Bất đẳng thức tích chập và ứng dụng

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƢỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI - PHÙNG ĐỨC PHI BẤT ĐẲNG THỨC TÍCH CHẬP VÀ ỨNG DỤNG LUẬN VĂN THẠC SỸ KHOA HỌC CHUYÊN NGÀNH: TOÁN ỨNG DỤNG Ngƣời hƣớng dẫn khoa học: PGS.TS Nguyễn Xuân Thảo Hà Nội – 2018 LỜI CAM ĐOAN Tơi xin cam đoan luận văn cơng trình nghiên cứu riêng hướng dẫn PGS.TS Nguyễn Xuân Thảo Tôi xin cam đoan luận văn không trùng lặp với luận văn cơng bố thơng tin trích dẫn luận văn rõ nguồn gốc Tác giả Phùng Đức Phi -1- MỤC LỤC LỜI CAM ĐOAN…………………………………………………….…….… MỤC LỤC…………………………………… ……………………………… LỜI MỞ ĐẦU………………………………… ……………………………… LỜI CẢM ƠN………………… ………………………………… ………… Chƣơng 1: KIẾN THỨC CƠ SỞ……………………………………….……… 1.1 Phép biến đổi Fourier cosine………………… ………………… 1.1.1 Định nghĩa…………………………………………….………… 1.1.2 Các ví dụ………………………………………………….…… 1.2 Một số tính chất phép biến đổi Fourier cosine……………… 1.3 Ứng dụng……………………………………….………………… 11 1.3.1 Phương trình đạo hàm riêng…………………………………… 11 1.3.1.1 Phương trình truyền nhiệt nửa trục……………………… 11 1.3.1.2 Phương trình Laplace góc phần tư thứ nhất…………… 15 1.3.1.3 Phương trình Laplace nửa dải vô hạn với điều kiện biên… 17 1.3.2 Phương trình vi phân…………………………………………… 18 1.3.3 Tính tích phân………………………….……………………… 19 Kết luận chƣơng 1………………………… ……………….………………… 21 Chƣơng 2: PHÉP BIẾN ĐỔI HARTLEY…………………………………… 22 2.1 Định nghĩa……………………………….……………………… 22 2.2 Một số tính chất bản…………………………………….…… 22 2.3 Định lý Wiener – Levy…………………………………………… 24 Kết luận chƣơng 2…………………………………… ……………………… 25 -2- Chƣơng 3: BẤT ĐẲNG THỨC TÍCH CHẬP SUY RỘNG HARTLEY…… 26 3.1 Một số bất đẳng thức tích chập Fourier……………….… 26 3.1.1 Bất đẳng thức tích chập Fourier………………………… 26 3.1.2 Bất đẳng thức ngược tích chập Fourier………………… 28 3.2 Một số bất đẳng thức tích chập suy rộng Hartley … ………….… 29 3.2.1 Bất đẳng thức tích chập suy rộng Hartley - Fourier cosine…… 30 3.2.2 Bất đẳng thức kiểu Saitoh……………………………………… 32 3.2.3 Bất đẳng thức ngược tích chập suy rộng Hartley……… 35 3.3 Các ứng dụng………………………….………………………… 37 3.3.1 Phương trình tích phân kiểu Toeplitz – Hankel…………… 37 3.3.2 Bài tốn Dirichlet góc phần tư thứ nhất…………….……… 38 3.3.3 Bài tốn Cauchy cho phương trình truyền nhiệt…………….… 39 3.3.4 Phương trình vi phân thường………………………….……… 40 Kết luận chƣơng 3………………………………….………… ……………… 42 KẾT LUẬN………………………… …………………….………………… 43 TÀI LIỆU THAM KHẢO…………………………………….….