Nhiễu của các toán tử và ứng dụng vào lý thuyết khung

i LỜI CẢM ƠN Luận văn được hoàn thành tại Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 dưới sự hướng dẫn của cô giáo - Tiến sỹ Nguyễn Quỳnh Nga. Tác giả xin bày tỏ lòng kính trọng lòng biết ơn sâu sắc nhất đối với cô. Cô đã hướng dẫn và chỉ bảo tận tình trong suốt quá trình làm luận văn. Tác giả xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2, Phòng Sau Đại học, Khoa Toán, Tổ Giải tích, quý thầy cô đã tạo mọi điều kiện thuận lợi để tác giả kết thúc chương trình Cao học và hoàn thành luận văn tốt nghiệp. Tác giả xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu trường THCS Lập Thạch, Tập thể hội đồng sư phạm nhà trường đã tạo điều kiện giúp đỡ để tác giả học tập và hoàn thành tốt khóa học. Tác giả xin chân thành cảm ơn sự động viên, giúp đỡ của gia đình, bạn bè, các thành viên lớp cao học Toán Giải tích khóa 15 đợt 1 niên khóa 2011 - 2013 để tác giả hoàn thành luận văn. Hà Nội, tháng 8 năm 2013 Tác giả Dương Chiến Thắng ii LỜI CAM ĐOAN Luận văn được hoàn thành tại Trương Đại học Sư phàm Hà Nội 2 dưới Sự hướng dẫn của Tiến sỹ Nguyễn Quỳnh Nga. Trong quá trình làm luận văn, tôi đã kế thừa những thành tựu của các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn. Tôi xin cam đoan luận văn được hoàn thành không trùng với bất kỳ luận văn nào khác. Hà Nội, tháng 8 năm 2013 Tác giả Dương Chiến Thắng Mục lục Mở đầu 1 1 Một số khái niệm và kết quả ban đầu 3 1.1 Toán tử tuyến tính bị chặn trên không gian Banach. . . . . 3 1.2 Toán tử giả nghịch đảo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.3 Một số khái niệm và kết quả cơ bản trong lý thuyết khung. 6 1.3.1 Khung trong không gian hữu hạn chiều. . . . . . . . 7 1.3.2 Khung trong không gian Hilbert tổng quát. . . . . . 9 2 Nhiễu của các toán tử và ứng dụng vào lý thuyết khung. 17 2.1 Nhiễu của các toán tử. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2.2 Ứng dụng vào lý thuyết khung. . . . . . . . . . . . . . . . . 25 2.3 Mở rộng lý thuyết khung. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 Kết luận 42 Tài liệu tham khảo 43 iii Mở đầu 1. Lý do chọn đề tài Năm 1877, Carl Neumann đã chứng minh định lý nổi tiếng sau: Nếu X là một không gian Banach và T : X → X là một ánh xạ tuyến tính thỏa mãn I − T < 1 thì T là một ánh xạ khả nghịch. Định lý này nói rằng nếu T đủ gần với ánh xạ đồng nhất I thì T khả nghịch. Thực ra điều kiện để T khả nghịch có thể yếu hơn nhiều. Năm 1948, Hilding [7] đã chứng minh định lý ở dạng tổng quát hơn: Nếu X là không gian Banach và T : X → X là một ánh xạ tuyến tính, λ ∈ [0; 1) và với mọi x ∈ X, (I − T )x ≤ λ(x + T x) thì T là ánh xạ khả nghịch. Thay vì gắn với I, nếu xét toán tử V gần với một toán tử khả nghịch U theo một nghĩa tương tự như của Hilding thì cũng có thể khẳng định được V khả nghịch. Kết quả trên đặc biệt có ý nghĩa khi ứng dụng vào lý thuyết khung. Khung trong không gian Hilbert được đưa ra bởi Duffin và Schaeffer [6] vào năm 1952 khi đang nghiên cứu chuỗi Fourier không điều hòa, tức là chuỗi thiết lập từ  e iλ n x  n∈Z trong đó λ n ∈ R hoặc C, ∀n ∈ Z . Tuy nhiên khung không nhận được sự quan tâm rộng rãi cho đến khi bài báo của Daubechies, Grossmann và Meyer [5] ra đời năm 1986. Kể từ đó, lý thuyết khung bắt đầu phát triển mạnh mẽ do những ứng dụng trong xử lý tín hiệu, lý thuyết mật mã, lý thuyết lượng tử. . . Với mong muốn hiểu biết sâu sắc hơn về bài toán nhiễu của các toán tử và sử dụng chúng vào nghiên cứu tính ổn định của các khung dưới các nhiễu trong cả không gian Hilbert và Banach, nhờ sự giúp đỡ, hướng dẫn tận tình của Cô giáo, TS Nguyễn Quỳnh Nga, tôi đã mạnh dạn chọn 1 2 nghiên cứu đề tài: ”Nhiễu của các toán tử và ứng dụng vào lý thuyết khung ” để thực hiện luận văn tốt nghiệp. 2. Mục đích nghiên cứu Đề tài này nhằm nghiên cứu, trình bày về nhiễu của các toán tử và ứng dụng vào lý thuyết khung. 3. Nhiệm vụ nghiên cứu Tìm hiểu về nhiễu của các toán tử. Nghiên cứu tính ổn định của các khung dưới các nhiễu trong cả không gian Hilbert và Banach. 4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu: Các kiến thức cơ sở cần thiết, một số khái niệm và kết quả cơ bản trong lý thuyết khung, nhiễu của các toán tử và ứng dụng vào lý thuyết khung. Phạm vi nghiên cứu: Các tài liệu, các bài báo trong và ngoài nước liên quan đến nhiễu của các toán tử và ứng dụng vào lý thuyết khung. 5. Phương pháp nghiên cứu Thu thập tài liệu và các bài báo về nhiễu của các toán tử và ứng dụng vào lý thuyết khung. Tổng hợp, phân tích, hệ thống các khái niệm, tính chất. 6. Dự kiến đóng góp của luận văn Luận văn là một tài liệu tổng quan về bài toán nhiễu của các toán tử và ứng dụng vào lý thuyết khung. Chương 1 Một số khái niệm và kết quả ban đầu Trong chương này, chúng tôi sẽ nhắc lại một vài kết quả cơ bản sẽ dùng trong chương sau. Các kết quả này được tham khảo từ tài liệu [3], [9], [10]. 1.1 Toán tử tuyến tính bị chặn trên không gian Banach. Toán tử tuyến tính T từ không gian Banach H vào không gian Banach K là liên tục khi và chỉ khi nó bị chặn, nghĩa là, tồn tại hằng số c>0 sao cho T x ≤ c x, với mọi x ∈ X (1.1) Ký hiệu B(X,Y ) là tập hợp tất cả các toán tử tuyến tính bị chặn từ X vào Y. Khi X=Y thì B(X,Y ) được ký hiệu đơn giản là B(X ). Chuẩn của T ∈ B(X, Y ) được định nghĩa là hằng số c nhỏ nhất thỏa mãn (1.1). Nói một cách tương đương, T  = sup {Tx : x ∈ X, x ≤ 1} = sup {T x : x ∈ X, x = 1}. Gọi X’ là không gian tất cả các phiếm hàm tuyến tính liên tục trên X, X’ được gọi là không gian đối ngẫu của không gian X. 3 4 Ký hiệu x ∈ X, x ∗ ∈ X  v`a x, x ∗  := x ∗ (x) Mệnh đề 1.1.1. Giả sử X,Y,Z là các không gian Banach. Nếu T ∈ B(X, Y ) thì tồn tại duy nhất một phần tử T ∗ ∈ B(Y  , X  ) sao cho T x, y ∗  = x, T ∗ y ∗ , (x ∈ X, y ∗ ∈ Y  ) . Hơn nữa i)(aS + bT ) ∗ = aS ∗ + bT ∗ . ii)(RS) ∗ = S ∗ R ∗ . iii) Nếu T khả nghịch thì T ∗ cũng khả nghịch và  T −1  ∗ = (T ∗ ) −1 , trong đó S, T ∈ B(X, Y ) và R ∈ B(Y, Z), a, b ∈ C. Toán tử T ∗ ở mệnh đề 1.1.1 được gọi là toán tử liên hợp của toán tử T. Mệnh đề 1.1.2. Giả sử T ∈ B(X, Y ) và S ∈ B (Y, Z) . Khi đó i) T x ≤ T x, ∀x ∈ X. ii) ST  ≤ ST . iii) T  = T ∗ . Giả sử X