Tính chất tập nghiệm của một dạng bao hàm thức vi phân và ứng dụng

ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP HỒ CHÍ MINH TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA NGUYỄN VĂN MỪNG TÍNH CHẤT TẬP NGHIỆM CỦA MỘT DẠNG BAO HÀM THỨC VI PHÂN VÀ ỨNG DỤNG Chuyên ngành: Toán Ứng Dụng Mã số: 60460112 LUẬN VĂN THẠC SĨ TP HỒ CHÍ MINH, tháng năm 2014 CƠNG TRÌNH ĐƯỢC HỒN THÀNH TẠI TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA – ĐHQG – TP.HCM Cán hướng dẫn khoa học: PGS.TS Nguyễn Đình Huy Cán chấm nhận xét 1: Cán chấm nhận xét 2: Luận văn Thạc sĩ bảo vệ Trường đại học Bách Khoa, ĐHQG Tp.HCM ngày……….tháng ……….năm 2014 Thành phần Hội đồng đánh giá luận văn Thạc sĩ gồm: Xác nhận Chủ tịch Hội đồng đánh giá LV Trưởng Khoa quản lý chuyên ngành sau luận văn sửa chữa (nếu có) CHỦ TỊCH HỘI ĐỒNG TRƯỞNG KHOA ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP.HCM CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA Độc lập – Tự – Hạnh phúc NHIỆM VỤ LUẬN VĂN THẠC SĨ Họ tên học viên: Nguyễn Văn Mừng MSHS: 12240576 Ngày, tháng, năm sinh: 20/05/1984 Nơi sinh: Kiên Giang Chuyên ngành: Toán Ứng Dụng Mã số: 60460112 I TÊN ĐỀ TÀI: TÍNH CHẤT TẬP NGHIỆM CỦA MỘT DẠNG BAO HÀM THỨC VI PHÂN VÀ ỨNG DỤNG II NHIỆM VỤ VÀ NỘI DUNG:  Chương Các khái niệm giải tích đa trị bao hàm thức vi phân  Chương Tính chất tập nghiệm số dạng bao hàm thức vi phân  Chương Ứng dụng vào toán điều khiển tối ưu III NGÀY GIAO NHIỆM VỤ: 10/02/2014 IV NGÀY HOÀN THÀNH NHIỆM VỤ: 20/06/2014 V CÁN BỘ HƯỚNG DẪN: PGS.TS Nguyễn Đình Huy Tp.HCM, ngày…… tháng………năm 2014 CÁN BỘ HƯỚNG DẪN CHỦ NHIỆM NGÀNH ĐÀO TẠO TRƯỞNG KHOA LỜI CÁM ƠN Luận văn thực Trường Đại học Bách Khoa Tp.HCM Để hồn thành luận văn tơi nhận nhiều động viên, giúp đỡ q thầy gia đình Trước hết, tơi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến Thầy PGS TS Nguyễn Đình Huy hết lịng hướng dẫn tơi hồn thành luận văn Tơi xin bày tỏ lịng biết ơn chân thành tới q thầy giáo mơn Tốn Ứng Dụng khoa Khoa học Ứng Dụng, người đem lại cho nhiều kiến thức niềm đam mê nghiên cứu khoa học Tôi xin chân thành cảm ơn Phòng đào tạo Sau đại học Trường Đại học Bách Khoa Tp.HCM tạo điều kiện tốt để tơi hồn thành chương trình đào tạo an tâm học tập trường Cuối tơi xin gửi lời cám ơn đến gia đình, bạn bè, người bên tôi, động viên khuyến khích tơi q trình thực đề tài nghiên cứu Tơi xin chân thành cảm ơn Tp.HCM, ngày 20 tháng 06 năm 2014 Học viên thực Nguyễn Văn Mừng LỜI CAM ĐOAN Tôi tên Nguyễn Văn Mừng, MSHV: 12240576, học viên cao học chuyên ngành Toán ứng dụng Trường Đại học Bách Khoa TP.HCM khóa 2012 – 2014 Tơi xin cam đoan rằng, ngoại trừ kết tham khảo từ cơng trình khác ghi rõ luận văn, công việc trình bày luận văn tơi thực chưa có phần nội dung luận văn nộp để lấy cấp trường trường khác HỌC VIÊN CAO HỌC NGUYỄN VĂN MỪNG TÓM TẮT LUẬN VĂN Lý thuyết bao hàm thức vi phân, hay cịn gọi phương trình vi phân đa trị, hướng nghiên cứu mạnh lý thuyết tổng quát phương trình vi phân Sự xuất ban đầu lý thuyết bao hàm thức vi phân mở rộng khái niệm phương trình vi