bất đẳng thức biến phân và ứng dụng 3

luận văn hệ thống lại một số các kết quả gần đây về bất đẳng thức biến phân và cân bằng mạng giao thông , đồng thời trình bày các kết quả của về bất đẳng thức biến phâm và cân bằng mạng

C h u'dng Cae ki~n thue ehu~n bi Lu~n van thf;Lc81 Toan hQc Chuang : Cac ki@nthuc chu/in bi Trang chuang chung t6i nhl1c 19>i Qt 86 khai ni~m, tfnh ch§,t cua t~p m 16i,ham 16i, ham don di~u, anh X9> trt dU o th6a man 2:7:1 Ai = va X = 2:7:1 AiXi Dinh ly 1.1.3 Gid sv: X la khong gian tuytn tinh A c X la tiJ-plOintu va chi ntu A ch{ta mQi tif h(Jpl6i cua cac diem dla A Dinh nghla 1.1.7 Gid sv: X la kh6ng gian tuytn tinh va A eX nhdt ch71a du(JcgQi la baa l6i cua A, ki hieu la coA A TiJ-p nh6 lOi Nh{in xet 1.1.1 TiJ-p lOikhi va chi coA = A A Dinh nghla 1.1.8 Gid sv:X la kh6ng gian tuytn tinh va A eX nh6 nhdt ch71a du(JcgQi la baa lOi dong cua A, ki hieu coA A TiJ-p dong lOi, Nh{in xet 1.1.2 coA = coA 1.1.2 Non 16i Gia 811X la khong gian tuy@n tfnh Dtnh nghla 1.1.9 (i) TiJ-pK c X dur;cgQi la non (cone) ntu, Vx E K, VA > 0, AX E K (ii) TiJ-pK c X dur;c gQi la non co dinh (pointed cone) ntu K la non khong ch71a bat ki du()ng thiing naG c (iii) TiJ-pK X dur;c gQi la non lOi ntu K dOng thai la non va t(lp l6i Dtnh ly 1.1.4 (i) TiJ-pK c X la non l6i va chi khi, VA> 0, AK c K va K + K c K; (ii) TiJ-p c X la non co dinh ntu dOngthai K la non va K n (-K) = {Ox} K Dtnh ly 1.1.5 (Dtnh ly Carathedory) Gid sv: Y c X la tiJ-p affine co s6 chi€u la n va E c Y Khi vdi mQi X E coE, tOn tr;likh6ng qua n + diem Xl, X2, , Xn E E va tOn tr;li cac s6 AI, A2, , An > o th6a man 2:~=1 Ai X = = va 2:~=1 Aixi' Dtnh nghla 1.1.10 Gid sv: A c X Kh6ng gian nh6 nhdt cua X, ch71aA dur;cgQi la baa tuytn tinh cua A, ki hieu spanA Trang D!nh nghla 1.1.11 Cia 8V:A c X, Xo E A va X* la khong gian a6i ng6:u ar,Li86 cua X Khi t(ip NA(XO) := {y E X*/(y,x (1.1) - xo)< 0, Vx E A} du(JcgQ'ila non phap tuytn (normal cone) eua t(ip A tr,LiXo Ki hi~u (y, x) la gia tri eua phitn ham y E X* tr,Lix EX ~ MiJi Y E NA(XO) du(JegQi la phap tuytn eua t(ip A tr,LiXo Nh~n xet 1.1.3 Ntu A la t(ip 18i th1,non phap tuytn NA(XO) la t(ip fiJi, dong D!nh nghla 1.1.12 Cia 8V:A c X la t(ip 18i, khae cPo (i) T(ip A du(JegQi la liti xa theo phudng liti xa d E X, d -# Ox ntu thoa miin, VA > 0,A + Ad c A (ii) T(ip giJm caephudng liti xa d va Ox du(Je gQi la non liti xa eua A, ki