…………… 44 -3- MỞ ĐẦU -o0o Lý chọn đề tài Tích chập phép biến đổi tích phân nhà tốn học bắt đầu nghiên cứu từ khoảng kỷ 19 Đầu tiên tích chập phép biến đổi Fourier: ( )( )  √  ( ) ( )  thỏa mãn đẳng thức nhân tử hóa: ( )( ) ( )( )( )( ) Trong năm gần đây, số lớp phép biến đổi tích phân dạng liên quan đến tích chập Fourier cosine, Fourier sine, Kontorovich-Lebedev, Mellin nghiên cứu Mặc dù có nhiều ứng dụng tốn học, vật lí, kĩ thuật, chí sinh học có nhiều cơng trình nghiên cứu phương trình vi-tích phân kiểu tích chập thời gian gần đây, khơng có nhiều phương trình, hệ phương trình vi-tích phân giải nghiệm dạng đóng Do ưu điểm tích chập tích chập suy rộng việc giải tốn phương trình vi phân, phương trình tích phân, phương trình đạo hàm riêng, tốn Tốn-lí, , việc giải tốn thường nhận nghiệm biểu diễn dạng tích chập, vậy, xây dựng bất đẳng thức tích chập để thuận tiện cho việc đánh giá nghiệm hướng nghiên cứu nhiều nhà khoa học quan tâm nghiên cứu Một bất đẳng thức điển hình tích chập phải kể tới bất đẳng thức Young tích chập Fourier Tuy nhiên, khơng gian hàm điển hình L2 ( ) , bất đẳng thức khơng Trong loạt cơng trình tác giả Saitoh S., Vũ Kim Tuấn, Yamamoto M xây dựng lớp bất đẳng thức tích chập Fourier tích chập Laplace khơng gian Lp ( ,  ) với hàm trọng  ( x) đưa số ứng dụng thú vị Ưu điểm bất đẳng thức áp dụng cho trường hợp p  Bất đẳng thức tương ứng với tích chập phép biến đổi -4- tích phân khác, tích chập với hàm trọng, tích chập suy rộng với hàm trọng chưa xây dựng nghiên cứu Vì vậy, nghiên cứu bất đẳng thức tích chập cần thiết để thuận tiện cho việc đánh giá ước lượng nghiệm, hướng nghiên cứu nhiều nhà toán học quan tâm Đây sở để tơi chọn đề tài: “Bất đẳng thức tích chập ứng dụng” Cụ thể, luận văn trình bày phép biến đổi Fourier cosine, phép biến đổi Hartley, bất đẳng thức tích chập Fourier, bất đẳng thức tích chập tích chập suy rộng Hartley – Fourier cosine ứng dụng bất đẳng thức đánh giá nghiệm phương trình tích phân, nghiệm phương trình vi phân, nghiệm phương trình truyền nhiệt số biến đổi tích phân… Mục đích nghiên cứu Nghiên cứu bất đẳng thức tích chập suy rộng Hartley – Fourier cosine ứng dụng Đối tƣợng, phạm vi nghiên cứu phép biến đổi Fourier cosine, Hartley Nghiên cứu bất đẳng thức tích chập Fourier, kiểu Fourier, tích chập suy rộng Hartley ứng dụng đánh giá nghiệm phương trình vi phân, nghiệm phương trình truyền nhiệt, số phương trình tích phân Phƣơng pháp nghiên cứu Dựa lý thuyết phép biến đổi tích phân, tích chập, kết giải tích, giải tích hàm, lý thuyết tốn tử Bố cục luận văn Ngoài phần Mở đầu Tài liệu tham khảo, luận văn gồm ba chương với nội dung sau: Chƣơng 1: Kiến thức sở Nội dung chương trình bày kiến thức sở bao gồm định nghĩa, tính chất ứng dụng phép biến đổi Fourier cosine Chƣơng 2: Phép biến đổi Hartley Chương trình bày định nghĩa tính chất phép biến đổi Hartley định lý Wiener – Levy Chƣơng 