phân thường, lý thuyết ngày thâm nhập mạnh mẽ vào lĩnh vực khác toán học ngành khoa học khác nhờ ứng dụng to lớn Đối với bao hàm thức vi phân nửa liên tục không gian Banach với phần lồi phải compắc yếu chứa tham số, tập hợp nghiệm tập compắc yếu khác rỗng phụ thuộc vào tính nửa liên tục hàm ban đầu tham số Để ứng dụng kết này, toán kiểm soát tối ưu hệ thống phương trình vi phân nghiên cứu Sự tồn nghiệm tối ưu liên tục hàm biên Bellman chứng minh Ngoài mở đầu phần tài liệu tham khảo, luận văn gồm ba chương: Các khái niệm giải tích đa trị bao hàm thức vi phân, Tính chất tập nghiệp số dạng bao hàm thức vi phân, Ứng dụng vào toán điều khiển tối ưu ABSTRACT The theory function differential equation, also known as multi-valued differential equations, is one of the very strong research in the general theory of differential equations now The initial appearance of the theory of differential inclusion as an extension of the concept of ordinary differential equations, this theory increasingly strong penetration into the different areas of mathematics and other sciences thanks to its wide applications For a class of upper semicontinuous functional differential inclusions in Banach spaces with weakly compact cover right – hand side containing parameters, the set of solutions is proved to be a nonempty weakly compact set which depends upper semicontinuously on the initial funtion and parameters As an application of the obtained results, an optimal control problem for a system of functional differential equations is studied The existence of optimal solutions and the continuity of the Bellman marginal function are provided In addition to the Introduction and references, dissertation consists of three chapters: The basic concept of multi-valued calculus and differential inclusion, collective nature of the industry involves several differential equation, Application to optimal control problem MỤC LỤC Tờ nhiệm vụ luận văn Thạc sĩ Lời cám ơn Tóm tắt luận văn Thạc sĩ Lời cam đoan tác giả Luận văn Các ký hiệu chữ viết tắt Mở đầu Chương CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN CỦA GIẢI TÍCH ĐA TRỊ VÀ BAO HÀM THỨC VI PHÂN Tính liên tục ánh xạ đa trị 1.1 Ánh xạ đa trị 1.2 Tính nửa liên tục tính nửa liên tục ánh xạ đa trị 10 1.3 Định lý điểm bất động Ky Fan 15 Tích phân ánh xạ đa trị 16 2.1 Ánh xạ đa trị đo được, lát cắt đo 16 2.2 Tích phân ánh xạ đa trị 26 Khoảng cách Hausdorff 28 3.1 Không gian tập đóng khơng gian metric 28 3.2 Trường hợp không gian đều, đồng Hausdorff 35 3.3 Không gian tập lồi đóng khơng gian lồi địa phương 38 3.4 Tính liên tục hàm đa trị lồi 44 Chương TÍNH CHẤT TẬP NGHIỆM CỦA MỘT SỐ DẠNG BAO HÀM THỨC VI PHÂN Giới thiệu 50 Sự phụ thuộc tập nghiệm vào điều kiện ban đầu 51 Sự phụ thuộc tập nghiệm vào tham số 57 Chương ỨNG DỤNG VÀO BÀI TOÁN ĐIỀU KHIỂN TỐI ƯU 61 KẾT LUẬN 65 TÀI LIỆU THAM KHẢO 66 Các ký hiệu chữ viết tắt F: X ⇉ Y ánh xạ đa trị từ X vào Y domF miền hữu hiệu F rgeF miền ảnh F gphF đồ thị F F 1 : Y ⇉ X ánh xạ ngược F  x, y  đoạn thẳng 1  t  x  ty :  t  1 nối hai điểm x , y không gian véctơ X ¥ tập số nguyên dương ¡ tập số thực  tập rỗng ¡  ¡ U {   , } tập số thực suy rộng  0,1 tập số thực t  ¡ :  t  1  0,1 tập số thực t  ¡ :  t  1 n không gian Euclide n chiều ¡ 78 f x f  0    0 x&f  t   A  t  x  t   f  t  (2.4) Ta x f  t   z  t  , t   0, T  (2.5) f Hơn nữa, x        a  z   Giả sử trái ngược lại, có tồn t1 , t2 cho  t1  t2  T x f  t   z  t  t  0, t1  x f  t   z  t  t   t1 , t  (2.6) Vì z . hàm không giảm, nên   xtf  sup x f  t    ,   h, 0  z  t  t  0, t1  xt f  x f  t   z  t  , (2.7) với t   t1 , t2  Do đó, cách sử dụng (2.6) (2.7), bất đẳng thức sau với t   t1 , t2  t1 x f t  t      a  c  A  s     s  1  z  s  ds  c  A  s     s  1  xs ds t1 t    z  t1   c  A  s     s  1  xs ds t1 f f Với lý đây, ta thay x  t  xt vế trái bất đẳng thức Khi đó, sử dụng bổ đề Gronwall’s, ta : xt f  t    z  t1   1 exp  c  A  s     s  ds    t      t  t1   (a  1) exp  c  A  s     s  ds  c  A  s     s  ds     t1        t    a  1 exp  c  A  s     s  ds    z  t  ,     Với t   t1 , t2  , điều mâu thuẫn với (2.7) Do (2.5) chứng minh 79 Bây ta đưa vào hàm đa trị  phương pháp đặt, f  S ,   f   {g :  0, T   E : g đo g  t   F  t , xt f } Dễ thấy   f  tập lồi khác rỗng Hơn nữa, g    f  t   0, T  , cách sử dụng (2.iv) (2.5),  g  t   F  t , xt f     t   xt f  K   t  1  z t   K   t    Như vậy,   f  hàm đa trị với giá trị lồi khác rỗng từ  LE , LE * s  tập compact S vào Sử dụng cách làm giống phần chứng minh f Định lý 3.1, ta rút ra,  xác nhận điểm cố định f0  S , f  t   F  t , xt  h.k t   0, T  , đó, xem lại (2.4), x f0 . nghiệm FDI (2.1) – (2.2) Như vậy, rằng,   M , tập nghiệm N   (2.1) – (2.2) tập khác rỗng tập X xác định : X   x f , . : f  S  ,   M  Chúng ta nhận thấy X compact xem tập CE  h, T  Để hoàn thành chứng minh này, sử dụng định lý Ascoli, phải chứng minh tập X  t  :  x  t  : x  X  compact E t   h,T  X tập đồng liên tục đóng CE  h, T  Mệnh đề thứ hai rõ ràng X tập hợp đồng liên tục hoàn toàn CE  h, T  Hơn nữa, M compact CE  h,0 , nên với t   h,0 , M  t  :   t  :   M  compact E Nói cách khác, S compact yếu L1E ánh xạ tuyến tính x    t  x t f    1  s  f  s  ds liên tục yếu điểm cố định t   0, T  , dẫn đến tập hợp  t 1  X  t     t  M    t      s  f  s  ds : f  S   0  compact yếu t  0, T  Cuối cùng, tính đóng X chứng minh theo cách tương tự làm cho Định lý 3.1 Do đó, theo định lý Berge’s, 80 để hoàn tất phần chứng minh cho định lý này, cần phải graph đa hàm   N   đóng M  X Để làm điều này, ta xét  n , x n  chuỗi graph N hội tụ  , x   M  X Khi đó, rõ ràng t   0, T  , xtn hội tụ xt CE  h,0 , t   h,0 ,  n  t  hội tụ   t  E Nói cách khác, cách sử dụng định nghĩa, ta có : t x n  t     t   n      t    1  s  f n  s  ds , t   0, T  với f n  s   F  s, xsn  hầu hết giá trị s  0, T  , t x  t     t        t    1  s  f  s  ds , t   0, T  (2.8) Với f  S Vì S compact yếu L1E , chuỗi   fn  (với số  mũ giống nhau) hội tụ điểm g  S topơ yếu  L1E , LE , điều * s có nghĩa : t t lim  h  s  , f n  s  ds   h  s  , g  s  ds (2.9) n  0  Với h .  