bất đẳng thức tích phân và ứng dụng

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊNTRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌCNGUYỄN VĂN TUẤN BẤT ĐẲNG THỨC TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - 2014... ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊNTRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌCNG

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊNTRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

NGUYỄN VĂN TUẤN

BẤT ĐẲNG THỨC TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

THÁI NGUYÊN - 2014

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊNTRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

NGUYỄN VĂN TUẤN

BẤT ĐẲNG THỨC TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG

Chuyên ngành: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP

Mã số : 60.46.01.13

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học: TS TRẦN NGUYÊN AN

THÁI NGUYÊN - 2014

Mục lục

1.1 Một số bất đẳng thức cổ điển và định lý giá trị trung bình 4

1.2 Tích phân 6

1.2.1 Định nghĩa tích phân 6

1.2.2 Các tính chất 7

2 Bất đẳng thức tích phân và ứng dụng 9 2.1 Đánh giá hàm số và bất đẳng thức tích phân 9

2.2 Một số bất đẳng thức tích phân cổ điển 17

2.3 Một số bất đẳng thức tích phân khác 32

2.4 Ứng dụng của bất đẳng thức tích phân 41

2.4.1 Tính giới hạn 41

2.4.2 Chứng minh phương trình có nghiệm 43

2.4.3 Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số 45

2.4.4 Chứng minh một số bất đẳng thức đại số 48

2.4.5 Giải một số bài phương trình hàm 52

Kết luận 54 Tài liệu tham khảo 55

LỜI NÓI ĐẦU

Bất đẳng thức tích phân là một phần quan trọng trong tích phân

có nhiều ứng dụng không những chỉ trong toán học mà còn trong cáclĩnh vực khác Một số bất đẳng thức tích phân kinh điển phải kể đến làBất đẳng thức Bunhiacovski; Bất đẳng thức Chebyshev; Bất đẳng thứcYoung; Bất đẳng thức Jensen; Bất đẳng thức Holder; Bất đẳng thứcMinkowski; Bất đẳng thức Diaz; Bất đẳng thức Polya Bài toán bấtđẳng thức tích phân là một bài toán khó thường xuất hiện trong cácbài toán thi học sinh giỏi, trong các kỳ thi Olympic toán trong và ngoàinước Luận văn này nhằm giới thiệu và chứng minh chi tiết một số bấtđẳng thức tích phân cổ điển, một số bất đẳng thức tích phân mới đượckhám phá, đưa ra một hệ thống những ví dụ được trích dẫn từ nhữngtài liệu tham khảo cũng như sáng tạo mới về bất đẳng thức tích phân.Ngoài ra đề tài còn để cập đến một số ứng dụng của bất đẳng thức tíchphân, bao gồm: Đưa ra một số ứng dụng trong bài toán giới hạn, giảiphương trình, chứng minh bất đẳng thức đại số

Ngoài phần mở đầu, phần kết luận, luận văn gồm 2 chương:

Chương 1 Kiến thức cơ bản Chương này trình bày các bất đẳngthức cơ bản của toán học như Bất đẳng thức AM - GM, Bất đẳng thứcBunhiacovski, Bất đẳng thức Chebyshev, , cùng với các định lý toánhọc rất quan trọng trong giải tích như Định lý Lagrange, Định lý Roll.Ngoài ra khái niệm, định nghĩa tích phân và các tính chất của tích phân

là kiến thức trọng tâm của chương này Đặc biệt ta quan tâm nhiều đếncác tính chất về bất đẳng thức tích phân cũng như các định lý về đẳngthức tích phân như định lý về giá trị trung bình trong tích phân

Chương 2 Bất đẳng thức tích phân và ứng dụng Chương nàytrình bày các bài toán về chứng minh bất đẳng thức tích phân thôngqua việc đánh giá hàm số dưới dấu tích phân, cũng như dùng các bất

đẳng thức tích phân cổ điển để chứng minh Trong chương này còn nêumột loạt các bài tập chứng minh bất đẳng thức tích phân dưới dạngphức tạp mà việc giải quyết chúng là không hề đơn giản Một vấn đềnữa được nêu trong chương là những ứng dụng của bất đẳng thức tíchphân trong các bài toán số học, đại số cũng như trong giải tích

Sau một thời gian nghiên cứu, luận văn thạc sĩ của tôi đã hoàn thànhvới tên đề tài "Bất đẳng thức tích phân và ứng dụng" Những kết quảban đầu mà tôi thu được là nhờ sự hướng dẫn và chỉ bảo tận tình của

