng điều này không thể xảy ra, vì tại điểm trong của maximum tất cả các đạo hàm cấp một đều bằng không.
Kí hiệu là tập hợp các điểm của miền G, trong đó u. Ta chỉ
chứng minh tập hợp đó mở. Vì hàm số u liên tục, nên đóng, và vì miền G
Tiếp theo, như đã chứng minh định lý I, hiển nhiên giả thiết bổ sung để chứng minh định lý III có thể bỏ qua.
Để chứng minh định lý II, giả thiết rằng hàm u đạt giá trị maximum
dương tại điểm x0 của miền G. Khi đó au0 tại lân cận của điểm này, nên tại lân cận này MuLuau0. Do định lý I, uu x( )0 tại lân cận nào đó của điểm x0. Nên tập hợp điểm mà uu x( )0 là mở. Do tính liên tục của u, tập hợp đó đồng thời là tập đóng, do đó nó trùng với toàn bộ miền G.
Để chứng minh định lý IV, ta giả thiết x
là điểm biên của G, sao cho
maxu u x( ) 0
. Khi đó MuLuau0 lân cận điểm x
, và do định lý III, hoặc du x( ) / dN 0, hoặc u tại các điểm trong nào đó lân cận của
điểm x
. Trong trường hợp cuối cùng u cần phải không đổi theo định lý II. Định lý 1.5. (Nguyên lý maximum dạng tổng quát)
Cho là nghiệm của phương trình eliptic đều:
11 xx 2 12 xy 22 yy 0
A A A (1.47) Khi đó các đạo hàm x, y hoặc là hằng số hoặc là không có điểm maximum bên trong. (sự khẳng định tương ứng ở trường hợp không gian lớn hơn hai chiều là không đúng).
Hiển nhiên đúng nếu các hệ số nằm ở lớp C1 và nghiệm ở lớp C3 bởi vì khi đó x và y tự thỏa mãn phương trình eliptic. (ví dụ để nhận được phương trình đối với x, nên chia (1.47)) ra A22 và vi phân của nó theo x). Trong
trường hợp tổng quát sự khẳng định này suy ra từ định lý về biểu diễn mà theo biểu dễn đó wx iy f( ( )) z , trong đó f là hàm chỉnh hình, ( )z là ánh xạ tô pô.
Chương 2
ứng dụng của NGUYÊN Lí maximum