Bất đẳng thức vi phân, bất đẳng thức tích phân và ứng dụng (LV00267)

Bài toán giải gần đúng phương trình viphân gắn liền với lý thuyết về bất đẳng thức vi phân, bất đẳng thức tíchphân.. Tìm nghiệm gần đúng của bài toán Cauchy từ lâu đã và đang được nhiềun

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

ĐẶNG ĐỨC QUÂN

BẤT ĐẲNG THỨC VI PHÂN, BẤT ĐẲNG THỨC TÍCH PHÂN

VÀ ỨNG DỤNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN GIẢI TÍCH

Hà Nội-2009

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

ĐẶNG ĐỨC QUÂN

BẤT ĐẲNG THỨC VI PHÂN, BẤT ĐẲNG THỨC TÍCH PHÂN

VÀ ỨNG DỤNG

Chuyên ngành: Toán giải tích

Mã số: 60 46 01

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN GIẢI TÍCH

Người hướng dẫn khoa học: TS Khuất Văn Ninh

Hà Nội-2009

Tôi xin chân thành cảm ơn các Giáo sư, Tiến sĩ giảng dạy chuyên ngànhToán Giải tích; các thầy, cô Phòng Sau Đại học trường Đại học Sư Phạm

Hà Nội 2 đã giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập và thực hiện đề tài.Tôi xin gửi lời cảm ơn đặc biệt sâu sắc đến TS Khuất Văn Ninh đã trựctiếp hướng dẫn tôi trong suốt quá trình nghiên cứu và hoàn chỉnh đề tài

Hà Nội, tháng 9 năm 2009

Tác giả

Tôi xin cam đoan luận văn là công trình nghiên cứu của riêng tôi dưới sựhướng dẫn trực tiếp của TS Khuất Văn Ninh.

Trong quá trình nghiên cứu luận văn, tôi đã kế thừa những thành tựu củacác nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn

Hà Nội, tháng 9 năm 2009

Tác giả

Lời cảm ơn 2

Lời cam đoan 3

Bảng ký hiệu 6

Mở đầu 7

Chương 1 BẤT ĐẲNG THỨC VI PHÂN 9 1.1 Các khái niệm mở đầu 9

1.1.1 Các số đạo hàm Nửa vi phân 9

1.1.2 Nghiệm của bài toán Cauchy 10

1.2 Bất đẳng thức vi phân 11

Chương 2 BẤT ĐẲNG THỨC TÍCH PHÂN 19 2.1 Bất đẳng thức tích phân Volterra 19

2.1.1 Một số định lý cơ bản về bất đẳng thức tích phân 19

2.1.2 Bất đẳng thức tích phân Volterra 21

2.2 Bất đẳng thức tích phân Volterra – Fredholm 30

2.3 Bất đẳng thức tích phân Volterra trên nửa trục số 38

Chương 3 ỨNG DỤNG 43 3.1 Phương pháp đường gấp khúc Euler 43

3.1.1 Nội dung phương pháp 43

3.1.2 Ví dụ 51

3.2 Phương pháp xấp xỉ liên tiếp Picard 53

3.2.1 Nội dung phương pháp 53

3.2.2 Ví dụ 64

3.3 Phương pháp Chaplyghin và Chaplyghin cải tiến 66

3.3.1 Nội dung phương pháp Chaplyghin 66

3.3.2 Phương pháp Chaplyghin cải tiến thứ nhất 69

3.3.3 Phương pháp Chaplyghin cải tiến thứ hai 74

3.3.4 Ví dụ 77

Kết luận 82

Tài liệu tham khảo 83

R : Đường thẳng thực

R = [0; T] × [a; b] : Hình chữ nhật trong R2

D∗ : Số đạo hàm phải dưới

∗D : Số đạo hàm trái dưới

D∗ : Số đạo hàm phải trên

∗D : Số đạo hàm trái trênsign {x (t)} : Hàm dấu của x (t)