hi~u 0+A: (1.2) a+A:= {d E X/A + Ad c A, VA > O} 1.1.3 Ham 16i Gia 811 la kh6ng gian tuyt!n tfnh, D c X va ham f : D X D!nh nghla 1.1.13 ~ R U {::l:oo} Ta ki hi~u damf := {x E D/ f(x) < +oo}; epif:= {(x, 1) ED x R/f(x) < 1} D!nh nghla 1.1.14 Ham f du -00, Vx E D D!nh nghla 1.1.15 Ham f du(JcgQi la ham liJi (tudng 71ng lam) tren D ntu epif la t(ip liJi (tudng 71ngt(ip lam) tren X x R Nh~n xet 1.1.4 Nt'u f la ham 18i tren D th1,damf la tap liJi tren X D!nh Iy 1.1.6 Cia 8V: la ham chinh thudng tren D Khi f la ham 18i tren D f ntu va chi ntu VXI,X2 E D, VA E [0,1], f(AX + (1 - A)Y) < Af(x) + (1 - A)f(y) Trang (1.3) Dinh ly 1.1.7 (B§.t diing thuc Jensen) Cia sitf la ham chfnh thuiJngtren D Khi f la ham l6i tren D n€u va chi n€u, VX1, X2, , Xm E D, VAl, A2, , Am > 0: 2::1 Ai = 1, m m (1.4) f(Li=l AiXi) LAif(Xi) < i=l ~ Dinh nghia 1.1.16 Cia sit D c X la tt)p l6i, f : D R va Xo E D -+ (i) Ham f durjc g9i la l6i tq,i Xo n€u, Vx E D, VA E [0,1], f(AX + (1 - < Af(x) + (1 - A)f(xo) A)XO) (1.5) (ii) Ham f durjc g9i la l6i ch(j,t (strictly convex) tq,i Xo n€u, Vx E D, x -=IXo,VA E [0,1], f(AX + (1 - < Af(x) + (1 - A)f(xo) A)O) (1.6) (iii) Ham f a'Ltrjcg9i la l6i mq,nh (strongly convex) twi Xo n€u, Vx E D, VA E [O,l],:3p> th6a man, f(AX + (1 Ham f A)XO) < Af(x) + (1 - A)f(xo) - pA(l - A)llx - xo112 (1.7) durjc g9i la l6i ch4t (tuang itng l6i mq,nh) tren D n€u h~ thitc (1.6) (tuang itng (1.7)) th6a man vdi m9i Xo ED Dinh nghia 1.1.17 Cia sit f: x -+ RU {:!:oo} va a E [-00;+00] So: := {x E X/f(x) Cac tt)p < a}; S~:= {x E X/f(x) < a}; durjc g9i la cac tt)p mitc cua ham f Dinh ly 1.1.8 Cia sit f : x -+ R U {:!:oo} va a E [-00; +00] N€u f la ham l6i thi m9i tt)p mitc cua f co dq,ng So::= {x E X/f(x) < a} va S~{x E X/f(x) < a} la cac tt)p l6i Nh~n xet 1.1.5 N€u m(Jt ham f : X -+ R U {:l:oo} co cae tt)pmiteSa va S~ la cae tt)p l6i thi ehua ehile f la ham l6i Trang Vi d\l 1.1.1 Cia sV: X = R, f : x -+ R U {::1::00}xae dink nhu sau f(x) = Ilxll,\Ix E R \ {O} va f(O) = +00 Khi d6 ham f khang l6i nhung cae t(ip mite la cae t(ip l6i Dtnh nghia 1.1.18 Cia SV: : x f -+ R U {::1::oo Ham f du x !.;x > O} va B := {(x, 0)Ix E R} Khi d6 m9i gia thiet cua dinh ly (1.1.19) d€u thoa tril gia thief compact cua B Hai t(ip A va B trudng hrjp khang tach durjc H~ qua 1.1.1 Cia S'l1X la khang gian vectd tapa 16i dia phuong Khi d6 ta c6 cac khdng dinh sa'u (i) M9i t(ip l6i