là không gian Banach, M là không gian con của X và N là không gian con của X’. Ta định nghĩa M ⊥ = {x ∗ ∈ X  : x, x ∗  = 0, ∀x ∈ M}, ⊥ N = {x ∈ X : x, x ∗  = 0, ∀x ∗ ∈ N}. Giả sử T ∈ B(X, Y ).Ta ký hiệu N(T ) = {x ∈ X : Tx = 0}, R(T ) =  y ∈ Y : y = T x với x ∈ X  . Định lý 1.1.3. Giả sử X,Y là các không gian Banach, T ∈ B(X, Y ). Khi đó N (T ∗ ) = R(T ) ⊥ và N (T ) = ⊥ R(T ∗ ). Trong trường hợp các không gian là Hilbert thì ta có Mệnh đề 1.1.4. Giả sử H,K,L là các không gian Hilbert. 5 Nếu T ∈ B(H, K)thì tồn tại duy nhất một phần tử T ∗ ∈ B(K, H) sao cho T ∗ x, y = x, Ty, ∀x ∈ K,∀y ∈ H Hơn nữa i) (aS + bT) ∗ = aS ∗ + bT ∗ ii) (RS) ∗ = S ∗ R ∗ iii) (T ∗ ) ∗ = T iv) I ∗ = I v) Nếu T khả nghịch thì T ∗ cũng khả nghịch và  T −1  ∗ = (T ∗ ) −1 , trong đó S, T ∈ B(H, K), R ∈ B(K,L) và a,b ∈ C. Toán tử T ∗ ở mệnh đề 1.1.4 được gọi là toán tử liên hợp của toán tử T. Mệnh đề 1.1.5. Giả sử T ∈ B(H, K) và S ∈ B(K,L). Khi đó i) T x ≤ T x, ∀x ∈ X. ii) ST  ≤ ST . iii) T  = T ∗ . iv) T ∗ T  = T  2 . Định lý 1.1.6. Nếu T ∈ B(H) thì N (T ∗ ) = R(T ) ⊥ và N (T ) = R(T ∗ ) ⊥ . Định nghĩa 1.1.7. Cho H là không gian Hilbert và T ∈ B(H). T được gọi là toán tử tự liên hợp nếu T ∗ = T, là unita nếu T ∗ T = T T ∗ = I . T được gọi là dương ( ký hiệu T ≥ 0 ) nếu T x, x ≥ 0 với mọi x ∈ H. T, K ∈ B(H), T ≥ K nếu T − K ≥ 0. Mệnh đề 1.1.8. Cho H là không gian Hilbert. Giả sử T ∈ B(H). Khi đó các điều kiện sau đây là tương đương. i) T là dương. ii) T=S 2 trong đó S là toán tử dương. iii) T=V ∗ V trong đó V ∈ B(H). Toán tử S trong ii), là duy nhất và được gọi là căn bậc hai của T, ký hiệu là T 1 2 . 6 1.2 Toán tử giả nghịch đảo. Từ đại số ma trận ta biết rằng không phải tất cả các ma trận đều có ma trận nghịch đảo. Ta muốn tìm một dạng “nghịch đảo suy rộng” trong trường hợp không tồn tại nghịch đảo mà vẫn nắm giữ ít nhất một vài đặc tính hữu ích. Cho ma trận E(mxn), chúng ta xem nó như là một ánh xạ tuyến tính từ C n vào C m . E không nhất thiết là một đơn ánh, nhưng bằng cách giới hạn E trên phần bù trực giao của hạch N E , chúng ta có một ánh xạ tuyến tính đơn ánh.  E : N ⊥ E → C m E và  E có cùng miền giá trị, R  E = R E do vậy  E được xem như là một ánh xạ tuyến tính từ N ⊥ E đến R E có một nghịch đảo   E  −1 : R E → N ⊥ E . Chúng ta có thể mở rộng   E  −1 thành một toán tử E † : C m → C n bằng cách định nghĩa: E † (y + z) =   E  −1 y nếu y ∈ R E , z ∈ R ⊥ E (1.2) Với định nghĩa này EE † x = x, ∀x ∈ R E . (1.3) Toán tử E † được gọi là giả nghịch đảo của E. Từ định nghĩa đó chúng ta có: N E † = R ⊥ E = N E ∗ , R E † = N ⊥ E = R E ∗ (1.4) 1.3 Một số khái niệm và kết quả cơ bản trong lý thuyết khung. Trong nghiên cứu không gian véc tơ một trong những khái niệm quan trọng nhất là cơ sở, cho phép mỗi phần tử ở trong không gian được viết như là một tổ hợp tuyến tính của các thành phần trong cơ sở. Tuy nhiên, điều kiện là cơ sở rất hạn chế - không cho phép sự phụ thuộc tuyến tính giữa các thành phần và đôi khi chúng ta thậm chí yêu cầu các thành phần trực giao tương ứng với một tích vô hướng. Điều này làm cho khó tìm hoặc thậm