1 Lý do chọn đề tài

Vấn đề giải được (hay sự tồn tại nghiệm) các bất phương trình vi phân, bấtphương trình tích phân, nghĩa là thu được các đánh giá về hàm thoả mãncác bất đẳng thức được biểu diễn thông qua các điều kiện cho trước Đây làmột trong những lĩnh vực quan trọng của toán học, bởi vì khi nghiên cứu cáctính chất khác nhau về nghiệm của các phương trình vi phân, phương trìnhtích phân, thường dẫn đến vấn đề về tính giải được của các bất phươngtrình tương ứng

Nhiều bài toán khoa học kỹ thuật đưa về việc tìm nghiệm phương trình

vi phân thỏa mãn một số điều kiện nào đó (điều kiện ban đầu, điều kiệnbiên, ) Tuy nhiên những bài toán phức tạp đó không có hy vọng giải đúng,dẫn đến việc phải giải gần đúng Bài toán giải gần đúng phương trình viphân gắn liền với lý thuyết về bất đẳng thức vi phân, bất đẳng thức tíchphân

Tìm nghiệm gần đúng của bài toán Cauchy từ lâu đã và đang được nhiềunhà toán học quan tâm nghiên cứu, nhờ những kết quả về bất đẳng thức

vi phân, bất đẳng thức tích phân các nhà toán học đã xây dựng được cácphương pháp, thuật toán tìm nghiệm gần đúng của bài toán Cauchy Ngoàicác phương pháp số của Euler, Runge-Kutta, các phương pháp giải tíchcũng đã ra đời và không ngừng phát triển Với sự đóng góp lớn của các nhàtoán học Euler, Picard, Chaplyghin, với nền tảng là bất đẳng thức vi phân,bất đẳng thức tích phân các phương pháp giải tích đưa ra nghiệm gần đúngcủa bài toán Cauchy dưới dạng biểu thức giải tích

Với ý nghĩa quan trọng của các bất đẳng vi phân, bất đẳng thức tích phântrong việc đánh giá nghiệm, xây dựng thuật toán giải gần đúng các phươngtrình vi phân, phương trình tích phân, đặc biệt là các phương pháp giải

tích tìm công thức nghiệm gần đúng của bài toán Cauchy em đã mạnh dạnchọn đề tài:

“BẤT ĐẲNG THỨC VI PHÂN,BẤT ĐẲNG THỨC TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG”

2 Mục đích nghiên cứu

• Nội dung bất đẳng thức vi phân, bất đẳng thức tích phân

• Ứng dụng của bất đẳng thức vi phân, bất đẳng thức tích phân giải gầnđúng phương trình vi phân thường

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

Luận văn trình bày một cách hệ thống nội dung các bất đẳng thức viphân, bất đẳng thức tích phân và ứng dụng trong việc tìm nghiệm gần đúngcủa bài toán Cauchy

4 Đối tượng nghiên cứu

Nghiên cứu các bất đẳng thức vi phân, bất đẳng thức tích phân và ứngdụng tìm nghiệm gần đúng của bài toán Cauchy

5 Phương pháp nghiên cứu

• Nghiên cứu lý luận, đọc tài liệu chuyên khảo

• Tổng hợp kiến thức, vận dụng cho mục đích nghiên cứu đề tài

BẤT ĐẲNG THỨC VI PHÂN

1.1 Các khái niệm mở đầu

1.1.1 Các số đạo hàm Nửa vi phân



v (t) − v (t0)

t − t0



• Số đạo hàm trái dưới, kí hiệu ∗Dv (t) và ∗Dv (t) = lim

t→t − 0



v (t) − v (t0)

t − t0



• Số đạo hàm phải trên, kí hiệu D∗v (t) và D∗v (t) = lim

• Số đạo hàm trái trên, kí hiệu ∗Dv (t) và ∗Dv (t) = lim

t→t − 0



v (t) − v (t0)

t − t0



nó liên tục theo h khi x cố định và thỏa mãn:

10) kx + hk − kxk ≤ D (x, h) + o (khk)

20) D (x, λh) ≤ λD (x, h) , ∀λ ∈ [0; 1]

Nhận xét 1.2 Nửa vi phân có thể không duy nhất

• Trong không gian (Em, kxk2) thì D(x, h) =

Bổ đề 1.1 Nếu hàm x (t) ∈ Em khả vi trên đoạn [0; T] và D (x, h) là nửa viphân của chuẩn kx (t)k thì