TS Trần Nguyên An, Trường Đại học Sư Phạm - Đại học Thái Nguyên.Nhờ thầy tôi đã tiếp cận và nắm bắt được một số vấn đề mới mẻ trongcông tác nghiên cứu khoa học Tác giả xin được bày tỏ lòng biết ơn sâusắc đối với sự quan tâm, động viên và hướng dẫn của thầy Tác giả xincảm ơn tới các thầy cô trong Trường Đại học Khoa học - Đại học TháiNguyên, phòng Đào tạo Trường Đại học Khoa học Đồng thời tác giảxin gửi lời cảm ơn tới tập thể lớp Cao học toán K6A, trường Đại họcKhoa học đã động viên giúp đỡ tác giả trong quá trình học tập và làmluận văn này

Tác giả xin cảm ơn tới Sở GD - ĐT tỉnh Tuyên Quang, Ban Giámhiệu, các đồng nghiệp Trường THPT Sơn Dương đã tạo mọi điều kiệngiúp đỡ tác giả trong thời gian học tập và hoàn thành luận văn

Định lý 1.1.2 ( Bất đẳng thức Bunhiacovski) Với 2 dãy số thực tùy ý

a1, a2, , an và b1, b2, , bn ta luôn có bất đẳng thức

a21 + a22 + + a2n
b21 + b22 + + b2n
≥ (a1b1 + a2b2 + + anbn)2.Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a1, a2, , an và b1, b2, , bn là 2 bộ tỉ

lệ, tức là tồn tại số k để ai = kbi, với mọi i ∈ 1, n

Định lý 1.1.3 (Bất đẳng thức Holder) Với m dãy số thực dương(a11, a12, , a1n), (a21, a22, , a2n), , (am1, am2, , amn) ta có

Định lý 1.1.4 (Bất đẳng thức Chebyshev).

(i) Với 2 dãy số thực đơn điệu tăng a1, a2, , an và b1, b2, , bn ta có

a1b1 + a2b2 + + anbn ≥ 1

n(a1 + a2 + + an) (b1 + b2 + + bn) (ii) Với 2 dãy số thực đơn điệu giảm a1, a2, , an và b1, b2, , bn ta có

a1b1 + a2b2 + + anbn ≤ 1

n(a1 + a2 + + an) (b1 + b2 + + bn) Dấu đẳng thức xảy ra khi a1 = a2 = = an và b1 = b2 = = bn

Định lý 1.1.5 (Bất đẳng thức Jensen’s) Nếu f là hàm lồi trên khoảng

K ⊆ R thì mọi x1, x2, , xn ∈ K ta đều có

f (x1) + f (x2) + + f (xn) ≥ nf (x1 + x2 + + xn

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x1 = x2 = = xn

Định lý 1.1.6 (Bất đẳng thức Young) Cho p, q thỏa mãn điều kiện

Ta nói rằng tổng σπ dần tới giới hạn I khi d(π) → 0 nếu: Với mỗi số

 > 0 cho trước nhỏ tùy ý, bao giờ cũng tồn tại số δ > 0 sao cho mọiphép phân hoạch π mà d(π) < δ và với mọi cách chọn các điểm ξk tađều có :

|σπ− I| =

thì giới hạn đó được gọi là tích phân xác định của hàm số f (x) trên đoạn[a, b] và ta kí hiệu là:

trên đoạn đó và

a+b 2

≤ (b − a)

4

192 max[a,b]

|f000(x)|

Điều phải chứng minh.

Nhận xét 6

(i) Ta có thể chứng minh bất đẳng thức trên bằng một cách khá thú vị

sau Lấy tích phân từng phần liên tiếp, ta có

Xét hai đa thức bậc 3 có hệ số cao nhất bằng 1 là P1(x) và P2(x) Từ

trên lấy hiệu các tích phân xác định, ta được

P2(x) = (x − b)2(x−c2) Kết hợp các điều kiện (2.3.20) ta có: c1 = a + 3b

4

P2(x)f(3)(x)dx = 6

b

Z

a+b 2

f (x)dx − 6

a+b 2

Z

a

f (x)dx

f000(x)

... data-page="20">

đẳng thức Young; Bất đẳng thức Jensen; Bất đẳng thức Holder; Bất? ?ẳng thức Minkowski; Bất đẳng thức Diaz; Bất đẳng thức Polya ứngdụng để chứng minh số tốn bất đẳng thức tích phân.

Định... toán bất đẳng thức tích phân mà biểu thứctrong dấu tích phân phức tạp, việc đánh giá phương pháptrên gặp nhiều khó khăn Khi ta nghĩ đến việc dùng bất đẳngthức đại số bất đẳng thức AM - GM, bất đẳng. .. data-page="41">

Điều phải chứng minh.

Nhận xét

(i) Ta chứng minh bất đẳng thức cách thú vị

sau Lấy tích phân phần liên tiếp, ta có

Xét hai đa thức bậc có hệ số cao P1(x)