Các công thức tích phân và ứng dụng trong lý thuyết hàm nguyên

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Lê Thanh Long CÁC CƠNG THỨC TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG TRONG LÍ THUYẾT HÀM NGUN Chun ngành : Tốn giải tích Mã số : 60 46 01 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC PGS.TS.ĐẬU THẾ CẤP Thành phố Hồ Chí Minh - 2010 LỜI CẢM ƠN PGS.TS Đậu Thế Cấp tận tình giúp đỡ em suốt trình thực luận văn Q thầy, trường nhiệt tình giảng dạy trình em học tập trường tạo điều kiện cho em hoàn thành luận văn Tp HCM, tháng năm 2010 Học viên Lê Thanh Long LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan luận văn tơi, tơi làm Tác giả luận văn Lê Thanh Long MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Lý thuyết giải tích phức phát triển mạnh vào kỉ 19, gắn liền với tên tuổi nhà toán học Euler, Gauss, Riemann, Cauchy, Weierstrass Ngày giải tích phức tiếp tục phát triển hồn thiện Giải tích phức khơng sâu sắc lý thuyết mà cịn có nhiều ứng dụng khơng tốn học mà cịn nhiều ngành khoa học tự nhiên kĩ thuật Trong giải tích phức cơng thức tích phân có vai trị quan trọng Các công thức sử dụng để nghiên cứu hàm nguyên, hàm phân hình, mối liên hệ hàm nguyên hàm phân hình với khơng điểm cực điểm chúng Vì chọn đề tài nhằm hệ thống lại cơng thức tích phân thơng dụng số ứng dụng chúng Mục đích nghiên cứu Mục đích luận văn trình bày cơng thức tích phân ứng dụng vào lý thuyết hàm nguyên Đối tượng, phạm vi nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu cơng thức tích phân hàm nguyên Phạm vi nghiên cứu: chứng minh công thức tích phân vận dụng vào lý thuyết hàm nguyên Ý nghĩa khoa học thực tiễn đề tài nghiên cứu Lý thuyết hàm nguyên có nhiều ứng dụng toán học kĩ thuật Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Hàm chỉnh hình tính chất hàm chỉnh hình Định nghĩa 1.1.1 Cho hàm số f xác định miền D   Xét giới hạn lim z 0 f ( z  z )  f ( z ) với z  D, z  z  D z Nếu điểm z giới hạn tồn gọi đạo hàm phức f z, kí hiệu f’(z) hay df f ( z  z )  f ( z ) ( z ) Như f '( z )  lim z 0 dz z Hàm f có đạo hàm phức z gọi khả vi phức hay  – khả vi z Định nghĩa 1.1.2 Cho hàm f(z) = u(x,y) +iv(x,y) với z= x+yi  D với D miền  Hàm f gọi  -khả vi z0  x0  y0i hàm hai biến thực u(x,y), v(x,y) khả vi ( x0 , y0 ) Hàm f gọi thỏa phương trình Cauchy – Riemann ( điều kiện Cauchy – Riemann) z0  x0  y0i đẳng thức sau ( x0 , y0 ) u v u v  ,  x y y x Định lí 1.1.1 Để hàm f khả vi (  – khả vi ) z0  x0  y0i điều kiện cần đủ f  - khả vi thỏa mãn điều kiện Cauchy – Riemann ( x0 , y0 ) Định nghĩa 1.1.3 Hàm f xác định miền D   , nhận giá trị  gọi chỉnh hình z0  D tồn r > để f  – khả vi z  B( z0 , r )  D Nếu f chỉnh hình z  D ta nói f chỉnh hình D Tập hàm chỉnh hình D kí hiệu A(D) Nhận xét Ta mở rộng định nghĩa tới trường hợp D miền tùy ý  f ánh xạ từ D vào  sau: z0 hữu hạn f ( z0 )   ta nói f chỉnh hình z0 z z0 , cịn z0   ta nói f chỉnh hình z0 f ( ) chỉnh hình chỉnh hình f ( z) Hàm chỉnh hình cịn gọi hàm giải tích