đặc biệt nếu m = 1 thì D∗|x(t)| ≤ sign{x(t)}dx(t)

dt .1.1.2 Nghiệm của bài toán Cauchy

Bài toán (1-2) được gọi là bài toán Cauchy

Định nghĩa 1.3 Hàm x∗(t) là nghiệm đúng (chính xác) của bài toán (1-2)nếu nó thỏa mãn phương trình (1) và x∗(0) = x0

Định nghĩa 1.4 (xem [6])

• Nghiệm dưới chính qui của phương trình (1) trên đoạn [t1, t2] , với t1, t2

thuộc R và t1 < t2 là hàm α : [t1, t2] → R thỏa mãn α|]t 1 ,t 2 [ ∈ W1,1(t1, t2)đồng thời

α0(t) ≤ f [t, α (t)] hầu khắp nơi trên đoạn [t1, t2]lim

t→t + 1

α (t) ≤ α (t1) , lim

t→t − 2

α (t) ≥ α (t2)

• Hàm α (t) là nghiệm dưới của bài toán (1-2) trên đoạn [0, T] nếu với mọiphép chia 0 = t0 < t1 < < tN = T hàm α (t) là nghiệm dưới chính quicủa (1) trên đoạn [ti, ti+1] (∀i = 0, 1, , N − 1) đồng thời α (0) ≤ x0

• Nghiệm trên chính qui của phương trình (1) trên đoạn [t1, t2] là hàm

β : [t1, t2] → R thỏa mãn β|]t1 ,t 2 [ ∈ W1,1(t1, t2) đồng thời

β0(t) ≥ f [t, β (t)] hầu khắp nơi trên đoạn [t1, t2]lim

t→t + 1

β (t) ≥ β (t1) , lim

t→t − 2(t) ≤ β (t2)

• Hàm β (t) là nghiệm trên của bài toán (1-2) trên đoạn [0, T] nếu với mọiphép chia 0 = t0 < t1 < < tN = T hàm β (t) là nghiệm trên chính quicủa (1) trên đoạn [ti, ti+1] (∀i = 0, 1, , N − 1) đồng thời β (0) ≥ x0.Định nghĩa 1.5 Ta nói hàm x (t) là nghiệm ε−xấp xỉ của bài toán (1-2)nếu các điều kiện sau thỏa mãn:

10) (t, x(t)) ∈ R, R = [0; T] × [x0 − r; x0 + r] (r > 0)

20) Hàm x (t) khả vi liên tục từng khúc trên [0; T]

30) |x0(t) − f (t, x(t))| ≤ ε, ∀t ∈ [0; T] \S trong đó S là tập các điểm màtại đó không tồn tại đạo hàm của x (t)

1.2 Bất đẳng thức vi phân

Trong mục này ta nghiên cứu một số kết quả về bất đẳng thức vi phân cấpmột

Định lý 1.1 Giả sử hàm hai biến ϕ (t, u) liên tục trên miền D, trong đó

D = {0 ≤ t ≤ T; |u| < γ ≤ +∞} (ở đây trong trường hợp γ là một số hữuhạn thì dấu “<” có thể thay bằng dấu “≤”) Hàm v (t) (t ∈ [0; T]) liên tục,thỏa mãn bất đẳng thức vi phân

du

dt = ϕ (t, u) , u (0) = u0, t ∈ [0; T] (1.3)Chứng minh Từ (1.1) và (1.2) ta có

v0(0) < ϕ (0, u0) = ϕ (0, u(0)) = u0(0)

Do tính liên tục của các hàm số v (t) và u (t) trên đoạn [0; T] nên tồn tại

ε > 0 để v (t) < u (t) với mọi t ∈ (0; ε)

Bây giờ ta sẽ chứng minh v (t) < u (t) đúng với mọi t ∈ [0; T]