3: Bất đẳng thức tích chập suy rộng Hartley -5- Nội dung chương trình bày bất đẳng thức tích chập Fourier bất đẳng thức tích chập suy rộng Hartley – Fourier cosine ứng dụng bất đẳng thức việc đánh giá nghiệm vài phương trình vi phân, phương trình tích phân phương trình vi phân đạo hàm riêng -6- LỜI CẢM ƠN -o0o Luận văn hoàn thành hướng dẫn tận tình PGS.TS Nguyễn Xn Thảo Qua đây, tơi xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc tới thầy, chúc thầy luôn mạnh khỏe, hạnh phúc đạt nhiều thành tựu nghiên cứu khoa học Tôi xin chân thành cảm ơn thầy Viện Tốn ứng dụng Tin học, thầy, anh, chị nhóm Seminar Giải tích, Trường Đại học Bách khoa Hà Nội giúp đỡ có ý kiến đóng góp qúy báu cho tơi q trình hồn thiện luận văn Do khả cịn hạn chế, luận văn khơng thể tránh khỏi thiếu sót Tơi mong nhận góp ý thầy giáo, bạn độc giả quan tâm tới vấn đề Hà Nội, tháng 01 năm 2018 Học viên Phùng Đức Phi -7- CHƢƠNG KIẾN THỨC CƠ SỞ Trong chương này, trình bày định nghĩa phép biến đổi Fourier cosine, tích chất phép biến đổi Fourier cosine ứng dụng phép biến đổi nêu Đây phép biến đổi chiếm vị trí quan trọng giải tích tốn học trường hợp riêng phép biến đổi Fourier, kết chương dựa vào tài liệu [1-2], [7-8], [15], [17] 1.1 Phép biến đổi Fourier cosine 1.1.1 Định nghĩa Phép biến đổi Fourier cosine (kí hiệu Fc) hàm f định nghĩa sau:   Fc f  y    f  x  cos xydx, y  0 1.1.2 Các ví dụ Ví dụ Tính:  F e   y  ; a   ax c Ta có: F e  y   ax c    e  ax    a iy  x  a iy  x  cos xydx  e e dx  0  2 1  a    2   a  iy a  iy   a  y2 Ví dụ Tính:  sinat   Fc  y; a > t   Ta có: 0 ; y  a ,   sin at  sin at    ; y  a, F y  cos ytdt   c    t  0 t 2    ; y  a   -8- 1.2 Một số tính chất phép biến đổi Fourier cosine 1.2.1 Ta có:  F f  ax   y   a  F f  ( a ), a > y c c 1.2.2 Nếu lim f  x   ta có: x   F f   x    y  F f  y   c c  f  0 d k f ( x) 1.2.3 Nếu lim  0, k  0;1 ta có: x  dx  F f   x   y    y  F f  y   c 1.2.4 Nếu f  L1 (  c ), ( Fc f )  L1 ( f  x  1.2.5 Nếu f  L1 (    f   0 ) , f hàm liên tục khúc ta có: 2    F f  y  cos xydy c ) liên tục khúc: Fc  fc  t  a   fc  t  a   y    Fc f  y  cosay, a  0, đó: ( ) thác triển chẵn hàm f (t) cho: f c  t   f  t  Chứng minh Ta có: Fc  f c  t  a   f c  t  a   y   2  a  f c T  cos y T  a  dT  2  f  t  a   f c  t  a  cosytdt  0  c   a f c T  cos y T  a  dT  2( Fc f )  y  cosay 1.2.6 Ta có: ( Fc f )      Fc  f  t  cosβt     Fs  f  t  sinβt    ( Fc f )      Fc  f  t  cosβt     Fc  f  t  sinβt    1.2.7 Từ ta có: -9-    q q q   g  x  u   g  x  u  du  2q 1   g  x  u  du   g  x  y  du  0    2q 1  g  t  dt q  Từ đó, ta có: F p1 Lp1  Ω   q r    2q-1    g  t  dt  h  x  dx  2q-1 g     q Lq   h r Lr   Do đó: F L