Hàm chỉnh hình  gọi hàm nguyên Định lí 1.1.2 (Định lí Cauchy ) Cho D miền bị chặn, có biên hữu hạn đường cong trơn khúc Nếu f chỉnh hình D liên tục D  f ( z )dz  D Định lí 1.1.3 Giả sử f hàm chỉnh hình miền D z0  D Khi với chu tuyến  cho D  D ta có cơng thức tích phân Cauchy f ( z0 )  f ( ) d  2 i    z0 Nếu f liên tục D , chỉnh hình D D chu tuyến với z  D ta có f ( z)  f ( ) d  2 i D   z Giả sử  chu tuyến f hàm liên tục  Với z   \  ta có  ( )  f ( ) hàm z liên tục  Đặt F ( z)  f ( ) d  2 i    z ta hàm số xác định  \  , F(z) gọi tích phân loại Cauchy Định lí 1.1.4 Hàm F ( z )  f ( ) d hàm chỉnh hình miền  \  Hơn miền  \  , F có  2 i    z đạo hàm cấp chúng tính theo cơng thức F (n) ( z)  n! f ( ) d với n nguyên dương F (0)  F n 1  2 i  (  z ) Định lí 1.1.5 Giả sử f hàm chỉnh hình D Khi f có đạo hàm cấp đạo hàm chỉnh hình miền D Các đạo hàm f điểm z biểu diễn công thức f ( n) ( z )  n! f ( ) d , n=1,2,3…  2 i  (  z )n 1  chu tuyến cho z  D  D Định lí 1.1.6 (Định lí Morera ) Cho f hàm liên tục miền đơn liên D tích phân f theo chu tuyến nằm D Khi f hàm chỉnh hình miền D Định lí 1.1.7 (Bất đẳng thức Cauchy ) Giả sử f chỉnh hình miền D, a D,  r  d (a, D) M f (r )  max f ( z ) zB ( a , r ) Khi ta có bất đẳng thức f ( n ) (a )  n ! M f ( a, r ) rn , n  1, 2, Định lí 1.1.8 (Định lí Liouville) Nếu f hàm nguyên bị chặn  f hàm Định lí 1.1.9 ( Định lí giá trị trung bình) Nếu f hàm chỉnh hình miền D B( z0 , r )  D, r  f ( z0 )  2 2  f ( z0  rei )d Định lí 1.1.10 (Bổ đề Schwarz) Giả sử f hàm chỉnh hình biến hình trịn đơn vị vào nó, giả sử f(0) = Khi i) f ( z )  z với z  B(0,1) ii) Nếu f ( z0 )  z0 với z0 B(0,1) khác f(z)=  z,   Cho tập A  z0   Ta gọi khoảng cách từ z0 đến A d ( z0 , A)  inf z  z0 zA Nếu A   ta định nghĩa d ( z0 , A)   Định lí 1.1.11 ( Định lí Taylor) Cho f hàm chỉnh hình miền D z0  D Khi hình trịn B ( z0 , R), R  d ( z0 , D) Ta có khai triển  f ( z )   ak ( z z0 )k k 0 Các hệ số ak nhất, tính theo cơng thức ak  f ( k ) ( z0 ) k! Định lí 1.1.12 Hàm f(z) xác định miền D chỉnh hình với z0  D hàm f khai triển thành chuỗi lũy thừa theo z- z0 mà hội tụ tới f(z) hình trịn tâm z0 bán kính hội tụ R  d ( z0 , D) Từ định lí 1.1.12 ta có định nghĩa khác cho hàm nguyên: Hàm f(z) xác định  , biểu diễn dạng  f ( z )   ck z k , lim n cn  k 0 n  gọi hàm nguyên Định lí 1.1.13 Cho k > thỏa mãn lim inf M f (r )   Khi f ( z )   an z n đa thức bậc rk r  n khơng vượt q k ( M f (r )  max f ( z ) ) z r Định lí 1.1.14 (Định lí Laurent) Cho hàm f chỉnh hình hình vành khăn V : r  z  z0  R ,  r  R    Khi V ta có f ( z )   a (z  z ) k k , hệ số ak tính theo công k  thức ak  f ( ) d  2 i C  (  z0 )k 1 với C   z : z    , r    R Định nghĩa 1.1.4 Điểm z0 gọi điểm bất thường cô lập hàm f f không xác định z0 xác định chỉnh hình hình trịn thủng  z  z0  R, R  Cho z0 điểm bất thường cô lập f Khi z0 gọi điểm bất thường cốt yếu không tồn lim f ( z ) , z  z0  - điểm lim f ( z )   ; z  z0 c- điểm lim f ( z)  c   z  z0 Nếu z0 c- điểm cách đặt f( z0 ) = c ta