Nhiễu của các toán tử và ứng dụng vào lý thuyết khung

i LèI CÁM ƠN Lu¾n văn đưoc hồn thành tai Trưòng Đai hoc Sư pham Hà N®i dưói sn hưóng dan cna giáo - Tien sy Nguyen Quỳnh Nga Tác giá xin bày tó lòng kính lòng biet ơn sâu sac nhat đoi vói Cơ hưóng dan chí báo t¾n tình suot q trình làm lu¾n văn Tác giá xin chân thành cám ơn Ban giám hi¾u Trưòng Đai hoc Sư pham Hà N®i 2, Phòng Sau Đai hoc, Khoa Tốn, To Giái tích, q thay tao moi đieu ki¾n thu¾n loi đe tác giá ket thúc chương trình Cao hoc hồn thành lu¾n văn tot nghi¾p Tác giá xin chân thành cám ơn Ban giám hi¾u trưòng THCS L¾p Thach, Tắp the hđi ong s pham nh trũng ó tao đieu ki¾n giúp đõ đe tác giá hoc t¾p hồn thành tot khóa hoc Tác giá xin chân thành cám ơn sn đ®ng viên, giúp đõ cna gia đình, ban bè, thành viên lóp cao hoc Tốn Giái tích khóa 15 đot niên khóa 2011 - 2013 e tỏc giỏ hon thnh luắn H Nđi, tháng năm 2013 Tác giá Dương Chien Thang ii LèI CAM ĐOAN Lu¾n văn đưoc hồn thành tai Trương Đai hoc Sư phàm Hà N®i dưói Sn hưóng dan cna Tien sy Nguyen Quỳnh Nga Trong trình làm lu¾n văn, tơi ke thùa nhung thành tnu cna nhà khoa hoc vói sn trân biet ơn Tơi xin cam đoan lu¾n văn đưoc hồn thành khơng trùng vói bat kỳ lu¾n văn khác Hà N®i, tháng năm 2013 Tác giá Dương Chien Thang Mnc lnc Má đau 1 M®t so khái ni¾m ket q ban đau 1.1 Tốn tú tuyen tính b% ch¾n khơng gian Banach 1.2 Toán tú giá ngh%ch đáo .6 1.3 Mđt so khỏi niắm ket bán lý thuyet khung 1.3.1 Khung không gian huu han chieu 1.3.2 Khung không gian Hilbert tong quát Nhieu cúa toán tN Nng dnng vào lý thuyet khung 2.1 17 Nhieu cna toán tú 17 2.2 Úng dung vào lý thuyet khung 25 2.3 Mó r®ng lý thuyet khung .35 Ket lu¾n 42 Tài li¾u tham kháo 43 iii Má đau Lý chon đe tài Năm 1877, Carl Neumann chúng minh đ%nh lý noi tieng sau: Neu X m®t khơng gian Banach T : X → X m®t ánh xa tuyen tính thóa mãn "I − T " < T m®t ánh xa ngh%ch Đ%nh lý nói rang neu T đn gan vói ánh xa đong nhat I T ngh%ch Thnc đieu ki¾n đe T ngh%ch có the yeu nhieu Năm 1948, Hilding [7] chúng minh đ%nh lý ó dang tong quát hơn: Neu X không gian Banach T : X → X m®t ánh xa tuyen tính, λ ∈ [0; 1) vói moi x ∈ X, "(I − T )x" ≤ λ("x" + "T x") T ánh xa ngh%ch Thay gan vói I, neu xét tốn tú V gan vói m®t tốn tú