Thật vậy, giả sử bất đẳng thức không đúng trên toàn đoạn [0; T] , khi đótồn tại số t0 mà v (t) < u (t) với mọi 0 < t < t0 và v (t0) = u (t0) , có nghĩa

t0 là số nhỏ nhất mà tại đó dấu bằng xảy ra

Từ (1.1) và (1.3) dẫn đến v0(t0) < ϕ [t0, v (t0)] = ϕ [t0, u (t0)] = u0(t0) hay

v0(t0) < u0(t0) Suy ra tồn tại ˜t0 < t0 mà v ˜t0
= u ˜t0

, điều này mâuthuẫn với tính nhỏ nhất của t0 Định lý được chứng minh

Định lý 1.2 Giả sử hàm ϕ (t, u) liên tục trên miền {0 ≤ t ≤ T; |u| < γ}.Hàm v (t) , t ∈ [0; T] liên tục và thỏa mãn bất đẳng thức vi phân

dv

dt ≤ ϕ (t, v) (0 < t ≤ T) , v (0) ≤ u0. (1.4)Khi đó bất đẳng thức sau đúng

v (t) ≤ u (t) (0 ≤ t ≤ T) , (1.5)trong đó hàm u (t) là nghiệm trên của bài toán (1.3) trên đoạn [0; T]

Chứng minh Xét bài toán

Đặt ¯un, un nghiệm trên, nghiệm dưới của bài toán (1.6) Ta có

dv

dt ≤ ϕ (t, v) < ϕn(t, v) , v (0) < u0 < u0+

1

n.Theo định lý 1.1, suy ra

v (t) < un(t) (0 ≤ t ≤ T) , ∀n > n0.Mặt khác, un ≤ ¯un, ∀n > n0 ⇒ v (t) < ¯un(t) (0 ≤ t ≤ T) , ∀n > n0 Từđây ta cho n → ∞ thu được (1.5) Định lý được chứng minh

Định lý 1.3 Giả sử hàm ϕ (t, u) liên tục trên miền {0 ≤ t ≤ T; |u| < γ}.Hàm v (t) , t ∈ [0; T] liên tục và thỏa mãn bất đẳng thức vi phân

dv

dt ≥ ϕ (t, v) (0 < t ≤ T) , v (0) ≥ u0.Khi đó bất đẳng thức sau đúng

v (t) ≥ u (t) (0 ≤ t ≤ T) ,trong đó hàm u (t) là nghiệm dưới của bài toán (1.3) trên đoạn [0; T]

Việc chứng minh định lý 1.3 tương tự định lý 1.2.

Hệ quả 1.1 Giả sử các hàm p (t) và q (t) liên tục trên đoạn [0; T] Hàm

v (t) , t ∈ [0; T] liên tục và thỏa mãn bất đẳng thức vi phân

v0(t) ≤ (≥) p (t) v (t) + q (t) , v (0) ≤ (≥) u0.Khi đó bất đẳng thức sau đúng

∗Dv (t) < ϕ [t, v (t)] (0 < t ≤ T) , v (0) ≤ u0 (1.8)

và nếu v (0) = u0 thì

D∗v (0) < ϕ (0, u0) (1.9)Khi đó ta có

v (t) < u (t) (0 < t ≤ T) , (1.10)trong đó u (t) là nghiệm dưới của bài toán (1.3) trên đoạn [0; T]

Chứng minh Từ (1.8) và (1.9) suy ra (1.10)

Thật vậy, từ (1.9) ta có v (t) < u (t) với mọi t thuộc lân cận nào đó củađiểm t = 0 Giả sử rằng (1.10) không xảy ra, ta gọi t∗ là điểm đầu tiên thuộcđoạn [0; T] mà tại đó (1.10) xảy ra dấu bằng, nói cách khác v (t) < u (t) vớimọi 0 < t < t∗ và v (t∗) = u (t∗) Suy ra

hay ∗Dv (t ) ≥ ϕ [t , v (t )] Điều này mâu thuẫn với (1.8), từ đó suy ra(1.10) Định lý được chứng minh.

