Trình chiếu tính ổn định yếu của một lớp bao hàm thức vi phân cấp phân số với hiệu ứng xung

Mở đầu Chương Chương Tính ổn định yếu lớp bao hàm thức vi phân cấp phân số với hiệu ứng xung Người hướng dẫn khoa học : PGS.TS Trần Đình Kế Học viên : Quản Thị Bạch Mai Mã học viên : K24-0124 Hà Nội, 26-10-2016 Học viên: Quản Thị Bạch Mai Người hướng dẫn: PGS.TS Trần Đình Kế Hà Nội, 26-10-2016 / 27 Mở đầu Chương Chương Lý chọn đề tài Xét hệ vi phân D0α u(t) ∈ Au(t) + F (t, u(t), ut ), t > 0, t = tk , k ∈ Λ, (1) ∆u(tk ) = Ik (u(tk )), (2) u(s) = ϕ(s), s ∈ [−h, 0], Học viên: Quản Thị Bạch Mai Người hướng dẫn: PGS.TS Trần Đình Kế (3) Hà Nội, 26-10-2016 / 27 Mở đầu Chương Chương Lý chọn đề tài Xét hệ vi phân D0α u(t) ∈ Au(t) + F (t, u(t), ut ), t > 0, t = tk , k ∈ Λ, (1) ∆u(tk ) = Ik (u(tk )), (2) u(s) = ϕ(s), s ∈ [−h, 0], (3) C D0α , α ∈ (0, 1), đạo hàm bậc phân số theo nghĩa Caputo, A toán tử tuyến tính đóng X sinh nửa nhóm liên tục mạnh W (·), F : R+ × X × C ([−h, 0]; X ) → P(X ) ánh xạ đa trị, ∆u(tk ) = u(tk+ ) − u(tk− ), k ∈ Λ ⊂ N, Ik hàm xung định nghĩa cụ thể mục sau Học viên: Quản Thị Bạch Mai Người hướng dẫn: PGS.TS Trần Đình Kế Hà Nội, 26-10-2016 / 27 Mở đầu Chương Chương 2 Cấu trúc luận văn Chương 1: Kiến thức chuẩn bị Học viên: Quản Thị Bạch Mai Người hướng dẫn: PGS.TS Trần Đình Kế Hà Nội, 26-10-2016 / 27 Mở đầu Chương Chương 2 Cấu trúc luận văn Chương 1: Kiến thức chuẩn bị Chương 2: Tính giải toàn cục Học viên: Quản Thị Bạch Mai Người hướng dẫn: PGS.TS Trần Đình Kế Hà Nội, 26-10-2016 / 27 Mở đầu Chương Chương 2 Cấu trúc luận văn Chương 1: Kiến thức chuẩn bị Chương 2: Tính giải toàn cục Chương 3: Tính ổn định yếu điểm cân Học viên: Quản Thị Bạch Mai Người hướng dẫn: PGS.TS Trần Đình Kế Hà Nội, 26-10-2016 / 27 Mở đầu Chương Chương Chương 2: Tính giải toàn cục Xét toán C D0α u(t) ∈ Au(t) + F (t, u(t), ut ), t > 0, t = tk , k ∈ Λ, ∆u(tk ) = Ik (u(tk )), u(s) = ϕ(s), s ∈ [−h, 0], Học viên: Quản Thị Bạch Mai Người hướng dẫn: PGS.TS Trần Đình Kế Hà Nội, 26-10-2016 / 27 Mở đầu Chương Chương Chương 2: Tính giải toàn cục Xét toán C D0α u(t) ∈ Au(t) + F (t, u(t), ut ), t > 0, t = tk , k ∈ Λ, ∆u(tk ) = Ik (u(tk )), u(s) = ϕ(s), s ∈ [−h, 0], C D0α , α ∈ (0, 1), đạo hàm bậc phân số theo nghĩa Caputo, A toán tử tuyến tính đóng X sinh nửa nhóm liên tục mạnh W (·), F : R+ × X × C ([−h, 0]; X ) → P(X ) ánh xạ đa trị, ∆u(tk ) = u(tk+ ) − u(tk− ), k ∈ Λ ⊂ N, Ik hàm xung định nghĩa cụ thể mục sau Học viên: Quản Thị Bạch Mai Người hướng dẫn: PGS.TS Trần Đình Kế Hà Nội, 26-10-2016 / 27 Mở đầu Chương Chương Không gian hàm độ đo Với J = [a, b] ⊂ R, đặt E = PC (J; X ) không gian hàm liên tục khúc J nhận giá trị X Ký hiệu χPC độ đo Hausdorff PC (J; X ) Học viên: Quản Thị Bạch Mai Người hướng dẫn: PGS.TS