ngh%ch U theo m®t nghĩa tương tn cna Hilding có the khang đ%nh đưoc V ngh%ch Ket q đ¾c bi¾t có ý nghĩa úng dung vào lý thuyet khung Khung không gian Hilbert đưoc đưa bói Duffin Schaeffer [6] vào năm 1952 nghiên cúu chuoi Fourier khơng đieu hòa, túc chuoi thiet l¾p tù eiλnx n∈ λn ∈ R ho¾c C, ∀n ∈ Z Tuy Z nhiờn khung khụng nhắn oc sn quan tõm rđng rói cho đen báo cna Daubechies, Grossmann Meyer [5] đòi năm 1986 Ke tù đó, lý thuyet khung bat đau phát trien manh me nhung úng dung xú lý tín hi¾u, lý thuyet m¾t mã, lý thuyet lưong tú Vói mong muon hieu biet sâu sac ve toán nhieu cna tốn tú sú dung chúng vào nghiên cúu tính on đ%nh cna khung dưói nhieu cá khơng gian Hilbert Banach, nhò sn giúp đõ, hưóng dan t¾n tình cna Cơ giáo, TS Nguyen Quỳnh Nga, manh dan chon nghiên cúu đe tài: ”Nhieu cúa toán tN Nng dnng vào lý thuyet khung ” đe thnc hi¾n lu¾n văn tot nghi¾p Mnc đích nghiên cNu Đe tài nham nghiên cúu, trình bày ve nhieu cna tốn tú úng dung vào lý thuyet khung Nhi¾m nghiên cNu Tìm hieu ve nhieu cna tốn tú Nghiên cúu tính on đ%nh cna khung dưói nhieu cá không gian Hilbert Banach Đoi tưang pham vi nghiên cNu Đoi tưong nghiên cúu: Các kien thúc só can thiet, m®t so khái ni¾m ket bán lý thuyet khung, nhieu cna toán tú úng dung vào lý thuyet khung Pham vi nghiên cúu: Các tài li¾u, báo ngồi nưóc liên quan đen nhieu cna toán tú úng dung vào lý thuyet khung Phương pháp nghiên cNu Thu th¾p tài li¾u báo ve nhieu cna toán tú úng dung vào lý thuyet khung Tong hop, phân tích, h¾ thong khái ni¾m, tính chat DN kien úng gúp cỳa luắn Luắn l mđt tài li¾u tong quan ve tốn nhieu cna toán tú úng dung vào lý thuyet khung Chng Mđt so khỏi niắm v ket quỏ ban đau Trong chương này, chúng tơi se nhac lai m®t vài ket bán se dùng chương sau Các ket đưoc tham kháo tù tài li¾u [3], [9], [10] 1.1 Tốn tN tuyen tính b% ch¾n khơng gian Banach Tốn tú tuyen tính T tù không gian Banach H vào không gian Banach K liên tuc chí b% ch¾n, nghĩa là, ton tai hang so c>0 cho "T x" ≤ c "x" , vói moi x ∈ X (1.1) Ký hi¾u B(X,Y ) t¾p hop tat cá tốn tú tuyen tính b% ch¾n tù X vào Y Khi X=Y B(X,Y ) đưoc ký hi¾u đơn gián B(X ) Chuan cna T ∈ B(X, Y ) đưoc đ%nh nghĩa hang so c nhó nhat thóa mãn (1.1) Nói m®t cách tương đương, "T " = sup {"T x" : x ∈ X, "x" ≤ 1} = sup {"T x" : x ∈ X, "x" = 1} Goi X’ không gian tat cá phiem hàm tuyen tính liên tuc X, X’ đưoc goi không gian đoi ngau cna không gian X Ký hi¾u x ∈ X, x∗ ∈ X r va` (x, x∗ ) := x∗ (x) M¾nh đe 1.1.1 Giá sú X,Y,Z không gian Banach Neu T ∈ B(X, Y ) ton tai nhat m®t ∗phan túr T ∗ ∈ B(Y r, Xr ) ∗ ∗ ∗ cho (T x, y ) = (x, T y ) , (x ∈ X, y ∈ Y ) Hơn nua ∗ i)(aS + bT ) = aS∗ + bT ∗ ∗ ii)(RS) = S∗ R∗ .∗ iii) Neu T ngh%ch T ∗ ngh%ch T −1 = (T ∗ −1 ) , S, T ∈ B(X, Y ) R ∈ B(Y, Z), a, b ∈ C Toán tú T ∗ ó m¾nh đe 1.1.1 đưoc goi tốn tú liên hop cna tốn tú T M¾nh đe 1.1.2 Giá sú T ∈ B(X, Y ) S ∈ B (Y, Z) Khi i) "T x" ≤ "T " "x" , ∀x ∈ X ii) "ST " ≤ "S" "T " iii) "T " = "T ∗" Giá sú X không gian Banach, M không gian cna X N không gian cna X’ Ta đ%nh nghĩa M ⊥ ⊥ = {x∗ ∈ X r : (x, x∗ ) = 0, ∀x ∈ M } , N = {x ∈ X : (x, x∗ ) = 0, ∀x∗ ∈ N } Giá sú T ∈ B(X, Y ).Ta ký hi¾u N (T ) = {x ∈ X : Tx = 0} , R(T ) = y ∈ Y : y = Tx vói x ∈ X Đ%nh lý 1.1.3 Giá sú X,Y ⊥ khơng gian Banach, T ∈ B(X, Y ) Khi N (T ∗) = R(T ) N (T ) =⊥R(T ∗) Trong trưòng hop khơng gian Hilbert ta có M¾nh đe 1.1.4 Giá sú H,K,L khơng gian Hilbert Neu T ∈ B(H, K)thì ton tai nhat m®t phan tú T cho (T ∗x, y) = (x, T y) , ∀x ∈ K,∀y ∈ H ∗ ∈ B(K, H) Hơn nua i) ii) ∗ (aS + bT ) = aS∗ + bT ∗ ∗ (RS) = S∗R∗ ∗ iii) (T ∗ ) = T iv) I ∗ = I ∗ −1 ∗ v) Neu T ngh%ch T ngh%ch T = (T ) , S, T ∈ B(H, K), R ∈ B(K,L) a,b ∈ C ∗ −1 Tốn tú T ∗ ó m¾nh đe 1.1.4 đưoc goi toán tú liên hop cna tốn tú T M¾nh đe 1.1.5 Giá sú T ∈ B(H, K) S ∈ B(K,L) Khi i) "T x" ≤ "T " "x" , ∀x ∈ X ii) "ST " ≤ "S" "T " iii) "T " = "T ∗" iv) "T ∗T " = "T " ⊥ Đ%nh lý 1.1.6 Neu T ∈ B(H) N (T ∗) = R(T ) N (T ) = R(T ∗ ⊥ ) Đ%nh nghĩa 1.1.7 Cho H không gian Hilbert T ∈ B(H) T ∗ ∗ đưoc goi toán tú tn liên hop neu T = T, unita neu T T = TT ∗ =I T đưoc goi dương ( ký hi¾u T ≥ ) neu (T x, x) ≥ vói moi x ∈ H T, K ∈ B(H), T ≥ K neu T − K ≥ M¾nh đe 1.1.8 Cho H khơng gian Hilbert Giá sú T ∈ B(H) Khi đieu ki¾n sau tương đương i) T dương ii) T=S2 S tốn tú dương iii) T=V∗V V ∈ B(H) Tốn tú S ii), nhat đưoc goi b¾c hai cúa T, ký hi¾u T 1.2 Tốn tN giá ngh%ch đáo Tù đai so ma tr¾n ta biet rang khơng phái tat cá ma tr¾n eu cú ma trắn ngh%ch ỏo Ta muon tỡm