Định lý 1.5 Giả sử hàm ϕ (t, u) liên tục theo hai biến trên D Hàm v (t)liên tục trên đoạn [0; T] , thỏa mãn bất đẳng thức

∗Dv (t) ≤ ϕ [t, v (t)] (0 < t ≤ T) , v (0) ≤ u0 (1.11)hoặc

D∗v (t) ≤ ϕ [t, v (t)] (0 < t ≤ T) , v (0) ≤ u0 (1.12)Khi đó ta có

v (t) ≤ u (t) (0 ≤ t ≤ T) , (1.13)trong đó u (t) là nghiệm trên của bài toán (1.3) trên đoạn [0; T]

Chứng minh Đặt ¯un, un lần lượt là nghiệm trên, nghiệm dưới của bài toán

Ta sẽ chứng minh với n ≥ n0 thì

v (t) ≤ ¯un(t) , ∀t ∈ [0; T] (1.14)Thật vậy, từ (1.11) ta có v (0) ≤ u0 < u0 + 1

n và

∗Dv (t) ≤ ϕ [t, v (t)] < ϕn[t, v (t)] (0 < t ≤ T)

Theo định lý 1.4 thì v (t) < un(t) (0 ≤ t ≤ T) với n ≥ n0, mà un ≤ ¯un

nên suy ra (1.14) Từ đây ta cho n → ∞ sẽ thu được (1.13)

Bây giờ ta chứng minh với điều kiện (1.12) cũng suy ra được (1.13) Thậtvậy, từ (1.12) ta có

v (0) ≤ u0 < u0 + 1

nvà

∗Dv (t) < ϕn[t, v (t)] (0 < t ≤ T) (1.15)

Giả sử (1.14) không xảy ra, khi đó tồn tại số τ ∈ (0; T] mà tại đó xảy

ra bất đẳng thức v (τ) > ¯u (τ) Nhưng do v (0) < un(0) ≤ ¯un(0) cùng vớitính liên tục của hàm v (t) và un(t) suy ra tồn tại t ∈ (0; τ ) mà tại đó

v (t) = ¯un(t) Ta gọi t∗ là điểm nhỏ nhất trong các điểm τ nói trên Khi đó

Hệ quả 1.2 Giả sử hàm ϕ (t, u) liên tục trên {0 ≤ t ≤ T, u ≥ 0} và

ϕ (t, 0) ≡ 0 Giả sử hàm không âm, liên tục v (t) (0 ≤ t ≤ T) thỏa mãn bấtđẳng thức

D∗v (t) ≤ ϕ [t, v (t)] (0 < t ≤ T) , v (0) = 0

Khi đó ta có

v (t) ≤ u (t) (0 ≤ t ≤ T) ,trong đó u (t) là nghiệm trên của bài toán

du

dt = ϕ (t, u) , u (0) = 0xác định trên đoạn [0; T]

Hệ quả 1.3 Giả sử hàm ϕ (t, u) liên tục trên {0 ≤ t ≤ T, u ≥ 0} và

ϕ (t, 0) ≡ 0 Giả sử hàm không âm, liên tục v (t) (0 ≤ t ≤ T) , v (T) > 0thỏa mãn bất đẳng thức vi phân

D∗v (t) ≤ ϕ [t, v (t)] (0 < t < T) Khi đó với 0 < t ≤ T tồn tại u (t) là nghiệm dưới của bài toán

du

dt = ϕ (t, u) , u (T) = v (T)hơn nữa ta có bất đẳng thức v (t) ≥ u (t) (0 < t ≤ T)

dt = ϕ

∗(t, u) , u (−T) = v∗(−T)xác định trên đoạn [−T; − T+δ]

Theo định lý 1.5 và từ bất đẳng thức ∗Dv∗(t) ≤ ∗Dv∗(t) suy ra

v∗(t) ≤ ¯u (t) (−T ≤ t ≤ −T+δ) Thác triển nghiệm u (t) liên tục sang bên phải thì u (t) sẽ nằm trong miền

Định lý 1.6 Giả sử hàm ϕ (t, u) liên tục theo hai biến trên D

Hàm v1(t) (0 ≤ t ≤ T) thỏa mãn bất đẳng thức

dv1(t)

dt ≤ ϕ [t, v1(t)] (0 < t ≤ T) (1.16)Khi đó tồn tại hàm v2(t) (0 ≤ t ≤ T) thỏa mãn

dv2(t)

dt ≥ ϕ [t, v2(t)] (0 < t ≤ T) , v1(0) ≤ v2(0) (1.17)Đồng thời bất đẳng thức sau đúng

v1(t) ≤ v2(t) (0 ≤ t ≤ T) (1.18)