LE với giá trị cố định t   0, T  Cụ thể, cách đặt * s h .     e ' với e '  E*   LR  0, T  ,(2.9) cho ta  e ', f n  e ', g  n  Đối với tôpô yếu   L1R , LR  Vì vậy, sử dụng Định lý hội tụ (xem Định lý VI.6 [3]), dẫn đến g  s   F  s, xs  , hầu hết s   0, T  (2.10) Hơn nữa,  n  0    0 E , dẫn đến, e '  E* t   0, T  lim  e ',   t   n    e ',   t      n Hệ biễu diễn xn x ta : 81 t t lim    *1  s   *  t  e ', f n  s  ds     *1  s   *  t  e ', f  s  ds n  0 Kết hợp với (2.9) cho ta : t t   t    1  s  f  s  ds    t    1  s  g  s  ds , 0 Điều với (2.8) (2.10) cho thấy x  N   Như graph N đóng, hồn tất chứng minh định lý  Hệ 2.1 Đối với   M , tập hợp N   nghiệm FDI (2.1) –(2.2) compact CE  h, T  Hơn nữa, tập hợp N   N   compact M CE  h, T  Sự phụ thuộc tập nghiệm vào tham số Gọi Q không gian metric compact kết hợp với metric  E không gian Banach khả ly Lấy T  0, h    CE  h,0 cho trước Trong nội dung chúng tơi xem xét FDI có dạng : x& t   A  t,    F  t, xt ,   , t   0, T  (3.1) Với điều kiện ban đầu x t    t  , t   h,0 , (3.2) Trong vế bên phải (3.1) thỏa mãn giả thuyết sau : (3.i) Đối với  t,  ,     0, T   CE  h,0  Q, F  t , ,   tập lồi * khác rỗng,   E , E  compact E, (3.ii) Đối với  ,    CE  h,0  Q, F ., ,   hàm đa trị đo  0, T  , (3.iii) Đối với t  0, T  , F  t,.,. hàm đa trị nửa liên tục từ CE  h,0  Q vào E , 82 (3.iv) Điều kiện tăng tuyến tính : Đối với tất  t, ,     0, T   CE  h,0  Q; F  t ,  ,      t  1    K ,    K giống điều kiện (2.iv) nội dung phần chương (3.v) Đối với  t,    0, T   Q, A  t,    L  E  tồn hàm khả tích dương  cho A  t , 1   A  t ,      t   1 ,   với 1 ,   Q t   0, T  Định lý 3.1 : Với giả thuyết đây,   Q , tập hợp N   tập hợp tất nghiệm (3.1) – (3.2) tập khác rỗng CE  h, T  Hơn nữa, hàm đa trị N : Q  CE  h, T  nửa liên tục Chứng minh : Với   Q, lấy   t  nghiệm phương trình tuyến tính x& t   A  t,   x  t  Dễ thấy   t  viết dạng : t t s    t   I   A  s,  ds   A  s ,    A  s1 ,  dsds1  (3.3) 0 Sử dụng (3.v) tính compact Q, A  t ,    q  t  với q   đó, cách tính tốn đơn giản cho ta :    t   exp  pt  , t   0, T  (3.4) T p  q    s ds Hơn nữa, sử dụng (3.v) (3.3), dễ dàng thấy   t  liên tục mạnh  Bây giờ, chứng minh định lý 3.1, ta ký hiệu :   a  sup   t  , t    h,  , c1  sup  x , x  K  , c  max c1 ,1 ,  t  z  t    a  1 exp  c   q  s     s  ds   1, t   0, T  ,   Và   t     t  1  z  t   K , t   0, T  83 Đối với f  S   Q, ta định nghĩa : f , x   t  , t   h, 0  t t     t    t  1  s  f  s  ds, t   0, T  ,            (3.5) Và đặt : H   x f ,   : f  S  ,   Q  Khi đó, Sử dụng Định lý 2.1, giá trị cố định   Q , tập hợp N   tất nghiệm (3.1) – (3.2) tập khác rỗng H Hơn nữa, lập luận tương tự phần chứng minh Định lý 2.1, H compact xem tập CE  h, T  Như vậy, lại sử dụng Định lý Berge, tính nửa liên tục hàm đa trị   N   chứng minh cách chứng tỏ graph N đóng với khơng gian compact Q  H Để hoàn tất chứng minh, lấy  n , x n  chuỗi graph N hội tụ  , x   Q  H Điều dẫn đến, đối CE  h, T  n  Nói cách khác,  với t  0, T  , xtn  xt Tôpô lấy f n f tập hợp tương ứng đo  biễu diễn tích phân (3.5) xn x Khi đó, dễ thấy giá trị cố định t   0, T  , n  t    0    t    0 E n  Điều cho thấy : t t lim   n  t    n1 f n  s  ds     t    1 f  s  ds (3.6) n  0 E Khơng tính tổng qt, giả sử f n hội tụ   g  S tôpô yếu  L1E , LE* Vì x n  N  n  , định nghĩa ta có : s f n  s   F  s , xsn ,  n  Do đó, ta áp dụng Định lý hội tụ để có g  s   F  s, xs ,   h.k  0,T  Vì f n tiến g tôpô yếu L1E , nên e '  E * t   0, T  ta có  e ',   t  1 . fn .    