p1  Ω  2 q-1 p1 g q p1 Lq  h  r p1 Lr   (3.2.3) (3.2.4) Tương tự, ta có: q H Hơ  2r f Lr1  Ω  p r1 Lq  q r1 g  Lr   ữa, ta có: G Lq1  Ω  p q1  f Lq    h r q1 Lr    (3.2.5) Từ (3.2.3), (3.2.4) (3.2.5) ta có: F Lp1  Ω  G Lq1  Ω  H Lr1  Ω   2p f Lp    g Lq   h Lr   (3.2.6) Từ (3.2.2) (3.2.6), áp dụng bất đẳng thức Holder cho ba hàm ta có [2]:    f *g   x .h  x  dx  2    g  x  u   g  x  y  f u  h  x  dudx     F  x,u .G  x,u .H  x,u  dudx 2π  1   2π  F 1   2π  p Lp1  Ω  f Ta có điều phải chứng minh -31- Lp  G   Lq1  Ω  g Lq  H  h Lr1  Ω  Lr   Giống bất đẳng thức Young tích chập Fourier, bất đẳng thức kiểu Young cho tích chập Hartley  Fourier cosine hệ trực tiếp định lý Hệ 3.2.1.1 (Bất đẳng thức kiểu Young) Cho thỏa mãn đó, ta có ( ) ( với hàm ( ) ( ) Khi ) nữa: f *g Lr   p  f 2 Lp    g Lq   (3.2.7) ( Tuy nhiên bất đẳng thức không trường hợp: Do đó, luận văn quan tâm đến bất đẳng thức tương tự bất đẳng thức ( ) ( ) ( ) có trọng ) cho tích chập Hartley – Fourier cosine, bất đẳng thức trường hợp 3.2.2 Bất đẳng thức kiểu Saitoh ( Cho hai hàm dương ρ1 ,ρ , ) ( ) ( ) ta ln có bất đẳng thức sau cho tích chập Hartley – Fourier cosine:  ( F11 )*( F2  ) 1 *  1  1 p Lp  Chứng minh Nâng vế trái (  ( F11 )*( F2  ) 1 *  p     F1 ) lên lũy thừa p 1 p Lp   , 1  F2     (( F11 )*( F2  ))  x  1 *   1 p            2   2  ( ta có:  Lp  Lp  , 2   1 p p  x  ( F  )  u   ( F   x  u    F   x  u  du 1 2 2 dx p     1  u   2  x  u   2  x  u  du Do đó: -32- 1 p dx )  ( F1 1 )*( F2 2 ) 1 *  1  2  p 1 p  Lp      ( F  )  u   ( F   x  u    F   x  u  du 1 2 p A1 p , ( )   A  1  u   2  x  u   2  x  u  du đây: Mặt khác:  ( F  )  u   ( F   x  u    F   x  u  du 1 2 (3.2.10)   0   | ( F11 )  u  | |  ( F2 2  x  u  | du   | ( F11 )  u  | |  ( F2 2  x  u  | du Ta có:   | F  u    u  F  x +u  |   x +u  du 1 (3.2.11) 1     p p    | F1  u  1  u  F2  x +u  | 2  x +u  p    1  u  2  x  u   q  du        Sử dụng bất đẳng thức Holder, q số mũ liên hợp p, ta có:   | F  u  ρ  u  F  x+u  | ρ  x+u  du  1 (3.2.12) 1  p  q    | F1 p  u  1  u  F2 p  x +u  | ρ2  x +u  du    1  u  2  x  u  du  0  0  Tương tự:   | F  u    u  F  x  u  |   x  u  du 1 (3.2.13) 1  p  q    | F1 p  u  1  u  F2 p  x  u  | 2  x  u  du    1  u  2  x  u  du  0  0  Mà hàm lõm, ta có: -33-   0  | ( F11 )  u  | |  ( F2 2  x  u  | du   | ( F11 ) u  | |  ( F2 2  x  u  | du 1  p  q    | F1 p  u  ρ1  u  F2 p  x +u  | ρ2  x +u  du    1  u  2  x  u  du  0  0  p        | F1 p  u  ρ1  u  F2 p  x - u  | ρ2  x - u  du    1  u  2  x  u  du  0  0    q  p    | F1 p  u  ρ1  u  ( F2 p  x +u  ρ2  x +u  du  F2 p | x - u | ρ2 | x - u |)du   0   q   1  u     x  u   2 | x  u |  du  0  Do đó:   0  | ( F11 )  