Chứng minh Đặt ψ (t, v2) = ϕ [t, max (v2, v1(t))] Khi đó ta có

ψ (t, v2) (0 ≤ t ≤ T, |v2| < γ ≤ +∞)

là hàm liên tục và

v1(t) ≤ ω (t) (0 ≤ t ≤ T) (1.19)trong đó ω (t) thỏa mãn bất đẳng thức

ra (1.18) Định lý được chứng minh

BẤT ĐẲNG THỨC TÍCH PHÂN

2.1 Bất đẳng thức tích phân Volterra

2.1.1 Một số định lý cơ bản về bất đẳng thức tích phân

* Nhờ những kết quả có được từ việc nghiên cứu bất đẳng thức vi phân ta

có thể xây dựng được những kết quả sau đây về bất đẳng thức tích phân.Định lý 2.1 Giả sử hàm hai biến ϕ (t, u) xác định trên miền D, trong đó

D = {0 ≤ t ≤ T; |u| < γ ≤ +∞} (trong trường hợp γ là một số hữu hạn thìdấu “<” có thể thay bằng dấu “≤”) liên tục và không giảm theo biến u Hàmliên tục v (t) (0 ≤ t ≤ T) thỏa mãn bất đẳng thức tích phân

dω

dt ≤ ϕ [t, ω (t)] , ω (0) = u0.Theo định lý 1.2 suy ra

ω (t) ≤ u (t) ⇒ v (t) ≤ u (t) Định lý được chứng minh

* Từ định lý này coi như là một trường hợp riêng ta có bất đẳng thứcBelman-Gronwall sau đây.

Định lý 2.2 Giả sử hàm v (t) (0 ≤ t ≤ T) liên tục và thỏa mãn bất đẳngthức tích phân

* Sau đây ta khái quát bất đẳng thức Belman-Gronwall từ định lý 2.2.Định lý 2.3 Giả sử hàm v (t) (0 ≤ t ≤ T) liên tục, và với mọi t, τ ∈ [0; T]thỏa mãn bất đẳng thức tích phân sau

Định lý 2.5 Giả sử hàm ba biến ϕ (t, s, u) (0 ≤ t, s ≤ T, |u| < γ) liên tục,không giảm theo biến u Giả sử u0(t) là hàm liên tục trên đoạn [0; T] Hàmliên tục v (t) (0 ≤ t ≤ T) thỏa mãn bất đẳng thức tích phân

Khi đó

v (t) < u (t) (0 ≤ t ≤ T) , (2.12)trong đó u (t) là nghiệm của phương trình

0

ϕ [t0, s, v (s)] ds ≤ u0(t0) +

t 0Z

0

ϕ [t0, s, u (s)] ds = u (t0)

Kết quả này trái với giả thiết, suy ra điều phải chứng minh

* Định lý 2.6 sau đây là một trường hợp riêng của định lý 2.5

Định lý 2.6 Giả sử hàm liên tục, không âm v (t) (0 ≤ t ≤ T) thỏa mãn bấtđẳng thức tích phân

Ta có điều khẳng định trên với mọi t thuộc tập giá trị của hàm

thuộc vào miền xác định của G−1

Chứng minh Từ bất đẳng thức (2.14) với ε là số dương đủ bé ta có

của bài toán u0 = ϕ (t) ω (u) , u (0) = u0 + ε

Phương trình trên tương đương với u0

có nghiệm xác định trên [0; T] và với mọi số cố định δ ∈ [0; µ]

Định lý 2.7 Giả sử hàm ϕ (t, s, u) (0 ≤ t, s ≤ T, |u| < γ) liên tục, khônggiảm theo biến u thỏa mãn điều kiện (µ) với µ đủ nhỏ Giả sử u0(t) liêntục trên đoạn [0; T] Và cuối cùng giả sử hàm liên tục v (t) (0 ≤ t ≤ T) thỏamãn bất đẳng thức tích phân

với u (t) là nghiệm trên của phương trình (2.13)

Chứng minh Với mỗi n ∈ N∗ cố định, ta kí hiệu wn(t) (0 ≤ t ≤ T) là nghiệmcủa phương trình tích phân

Theo định lý 2.5 ta có u (t) < wn+1(t) < wn(t) ≤ w1(t) Suy ra {wn(t) }hội tụ đến hàm w (t) nào đó.