mđt dang “ngh%ch đáo suy r®ng” trưòng hop khơng ton tai ngh%ch đáo mà van nam giu nhat m®t vài đ¾c tính huu ích Cho ma tr¾n E(mxn), xem m®t ánh xa tuyen tính tù C n vào C m E không nhat thiet m®t đơn ánh, bang cách giói han E phan bù trnc giao cna hach NE , có m®t ánh xa tuyen tính đơn ánh E˜ : NE ⊥ → C m E E˜ có mien giá tr%, RE˜ = RE v¾y E˜ đưoc xem m®t −1 ánh xa tuyen tính tù N E đen RE có m®t ngh%ch đáo ⊥ E˜ : RE → N E⊥ −1 thành m®t tốn tú E† : C m → C n Chúng ta có the mó r®ng E˜ bang cách đ%nh nghĩa: E † (y + z) = E ˜ Vói đ%nh nghĩa − y neu y ∈ RE, z ∈ R⊥ (1.2) E EE†x = x, ∀x ∈ RE (1.3) Toán tú E† đưoc goi giá ngh%ch đáo cna E Tù đ%nh nghĩa có: ⊥ (1.4) NE† = RE⊥ = NE∗ , † = NE = RE∗ RE 1.3 M®t so khái ni¾m ket bán lý thuyet khung Trong nghiên cúu khơng gian véc tơ m®t nhung khái ni¾m quan nhat só, cho phép moi phan tú ó khơng gian đưoc viet m®t to hop tuyen tính cna thành phan só Tuy nhiên, đieu ki¾n só rat han che - khơng cho phép sn phu thu®c tuyen tính giua thành phan đơi th¾m chí u cau thành phan trnc giao tương úng vói m®t tích vơ hưóng Đieu làm cho khó tìm ho¾c th¾m chí khơng the tìm thay só đáp úng đieu ki¾n bo sung lí U : l2 (N ) → H, U ∞ {ci } ∞ i= = cig i i=1 b% ch¾n, ta đưoc phép sú dung H¾ q 2.1.4 thay bo đe 2.1.1 Vì v¾y trưòng hop có the lay λ2 = Grochenig ó mú rđng khỏi niắm khung khơng gian Hilbert thành khái ni¾m khung khơng gian Banach Ta ký hi¾u X’ khơng gian đoi ngau vói khơng gian Banach X Đ%nh lý 2.2.8 Cho X m®t khơng gian Banach Xd khơng gian Bar nach liên ket gom nhung dãy có giá tr% vơ hưóng Cho i= ⊆ X T:Xd → ∞ {yi} X tốn tú tuyen tính b% ch¾n Neu: ∞ a/ {(x, yi)}i= ∈ Xd, ∀x ∈ X b/∃A, B > : A "x" ≤ "{(x, i= " ≤ B "x" , ∀x ∈ X ∞ yi)} ∞ c/T {(x, yi)}i= = x, ∀x ∈ X ∞ ({yi}i= , T ) m®t khung Banach cho X tương úng vói Xd A,B đưoc goi các1 c¾n khung Chú ý trưòng hop m®t khung khơng gian Hilbert chúng bình phng cỳa cỏc cắn khung thụng thũng Mđt %nh lý tương tn đ%nh lý 2.2.1 ∞ Đ%nh lý 2.2.9 Giá sú rang ({yi}i= , T ) m®t khung Banach cho X tương úng Xd Ký hi¾u c¾n tương úng A,B Xét tốn tú S : Xd → X vói giá sú rang ton λ1, , µ ≥ cho M ax , + µB) < tai λ2 (λ2 λ1 ∞ ∞ "T {ci}i= − S {ci} i= " 1 ≤ λ1 "T i= " + λ2 "S ∞ ∞ {ci} {ci} i= "+µ ∞ "{ci} i= ∞ " ; ∀ {ci}i= ∈ Xd ∞ ∞ Khi ton tai m®t dãy {zi} i= ∈ Xr cho ({zi}i= , S) m®t khung 1−λ2 Banach cho X tương úng vói X1d vói c¾n A 1+λ , B1−(λ1+µB) +µB Chúng minh Ta kiem tra nhung đieu ki¾n đ%nh nghĩa cho x ∈ X ∞ ∞ Chúng ta sú dung giá thiet dãy {ci}i= = {(x, yi)} i= , i= "x − S {(x, yi)} ∞ i= " ≤ λ1 "x" + λ2 "S {(x, yi)} ∞ " + µB "x" Theo bo đe 2.1.1 ánh xa Lx := S {(x, yi)} i= ∞ − λ2 1+ −1 x" λ2 ≤ L (x) ≤ + λ1 + " µB cau tù X lên X "x" − (λ1 + µB) Do x = L.L−1x = S L−1x, i= , ∀x ∈ X ∞ yi Ánh xa x ›→ L−1x, yi m®t phan tú cna X’, ta goi zi, Rõ ràng −1 ∞ {(x, zi)}i= = L x, ∞ yi ∞ "{(x, zi)} Cuoi ∈ Xd x = S {(x, i= zi)} ∞ −1 ∞ L x, yi "= i=1 i=1 2.3 λ " ≤ B L−1x ≤ B i= i=1 ≥ A L−1x ≥A Và "{(x, ∞ zi)} , ∀x ∈ X − λ2 1+ 1+λ2 "x" + µB "x" , ∀x ∈ X 1−(λ1+µB) Má r®ng lý thuyet khung ắc trng chớnh cna mđt khung {fi} i= m®t khơng gian Hilbert H moi phan tú cna H có the đưoc bieu 1dien m®t to hop tuyen tính ∞ cna nhung phan tú khung Nhưng thnc te ton tai nhung ví du ho {fi} i=có tính chat khơng m®t khung ∞ Cho m®t ho {fi}i= ⊆ H, ta xét tốn tú có the khơng b% ch¾n: T : D (T ) ⊆ l2 (N ) → H, T ∞ {ci } ∞ i= = i=1 c i fi ó mien D(T ) = ∞ {ci}i= ∈ l2 (N ) ∞ c f h®i tu i i / i= M®t tốn tú tuyen tính T : X → Y X,Y khơng gian Banach, đưoc goi đóng neu vói bat kỳ dãy un ∈ D(T ) cho un → u Tu n → v u ∈ D(T) T u=v Ta giá sú rang T đóng tồn ánh ton tai nhat toán tú T † : H → D(T ) ⊆ l2(N ) cho NT † = 0(= RT ⊥ ), RT † = N T T † f = f, ∀f ∈ H, ⊥ T T† đưoc goi giá ngh%ch đáo cna T Theo [3] T† có dang ∞ ∞ ∞ T † f = {(f, hi)}i= , ó {hi}i= m®t dãy Bessel H Do {hi}i= 1 m®t dãy Bessel nên ∃B > cho |(f, )| ≤ B"f , ∀f ∈ H, hi " T † f N 2 ≤ B"f " T † b% ch¾n tù = 0, T† đơn ánh T† Khai trien khung suy r®ng là: ∞ f = TT ∗ f= (f, hi) fi, ∀f ∈ H i=1 Cho dãy {gi} ∞ ⊆ H Chúng ta giá sú rang ∞ i= i= ∞ {ci}i= ∈ D (T ) đ%nh nghĩa toán tú U : ∞ D (U ) := D (T ) → H, U ∞ {ci } cigi h®i tu vói moi := i= cig i i=1 Câu hói đ¾t muc tìm đieu ki¾n cho U đóng toàn ánh ∞ Đ%nh lý 2.3.1 Giá sú rang T đóng tồn ánh Cho {gi}i= ⊆ Hvà đ%nh nghĩa toán tú tương úng U Giá sú rang ton tai λ11, λ2, µ ≥ cho max λ1 + µ T † , λ2 < "T {ci} ∞ i= −U ∞ {ci} " ≤ λ1 "T i= {ci} ∞ "+λ2 "U i= {ci} ∞ ∞ "+µ "{ci} " i= i= , ∞ ∀ {ci}i= ∈ D( T ) Khi