u  | | (F2 ρ2  x+u  | du   | ( F11 ) u  | | (F2 ρ2 | x - u | | du  p p    | F1  u  ρ1  u  ( F2 p  x +u  ρ2  x +u   F2 p | x - u | ρ2 | x - u |)du   A q 0  (3.2.14) Từ công thức ( ) ( ) (3.2.13) dùng định lý Fubini để đổi thứ tự phép lấy tích phân, ta có:  (( F11 )*( F2  )) 1 *   A p 1 p  q  p 1 p Lp      p p p   | F1 (u)| ρ1 (u)( F2  x + u  ρ2 (x +u)+ F2 | x - u | ρ2 (| x - u |) dx  du  2       p   p p  (| F x +u | ρ x +u + F x u ρ x u )dx         2 2   | F1  u  | 1  u  du   2          | F2 p  x  | ρ2  x  dx. | F1 p  u  | ρ1  u  du  Định lý chứng minh -34-  F1 p Lp   F2 ,  p Lp  , 2   bất đẳng thức ( Cụ thể, với F1 * F2   Lp   2  1 p Lp   F1  ) có dạng: Lp   F2 Lp   ,  (3.2.15) Bất đẳng thức (3.2.15) giúp ước lượng hàm đầu ra:  y  x   F  y    y  G  x, y  dy dựa vào hàm đầu vào F phương trình vi phân, G  x, y   F2  x  y   F2  x  y  hàm Green 3.2.3.Bất đẳng thức ngƣợc tích chập suy rộng Hartley – Fourier cosine Định lý 3.2.2.1 Cho hai hàm dương ( ) ( ) ( ) thỏa mãn: ( ) (3.2.16) hai hàm dương ( ) ( ) tùy ý, ta có bất đẳng thức tích chập Hartley – Fourier cosine ngược: ( F11 * F2  ).( 1 *  ) 1 ( đây: 1 p  2C 1 F1 Lp   Lp   , 1  F2 Lp  , 2  (3.2.17) ) Bất đẳng thức trường hợp bên vế trái (3.2.17) hữu hạn Chứng minh Đặt: f    F1 p    F2  x     F2  x    1    2  x     2  x    p g    1    2  x     2  x    Theo đ ều kiện ( ) ta có: ( ) ( )  Áp dụng bất đẳng thức Holder ngược (3.2.1), ta có: -35- p  p p F (  ) F x    F x    (  )  x     x   d              2       0  (3.2.18)  q   1 ( )    x       x     d  0    C F1   1    F2  x     F2  x     2  x     2  x    d Lũy thừa p hai vế bất đẳng thức ta có:  F p ( )  F2  x     F2  x    1 ( )  2  x       x    d p     1 ( )  2  x       x    d  0  p 1 p    C  F1   1    F2  x     F2  x     2  x     2  x    d  0  (3.2.19) Do đó: C p  F p ( )  F2  x     F2  x    1 ( )  1  x       x    d p p     F1   1    F2  x     F2  x     2  x     2  x    d   0  1 p     1 ( )  2  x       x     d  0  Lấy tích phân hai vế (3.2.19) với x chạy từ     đến ta nhận bất đẳng thức sau: C  p F1 p   1   d   F2  x     F2  x     2  x     2  x    dx p p        F11    F2 1  x     F2 2  x     d       1 p     1      x       x     d  0  Lấy lũy thừa hai vế bất đẳng thức trên, ta có: -36- dx  p  p C 1  F1 p   1   d   F2  x     F2  x     2  x     2  x    dx   0       ( F11 * F2 2 ) p 1 * 2 1   Mà: ( )  1 p p dx   , với (3.2.20) , Do đó:    F  x     F  x    p    2  x       x    dx    F  x     F  x        x       x     d p p 2     F2p   2   d  Kết hợp với (3.2.20) có:  ( F11 * F2 2 ) 1 *  1  1 p  2C 1 F1 Lp   Lp   , 1  F2 Lp  , 2  Định lý chứng minh 3.3 Các ứng dụng Trong phần này, Luận văn sử dụng bất