chí không thể tìm thấy cơ sở đáp ứng điều kiện bổ sung và đây là lí 7 do mà người ta mong muốn tìm một công cụ linh hoạt hơn. Khung là công cụ như vậy. Một khung cho một không gian véc tơ được trang bị một tích vô hướng cũng cho phép mỗi phần tử trong không gian được viết như là một tổ hợp tuyến tính của các phần tử trong khung, nhưng tính độc lập tuyến tính giữa các phần tử khung là không cần thiết. Trong mục này chúng tôi sẽ trình bày một số khái niệm và kết quả cơ bản trong lý thuyết khung cần đến cho chương 2. Các kết quả của mục này có thể tham khảo trong [1], [3]. Trước tiên chúng ta xem xét trường hợp không gian là hữu hạn chiều. 1.3.1 Khung trong không gian hữu hạn chiều. Cho V là một không gian véc tơ hữu hạn chiều, được trang bị một tích vô hướng <.,.>. Nhớ lại rằng một dãy {e j } m j=1 trong V là một cơ sở của V nếu hai điều kiện sau đây được thỏa mãn i) V =span {e j } m j=1 . ii) {e j } m j=1 là độc lập tuyến tính, nghĩa là nếu m  j=1 c j e j = 0 với các hệ số vô hướng {c j } m j=1 thì c j = 0, (j=1,2, ,m). Như một hệ quả của định nghĩa này, mọi f ∈ V có một biểu diễn duy nhất theo các thành phần trong cơ sở, tức là, tồn tại các hệ số vô hướng duy nhất {c j } m j=1 sao cho f = m  j=1 c j e j (1.5) Nếu {e j } m j=1 là một cơ sở trực chuẩn, nghĩa là là một cơ sở với e i , e j  = δ ij =  0 nếu i = j 1 nếu i = j , Khi đó hệ số {c j } m j=1 rất dễ tìm, đó chính là tích trong của f trong (1.5) [...]... yếu hơn Như một ứng dụng, chúng ta chứng minh những định lí liên quan đến sự ổn định của các khung dưới các nhiễu trong cả các không gian Banach và các không gian Hilbert Các kết quả của chương này có thể tham khảo trong các tài liệu [1], [2], [4], [7], [8] 2.1 Nhiễu của các toán tử Trong mục này X và Y là các không gian Banach Tập những toán tử khả nghịch, tuyến tính, bị chặn từ X vào Y được ký hiệu... cận A,B chung cho tất cả các khung này Khung Riesz chung nhiều tính chất với cơ sở Riesz và chúng luôn luôn chứa một cơ sở Riesz như là một họ con Chương 2 Nhiễu của các toán tử và ứng dụng vào lý thuyết khung Một kết quả cổ điển đã được phát biểu là: Một toán tử U trên một không gian Banach là khả nghịch nếu nó đủ gần toán tử đồng nhất I nghĩa là I − U < 1 Ở đây chúng ta chứng minh U thật sự khả nghịch... N Do U là toán tử tuyến tính bị chặn nên toán tử T cũng là tuyến tính bị chặn và vì vậy ∞ T ∞ ci ei = i=1 Do T = U và U ≤ ∞ ci T ei = i=1 √ ci fi i=1 B nên T ≤ √ B Toán tử U thường được gọi là toán tử phân tích, toán tử T thường được gọi là toán tử tổng hợp Toán tử S định nghĩa bởi S = TU thường được gọi là toán tử khung Lấy liên hợp ta có S ∗ = (T U )∗ = U ∗ T ∗ = T U = S Vậy S là toán tử tự liên... được chứng minh Trong những ứng dụng của các khung, điều quan trọng là phải biết sự 16 khác nhau giữa một khung và một cơ sở Riesz Một phương pháp tiếp cận là đưa ra một cơ sở gần Riesz như là một khung chứa một cơ sở Riesz thêm vào hữu hạn phần tử Hướng tiếp cận thứ hai là đưa ra một khung Riesz được định nghĩa như là một khung, ở đó mọi họ con đều là một khung của bao tuyến tính đóng của