Phân hoạch của vành đa thức theo các phần tử liên hợp và ứng dụng trong lý thuyết mã
Lĩnh vực Công nghệ thông tin Phân hoạch của vành đa thức theo các phần tử liên hợp và ứng dụng trong lý thuyết mã PGS.TS Nguyễn Bình, KS. Đặng Hoài Bắc Khoa Kỹ thuật điện tử 1 Tóm tắt: Mã xyclic cục bộ (XCB) tuy còn non trẻ nhng đã tỏ ra có nhiều u điểm thoả mãn đ- ợc yêu cầu thực tế của hệ thống truyền tin. Trong bài báo này, chúng tôi sẽ đề cập đến một cách phân hoạch mới trên vành đa thức chẵn Z 2 [x]/x 2n +1 (ký hiệu là Z 2n ) đó là phân hoạch theo lớp các phần tử liên hợp và từ đây xây dựng mã XCB cụ thể trên phân hoạch này. 1. Phân hoạch của vành đa thức Z 2n theo các phần tử liên hợp 1.1 Các thặng d bậc 2 và các căn bậc 2 của chúng. Định nghĩa 1.1: Đa thức f(x) đợc gọi là thặng d bậc 2 (quadratic residue - QR) trong Z 2n nếu tồn tại đa thức g(x) sau: g 2 (x) f(x) mod x 2n+1 (1.1) Nh vậy g(x) Z 2n và đợc gọi là căn bậc 2 (Square root - Sqr) của f(x). Nếu g(x) = )x(f đợc gọi là căn bậc 2 chính của f(x). Chẳng hạn nếu: f(x)= 1+ x 2 + x 4 thì căn bậc 2 chính của nó là: )x(f = 1+ x + x 2 Bổ đề 1.1:Đa thức f(x) nằm trong tập các thặng d bậc 2 Q 2n ( f(x) Q 2n ) khi và chỉ khi f(x) chứa các đơn thức có số mũ chẵn. Số các thặng d bậc 2 trong Z 2n đợc xác định nh sau: Q 2n = = n 0i i n C = 1 2 3 ( 1) . n n n n n n n C C C C C + + + + + = 2 n (1.2) Ví dụ 1.1: Ta xét vành Z 2n với n=3 ta có vành Z 6 ( n = 3) Tập các thặng d bậc hai Q 2n trong vành Z 6 đợc xác định theo bổ đề 2.1 nh sau: Q 6 ={0, 1, x 2 , x 4 , 1+x 2 , 1+x 4 , x 2 +x 4 , 1+x 2 +x 4 } ( có tất cả 2 3 - tức 2 n - phần tử) Bổ đề 1.2: Các căn bậc 2 của một thặng d bậc 2 đợc xác định theo công thức sau: sqr[f(x)] = g(x) = (1+x n ) )x(fx Ut t + (1.3) Trong đó U là một tập gồm các tổ hợp tuỳ ý các giá trị trong tập s = {0, 1, 2, ., n-1} Do vậy lực lợng của U sẽ bằng:U = 2 n -1 Ví dụ 1.2: Trong tập Q 6 ở trên ta xét một QR bất kỳ để xác định căn bậc 2, chẳng hạn f(x)=x 2 áp dụng công thức (1.3) tính các căn bậc hai ở trên ta có sqr(x 2 ) = (1+x 3 ) xx Ut t + (với )x(f =x) + khi U= {0, 1, 2} sqr(x 2 ) = (1+x 3 )( 1+x+x 2 ) + x = 1+x 2 +x 3 +x 4 +x 5 + Tơng tự ta có: khi U = {0,1} sqr(x 2 ) = (1+x 3 )( 1+x) + x = 1+x 3 +x 4 Cứ nh vậy ta sẽ tìm đợc toàn bộ 2 2n phần tử liên hợp của vành Z 6 . Nhận xét: - Trong vành Z 2n có 2 n thặng d bậc 2, mỗi thặng d bậc 2 có 2 n căn bậc 2, vậy có tất cả 2 2n căn bậc 2 trong vành, các căn bậc 2 này tạo nên toàn bộ vành Z 2n . Học viện Công nghệ BCVT Hội nghị Khoa học lần thứ 5 - Ta sẽ gọi các căn bậc 2 của cùng một thặng d bậc 2 là các phần tử liên hợp (Conjugate Elements ) tơng ứng với thặng d đó ký hiệu là CEs. 1.2 Phân hoạch vành Z 2 [x]/ x 2n +1 theo các phần tử liên hợp Để khảo sát sự phân hoạch theo các CE trên vành Z 2 [x]/x 2n +1, ta sẽ khảo sát trên vành cụ thể Z 6 (n=3). Tập các QR trong vành Z 6 là: Q 6 ={0, 1, x 2 , x 4 , 1+x 2 , 1+x 4 , x 2 +x 4 , 1+x 2 +x 4 } Hình 1. Phân hoạch vành Z 6 theo lớp các phần tử liên hợp Ta thấy rằng, đối với phép cộng các CEs ở hình 1 sẽ thoả mãn bảng 1 nh sau: Sqr(1) Sqr(x 2 ) Sqr(x 4 ) Sqr(1+x 2 ) Sqr(1+x 4 ) Sqr(x 2 +x 4 ) Sqr(1+x 2 +x 4 ) Sqr(0) Sqr(1) Sqr(0) Sqr(1+x 2 ) Sqr(1+x 4 ) Sqr(x 2 ) Sqr(x 4 ) Sqr(1+x 2 +x 4 ) Sqr(x 2 +x 4 ) Sqr(1) Sqr(x 2 ) Sqr(1+x 2 ) Sqr(0) Sqr(x 2 +x 4 ) Sqr(1) Sqr(1+x 2 +x 4 ) Sqr(x 4 ) Sqr(1+x 4 ) Sqr(x 2 ) Sqrh(x 4 ) Sqr(1+x 4 ) Sqr(x 2 +x 4 ) Sqr(0) Sqr(1+x 2 +x 4 ) Sqr(1) Sqr(x 2 ) Sqr(1+x 2 ) Sqr(x 4 ) Sqr(1+x 2 ) Sqr(x 2 ) Sqr(1) Sqr(1+x 2 +x 4 ) Sqr(0) Sqr(x 2 +x 4 ) Sqr(1+x 4 ) Sqr(x 4 ) Sqr(1+x 2 ) Sqr(1+x 4 ) Sqr(x 4 ) Sqr(1+x 2 +x 4 ) Sqr(1) Sqr(x 2 +x 4 ) Sqr(0) Sqr(1+x 2 ) Sqr(x 2 ) Sqr(1+x 4 ) Sqr(x 2 +x 4 ) Sqr(1+x 2 +x 4 ) Sqr(x 4 ) Sqr(x 2 ) Sqr(1+x 4 ) Sqr(1+x 2 ) Sqr(0) Sqr(1) Sqr(x 2 +x 4 ) Sqr(1+x 2 +x 4 ) Sqr(x 2 +x 4 ) Sqr(1+x 4 ) Sqr(1+x 2 ) Sqr(x 4 ) Sqr(x 2 ) Sqr(1) Sqr(0) Sqr(1+x 2 +x 4 ) Sqr(0) Sqr(1) Sqr(x 2 ) Sqr(x 4 ) Sqr(1+x 2 ) Sqr(1+x 4 ) Sqr(x 2 +x 4 ) Sqr(1+x 2 +x 4 ) Sqr(0) Bảng 1. Phép cộng modulo với các phần tử liên hợp trong vành Z 6 Ta kiểm tra một phép cộng modulo trong bảng trên chẳng hạn: Sqr(1)+Sqr(x 4 ) = Sqr(1+x 4 ) Ta có: 1+x+x 4 sqr(1) x 5 Sqr(x 4 ) 1+x+x 4 x 5 = 1+x+x 4 +x 5 Sqr(1+x 4 ) ( thoả mãn) Kiểm tra với các tổng khác trong bảng 1, chúng ta thấy chúng đều thỏa mãn do vậy rõ ràng là lớp các phần tử liên hợp tạo nên một nhóm Aben cộng tính. + Đối với phép nhân, lớp các phần tử liên hợp trong vành Z 6 cũng thoả mãn bảng sau: Sqr(1) Sqr(x 2 ) Sqr(x 4 ) Sqr(1+x 2 ) Sqr(1+x 4 ) Sqr(x 2 +x 4 ) Sqr(1+x 2 +x 4 ) Sqr(0) Sqr(1) Sqr(1) Sqr(x 2 ) Sqr(x 4 ) Sqr(1+x 2 ) Sqr(1+x 4 ) Sqr(x 2 +x 4 ) Sqr(1+x 2 +x 4 ) Sqr(0) Sqr(x 2 ) Sqr(x 2 ) Sqr(x 4 ) Sqr(1) Sqr(x 2 +x 4 ) Sqr(1+x 2 ) Sqr(1+x 4 ) Sqr(1+x 2 +x 4 ) Sqr(0) Sqrh(x 4 ) Sqr(x 4 ) Sqr(0) Sqr(x 2 ) Sqr(1+x 4 ) Sqr(x 2 +x 4 ) Sqr(1+x 2 ) Sqr(1+x 