hàm f chỉnh hình z  z0  R Một c – điểm với c  gọi điểm  Giả sử f ( z )   a (z  z ) k k   ( f , z0 )  inf k : ak  0 Định lí 1.1.15 k khai triển Laurent hàm f  z  z0  R Đặt Cho z0 điểm bất thường cô lập hàm f Khi a) z0 điểm bất thường cốt yếu   ( f , z0 )   b) z0  -điểm    ( f , z0 )   c) z0 điểm   ( f , z0 )  d) z0 0-điểm   ( f , z0 )  Nếu z0  -điểm số m =  ( f , z0 ) gọi cấp  - điểm z0 ; z0 - điểm số m =  ( f , z0 ) bội - điểm z0 Định nghĩa 1.1.5 Giả sử z0 điểm bất thường cô lập hàm f Khi tồn R > cho f chỉnh hình hình trịn thủng  z  z0  R Kí hiệu c đường trịn tâm z0 bán kính  Ta gọi thặng dư res[ f ( z ), z0 ]  f z0 f ( z )dz ,    R 2 i c Theo định lí Cauchy tích phân khơng phụ thuộc vào  Ta thay c chu tuyến  vây quanh z0 Định lí 1.1.16 ( Định lí thặng dư ) Cho hàm f chỉnh hình miền D trừ số điểm bất thường cô lập z1 , , zn Khi với chu tuyến  cho  z1 , , zn   D  D có n  f ( z )dz  2 i  res  f ( z ), z j  j 1 Định lí 1.1.17 Cho hàm f  0, chỉnh hình miền D trừ điểm bất thường cô lập  chu tuyến cho D  D Khi số  - điểm số – điểm f D hữu hạn 1.2.Hàm điều hoà Hàm logarit Hàm phân hình Định nghĩa 1.2.1 Cho U tập mở  Hàm u : U   gọi hàm điều hoà u C2 U  u   2u  2u   U Tập hợp hàm điều hoà U kí hiệu x y H(U) Định lí 1.2.1 Cho D miền  a) Nếu f  A( D ) u = Ref u  H ( D) b) Nếu u  H ( D) D miền đơn liên tồn f  A( D ) cho u = Ref Hơn hàm f sai khác số Định lí 1.2.2 Cho f hàm chỉnh hình f  miền đơn liên D Khi tồn hàm g  A( D ) cho f  e g Định nghĩa 1.2.2 Hàm g định lí 1.2.1 gọi logarit hàm f, kí hiệu g  log f Chú ý logarit hàm không Số phức w gọi logarit số phức z e w  z Kí hiệu tập tất logarit z Log z Ta có L og z  ln z  i (arg z  k 2 ), k   Đặt log z  ln z  i arg z Định lí 1.2.3 Cho f hàm chỉnh hình f  miền đơn liên D Khi log f ( z )  H ( D) Định lí 1.2.4 Nếu f : U1  U tồn ánh chỉnh hình, U1 , U tập mở  h điều hồ U h  f điều hồ U1 Định lí 1.2.5 (Định lí giá trị trung bình ) Cho f hàm điều hồ lân cận hình trịn đóng B  w,   Khi f (w)  2 2  f ( w   ei )d Định nghĩa 1.2.1 Hàm chỉnh hình miền D   trừ số điểm bất thường cực điểm gọi hàm phân hình D 1.3 Không gian đếm chuẩn phiếm hàm tuyến tính Định nghĩa 1.3.1 Cho khơng gian lồi địa phương X Họ nửa chuẩn  gọi xác định tôpô X họ  x : p ( x )  1 p sở lân cận (của 0) X Không gian lồi địa phương X gọi khơng gian đếm chuẩn có tơpơ xác định họ  đếm chuẩn thỏa mãn điều kiện tách : x  0, tồn p   cho p(x) >  Chứng minh Kí hiệu K số mũ hội tụ lấy   K Do chuỗi n 1 lí 3.4.1 ta có lim r  a  hội tụ nên theo định n n( r )  Vậy 1   1  K r Mặt khác as    n( t )  t  ,   Chọn   1   , tích phân n(t )  t 1 dt hội tụ n (t )  0, t   ,vậy chuỗi t  a n 1  hội tụ K  1 Suy K  1  n Định lí 3.4.3 (Định lí Hadamard ) Số mũ hội tụ dãy không điểm hàm ngun khơng lớn cấp tăng Chứng minh Do f chỉnh hình nên theo cơng thức Jensen log f (0)  2 2 M i  log f ( Re ) d   log j aj R , với a j không điểm f B(0,R) Suy 2 2 R R R R R R R n(t ) n (t ) 0 log f ( Re ) d  log f (0)  j log a j  0 log t dn(t )  n(t ) log t  0 t dt  0 