d6ng X la giao cua ,tat cd cac n'l1akhang gian d6ng ch71a n6 (ii) M 9i t(ip 16i d6ng X d€u la t(ip d6ng yeu Trang 12 1.2 D~o ham cua anh x~ 1.2.1 D~o ham theo huang Djnh nghia 1.2.1 (Xem [23)) Gid S71 la khong gian vectd va (Y, 11.11) khong X la gian dink chudn, A c X la tt;ipkhac c/J,Xo E A, hEX va anh xq,f : X ~ Y Neu ? / gidi hq,n f' (xo) (h) := >' -+0+/\ (f(xo + Ah) - f(xo)), Hm ~ (1.12) t6n tq,i thi f'(xo)(h) du(Jc99i la dq,o ham theo huang cua anh xq, f tq,i Xo theo huang h Ntu vdi m9i hEX gidi hq,n f'(xo)(h) luon t6n tq,i thi f du(Jc99i la khd vi theo huang tq,iXo Djnh ly 1.2.1 Gid s71X la khong gian vectd, A c X la tt;ip l6i, khac c/Jva f:X~R (i) Gid s71Xo E A la diim c7/c tiiu cua f tren A Ntu anh xq,f co dq,oham theo huang tq,iXo theo m9i huang x - Xo, vai x E A, th1, f'(xo)(x - xo) > 0, \/x E A (1.13) (ii) Ntu anh xq,f la ham l6i va co dq,oham theo huang tq,iXo E A theo m9i huang x - Xo, vdi x E A va f'(xo) (x - xo) > 0, \/x E A, thi Xo la diim c7/ctiiu cua anh xq,f tren A Ch(cng mink (i) Tv gia thi§t ant X f(xo) V~y f'(xo)(x - xo) > 0, \/x E A Trang 13 (ii) Tli f la ham 16i suy v6i mQi x E A, v6i mQi A E [0,1], ta co f(xo + A(X - xo» = f(AX + (1 - A)XO)< Af(x) + (1 - A)f(xo) Do f(x) > f(xo) + A(f(xo + A(X - xo» - f(xo») Vi f co d 0,\/x - E A, ta duQc f(xo) < f(x), \/x E A V~y Xo la di@m Qic ti@u cua anh XO (f(xo + Ah) - f(xo»), hm /\\ (1.14) t6n t(,Liva f' (xo)(h) la anh X(,L tuy€n link lien t'I,LC tit X VaG Y thz f' (xo)(h) dur;c gQi la d(,Lo ham Gateaux cua f t(,Li o va anh X(,L dur;c gQi la khrl vi Gateaux t(,Li o X f X Dinh nghia 1.2.3 (Xem [23j) Girl 8U'(X, 11.llx) va (Y, 11.lly) la cac kh6ng gian dink chuan, A c X la t4p md, khac 4;, Xo E A va anh X(,L : A -t Y N€u t6n tq,i f rinh xq, tuy€n link lien t'I,LC f'(XO) : X -t Y thoa man Ilf(xo + h) - f(xo) - f'(xo)(h)11 1m -t , Ilhll >O Ilhll (1.15) thz f'(XO) dur;c gQi la dq,o ham Frechet cua f tq,i Xo va anh xq,f dur;c gQi la khrl vi Frechet tq,i Xo M5i lien h~ giUa d f(x) + f'(x)(y - x) (ii) Dao 11;:Li, S11(1.16) thoa man Do A la t~p 16i nen gia f(x) > f() x + (1 - ) )y)+ f'() x + (1 - ) )y)((l - ) )(x - y)) va f(y) > f() x + (1 - ) )y)+ f'() x + (1 - ) )y)(( -) )(x - y)) Trang 15 Vi J'(x)(.) la anh Xi:L tuy§n tfnh nell, '\Ix, YEA, Af(x) + (1 - A)f(y) VA E (0,1], > Af(AX + (1 - A)Y) + A(1 - A)J'(AX + (1 - A)Y)(X - y) + (1 - A)f(AX + (1 - A)Y) - A(1 - A)f'(AX + (1 - A)Y)(X - y) - f(AX + (1 - A)Y) V~y f la ham 16i D D!nh ly 1.2.5 Gia sit (X, II.ID la kh6ng gian dink chutin va anh xq,f : X ?, -t R / Neu Xo E X la diem c7jCtieu cua f tren X va f kha vi Gateaux tq,iXo thz, Vh E X, f'(x)(h) = O (1.17) H~ thlic (1.17) la di@uki~n c~n d@Xo la di@mC1!C ti@u cua anh Xi:L f 1.2.3 Du'di vi phan Gia sa (X, 11.11) kh6ng gian dinh chuiin la D!nh nghia 1.2.4 Gia sit anh xq, f : X -t R la ham l6i tren X va X* la kh6ng gian ddi ngau tap6 cua X V6i mtJi Xo EX, t4p 8f(xo) := {x* E X* / f(x) > f(xo) + x*(x - xo), '\Ix EX}, (1.18) dvx;c 99i la du6i vi phan cua anh xq,f tq,i Xo va mtJi phi€n ham x* E f(xo) dUr;fC 99i la du6i gradient cua anh xq,f tq,i Xo Vi d\l 1.2.1 Gia sit (X, II.ID la kh6nggian Banach va f(x) rinh xq,f tq,ix E X dur;fC tinh nhu sau = Ilxll Du6i vi phan N €u x -# thz 8f(x) = {x* E X* /llx*11= 1, (x*, x)= Ilxll} N€u x = thz 8f(0) = {x* E X* /llx*11< I} Trang 16 Ilxllthi Dij,c bi~t neu gid siJ:X = R va f(x) = 8f(x) = { {llxll-lx}, Dinh ly 1.2.6 Gid siJ:anh xq, f : x 7 diem qtc lieu cua 1.2.4 f n~u x (-i,i), ~ neu x # 0; o - R la ham lei tren X Khi d6 Xo E X la tren X va chi Ox E 8f(xo) D~o ham Clarke Cia S11 (X, 1.11) 80kh6ng gian dinh chu11n Dinh nghia 1.2.5 (Xem (23j) Gid siJ:anh xq, f : X ~ R, Xo E X va hEX Neu gidi hq,n f'(xo)(h) = limsup ~ (f(x + Ah) - f(x)), x ~ Xo A~ ten tq,i thi j' (1.19) 0+ f (xo) (h) dU(fCgri la dq,o ham Clarke cua c6 dq,oham Clarke tq,i Xo theo mri hudng hEX thi tq,i Xo theo hudng h Neu f f dU(fcgri la kha vi Clarke tq,i Xo Vi d\l 1.2.2 Gid siJ:f : R R dU(fC xac dink nhu sau f(x) = Ilxll, "Ix E R Khi d6 dq,oham Clarke tq,i cua f theo mri hudng h la ~ j'(O)(h) = limsup ~ (11x x~O + Ahll - Ilxll)= Ilhll A ~ 0+ Dinh ly 1.2.7 Gid siJ: : X ~ R la ham l8i, lien t7,lC f Lipschitz tq,i Xo EX Khi d6 dq,oham Clarke cua f tq,iXova dq,o ham theohudngcua f tq,i Xo la trung 1.2.5 Non ti~p xuc Dinh nghia 1.2.6 Gid siJ:(X, 11.11) kh6ng gian dink chulin, A c X la t(ip khac la q;va Xo E A Trang 17 (i) Vectd h du(Jc 99i la vectd ti€p tuytn cua t(j,pA t(LiXo ntu tiJn t(Liday (xn) c A, day (An) C R+ th6a man Xo = n->oo Xn, h = n->oo An(xn - xo) lirn lirn (1.20) (ii) T(j,ph(Jp TxoA cac vetd ti€p tuytn cua A t(LiXo du(Jc 99i la non titp xuc Bouligand theo day cua A t(LiXo ho(ic non contingent cua A t(LiXo ~ Dinh ly 1.2.8 Cia s'll (X, 11.11) la kh6ng gian dink chutin va A c X la t(j,pfiJi, khac