2 +x 4 ) Sqr(0) Sqr(1+x 2 ) Sqr(1+x 2 ) Sqr(x 2 +x 4 ) Sqr(1+x 4 ) Sqr(1+x 4 ) Sqr(x 2 +x 4 ) Sqr(1+x 2 ) Sqr(0) Sqr(0) Sqr(1+x 4 ) Sqr(1+x 4 ) Sqr(1+x 2 ) Sqr(x 2 +x 4 ) Sqr(x 2 +x 4 ) Sqr(1+x 2 ) Sqr(1+x 4 ) Sqr(0) Sqr(0) Sqr(x 2 +x 4 ) Sqr(x 2 +x 4 ) Sqr(x 2 +x 4 ) Sqr(1+x 2 ) Sqr(1+x 2 ) Sqr(1+x 4 ) Sqr(x 2 +x 4 ) Sqr(0) Sqr(0) Sqr(1+x 2 +x 4 ) Sqr(1+x 2 +x 4 ) Sqr(1+x 2 +x 4 ) Sqr(1+x 2 +x 4 ) Sqr(0) Sqr(0) Sqr(0) Sqr(1+x 2 +x 4 ) Sqr(0) Sqr(0) Sqr(0) Sqr(0) Sqr(0) Sqr(0) Sqr(0) Sqr(0) Sqr(0) 0 Bảng 2. Phép nhân modulo với các phần tử liên hợp trong vành Z 6 Ta kiểm tra các kết quả trong bảng trên, chẳng hạn nh: Học viện Công nghệ BCVT Sqr(1) Sqr(x 2 +x 4 ) Sqr(1+x 2 ) Sqr(1+x 4 ) Sqr(0) Sqr(x 4 )Sqr(x 2 ) Sqr(1+x 2 +x 4 ) Vành Z 6 Lĩnh vực Công nghệ thông tin Sqr(1+x 2 )x Sqr(x 4 ) = Sqr(1+x 4 ) (lu ý Sqr(1+x 4 ) = Sqr((1+x 2 ) x x 4 )) Xét: (x 3 +x 4 ) Sqr(1+x 2 ) và (1+x 2 +x 3 ) Sqr(1+x+x 2 ) Ta có: (x 3 +x 4 )x(1+x 2 +x 3 ) = (x 3 +x 4 +x 6 +x 5 +x 6 +x 7 )mod(x 6 +1) = x+x 3 +x 4 +x 5 Sqr(1+x 4 ) Một cách tơng tự nh trên ta có thể kiểm tra toàn bộ các phép nhân giữa các cặp các phần tử liên hợp nh trong bảng 2. Từ kết quả ở bảng 2 ta thấy rằng, các phần tử liên hợp trong vành Z 6 tạo nên một nhóm theo phép nhân với phần tử đơn vị là Sqr(1), nhng lu ý sẽ có trờng hợp hai phần tử khác 0 nhng khi thực hiện phép nhân theo mod (x 6 +1), ta lại nhận đợc kết quả lại bằng 0. Ta có thể lấy ví dụ : (x+x 3 ) Sqr(1+x 2 ) (1+x 2 +x 4 ) Sqr(1+x 2 +x 4 ) Khi thực hiện phép nhân: (x+x 3 ) x (1+x 2 +x 4 ) = (x+x 3 +x 3 +x 5 +x 5 +x 7 ) mod (x 6 +1) = x+x = 0. Vậy, các phần tử liên hợp của các thặng d bậc 2 trong vành Z 6 tạo nên một nửa nhóm nhân. Nhận xét: - Lớp các CE của các thặng d bậc 2 trong vành Z 6 là một nhóm đầy đủ đối với phép cộng và nửa nhóm đối với phép nhân. - Lớp các CE trong vành Z 6 thoả mãn các tiên đề về vành, chúng tạo nên một vành. Điều này cũng đúng cho các phần tử liên hợp của mọi vành đa thức Z 2n với các n khác nhau. 2. Xây dựng mã XCB theo các phân tử liên hợp của luỹ đẳng nuốt 2.1 Xây dựng mã theo lớp CEs của luỹ đẳng nuốt trên vành Z 10 theo phân hoạch chuẩn Theo kết quả phần trên ta thấy lớp các phần tử liên hợp trên Z 2n luôn có cấu trúc của một vành đại số, dựa vào cấu trúc đại số này ta hoàn toàn có thể xây dựng đợc mã XCB. Trong vành 1x]x[Z n 2 + luôn tồn tại = = 1n 0i i 0 x)x(e đợc gọi là luỹ đẳng nuốt. Tơng tự nh vậy, trong