t dt Từ ta có M i log M f (er )  2 2 er i  log f (ere ) d   0 er n(t ) n(t ) dt   dt  n( r ) t t r Vậy n(r )  log M f (er )  O(1) Suy 1  lim sup r  log log M f (er ) log log M f (r ) log n( r )  lim sup  limsup   r  r  log r log r log r Định lí 3.4.4 Cho f(z) hàm nguyên kiểu không lớn  với cấp  Nếu f(z) triệt tiêu tập  hai bất đẳng thức sau ()  e , ( )   xảy ra, (), ( ) mật độ mật độ dãy  với cấp  , f(z) ≡ Chứng minh Giả sử ()  e xảy Kí hiệu n (r ) hàm đếm dãy  đặt n(r) = n f (r ) số không điểm f B(0,r) Với   , ta có n (r )  n(r )  log  r  r n(t ) dt  N (r ) t log  Nếu f không đồng áp dụng cơng thức Jensen as N ( r )  log M f ( r )  O(1) (   )  r  Suy n (r )  (   )  r  log  Từ định nghĩa ( ) ta suy ()    log    Xét hàm số f ( )  , hàm số đạt giá trị nhỏ e Lấy giá trị nhỏ log  vế phải theo biến  ta ()  e , ta gặp mâu thuẫn Vậy f  as Bây giả sử ( )   Với   ta có n(r )  nD (r ) (   2 )r  Suy N (r )   (    )r  Nếu f  theo cơng thức Jensen as log M f (r )   (    ),    (    ) , mâu thuẫn  Định nghĩa 3.4.2 Cho  xk  dãy phần tử khơng gian tơpơ tuyến tính E gọi đầy đủ bao đóng bao tuyến tính trùng với E Nếu hệ khơng đầy đủ bao đóng tuyến tính khác E Khi E khơng gian lồi địa phương theo định lí Hahn- Banach, tồn phiếm hàm tuyến tính khác khơng f  E ' cho f(x) = với phần tử x   xk  Vậy tồn hàm f có tính chất điều kiện cần đủ để hệ không đầy đủ Cho hệ hàm ei t  với k số thực k Định lí 3.4.5 Cho n(t) hàm đếm dãy  xk  =  Nếu lim inf t  n (t )  , hệ eik t t   đầy đủ không gian hàm liên tục C   ,   Chứng minh Nếu hệ không đầy đủ theo định lí F Riesz dạng phiếm hàm tuyến tính khơng gian hàm liên tục, tồn hàm  (t ) không hàm có biến phân bị chặn cho   e i k t d (t )  0, k     Ta ta lại có hàm  ( )   e i t d (t ) hàm nguyên, không đồng không thỏa mãn bất  đẳng thức r  ( s  ir )  (Var )e  (k )  Theo công thức Jensen r r r n(t ) n(t ) n(t ) r t dt  0 t dt  0 t dt  2    r 2  sin  d    2  2  log (r (cos   i sin  ) d  log (0)   0 r0 2  log(Var )d  log (0)   0 n(t ) dt t n(t )  dt  t   r 2 sin  d  O(1)  2r  O(1), r   2 0 Vì với   có suy r0 2 n(t ) as n (t )    (do lim inf  ) Từ t  t t     r  O(1)  2r  O (1), r   , mâu thuẫn  Sau ta xét đánh giá tích tắc Cho an  dãy số phức, lim an   n (r) hàm đếm dãy an  Giả sử số nguyên n   p 1  p  cho chuỗi a n hội tụ định nghĩa n 1   z  ( z )   G  , p  n 1  an    z  , p  Áp dụng công thức Jensen  an  Khi an  dãy khơng điểm hàm ( z )   G  n 1 ta có n(r )  log M  (er ) Để có đánh giá theo n(r) ta chứng minh định lí sau Định lí 3.4.6 Nếu u số phức p 1 u log G (u , p)  Ap , p  0, Ap  3e(2  log p ); 1 u log G (u , p)  log(1  u ) Chứng minh Theo định nghĩa 1 u   G (u , p )   u2 up (1  u ) exp[u    p ]  p0 p0 , nên bất đẳng thức log G (u , p)  log(1  u ) hiển nhiên Xét p > Nếu u  p u u3 log(1  u )  u    suy p 1 n  log G (u , p)  log(G (u , p )   n  p 1 Nếu u  p 1 u u p 1  u ( p  1)(1  u ) n p log 1  u   u suy p 1 p u u log G (u , p)  u    p 1 1 1  p u       p p 1  p p 1 u  u u    p 1  u    p  p p 1  1 1       p  