cp Khi vd'i m9i Xo E A non titp xuc contingent TxoA la t(j,p l6i 1.3 , Anh xa da tri 1.3.1 MQt 86 khai ni~m Cia s11X, Y la cac khang gian vecta tapa, L(X,Y) la khang gian cac anh X9tuy@ntinh lien t\lC tti' X vaa Y va F : X -+ 2Y la anh X9-da trio Dinh nghia 1.3.1 (i) Mien hi~u qua cua anh X(Lda tri F la t(j,p damP := {x E XI F(x) -# cp} (ii) DiJ thi cua anh X(Lda tri F la t(j,p graphF:= {(x,y) E X x Yly E F(x)} Dinh nghia 1.3.2 Anh X(Lda tri F du(Jc 99i la liJi ntu graphF la t(j,p liJi tren X x Y va F du(JC99i la dong ntu graphF la t(j,p dong X x Y Dinh nghia 1.3.3 (i) Anh X(Lda tri F du(Jc99i la anh X(Lda tri gia tri liJintu F(x) la t(j,pliJivoi m9i x E damP (ii) Anh X(Lda tri F du(Jc99i la anh X(Lda tri gia tri dong ntu F(x) la t(j,pdong Y voi m9i x E damF Dinh nghia 1.3.4 Cia S'U: : X F -+ 2Y la anh X(Lda trio Trang 18 (i) Anh xg, F dUf/C 99i la mJ:a lien t'l),C tren (vi~t tiit la u.s c) tg,i Xo E damP vdi m9i lan c~n N cila F(xo), tOn tg,i [(in c~n M cila Xo saD rho F(M) n~u c N (ii) Anh xg, F duQc 99i la mJ:a lien t'l),Cdudi (vi~t tiit la l.s.c) tg,i Xo E damP n~u vdi m9i t~p md U c Y thoa man Un F(xo) =Fcp, tOn tg,i lan c~n M cila Xo saD rho Un F(x) =F cp, \:Ix E M ~ (iii) Anh xg,F dUf/C99i la nita lien t'l),C dudi theo day (vi~t tiit la s.l.s.c) tg,i Xo damP, n~u vdi m9i Y E F(x), m9i day (xn) c damP va Xn -+ x, tOn tg,i day (Yn) C F(xn) rho Yn -+ y (iv) Anh xg, da tri F duf/C 99i la hemi lien t'l),Ctren (vi~t tiit la u.h.c) tg,i Xo E damP n~u vdi m9i x EX, tren tg,i 0+ anh xg, da tri a I -tF( ax + (1 - a )xo) la anh xg, nita lien t'l),C (v) Cia sit t~p A c X va T : A -+ 2L(X,Y) la anh xg, da trio Anh xg, T dUf/C 99i la hemi lien t'l),ctren suy r{)ng (viti m9i a E [0,1], tiit la g.u.h.c) tg,i Xo E A n~u vdi m9i x E A, vdi + (1 - anh xg, da tri a I -t (T(ax a)xo, x - xo) la anh xg, U.S.C tg,i 0+, (T(x), z) la gia tri cila anh xg, tuy~n tinh T(x) E L(X, Y) tg,i di€m z E X (vi) Cia sit t~p A c X va T : X -+ 2L(X,Y) la anh xg, da trio Anh xg, T duf/C 99i la hemi lien t'l),Cdudi suy r{)ng (vi~t tiit la g.l.h c) tg,i Xo E A n~u vdi m9i x E A, vdi m9i a E [0,1], anh xg, da tri a -+ (T(ax + (1 - a)xo, x - xo) la anh xg, l.s.c tg,i 0+ Dinh nghia 1.3.5 Cia sit t~p A eX, Y la khong gian tuy~n tinh dUf/Cslip bdi non th(Ctv: C d6 C : Y -+ 2Y la anh xg, da tri thoa man, vdi moi Y E Y, Cry} la non lOi, dong,intO (i) Anh xg, ddn tri f : A =F cp L(X, Y) duf/C99i la ddn di~u (monotone) tren A n~u -+ vdi m9i x E A, z E A (j(z) - f(x), z - X)E Y\( -intC(x)) (ii) Anh xg, da tri T : A -+ 2L(X,Y) duf/c 99i la ddn di~u (monotone) (1.21) tren A n~u vdi m9i x E A, z E A, vdi m9i tx E T(x), tz E T(z) (tz - tx, z - X)E Y\( -intC(x)) Trang 19 (1.22) (iii) Anh X(Lda tri T : A -+2L(X,Y) du(Jc 99i la gid ddn difU (p8eudomonotone) tren A neu v{ji m9i x E A, z E A [~s E T(x), (s, Z - X)E Y\( -intC(x))] =* [Vi E T(z), (t, z - X)E (1.23) Y\( -intC(x))] (iv) Anh X(Lda tri T : A -+2L(X,Y) du(Jc99i la gid ddn difU yen (weak p8eudomonotone) tren A neu v{ji m9i x E A, z E A [~s E T(x), (s, z - X,)E Y\( -intC(x))] =* (1.24) [~t E T(z), (t, z - X)E Y\(-intC(x))] (iv) Gid 811 : A -+2L(X,Y) la anh X(Lda tri va f : A x A T -+ Y la anh X(Lddn trio C~p (T, f) du(Jcg9i la c~p gid ddn difU tren A neu, v{ji m9i x E A, z E A, [~s E T(x), (s, z - x)+ f(z, x) E Y\( -intC(x))] =* [Vi E T(x), (t, z - x)+ f(z, x) E Y\( -intC(x))] (1.25) (v) Gid 811T : A -+ 2L(X,Y) la anh X(Lda tri va f : A x A -+ Y la anh X(Lddn trio C~p (T, f) du(Jc 99i la c~p gid ddn difU yen tren A neu, v{ji m9i x E A, z E A, =* [~s E T(x), (s, z - x)+ f(z, x) E Y\( -intC(x))] [~t E T(x), (t, z - x)+ f(z, x) E Y\( -intC(x))] (1.26) Dtnh Iy 1.3.1 (i) Neu anh X(Lda tri F : X tren thi F la anh X(Ldong -+ 2Y la anh X(Lda tri gia tri dong va n11a lien t7j,C (ii) Neu F(A) la t(ip compact v{ji m9i A c domF la t(ip compact va F la anh X(L dong thi F la anh X(Ln11a lien t7j,C tren 1.3.2 , Cae dtnh Iy diem bat dQng Cia 811 la khang gian vecta tapa X Dtnh nghla 1.3.6 (Xem [3J) Gid 811 A c X va F : A -+ 2A la anh X(Lda trio Diim Xo E A du(Jc99i la diem bat d(Jng cua anh xq, da tri F tren A neu Xo E F(xo) D~c bift neu F la anh X(Lddn tTi thi Xo = F(xo) Trang 20 ... X, a, /3 E R, f(ax + /3y) = R -7 Y af(x) + [3f(y) Dtnh nghia 1.1.5 Cia SV: , Y la cac kh6ng gian tuytn link Anh X(lT : X x dur;egQi la anh X(l tuytn link ntu thoa man, \Ix, y E X, \la, /3 E R,... la tapa xac dink bdi cd sd fan cQun cua Ox, vdi 13 la h9 cac {3 tQuP co dr,mg U:= {x E X/llfi(X)11< E,i = 1,2, ,n;E > a} (1.10) {3* cua 0x*, vdi 13* la h9 (ii) Tapa ytu* tren X* la tapa xac dink... d6 A va B tach chijI ~ Ch71ngminh GQi(3la eo SdIan e~n elm Ox, (3g6m eae t~p 16ituy~t d6i va ma Gia S11, E (3, (A+ V)nB \IV =I cPo Khi d6 hQ{(A + V)nB IV E (3} la hQcac t~p compact c6 tfnh ch~t la