đẳng thức (3.2.15) để ước lượng nghiệm vài phương trình vi phân thường, phương trình tích phân phương trình đạo hàm riêng ( ) Chú ý 1: Giả sử f hàm liên tục trơn khúc đến cấp 2n cho  ( )  lim f  k   0, k  1, n , ta có: x   H f     y    1 2k k   y k  H1 f  y  , k  0, n (3.3.1) 3.3.1 Phƣơng trình tích phân kiểu Toeplitz - Hankel Xét phương trình tích phân với nhân Hankel - Toeplitz trường hợp f  x   k  y   f  x  y   f  x  y  dy  h  x    x  , x  2 0 -37- = k: (3.3.2) ( đây: ) ( ) ( ) ( ) biết, f ẩn hàm Bằng định lý (3.2) [14], ta có:   f  x   h  x   l * h  x  , x  (3.3.3) Dùng bất đẳng thức (3.2.15) có: f ( x) Lp      h  l * h  x  Lp    h Lp      1 p L1    h Lp  ,   l Lp    3.3.2 Bài toán Dirichlet nửa mặt phẳng Chúng ta xét phương trình sau: (3.3.4) với điều kiện biên: ( ) ( f, ( ) ( ) ) cho cho: (3.3.5) | | ( (3.3.6) ) ( ) p >1 Đưa phép biến đổi Hartley biến x hàm hai biến u(x,t):  H1u  y, t   U  y, t   2   u  x, t  cas  xy  dx (3.3.7)  Ứng dụng biến đổi Hartley (3.3.7) hai vế (3.3.4) dùng điều kiện (3.3.5)- (3.3.6), ta có: d2 U ( y, t )  y 2U ( y, t )  dt (3.3.8) U  y,0    H1 f  )  y  (3.3.9) với điều kiện: Nghiệm phương trình (3.3.8) với điều kiện (3.3.9) là: U  y, t   e yt  H1  f     y  Dùng công thức (1.41) ([5], tr.23) đẳng thức nhân tử hóa U  y, t    t   t  Fc  y H1  f     y   H1  * f      y     1   t    t   Do đó: -38- , ta có: (3.3.10)  t  u  x, t    * f      x  1  t   (3.3.11) Với t > 0, áp dụng bất đẳng thức (3.2.15) ta được: u hoặc: u Lp  1 p Lp   2 2  2 p t t  2 1  Γ p    1 p  t  Γ p  Lp   p 1 L1   1 p L1  f  f Lp  ,   Lp  ,   (3.3.12) đây: ( ) hàm gama [1,4]:  Γ  s   t s 1e  t dt 3.3.3 Bài tốn Cauchy cho phƣơng trình truyền nhiệt Cuối cùng, xét toán trị ban đầu cho phương trình truyền nhiệt chiều khơng có nguồn hay nguồn chìm: (3.3.13) với điều kiện biên: ( ) ( , | | ) , | | (3.3.14) (3.3.15) điều kiện ban đầu: ( đây: ( ) ( ) ) ( ) ( ) (3.3.16) k > hệ số khuếch tán Một lần nữa, áp dụng biến đổi Hartley (3.3.7) x hai bên phương trình (3.3.13) điều kiện (3.3.16) với tập hợp ( ) ta có: d U  y, t   ky 2U  y, t  , dt (3.3.17) với điều kiện ban đầu: U  y,0    H1  f     y  Nghiệm phương trình (3.3.17) - (3.3.18) dạng: U  y, t   e ky t  H1  f     y  -39- (3.3.18) Dùng công thức (1.4.11) ([4], tr.24) ta có:   4kt e U  y, t   F  c  kt     4kt   y H f  y  H  e * f  y    1           kt       4 kt  e  u  x, t    * f     x   kt    Do đó: (3.3.19) Đối với t > 0, dùng bất đẳng (3.2.17) ta được: u Lp    2 2 p  1 p L1  e f  Lp  ,    2 kt kt Lp   Do đó: u Lp  2  2 p    p    p 1  p ( kt )   1 p L1   f Lp  ,   (3.3.20) 3.3.4 Phƣơng trình vi phân thƣờng ( ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅), cho