e ',    t   1   g    (3.7) 84 Khi n  tôpô yếu   L1R , LR  Khi t n t   e ',   t    s   f  s   g  s    ds  1   t 1  1 n   e ',   t    s  f  s     t    s  f  s   ds   n n t   e ',    t    s    t    s   f  s   ds  1 n n 1   n t   e ',   t    s   f  s   g  s    ds 1   n Từ (3.6) (3.7), ta nhận thấy hạng tử hạng tử thứ ba vế bên phải bất đẳng thức tiến n  Xét hạng tử thứ hai : t   e ',    t    s     t    s   f  s   ds  n 1 n 1   n t e '  n  t   n1  s      t   1  s  f n  s  ds  Vì  . 1 . liên tục  f n khả tích bị chặn đều, nên hạng tử thứ hai tiến n  Do đó, rút : t t 1 1     t     s  f  s  ds      t     s  g  s  ds 0 Vì vậy, x  x f ,  x g , với g  s   F  s, xs ,   , nghĩa x  N   hoàn tất chứng minh định lý. Hệ 3.2 : Tập hợp N   tất nghiệm FDI (3.1) – (3.2) compact CE  h, T  Hơn nữa, tập hợp N  U N   compact CE  h, T   Q 85 Chương ỨNG DỤNG VÀO BÀI TOÁN ĐIỀU KHIỂN TỐI ƯU Trong phần này, áp dụng số kết đạt phần trước vào toán điều khiển tối ưu hệ phương trình bao hàm thức vi phân Cho E U không gian Banach khả ly, T  h  cho trước M tập lồi CE   h,0  cho M tập compact hội tụ CE  h,0 Cho  :  0,T   U hàm đa trị đo nhận giá trị compact yếu khác rỗng có giá trị U Cho f :  0, T   CE  h,0 U  E hàm cho thỏa mãn giả thuyết sau : (1.i) f  ,  , u  hàm đo được, với , u   CE  h,0 U ; (1.ii) f  t ,.,. : CE  h,0 U  E hàm liên tục, với t   0, T  ; (1.iii) f  t,  ,   t   tập lồi khác rỗng, với  t ,   0, T   CE ; (1.iv) Tồn hàm khả tích xác định    tập hợp B compact yếu lồi cân thỏa : f  t ,  ,   t    1      t  B Cho  : CE  h,0  CE  h, T   R hàm lồi liên tục, lồi Chúng ta xem xét toán điều khiển tối ưu (P) :   J   :   , x    : x .  N f   , N f   tập hợp tất quỹ đạo chấp nhận hệ điều khiển (CS) : x& t   f  t, xt , u  t   , h.k t   0, T  , (1.1) x t    t  , t   h,0 , u  t    t  , h.k t   0, T  , (1.2) (1.3) 86 Ta nhắc lại hàm liên tục x . :  h, T   E quỹ đạo chấp nhận hệ thống điều khiển (CS) tồn hàm đo u . :  0, T   U thỏa mãn (1.3) cho (1.1) (1.2) cho trước Ta đặt G  t,    f  t,  ,   t   ý N G   tập hợp tất nghiệm bao hàm thức vi phân sau : x& t   G  t, xt  , h.k t   0, T  , x t    t  , t   h,0 , (1.4) (1.5) Sau dễ dàng kiểm tra lại FDI thỏa mãn tất giả thuyết định lý 2.1 Do đó, với   M , N G   tập hợp khác rỗng CE  h, T  , compact tơpơ CE  h, T  , NG   hàm đa trị nửa liên tục từ M vào CE  h, T  Bổ đề 3.1 N f    N G   ,   C E   h,  Chứng minh : Bao hàm thức N f    N G   hiển nhiên, điều cho thừa nhận x . thỏa (1.4) – (1.5) Tiếp theo, ta đặt : g g : f ,   t  : x  t  ,   t  :  xt     t  , ta có   t   g  t ,   t   dễ dàng kiểm tra tất giả thuyết định lý hàm ẩn Fillipov – Castaing (Định lý III 38 [3]) thỏa mãn Điều tồn hàm đo   t    t  thỏa   t   g  t,   t   , hay x& t   f  t , xt , v  t   với số hàm đo v  t    t  Do x .  