p 1 p 1  u 1u  e(2  log p) u  e(2  log p ) 1    Ap  u 1 u 1 u  p Định lí 3.4.7  p 1  Cho an  dãy số phức Nếu chuỗi  an hội tụ tích n 1   z  ( z )   G  , p  hội tụ tập compact thỏa mãn bất đẳng thức n 1  an    r n( t ) n( t )  log ( z )  K p r   p 1 dt  r  p  dt  , K p  ( p  1) Ap , r  z t r 0 t  p (3.2) Chứng minh Nếu p  1, từ định lí 3.4.6 ta có log ( z )  Ap   r p 1 an p r  a  n   Ap r p 1  Do chuỗi  an n(t ) p t (t  r ) hội tụ, áp dụng định lí 3.4.1 ta n (t )  0, t   t p 1 p    p n(t )dt  Ap r p 1   p 1  p 2 t (t  r ) t (t  r )    p 1 n 1 dn(t ) t (t  r )  Ap r p 1   r      p p  p   p log ( z )  Ap r p 1    p 1 n ( t ) dt n(t )dt     p 1  t (t  r ) t (t  r )    t (t  r ) t (t  r )   r    r n (t ) n(t )   K p r p   p 1 dt  r  p  dt  t r 0 t  Nếu p =   r    r log ( z )   log   log    dn(t )     an   t n 1  r   n(t ) n(t ) n(t ) dt   dt  r  dt  t (t  1) t t 0 r  r Định lí 3.4.8 Cấp tăng  tích tắc với số mũ hội tụ dãy khơng điểm  a Chứng minh Giả sử p số nguyên nhỏ cho chuỗi n 1  p 1 hội tụ, an  n  z  , p  1 số mũ hội tụ dãy an   an  dãy khơng điểm tích tắc ( z )   G  n 1 p  1  p  as Nếu 1  p  ta chọn   cho 1    p  n(t )  t   Áp dụng định lí 3.4.7 ta có r    1    p 1 log M  (r )  K p r O (1)   t dt  r  t 1   p  dt    r 1    p 1    p   as 1  2 r r  K p r p O(1)   r 1    p p   1     p  Nếu 1  p  theo định lí 3.4.1, ta có n( r ) n(t )  0,  p  dt  r   Theo định lí 3.4.7, ta có p 1 r t as log M  (r )   r p 1   r 1 Cả hai trường hợp ta có   1 Theo định lí 3.4.3 ta có 1   Vậy 1    Định lí 3.4.9 Số mũ hội tụ tập không điểm hàm ngun f có cấp khơng số ngun với cấp tăng f Chứng minh Cho f hàm nguyên cấp  không số nguyên 1 số mũ hội tụ không điểm, ( z) tích tắc Theo định lí 3.3.1 (định lí Hadamard ) ta có f ( z)  z me Dùng định lí 3.4.8 ta Pq ( z ) ( z ), deg Pq  q as log M f (r )  c1r q  r 1  ,   as Suy log M f (r )  r   2 ,   max( 1 , q )    Mặt khác theo định lí 3.4.3 1   theo định lí Hadamard q   mà  không nguyên suy q   ,   1  3.5 Sự đầy đủ hệ hàm không gian đếm chuẩn Cho A(D) khơng gian hàm phức chỉnh hình miền đơn liên D   Chúng ta chọn dãy vét cạn tập compact G1 , G2 , G3 , , Gn D tức với m , Gm  Gm1  G m  D m 1 Ta có hệ nửa chuẩn sau f m  sup f ( z ) Không gian A(D) với hệ chuẩn zGm không gian đếm chuẩn Sau mệnh đề mơ tả dạng tổng qt hàm tuyến tính khơng gian A(D) Định lí 3.5.1 Mọi phiếm hàm tuyến tính F  A* ( D) , tồn hàm phức  ( ) tập đóng đơn liên  \D’, D  D ,  ()  cho giá trị F hàm f  A(D) xác định đẳng thức F f  f ( ) ( )d  2 i l l đường cong đóng bên ngồi D cho  hàm chỉnh hình l bên ngồi l Chứng minh Theo tơpơ sinh chuẩn, phiếm hàm tuyến tính F  f  liên tục tồn số m  số C cho F[ f ]  C f m (3.3) Giả sử F  f  phiếm hàm tuyến tính không gian A(D) giả sử Gm  D miền tương ứng với chuẩn (3.3) Hàm F mở rộng đến hàm tuyến tính khơng gian C (Gm ) Bây lấy   \D’ Chú ý  C (Gm ) Ta định nghĩa hàm  z    hàm F hàm theo biến z Hàm  gọi phép biến đổi Cauchy-Stieltjes   z   ( )  F  F Do (3.3) hàm     tiến hàm phức tập đóng \D’ Nếu     , suy từ (3.3)  ()   z Cuối lấy đường cong đơn đóng l D’ Hàm  hàm chỉnh hình l miền \l chứa điểm  Ta suy    1 f ( )   ( ) f ( )d  F d   F  f   f ( )d  F      2 i l 2 i l    z   i  z l   với hàm f  A( D ) Lấy 1 ,  hai hàm xác định thỏa F f  1 f ( )1 ( )d  , F  f   f ( ) ( )d  2 i l 2 i l Nếu   1  2  ( ) k d   0, k  1, 2,3 l Hàm  chỉnh hình l  ()  suy  = Vậy hàm tuyến tính biểu diễn dạng F  f   f ( ) ( )d Mệnh đề ngược hiển nhiên  2 i l Bây vận dụng định lí 3.5.1 để nghiên cứu đầy đủ dãy hàm n ( z )  F (n z ) , F(z) hàm nguyên n dãy số phức Kết tính đầy đủ dãy hàm { F (n z) } phát biểu O Gelfond năm 1937 A I Markushevich đưa kết đầy đủ Định lí 3.5.2  Cho hàm nguyên F ( z )   an z n với tất hệ số an khác ,cấp tăng  , kiểu không lớn n 0    {n } dãy số phức Khi dãy n ( z )  F (n z ) đầy đủ đĩa  z : z  R , R   ()  max  ,  ( )    e  ( ) () mật độ mật độ dãy  với cấp  Chứng minh Giả sử dãy F (n z ) không đầy đủ không gian A( D), D =  z : z  R Theo định lí 3.5.1 tồn hàm  R,  ( )  , không đồng thỏa chỉnh hình bên ngồi đĩa  z : z  r , r <  F (n z) ( z)dz  , n= 1,2,3,…, r < R z r Ta xét hàm  ( )   F (n z ) ( z )dz  z r Hàm hàm nguyên triệt tiêu điểm  Ta đánh giá cấp tăng Do as    F ( z )  exp      r  ,   0, r  z ta nhận as  ( )      F ( z )  ( z ) dz  2 rM exp      r  ,   0, M  max  ( z ) z r z r Suy kiểu hàm  không lớn  r  Nếu dãy  thỏa mãn lim n   r < R đẳng thức R   n   ()  max  ,  ( )  , áp   e  dụng định lí 3.4.4 suy   Nếu  có điểm giới hạn hữu hạn áp dụng định lí ta có    Bây  ( z )   n 0 bn z n 1   ( )   F ( z ) ( z )dz   anbn  n  n 0 z r Do an  với n nên bn  với n ,  ( z ) trùng 0, mâu thuẫn  3.6 Đánh giá môđun môđun hàm chỉnh hình Cho hàm f ( z )  u ( z )  iv( z ) hàm chỉnh hình đĩa  z : z  R Đặt M( r) = M f (r )  max f ( z ) , A(r )= A f (r )  max u ( z ) : z  r z r Hiển nhiên ta có Af (r )  M f (r ) Khi R > r ta xét mối quan hệ M f (r ) A f ( r ) Định lí 3.6.1 ( Định lí Caratheodory ) Giả sử f hàm chỉnh hình miền  z : z  R Khi M f (r )  2r Rr Af ( R )  f (0) , với 0< r < R Rr Rr Chứng minh Giả sử f (0)  Ta chứng minh M f (r )  Thật vậy, theo công thức Schwarz ta có 2r A f ( R ) với 0< r < R Rr (3.4) f (z)  2 2 Rei  z 0 u( Re ) Rei  z d , z  R i Do điều kiện f(0) = ta có  2 f (z)  f ( z)   2 f (z)  2 f i )d Suy Rei  z u Re d  ( ) i 0 Re  z 2 i 2 2 2  2  [A f ( R )  u ( Rei )] 2  [A  u ( Re 2 Theo định lí Cauchy Vậy ta có  f ( z )  2 ( R )  u ( Rei )] 2 0 u( Re )d  2 i 2  u ( Re i ) 2z d Rei  z d d  0 i  2 i   R  (  z ) 2 Re  z 2 Af ( R )  Re   z d  i 2z d Từ Rei  z 2r 2r d  Af ( R) Rr Rr (3.5) Nếu f(0)  0, áp dụng (3.5 ) cho hàm f(z) –f(0) ta có f ( z )  f (0)  2r 2r 2r f (0) ,  z  r max Re  f ( z )  f (0)  max Re  f ( z )  z  R z  R Rr Rr Rr Vậy ta có M (r )  2r 2r 2r Rr A( R )  f (0)  f (0)  A( R )  f (0)  Rr Rr Rr Rr Nhận xét a) Bằng cách xét hàm – f(z), if(z) –if(z) ta nhận đánh giá tương tự, A( r ) thay Re f ( z ), max Im f ( z ), Im f ( z ) z r z r z r b) Từ bất đẳng thức f ( z )  f (0)  2r max Re  f ( z )  