vành Z 2n , ta cũng xác định đợc một lũy đẳng nuốt là )x(e 2 0 với : = = 1n 0i i22 0 x)x(e (2.1) Phép nhân một đa thức bất kỳ với luỹ đẳng nuốt giúp ta kiểm tra đợc tính chẵn lẻ. Luỹ đẳng nuốt có những tính chất đặc biệt để xây dựng mã XCB. Trong vành 1x]x[Z 10 2 + , tức vành Z 2n với n = 5 ta thấy rằng có tất cả 32 (2 n ) thặng d bậc 2 mỗi thặng d bậc 2 có tất cả 32 (2 n ) phần tử liên hợp. Các thặng d bậc 2 trong vành là các đa thức bao gồm các đơn thức có số mũ chẵn đợc xác định nhờ bổ đề 1.1. Q 10 = {0, 1, x 2 , x 4 , x 6 , x 8 , 1+x 2 , 1+x 4 , 1+x 6 , 1+x 8 , x 2 +x 4 , x 2 +x 6 , x 2 +x 8 , x 4 +x 6 , x 4 +x 8 , x 6 +x 8 , 1+x 2 +x 4 , 1+x 2 +x 6 , 1+x 2 +x 8 , 1+x 4 +x 6 , 1+x 4 +x 8 , 1+x 6 +x 8 , x 2 +x 4 +x 6 , x 2 +x 4 +x 8 , x 2 +x 6 +x 8 , x 4 +x 6 +x 8 , 1+x 2 +x 4 +x 6 , 1+x 2 +x 4 +x 8 , 1+x 2 +x 6 +x 8 , 1+x 4 +x 6 +x 8 , x 2 +x 4 +x 6 +x 8 , 1+x 2 +x 4 +x 6 +x 8 } Các phần tử liên hợp của luỹ đẳng nuốt e 0 (x 2 )=1+x 2 +x 4 +x 6 +x 8 Ta xác định CEs của luỹ đẳng nuốt e 0 (x 2 )=1+x 2 +x 4 +x 6 +x 8 trong tập Q 10 trên theo biểu thức: Sqr(e 0 (x 2 )) = (1+x n ) Ut t x + 2 0 ( )e x (2.2) Học viện Công nghệ BCVT Hội nghị Khoa học lần thứ 5 Toàn bộ các phần tử liên hợp của luỹ đẳng nuốt đợc thể hiện ở bảng bên trái, bảng bên phải thể hiện phân hoạch của các luỹ đẳng nuốt trong vành Z 10 theo phân hoạch chuẩn (phân hoạch trong đó các phần tử trong một lớp dịch vòng theo các trởng lớp kề) . Bảng 3. Phân hoạch chuẩn của các CE trên vành Z 10 Bổ đề 2.1:Tập tất cả các phần tử liên hợp với luỹ đẳng nuốt e 0 (x 2 ) sẽ tạo ra các mã xyclic cục bộ với các giá trị sau: (n, k, d 0 ) = ( 2 n - 1, n, 2 n-1 ) Đây là mã tối u thoả mãn giới hạn Griesmer nghĩa là độ dài từ mã n thoả mãn: 1 0 0 2 k i i d n = (2.2) Nhận xét: - Để trực giao hóa hệ tổng kiểm tra n x1)x(b)x(a +=+ , ta có thể chọn trớc giá trị của n dấu thông tin. Để thuận tiện, bắt đầu từ đây khi lập mã ta sẽ chọn 0xxx 1n21nn ==== + ). - Từ toàn bộ các lớp kề, ta có thể xây dựng mã (31, 5) với 16d 0 = . Sau đây, ta sẽ xây dựng mã xyclic cục bộ cụ thể từ các lớp kề C 1 , C 2 và C 3 trong bảng 3.1. Các phần tử (5 6 7 8 9) không cần phát vì theo giả định chúng đều bằng 0, nhng để nhận biết chúng khi giải mã phải thêm 0 vào, do đó mã xyclic cục bộ này có chiều dài là 29. Mã này chính là mã (29, 5) với 0 d 14 = đây mã gần tối u (29, 5, 14) với sơ đồ lập mã nh sau: Hình 2. Sơ đồ mã hoá mã (29,5) theo các lớp kề C 1 , C 2 , C 3 Ta có thể phát bất kỳ từ mã C 1 hoặc C 2 hoặc C 3 tuỳ theo chọn bit. Sau 5 nhịp dịch vòng xác định đợc 5 dấu thông tin từ x 0 đến x 4 . Sau đây là sơ đồ giải mã. Học viện Công nghệ BCVT qr(e 0 (x 2 )) = {1+x+x 2 +x 3 +x 4 ,+x 2 +x 3 +x 4 +x 6 ,1+x 2 +x 4 +x 6 +x 8 , 1+x 3 +x 4 +x 6 +x 7 , x+x 2 +x 3 +x 4 +x 5 , x+x 3 +x 4 +x 5 +x 7 , x+x 3 +x 5 +x 7 +x 9 , x+x 4 +x 5 +x 7 +x 8 , x 2 +x 3 +x 4 +x 5 +x 6 , x 2 +x 4 +x 5 +x 6 +x 8 , x 2 +x 5 +x 6 +x 8 +x 9 , x 3 +x 4 +x 5 +x 6 +x 7 , x 3 +x 5 +x 6 +x 7 +x 9 , 1+x 3 +x 6 +x 7 +x 9 , x 4 +x 5 +x 6 +x 7 +x 8 , 1+x 4 +x 6 +x 7 +x 8 , 1+x+x 4 +x 7 +x 8 , x 5 +x 6 +x 7 +x 8 +x 9 , x+x 5 +x 7 +x 8 +x 9 , x+x 2 +x 5 +x 8 +x 9 , 1+x 6 +x 7 +x 8 +x 9 , 1+x 2 +x 6 +x 8 +x 9 , 1+x 2 +x 3 +x 6 +x 9 , 1+x 2 +x 7 +x 8 +x 9 , 1+x+x 3 +x 7 +x 9 , 1+x+x 3 +x 4 +x 7 , 1+x+x 2 +x 8 +x 9 , 1+x+x 2 +x 4 +x 8 , x+x 2 +x 4 +x 5 +x 8 , 1+x+x 2 +x 3 +x 9 , N 0 C 1 C 2 C 3 C 3 1 (01234) (02346) (03467) (02468) 2 (12345) (13457) (14578) (13579) 3 (23456) (24568) (25689) Phân 4 (34567) (35679) (36790) hoạch 5 (45678) (46780) (47801) 6 (56789) (57891) (58912) 7 (67890) (68902) (69023) 8 (78901) (79013) (70134) 9 (89012) (80124) (81245) 10 (90123) (91235) (92356) x 0 x 1 x 2 x 3 x 4 00000 + + + + C 1 + + ++ C 2 C 3 Lĩnh vực Công nghệ thông tin Bộ giải mã ngỡng của mã này đợc thể hiện ở hình 3. Tại xung clock thứ nhất, đầu ra của thiết bị giải mã M là x 0 . Tại xung clock thứ hai, đầu ra của M là x. Tại xung clock thứ ba, đầu ra cuả M là x 2 . Tại xung clock thứ t, đầu ra là x 3 . Tại xung clock thứ 5, đầu ra là x 4 . Ng- ỡng chính của thiết bị giải mã ngỡng M sẽ là 8. Bộ mã có khả năng sửa đợc 6 bit sai. Lu đồ thuật toán mô phỏng cách lập, giải mã trên đợc thể hiện ở trang tiếp theo. 2.2 Xây dựng mã theo lớp CEs của luỹ đẳng nuốt trên vành Z 10 theo phân hoạch cực đại Trong vành 1x]x[Z 10 2 + , nhóm nhân với phần tử sinh là phần tử nguyên thuỷ a(x) = 1+x+x 2 đợc xác định nh sau: )012(xx1)x(a 2 ++= A= {a i (x), 1, 30 } = {(012), (024)), (01356), (048), (1245689), (6), (678), (068), (12679), (046), (0124578), (2), (234), (246), (23578), (026), (0134678), (8), (089), (028), (13489), (268), (0234679), (4), (456), (468), (04579), (248), (0235689),(0)} Sau đây chúng ta sẽ xem xét cách xây dựng mã xyclic cục bộ cụ thể trên một phân hoạch cực đại theo các phần tử liên hợp của luỹ đẳng nuốt trên vành Z 