Ta cho n → ∞ ở (2.19) thu được w (t) là nghiệm của bài toán (2.13) và

dễ thấy w (t) ≡ u (t)

Mặt khác ta lại có v (t) < wn(t) , tiếp tục cho n → +∞ ở đây, khi đó thuđược v (t) ≤ w (t)

Vậy bất đẳng thức (2.18) thỏa mãn Định lý được chứng minh

Nhận xét 2.1 Kết quả của định lý 2.7 vẫn còn đúng khi hàm ϕ (t, s, u) khảtích theo biến s và liên tục theo hai biến t và u

Nhận xét 2.2 Điều kiện đơn điệu của hàm ϕ (t, s, u) theo biến u là điềukiện cần thiết cho tính đúng đắn của định lý về bất đẳng thức tích phân Thậtvậy, ta xét phương trình tuyến tính

là hàm không giảm khi và chỉ khi Q (t, s) ≥ 0 (0 ≤ s, t ≤ T)

Ta chỉ ra rằng nếu điều kiện này không được thỏa mãn thì định lý về bấtđẳng thức tích phân nói chung không đúng Dễ nhận thấy, để từ bất đẳngthức

chung không đảm bảo cho bất đẳng thức (2.21) đúng Như vậy có thể nói điềukiện đơn điệu của hàm ϕ (t, s, u) theo biến u là điều kiện cốt yếu của định

lý về bất đẳng thức tích phân Tuy nhiên trong những trường hợp tổng quátđiều kiện này không phải là điều kiện cần

Thật vậy, ta kiểm tra với Q (t, s) = sin (t − s) (0 ≤ t, s < +∞) có giảithức R (t, s) = t − s (0 ≤ t, s < +∞) suy ra với phương trình

Định lý 2.8 Giả sử hàm liên tục v (t) (0 ≤ t ≤ T) thỏa mãn bất đẳng thứctích phân

ϕ (t, s, u) = ϕ1(t, s, u) , ϕ2(t, s, u) , , ϕm(t, s, u)

.Khi đó với cách phát biểu và chứng minh tương tự các định lý 2.5 và định

lý 2.7 ta có kết quả như sau

Định lý 2.10 Giả sử vector-hàm ϕ (t, s, u) 0 ≤ t, s ≤ T; ui

< γi, i = 1, m
liên tục, không giảm theo biến u Vector-hàm u0(t) (0 ≤ t ≤ T) là liên tục.Giả sử vector-hàm liên tục v (t) (0 ≤ t ≤ T) thỏa mãn bất đẳng thức tíchphân

Nhận xét 2.3 Trong các định lý về bất đẳng thức tích phân Volterra nêutrên, điều kiện thỏa mãn của hàm ϕ (t, s, u) là tính liên tục Vấn đề đặt ra

là có thể thay thế điều kiện này bằng một điều kiện khác tổng quát hơn, nóicách khác là có thể mở rộng lớp hàm ϕ (t, s, u) hay không? Sau đây ta xétđến một điều kiện như thế, đó là điều kiện Caratheodory

Định nghĩa 2.3 Ta nói vector-hàm



thỏa mãn điều kiện Caratheodory (C) nếu:

1 ϕ (t, s, u) liên tục theo u với mọi t và hầu khắp s; đo được theo s vớimọi t và u

2 Với mọi γ1 ∈ (0; γ) tồn tại các hàm khả tích theo s trên đoạn [0; t] là

µγ 1(t, s) , νγ 1(t1, t, s) (0 ≤ s ≤ t ≤ t1 < T)sao cho

Nếu vector-hàm v (t) liên tục trên [0; α) ⊂ [0; T), kv (t)k < γ, t ∈ (0; α)thỏa mãn bất đẳng thức tích phân