nó, với các. .. về khung; ta sẽ chứng minh rằng một khung {fj }m j=1 cũng cho ta một biểu diễn như (1.5) Định nghĩa 1.3.1 Một họ đếm được của các véc tơ {fj }j∈J trong V được gọi là một khung của V nên tồn tại các hằng số A,B>0 sao cho A f 2 | f, fj |2 ≤ B f 2 , ∀f ∈ V ≤ (1.7) j∈J Các số A,B được gọi là các cận khung Chúng không là duy nhất Cận khung dưới tối ưu là supremum trên tất cả các cận khung dưới và cận khung. .. định lý 2.1.3 Nếu U có miền giá trị đóng thì U xn hội tụ tới phần tử U x trong miền giá trị của U Từ V x − V xn ≤ có miền giá trị đóng 1+λ1 1−λ2 U x − U xn ta có V xn → y = V x Do đó V Bằng cách tương tự có thể chứng minh U có miền giá trị trù mật nếu và chỉ nếu V có miền giá trị trù mật 25 Các ứng dụng vào lý thuyết khung liên quan đến một điều kiện tổng quát hơn (2.1) Cho U : X → Y là một toán tử. .. điều kiện để một toán tử giữa những không gian Banach là khả nghịch Hầu hết việc chứng minh liên quan đến điều kiện kéo theo toán tử là toàn ánh Hilding mới chỉ xét trong trường hợp toán tử trên không gian Hilbert nhưng chứng minh của ông được sử dụng trong trường hợp tổng quát hơn mà ta đang thảo luận ở đây 17 18 Bổ đề 2.1.1 Cho U : X → X là một toán tử tuyến tính và giả sử rằng tồn tại các hằng số λ1... của X và do đó có một thác triển duy nhất thành một toán tử tuyến tính bị chặn với cùng chuẩn trên X 2.2 Ứng dụng vào lý thuyết khung Trong mục này chúng tôi trình bày cách bổ đề 2.1.1 dẫn đến sự cải thiện đáng kể kết quả trước được công bố bởi O.Christensen Kết quả trước phát biểu rằng: Cho {fi }∞ là một khung với những cận A,B và cho {gi }∞ ∈ H Nếu i=1 i=1 µ ∃λ1 , µ > 0 sao cho λ1 + √A < 1 và ∞ ci... 1.3.3 Một họ các phần tử {fj }k trong V là một khung của V j=1 khi và chỉ khi span {fj }k = V j=1 Hệ quả 1.3.3 chỉ ra một khung có thể có số phần tử nhiều hơn số phần tử cần thiết để làm cơ sở Đặc biệt, nếu {fj }k là một khung của V và j=1 m {gj }j=1 là một tập hữu hạn tùy ý các véc tơ trong V thì {fj }k ∪ {gj }m cũng là một khung của V j=1 j=1 1.3.2 Khung trong không gian Hilbert tổng quát Cho H là... là bị chặn và U ≤ B Do U f 2 = Nếu U là một khung thì U f đơn ánh 2 ≥ A f 2 , ∀f ∈ H nên U phải là một Ký hiệu ej = (0, , 0, 1, 0, , 0) trong đó 1 ở vị trí thứ j và 0 ở các vị trí còn lại Khi đó {ei }∞ làm thành cơ sở trực chuẩn của l2 (N ) Cơ sở i=1 trực chuẩn này thường được gọi là cơ sở trực chuẩn chuẩn tắc của l2 (N ) Gọi T : l2 (N ) → H là toán tử liên hợp của U Theo định nghĩa toán tử liên hợp . trong và ngoài nước liên quan đến nhiễu của các toán tử và ứng dụng vào lý thuyết khung. 5. Phương pháp nghiên cứu Thu thập tài liệu và các bài báo về nhiễu của các toán tử và ứng dụng vào lý thuyết. Nhiễu của các toán tử và ứng dụng vào lý thuyết khung ” để thực hiện luận văn tốt nghiệp. 2. Mục đích nghiên cứu Đề tài này nhằm nghiên cứu, trình bày về nhiễu của các toán tử và ứng dụng vào. nghiên cứu: Các kiến thức cơ sở cần thiết, một số khái niệm và kết quả cơ bản trong lý thuyết khung, nhiễu của các toán tử và ứng dụng vào lý thuyết khung. Phạm vi nghiên cứu: Các tài liệu, các bài