f (0) R  r z R ta có M (r )  2r [ A( R )  Re f (0)]  f (0) Rr (3.6) Định lí 3.6.2 (Định lí Schottky) Nếu hình trịn  z : z  R1  hàm chỉnh hình f(z) khơng nhận giá trị hay giá trị KR14 f ( z )  exp  R1  R  với z  R  R1 , số K phụ thuộc vào f(0) Trước tiên ta chứng minh định lí sau: Định lí 3.6.3 (3.7) Giả sử  (r ) hàm thực  0; R1  giả sử   (r )  M , với  r  R1  (r )  Khi  (r )  C  (r ) R  r AC R  r (3.8) với  r  R1 (3.9) (3.10) Chứng minh Từ (3.8) (3.9) ta có  (r )  Như M (3.8) thay bội C M R  r với  r  R1 (3.11) M Lập lại đánh giá xuất phát từ (3.11) với r1 , r2 thay cho r, R đồng thời (3.9) r1 thay R ta có  (r )  C  r1  r2   C  M ,  r1  r2  R1     r2  r1   Tiếp tục ta nhận đánh giá  (r )  C  r1  r2   C    2n 21n C     M   r2  r1     rn  rn 1   Khi r1  ( R  r ), r2  ( R1  r1 ), , bất đẳng thức trở thành 11/   (1/ 2)n1  (r )  4113/4  n 2 ( n1)  C   2   r1  r2   n M2 Cho n   ta nhận đánh giá cần thiết  Bây ta chứng minh định lí 3.6.3 (Định lí Schottky) Giả sử g1 ( z )  log f ( z ), g ( z )  log(1  f ( z )) Các hàm chỉnh hình  z : z  R Giả sử M (r ), M (r ) maximum hàm g1 ( z ) g ( z ) miền  z : z  r  giả sử M (r )  max){M (r ), M (r )} Đặt B1 (r )   Re g1 ( z )  max log z r z r f ( z) Áp dụng định lí 3.6.1 (Định lí Caratheodory) với hàm g1 ( z ) ta nhận M1 ( )  2r B1 (r )  g1 (0) ,    r r Giả thiết B1 (r )  giả sử z’ điểm cho (3.12) B1 (r )  log Khi f ( z ')  e  B ( r )  e 1  1 , z'  r f ( z ') (3.13)  Vì tồn số nguyên n để g ( z ')  2n i   m 1  f ( z ')m m  Ta có g ( z ')  2n i   2 m  (3.14) m 1 Như n    g ( z ')   M (r ) Đặt h( z )  log  g ( z )  2n i Hàm h(z) chỉnh hình  z : z  R  h( z )  với z thuộc z : z  R  g ( z )  2n i Định lí Caratheodory cho ta max h( z )  z r   2R max log g ( z )  2n i  h(0) R  r z R h( z )  log  g ( z )  2n i  log Suy max h( z )  log z r (3.15) 1  log log  g ( z )  2n i g ( z )  2n i g ( z )  2n i Đặc biệt z’ log 1  log  log  B1 (r )  log g ( z ')  2n i f ( z ') f ( z ')  f ( z )  (3.16) Từ bất đẳng thức (3.14) ta có  g ( z ')  2n i)  n   g ( z ') Suy n    g ( z ')   M (r ) Khi max log g ( z )  2n i  log M ( R)  n    log 2M ( R)  1 z R h( z )  log g ( z )  2n i  i arg( g ( z )  2n i) Từ giả thiết Im h(0)   ta có h(0)  log g (0)  2n i    log  g (0)  n  i    log  g (0)   M ( r )   (3.17) Như bất đẳng thức 3.15 cho ta B1 (r )  2R log  2M ( R )  1  log  M ( R )  g (0)  1     log  Rr  2R log  2M ( R )  g (0)  1  log  M ( R )  g (0)  1     log  Rr  2R log  2M ( R )  g (0)  1  log  M ( R )  g (0)  1       Rr  4R log  2M ( R )  g (0)  1      Rr   (3.18) Bất đẳng thức chứng minh với giả thiết B1 (r )  Trường hợp B1 (r )  bất đẳng thức hiển nhiên, vế phải khơng nhỏ Vậy trường hợp bất đẳng thức (3.12) (3.18) cho ta 8Rr log  2M ( R)  g (0)  1  g1 (0)    ( R  r )(r   )  M1 ( )  (3.19) Bởi tất lập luận hàm g1 ( z ) g ( z ) đổi vai trò chúng, bất đẳng thức đổi chỗ số Ta có M ( )  Rr  log  2M ( R)  g1 (0)  1  g (0)    ( R  r )(r   )  (3.20) Do (3.19) (3.20) ta có M ( )  8Rr log  2M ( R)  g1 (0)  g (0)  1  