tồn tại: ( Giả sử ( ) ) xác định bởi:  FcQ  y   ,y  n a k 0 k y 2k Xét phương trình vi phân thường bậc n với hệ số số không đổi:  n d 2k  k    1 ak k  f  x   g  x    x  , x  dx   k 0 g, ( ) hàm cho trước thỏa mãn: ( ( (3.3.21) ) ( ) ) hàm chưa biết Ta giả thiết rằng: dk f  x   hay x  , k  0,1,., 2n dx k (3.3.22) Áp dụng biến đổi Hartley vào hai vế (3.3.21) dùng điều kiện (3.3.22) ta được:  n 2k   ak y   H1 f  y   H1  g   y   k 0  -40- (3.3.23) Do đó, từ (3.3.23) tính chất phép nhân tử hóa ( 3.2.2) tổng quát hóa tích chập , ta có:  H1 f  y   H1  g   y  n a k 0 k y 2k     FcQ  y   H1  g     y   H1 Q *( g  )  y  Do đó:   f  x   Q *( g  )  x  , x  Dùng bất đẳng thức (3.2.15) có: f Lp     1 p L1   g p ,   -41- Q Lp    (3.3.24) Kết luận chƣơng Kết chương 3, trình bày nội dung sau:  Một số bất đẳng thức tích chập Fourier, Bất đẳng thức ngược.đối với tích chập Fourier  Một số bất đẳng thức tích chập suy rộng Hartley – Fourier cosine, Bất đẳng thức kiểu Saitoh, bất đẳng thức tích ngược chập suy rộng Hartley – Fourier cosine  Ứng dụng của bất đẳng thức trên: Đánh giá nghiệm phương trình đạo hàm riêng, phương trình tích phân phương trình vi phân thường -42- KẾT LUẬN o0o -Luận văn trình bày kết chủ yếu bất đẳng thức tích chập ứng dụng bao gồm:  Trình bày phép biến đổi Fourier cosine, tính chất ứng dụng vào giải phương trình đạo hàm riêng, phương trình vi phân tính tích phân  Trình bày phép biến đổi Hartley, tính chất định lý Wiener – Levy  Trình bày số bất đẳng thức tích chập Fourier, bất đẳng thức tích chập suy rộng Hartley – Fourier cosine ứng dụng bất đẳng thức tích chập suy rộng để ước lượng nghiệm vài phương trình vi phân thường, phương trình tích phân phương trình đạo hàm riêng Luận văn mở hướng nghiên cứu bất đẳng thức phép biến đổi Fourier cosine thang thời gian -43- TÀI LIỆU THAM KHẢO [*] Tiếng Việt [1] NGUYỄN XUÂN THẢO (2015): Phép biến đổi tích phân tích chập ứng dụng Nhà xuất khoa học kỹ thuật [*] Tiếng Anh [2] M ABRAMOWITZ AND I A STEGUN, Handbook of Mathematical Functions, with Formulas, Graphs and Mathematical Tables, National Bureau of Standards Applied Mathematics Series, 55, Washington, D.C., 1964 [3] R A ADAMS AND J J F FOURNIER, Sobolev Spaces, 2nd ed., Academic Press, New York, Amsterdam, Elsevier Science, 2003 [4] R N BRACEWELL, The Hartley Transform, Oxford University Press, Clarendon Press, New York,1986 [5] M ABRAMOWITZ AND I A STEGUN, A ERDELYI ET AL., Table of Integral Transforms, Vol I McGraw-Hill Book Co., New York-Toronto-London, 1954 [6] N T HONG, Fourier cosine convolution inequalities and applications, Integral Transforms Special Functions, 10, 21 (2010), 755–763 [7] H H KAGIWADA AND R KALABA, Integral Equations via Imbedding Methods, Applied Mathematics and Computation, No Addison-Wesley Publishing Co., Reading-Mass.