N f   bổ đề chứng minh xong  Bổ đề 3.2 Cho Z  CE  a, b  tập lồi compact Thì Z compact xem tập CE  a, b  Chứng minh 87 Vì Z compact CE  a, b  nên kéo theo Z  t  :  x  t  : x  Z tập compact E Z đồng liên tục CE Do đó, Z(t) compact yếu Z đồng liên tục C E , từ định lý Ascoli, Z compact tương đối  C E Điều chứng tỏ Z đóng C E Thực tế, từ Định đề 0.4.9 [4], Z đóng theo nguyên lý hội tụ điểm tơpơ Ea,b suy ra, đóng tơpơ tích Y :  E t , t   a, b  Vì Z lồi, điều Z đóng tơpơ yếu  Y , Y *  Mặt khác, theo Định lý 4.3 [8, chương 4] ta có    Y , Y *      E t , E *t  , t   a, b  a,b Suy Z đóng theo ngun lý hội tụ điểm tơpơ tích E  Sự đồng liên tục Z C E ra, xem lại (Định đề 0.4.9 [4]), Z  đóng theo nguyên lý hội tụ tôpô C E chứng tỏ  Từ việc chứng minh bổ đề trên, đạt Hệ 3.3 Nếu Z tập đóng, lồi, đồng liên tục C E Z tập đóng C E  Bây phát biểu kết chương Định lý 3.4 Những giả thuyết đề cập đây, toán điều khiển tối ưu (P) có lời giải tối ưu hàm Bellman J   hàm nửa liên tục từ M vào R Chứng minh : Từ bổ đề 3.1, N f    N G   với   M , điều dẫn đến, từ định lý 2.1 N f   tập compact khác rỗng CE  h, T  Chúng ta ý rằng, từ việc chứng minh định lý 2.1 trên, N f   tập tập lồi X :  x g , : g  S  ,   M  , đây, định nghĩa : 88   t   1  z  t     t  B, t z  t    a  1 exp(c    s  ds )  1,   a  sup    ,   M ,    h,  , c  sup  x , x  B , Và x g ,    t  , t    h, 0 ,  t t      0   g  s  ds, t   0, T   Điều dẫn đến X đồng liên tục CE  h, T  X (bao hàm đóng X C E ) đồng liên tục C E Vì hàm   ,  : X  R lồi liên tục, nên với   R , tập  Z     x .  X :  , x .     đồng liên tục, đóng, tập lồi C E Do đó, từ Hệ 3.3, Z    đóng C E Có nghĩa   ,  nửa liên tục X xem hàm từ  CE  h, T  vào R Do đó, tập hợp quỹ đạo chấp nhận N f   tập compact C E phải nhận điểm cực tiểu cho   ,  lời giải  tối ưu toán (P) Lúc này, từ M lồi compact CE  h,0 , kết với trình bày hàm lồi  ., x  nửa liên tục M xem hàm từ CE  h,0 vào R Cho nên cần áp dụng (Định lý [1] 2.5, Chương 2) để kết luận hàm Bellman   J      , x .  , x .  N f   nửa liên tục M Định lý chứng minh  89 KẾT LUẬN Tính chất tập nghiệm bao hàm thức vi phân hướng nghiên cứu mới, quan tâm nghiên cứu nhiều người lĩnh vực phương trình vi phân ứng dụng Với việc sử dụng rộng rãi ngày hiệu nhiều cơng cụ sâu sắc khác tốn học đại, đặc biệt thành tựu giải tích phi tuyến vào giải tích đa trị, hướng nghiên cứu có triển vọng phát triển mạnh mẽ đạt ngày nhiều kết Các hướng nghiên cứu phát triển sau vấn đề tồn nghiệm, tính chất định tính bao hàm thức vi phân phiếm hàm với vế phải ánh xạ đơn điệu vấn đề tính trù mật tập nghiệm,… Nội dung chủ yếu luận văn: 1) Nêu khái niệm giải tích đa trị bao hàm thức vi phân 2) Chứng minh tính chất tập nghiệm bao hàm thức vi phân phụ thuộc vào điều kiện đầu tham số 3) Ứng dụng kết đạt vào tốn điều khiển tối ưu Tơi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc Thầy Nguyễn Đình Huy hết lịng hướng