10 . Với 32,5n = phần tử của luỹ đẳng )x(e 2 0 đợc phân hoạch theo hai lớp kề nh sau: }30,1b,b{}29,0i),x(a)x(e{B ii 01 ==== Học viện Công nghệ BCVT + 1 3 C 2 3 C 3 3 C 4 3 C 5 3 C 6 3 C 7 3 C 8 3 C 9 3 C 10 3 C 1 2 C 2 2 C 3 2 C 4 2 C 5 2 C 6 2 C 7 2 C 8 2 C 9 2 C 10 2 C 1 1 C 2 1 C 3 1 C 4 1 C 5 1 C 6 1 C 7 1 C 8 1 C 9 1 C 10 1 C + + + + + + + + + + + + + M=8 OUTPUT Hình 3. Bộ giải mã mã XCB (29,5) theo phân hoạch chuẩn Hội nghị Khoa học lần thứ 5 B 1 = {(01234), (02346), (01478), (34567), (35679), (01347), (06789), (02689), (03467), (01239), (12359), (03679), (23456), (24568), (02369), (56789), (15789), (23569), (01289), (01248), (25689), (12345), (13457), (12589), (45678), (04678), (12458), (01789), (01374), (14578)}. )}13579(),02468{(B 2 = Ta sẽ sử dụng lớp kề B 1 để tạo mã xyclic cục bộ (29, 5) phần tử (5 6 7 8 9) = 0 vì theo giả thiết x 5 =x 6 =x 7 =x 8 =x 9 =0 Lu đồ thuật toán và kết quả chơng trình mô phỏng lập mã , giải mã mã (29, 5) theo phân hoạch chuẩn bằng Visual C ++ Lu đồ thuật toán: Kết quả mô phỏng: Học viện Công nghệ BCVT Begin Đa thức thông tin có hợp lệ không? End Y N Mã hoá và truyền (Send): - Chọn trưởng lớp kề của C 1 , C 2 , C 3 - Dịch vòng - Cộng modulo 2 theo 3.1. Phát từ mã Tạo nhiễu (Noise) Nhiễu có hợp lệ không Nhập đa thức thông tin N Hiển thị từ mã Nhận thông tin (Receive) Receive = Send XOR Noise Giải mã: J số tổng kiểm tra đã biết Y Lĩnh vực Công nghệ thông tin Cách mã hóa mã 29,5 theo phân hoạch cực đại: Giả sử ta có đa thức thông tin là I = {1 0 1 0 0} Bằng cách thay lần lợt đa thức thông tin vào các đa thức trong nhóm nhân xyclic ở trên, và cộng modul 2 kết quả ta sẽ đợc toàn bộ từ mã tơng ứng với đa thức thông tin đó.Ví dụ, đa thức đầu tiên của nhóm nhân là a = (1 + x + x 2 + x 3 + x 4 ), thay tơng ứng đa thức thông tin ở trên vào ta đợc bit đầu tiên của từ mã là: (1 + x 2 ) = 1 1 = 0. Thực hiện với tất cả các bit còn lại ta đợc toàn bộ từ mã xyclic theo phân hoạch cực đại tơng ứng với đa thức thông tin trên là: 0 0 1 0 0 1 1 0 1 0 1 1 1 1 0 0 0 1 0 0 1 1 0 1 0 1 1 1 1 0 Hệ tổng kiểm tra trực giao với 5 x1 + đợc xây dựng từ 1 B là: 221 1 bbS += 132 2 bbS += 303 3 bbS += 94 4 bbS += 125 5 bbS += 236 6 bbS += 218 7 bbS += 1110 8 bbS += 1815 9 bbS += 2817 10 bbS += 2419 11 bbS += 2720 12 bbS += 167 13 bbS += 2625 14 bbS += Đối với hệ tổng kiểm tra trực giao này, ta có thể chọn 0xxxxx 98765 ===== . Trong trờng hợp