-London-Amsterdam, 1974 [8] D S MITRINOVIC ´, J E PECARI ˇ C ´, AND A M FINK, Classical and New Inequalities in Analysis, Kluwer Academic Published, The Netherlands, 1993 [9] I N SNEDDON, The Use of Integral Transforms, McGraw-Hill NewYork, 1972 [10] S SAITOH, A fundamental inequality in the convolution of L2 functions on the half line, Proc Amer Math Soc., 91 (1984), 285–286 [11] S SAITOH, Inequalities in the most simple Sobolev space and convolutions of L2 functions with weights, Proc Amer Math Soc., 118 (1993), 515–520 [12] V K TUAN, AND M YAMAMOTO, Convolution inequalities and applications, Journal of Inequalities in Pure and Applied Mathematics, 3, (2003), Article 50 -44- [13] S SAITOH, V K TUAN, AND M YAMAMOTO, Reverse weighted Lp -norm inequalities in convolutions and stability in inverse problems, Journal of Inequalities in Pure and Applied Mathematics, 1, 1(2000), Article [Online: http://jipam.vu.edu.au/v1n1/018-99.html] [14] N X THAO, V K TUAN, AND H T V ANH, On the Toeplitz plus Hankel integral equation II, Integral Transforms and Special Functions, 1, 25 (2014), 75–84 [15] E C TITCHMARCH, Introduction to the Theory of Fourier Integrals, 3rd Ed, Chelsea publishing Co.,NewYork, 1986 [16] J N TSITSIKLIS, AND B C LEVY, Integral equations and resolvents of Toeplitz plus Hankel kernels, Laboratory for Information and Decision Systems, Massachusetts Institute of Technology Series/Report No.: LIDS-P 1170, 1981 [17] VU KIM TUAN, S B YAKUBOVICH, On the criterion of unitary of the bilateral integral transform, Ukranian Math J 5, 44 (1992), 697–700 (In Russian) English transl.: A criterion for a two-sided integral transform to be unitary, Ukr Math J 5, 44 (1992), 630–632 Generalized Convolution Inequalities [18] H T V ANH AND N X THAO: Hartley – Fourier consine Generalized Convolution Inequalities, Volume 18, Number (2015), 1393–1408 -45- ... số bất đẳng thức tích chập Fourier, Bất đẳng thức ngược.đối với tích chập Fourier  Một số bất đẳng thức tích chập suy rộng Hartley – Fourier cosine, Bất đẳng thức kiểu Saitoh, bất đẳng thức tích. .. Chƣơng 3: BẤT ĐẲNG THỨC TÍCH CHẬP SUY RỘNG HARTLEY…… 26 3.1 Một số bất đẳng thức tích chập Fourier……………….… 26 3.1.1 Bất đẳng thức tích chập Fourier………………………… 26 3.1.2 Bất đẳng thức ngược tích chập. .. đề tài: ? ?Bất đẳng thức tích chập ứng dụng? ?? Cụ thể, luận văn trình bày phép biến đổi Fourier cosine, phép biến đổi Hartley, bất đẳng thức tích chập Fourier, bất đẳng thức tích chập tích chập suy