(*) Mọi hàm số cố định w0(t) (0 ≤ t ≤ T) thỏa mãn |w0(t)| < γ và vớimỗi số δ dương đủ nhỏ phương trình

Chứng minh Ta xây dựng dãy hàm {εn(t)} như sau:

Hàm ε1(t) là nghiệm trên của phương trình tích phân Volterra

• Ta chứng minh

v (t) ≤ εn(t) (0 ≤ t ≤ T, ∀n ≥ 1) (2.26)

tụ, hay tồn tại lim

n→+∞εn(t) = ε (t) Chuyển qua giới hạn trong (2.25) tacó

Định lý 2.13 Giả sử các điều kiện trong định lý 2.12 được thỏa mãn, chỉriêng điều kiện (*) được thay bởi điều kiện sau

Khi đó ta có kết luận tương tự định lý 2.12.

Chứng minh Ta xây dựng dãy hàm {εn(t)} như sau:

Vậy dãy {εn(t)} là dãy không tăng

Bây giờ ta sẽ chứng minh

* Hai định lý ta xét sau đây là các trường hợp riêng của định lý 2.13.Định lý 2.14 Giả sử hàm ϕ (t, s, u) (0 ≤ t, s ≤ T; |u| ≤ γ) liên tục, khônggiảm theo u và thỏa mãn điều kiện

trong đó u0(t) là hàm liên tục, xác định trên [0; T]

Giả sử hàm liên tục v (t) (0 ≤ t ≤ T) , |v (t)| ≤ γ thỏa mãn bất đẳng thứctích phân

Định lý 2.15 Giả sử hàm ϕ (t, s, u) (0 ≤ t, s ≤ T; |u| ≤ γ < +∞) liên tục,không giảm theo u và thỏa mãn điều kiện

Giả sử hàm liên tục v (t) (0 ≤ t ≤ T) , |v (t)| ≤ γ thỏa mãn bất đẳng thứctích phân

trong đó ϕi(t) (0 ≤ t ≤ T, i = 1, 2) là các hàm khả tích không âm, đồng thời

ψi(t, s) (0 ≤ t, s ≤ T, i = 1, 2) là các hàm liên tục theo biến t và khả tíchtheo biến s

R

0

[ϕ2(s) εn(s) + ψ2(t, s)] ds(0 ≤ t ≤ T, n = 1, 2, )

Dễ chỉ ra rằng dãy {εn(t)} là dãy giảm và

v (t) ≤ εn(t) (0 ≤ t ≤ T, n = 1, 2, ) (2.29)Đặt

εn+1(t) ≤ MC2

1 − MC1 + N (t) Điều này tương đương với

Với mỗi t cố định và mỗi hàm liên tục u (s) (0 ≤ s ≤ +∞) hàm ϕ (t, s, u)luôn khả tích theo s trên đoạn [0; +∞]

Hàm ϕ (t, s, u) là không giảm theo biến u

Giả sử hàm u0(t) liên tục trên [0; +∞] và hàm v (t) (0 ≤ t ≤ +∞) thỏamãn bất đẳng thức tích phân

Chứng minh Từ (2.31) và (2.33) suy ra

Giả sử bất đẳng thức (2.32) không đúng với mọi t Khi đó do tính liên tụccủa hàm u (t) và v (t) nên từ (2.34) suy ra tồn tại t∗ thỏa mãn v (t∗) = u (t∗)còn với mọi t > t∗ thì v (t) < u (t)

... thỏa mãn bất đẳng thức tíchphân

Nhận xét 2.3 Trong định lý bất đẳng thức tích phân Volterra... khả tích theo s đoạn [0; +∞]

Hàm ϕ (t, s, u) không giảm theo biến u

Giả sử hàm u0(t) liên tục [0; +∞] hàm v (t) (0 ≤ t ≤ +∞) thỏamãn bất đẳng thức tích phân

Chứng... hàm liên tục v (t) (0 ≤ t ≤ T) , |v (t)| ≤ γ thỏa mãn bất đẳng thứctích phân

trong ϕi(t) (0 ≤ t ≤ T, i = 1, 2) hàm khả tích khơng âm, đồng thời

ψi(t,