dẫn, giúp đỡ tơi q trình hồn thành luận văn Tơi xin chân thành cảm ơn q thầy Bộ mơn Tốn ứng dụng trường Đại học Bách Khoa tận tình giảng dạy, hướng dẫn cho học viên cao học chúng tơi hồn thành mơn học kiến thức chương trình đào tạo cao học ngành Tốn ứng dụng Tơi xin chân thành cảm ơn Phịng Đào tạo Sau đại học trường đại học Bách Khoa tạo điều kiện tốt học viên chúng tơi có điều kiện học tập nghiên cứu suốt khóa học vừa qua Tơi xin chân thành cảm ơn 90 TÀI LIỆU THAM KHẢO A ubin J.-P.: Mathematical Methods of Games and Economic Theory, North Holland, Amsterdam, 1979 A ubin J.-P and Cellina A : Differential Inclusions, Springer-Verlag, Berlin, 1984 C astaing C and Valadier M : Convex Analysis and Measurable Multifunc-tions, Lect Notes in Math.,580, Springer-Verlag, Berlin, 1977 E dwards R E.: Functional Analysis, Holt, New York, 1965 H addad G : Topological properties of the set of solution for functional differential inclusions, Nonlinear Anal Theory Methods Appl., (1981), 1349 – 1366 H immelberg C.J and Van Vleck F.S : A note on the solution sets of differ-ential inclusions, Rocky Montain J Math., 12 (1982),621-625 N guyen Dinh Huy and Nguyen Khoa Son : On the existence of solutions for functional differential inclusions in Banach spaces, Acta Math Viet No 1, 16 (1991), 49-60 S chaefer H.H : Topological vector spaces, Macmillan co., New York, 1966 N guyen Khoa Son : Linear systems with state constraints in Banach spaces, Acta Math Viet., N.1, 7(1982), 71-86 91 10 T olstonogov A.A : Differential Inclusions in Banach Spaces, Acad Sci., Siberian Branch, Novosibrisk, 1986 (Russian) 11 N guyễn Đình Huy: Existence of solutions for a class of functional differential inclusions Bin Banach spaces, Tạp chí tốn học, Tom 18, No 3, (1990) 12 N guyễn Đơng n: Giáo trình giải tích đa trị, Viện Tốn học Việt Nam, năm 2007 LÝ LỊCH TRÍCH NGANG Họ tên: Nguyễn Văn Mừng Ngày, tháng, năm sinh: 20/05/1984 Nơi sinh: Kiên Giang Địa liên lạc: 286 – Khóm Tân Huề, Phường Tân Qui Đơng, TP.Sa Đéc, Đồng Tháp QUÁ TRÌNH ĐÀO TẠO - Từ năm 2002 đến năm 2007 Sinh viên Trường Đại Học Cần Thơ, chuyên ngành Đại Học Sư Phạm Toán – Tin học - Từ năm 2012 đến nay, học viên Cao học ngành Toán Ứng Dụng trường Đại Học Bách Khoa TP.HCM Q TRÌNH CƠNG TÁC - Từ năm 2007 đến năm 2009 giáo viên trường Trung học phổ thông Vĩnh Hòa, tỉnh Kiên Giang - Từ năm 2009 đến Giảng viên khoa Công nghệ thông tin trường Cao đẳng Nghề tỉnh Đồng Tháp ... trình vi phân phiếm hàm, sau đời tự nhiên lý thuyết bao hàm thức vi phân phiếm hàm Lý thuyết bao hàm thức vi phân phiếm hàm tổng quát, bao hàm lớp bao hàm thức vi phân có chậm bao hàm thức vi phân. .. số tính chất định tính tập nghiệm bao hàm thức vi phân dạng R n Mục đích luận văn tập trung nghiên cứu tính chất tập nghiệm dạng bao hàm thức vi phân phụ thuộc vào điều kiện ban đầu, tham số ứng. .. Toán Ứng Dụng Mã số: 60460112 I TÊN ĐỀ TÀI: TÍNH CHẤT TẬP NGHIỆM CỦA MỘT DẠNG BAO HÀM THỨC VI PHÂN VÀ ỨNG DỤNG II NHIỆM VỤ VÀ NỘI DUNG:  Chương Các khái niệm giải tích đa trị bao hàm thức vi phân