g1 (0)  g (0)   ( R  r )( r   )   Khi r  ( R   ) bất đẳng thức( 3.21) trở thành M ( )  32 R12 R    log M ( R )  K1   K R12 M ( R ) R    Bởi log M ( R)  0( M ( R)) Vậy dựa vào định lí 3.6.3 ta có M ( )  KR14 R    KR     R     f ( z )  e M ( r )  exp  Bởi K phụ thuộc vào g1 (0) g (0) định lí chứng minh  Định lí Schottky dẫn đến định lí Picard sau giá trị loại trừ hàm nguyên Định lí 3.6.4 (Định lí Picard ) Hàm nguyên khác số nhận giá trị, trừ giá trị (3.21) Chứng minh Thật giả sử tồn hàm nguyên f  const không nhận hai giá trị khác a b Đặt g ( z )  f ( z)  a g(z) khơng nhận giá trị hay z b Áp dụng định lí Schottky ta có  KR  z  R  R1 g ( z )  exp   R  R     Chọn R1  R ta có g ( z )  C , suy g(z) số Vậy f số trái giả thiết  Định lí 3.6.5 Nếu f hàm chỉnh hình đường trịn z  R , khơng có khơng điểm hình trịn f(0) = log f ( z )   2r log M ( R ) với z  r  R Rr Chứng minh Nếu f(0) = 1, theo bất đẳng thức M f (r )  thay f logf ta có log f ( z )  2r [ A( R )  Re f (0)]  f (0) Rr 2r log M ( R ) với z  r  R , Rr log f(z) = log f ( z ) +iargz Alog f ( R )  log M ( R ) Từ (3.22) ta có log 2r 2r  log M ( R )  log M ( R) hay log f ( z )   Rr f ( z) R  r (3.22) KẾT LUẬN Từ công thức tích phân, ta chứng minh nhiều định lí lý thuyết hàm chỉnh hình, hàm phân hình, từ cơng thức tích phân tìm kết cho lý thuyết hàm biến phức Trong luận văn chúng tơi trình bày số cơng thức tích phân ứng dụng chúng vào lý thuyết hàm nguyên hàm chỉnh tổng quát Cụ thể xét cấp kiểu hàm nguyên, mật độ dãy không điểm hàm nguyên Cuối đánh giá môđun mơđun hàm chỉnh hình, từ cho chứng minh khác định lí Picard Qua q trình làm luận văn thấy kiến thức học mơn học như: Giải tích phức nâng cao, Giải tích hàm nâng cao, Khơng gian véctơ tơpơ,… giúp ích nhiều cho tơi việc hồn thành luận văn Bước đầu học phương pháp tự học nghiên cứu Tôi hy vọng học tập nghiên cứu thêm đề tài TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt 1 Đậu Thế Cấp (2006), Hàm biến phức phép tính tốn tử, Nxb Đại Học Quốc Gia TP.Hồ Chí Minh  2 Nguyễn Văn Khuê, Lê Mậu Hải (2006), Hàm biến phức , Nxb Đại Học Quốc Gia Hà Nội Tiếng Anh 3 A.S Holland (1973), Introduction to the theory of entire functions, Academic press New York and London  4 B.Ya Levin (1996), Lectures on entire functions, American Mathematical Society 5 R Nevanlinna, V Paatero (1969), Introduction to complex Analysis, Addison – Wesley Puplishing company ... r (3.22) KẾT LUẬN Từ công thức tích phân, ta chứng minh nhiều định lí lý thuyết hàm chỉnh hình, hàm phân hình, từ cơng thức tích phân tìm kết cho lý thuyết hàm biến phức Trong luận văn chúng... nghiên cứu: chứng minh cơng thức tích phân vận dụng vào lý thuyết hàm nguyên Ý nghĩa khoa học thực tiễn đề tài nghiên cứu Lý thuyết hàm ngun có nhiều ứng dụng tốn học kĩ thuật Chương KIẾN THỨC CHUẨN... bày số cơng thức tích phân ứng dụng chúng vào lý thuyết hàm nguyên hàm chỉnh tổng quát Cụ thể xét cấp kiểu hàm nguyên, mật độ dãy không điểm hàm nguyên Cuối đánh giá môđun mơđun hàm chỉnh hình,