U đóng, tồn ánh ∞ i=1 − λ1 + µ T † 2 |(gi, f )| 1+ λ2 ≥ "T † " "f , ∀f ∈ H " Chúng minh Theo [8,trang 191] U đóng Chúng ta có the sú dung giá thiet cho ∞ {ci}i= := T † f, RT † ⊂ D(T ) = D(U ) Chúng ta đưoc f − UT † f ≤ λ1 "f " + λ2 UT f + T Do vắy UT "f " , ∀f ∈ H ngh%ch tồn ánh Cũng theo bo đe 2.1.1 −1 † + λ1 + µ T 1+λ UT † ≤ − (λ1 + µ "T † ") , UT † † − λ2 ≤ Đieu suy "f " U T † = UT † ≤ T UT T † "f ≤ " † −1 f, f ∞ −1 † f |(gi, f )| i=1 1− (λ1 + λ2 +µ "T ∞ †") i= |(g )| i, f , ∀f ∈ H Suy đieu phái chúng minh .−1 −1 Tù UT † UT † = I câu hói T † UT † có phái giá ngh%ch đáo cna U khơng? Ta có NT † (UT †)−1 = ,f ∈ H : UT † −1 T f ∈ NT = R = {0 ⊥ −1 † , RT † (UT †)−1 = RT † = NT ⊥ U † = T † túc neu chí neu NT = NU T } ⊥ = {0} = R † U UT neu chí neu RU † = N ⊥ Trong úng dung cna lý thuyet khung suy r®ng khó khăn nhat chí tính đóng cna tốn tú T Các ket sau liên quan đen câu hói Đ%nh lý 2.3.2 Cho X không gian Banach Xd khơng gian Banach dãy vơ hưóng Ta giá sú rang sn h®i tn Xd suy sn h®i tn theo toa đ® Xd chúa véc tơ đơn v% tac Khi cho m®t ho phan tú ∞ {fi}i= ⊆ X, (1) (2) dưói tương đương (1) ∞ Ton tai m®t so m cho {fi}i= m®t só cúa bao tuyen tính m đóng cúa (2) Đoi vói moi lna chon cúa so αi ∈ R, toán tú Tα : ∞ D (Tα) ∈ X / ∞ ∞ d ciαifi h®i ciα if i {ci}i= → X, Tα {ci } i= := i= 1 = tn ∞ đóng i= Chúng minh Trưóc het giá sú (1) đưoc thóa mãn tù ∞ ∞ {ci}i= ∈ D (Tα) , n ∞ − {ci} " → 0, "T {ci}i= − g" → vói ∞ "{c i} i= i= ∞1 ∞ ∞ = g Chon n → ∞ ta muon {ccna ∈tuyen D (Tαtính ) vàđóng T {ccna i} i= i}i= nú fi} ketlluắn mđtrang c sú bao thỡ: 1 m cho i=m m−1 { ∞ n αi ic fi → g − i= m vói n → ∞ α ic if i i=1 Vói nhung h¾ so thích hop di, i= m,m+1, có m−1 g− i=1 ∞ αic if i = di ifi, αicn → di i=m Ta suy di = αici, i=m,m+1, v¾y {0, 0, , cm, cm+1, }∈ D (Tα) ∞ ∞ Tù {ci}i= ∈ D (Tα) Tα {ci}i= = g 1 Bây giò chúng minh (2) suy (1) Giá sú phán chúng rang ∞ {fi}i= khơng dãy bán vói bat kỳ m Theo qui nap ton tai nhung m so n0 = < m1 < n1 < m2 < n2 m®t dãyi= cho {ci} ∞ m j +1 c i fi = ∀j : (2.5) i=nj+1 n +1 j ∀j: c ifi ≤ (2.6) 2j+ i=nj+1 j j Giá sú rang ta chon {nk }k=1 va` {mk }k=1 thóa mãn (2.5) (2.6) Khi nj+1 ton tai nhung so tn nhiên mj+1và nj+1 nhung vơ hưóng {d}i i=nj mj+1 nj+1 +1 cho nj