này, ta có mã xyclic )5,29( với 14d 0 = . Bộ giải mã ngỡng của mã này đợc thể hiện trong hình 4. Học viện Công nghệ BCVT b 30 b 29 b 28 b 27 b 26 b 25 b 24 b 23 b 22 b 21 b 20 b 19 b 18 b 17 b 16 b 15 b 14 b 13 b 12 b 11 b 10 b 9 b 8 b 7 b 6 b 5 b 4 b 3 b 2 b 1 + + + + + + + + + + + + + + M=8 Hình 4. Bộ giải mã mã (29,5) theo phân hoạch cực đại Hội nghị Khoa học lần thứ 5 Giá trị của b 16 bằng zero, giá trị này không đợc truyền đi, nhng nó đợc thêm vào trong quá trình giải mã. Tại xung nhịp clock đầu tiên, đầu ra của thiết bị giải mã ngỡng M là x 0 . Tại xung clock thứ 22, đầu ra của M là x 1 . Tại xung clock thứ 43, đầu ra của M là x 2 . Tại xung clock thứ 64, đầu ra của M là x 3 . Tại xung clock thứ 85, đầu ra của M là x 4 .Đây là xung nhịp clock cuối cùng của quá trình giải mã. Ngỡng chính của M sẽ là 8. Bộ mã sửa đợc 6 bit sai. Với thuật toán tơng tự ta xây dựng chơng trình mô phỏng bằng MATLAB và có đợc kết quả nh sau: 3. Kết luận Học viện Công nghệ BCVT Lĩnh vực Công nghệ thông tin Ta thấy rằng việc xây dựng các mã theo các phần tử liên hợp của luỹ đẳng nuốt có nhiều u điểm nổi bật nh: - Các mã tạo ra đều là mã gần tối u thoả mãn các giới hạn Griesmes. - Khả năng tạo ra các bộ mã có cùng tham số là rất lớn. Điển hình nh mã (29,5) chúng ta tạo ra có tới hơn 5400 khả năng. - Các sơ đồ mã hoá và giải mã đều khá đơn giản chỉ cần các bộ cộng modulo 2 và nhân đa thức thông thờng. - Dựa vào phơng pháp phân hoạch theo các phần tử liên hợp của luỹ đẳng nuốt ta có thể xây dựng mã trên mọi vành chẵn Z 2n , điều mà trớc nay cha đợc đề cập đến. Kết quả của bài báo nếu đợc hoàn thiện về phần cứng có thể đợc sử dụng trong việc truyền tin trong các mạng Lan, Wan . với những đặc tính truyền dẫn và sửa sai tốt, linh hoạt trong việc thay đổi bộ mã. Tài liệu tham khảo [1] Nguyen Binh, Nguyen Xuan Quynh. "Application of symmetric characteristic of cosets for improving error - correcting ability of local cyclic codes". Science conference. Electronics - Informatics Institute. Hanoi, 1988. [2] Vũ Việt: Phân hoạch vành đa thức. Chuyên đề tiến sĩ, 2001 [3] Nguyen Binh. Tran Duc Su, Pham Viet Trung. "Decomposition of polynomial ring according to the classes of conjugate elements". ATC - 26. Hanoi, 10.2001. [4] Nguyen Binh, Vu Viet, Pham Viet Trung. "Decomposition of polynomial ring and coding with random clock". CAFEO 2000. Hanoi, 22-24 Nov, 2000. Học viện Công nghệ BCVT