Trần Đình Kế Hà Nội, 26-10-2016 / 27 Mở đầu Chương Chương Không gian hàm độ đo Với J = [a, b] ⊂ R, đặt E = PC (J; X ) không gian hàm liên tục khúc J nhận giá trị X Ký hiệu χPC độ đo Hausdorff PC (J; X ) Trong trường hợp J = [−h, +∞), ta xét không gian u(t) = 0}, t→+∞ (t) PC ([−h, +∞); X ) = {u ∈ PC ([−h, +∞); X ) : lim : R+ → [1, +∞) hàm liên tục không giảm Khi đó, PC ([−h, +∞); X ) với chuẩn u sup = t∈[−h,0] u(t) + sup t≥0 u(t) , (t) không gian Banach Học viên: Quản Thị Bạch Mai Người hướng dẫn: PGS.TS Trần Đình Kế Hà Nội, 26-10-2016 / 27 Mở đầu Chương Chương Bổ đề 2.6 Giả thiết Bổ đề 2.5 Nếu t (t − s)α−1 Pα (t − s) µk + sup := MA k∈Λ t≥0 χ k(s)ds < ∞, (7) ta có χ∞ (F(D)) ≤ · χ∞ (D), với tập bị chặn D ⊂ PC Học viên: Quản Thị Bạch Mai Người hướng dẫn: PGS.TS Trần Đình Kế Hà Nội, 26-10-2016 13 / 27 Mở đầu Chương Chương Bổ đề 2.7 Giả thiết Bổ đề 2.5 Giả sử σt ϑ := sup t>0 t κ := sup t>0 σt Pα (t − s) m(s)ds < ∞, (t − s) (8) (t − s)α−1 Pα (t − s) m(s)ds < ∞, (t − s) (9) với σ ∈ (0, 1), d∞ (F(D)) ≤ 2κ · d∞ (D), (10) với tập bị chặn D ⊂ PC Học viên: Quản Thị Bạch Mai Người hướng dẫn: PGS.TS Trần Đình Kế Hà Nội, 26-10-2016 14 / 27 Mở đầu Chương Chương Bổ đề 2.8 Giả sử (A), (F) (I) thỏa mãn Khi đó, toán tử nghiệm F χ∗ -nén với điều kiện µk + 8(t − s)α−1 Pα (t − s) = MA k∈Λ σt ϑ = sup t>0 t κ = sup t>0 σt χ k(s)ds < 1, Pα (t − s) m(s)ds < ∞, (t − s) (11) (12) (t − s)α−1 Pα (t − s) m(s)ds < , (t − s) (13) với σ ∈ (0, 1) Học viên: Quản Thị Bạch Mai Người hướng dẫn: PGS.TS Trần Đình Kế Hà Nội, 26-10-2016 15 / 27 Mở đầu Chương Chương Định lí 2.9 Giả thiết Bổ đề 2.8 Giả sử t lk + sup MA k∈Λ t>0 (t − s)α−1 Pα (t − s) m(s) ds < 1, (t − s) (14) đó, toán (1)-(3) có nghiệm tích phân PC Học viên: Quản Thị Bạch Mai Người hướng dẫn: PGS.TS Trần Đình Kế Hà Nội, 26-10-2016 16 / 27 Mở đầu Chương Chương Chương :Tính ổn định yếu điểm cân Ký hiệu Σ(ϕ) tập nghiệm bà toán (1)-(3) ứng với điều kiện ban đầu ϕ cho ∈ Σ(0) Nghiệm không toán (1)-(3) gọi ổn định tiệm cận yếu ổn định: với > 0, tồn δ > cho ϕ h < δ ut h < với u ∈ Σ(ϕ) t > 0, · h ký hiệu chuẩn sup C ([−h, 0]; X ); hút yếu: với ϕ ∈ B, tồn u ∈ Σ(ϕ) thỏa mãn ut t → +∞ Học viên: Quản Thị Bạch Mai Người hướng dẫn: PGS.TS Trần Đình Kế h → Hà Nội, 26-10-2016 17 / 27 Mở đầu Chương Chương 3.1 Giả thiết (A*) Nửa nhóm W (·) sinh A liên tục theo chuẩn ổn định mũ, W (t)x ≤ MA e −βt x , ∀t ≥ 0, x ∈ X (F*) Hàm phi tuyến đa trị F thỏa mãn ( F) với m ∈ L1 (R+ ) ∩ Lploc (R+ ) Học viên: Quản Thị Bạch Mai Người hướng dẫn: PGS.TS Trần Đình Kế Hà Nội, 26-10-2016 18 / 27 Mở đầu Chương Chương Mệnh đề 3.1 Nếu giả thiết (A*) thỏa mãn, toán tử giải thức Sα (·), Pα (·) ổn định tiệm cận, tức Sα (t) , Pα (t) → t → +∞ Chọn (t) ≡ với t ≥ 0, ta có Sα (t) Pα (t) , → t → +∞ (t) (t) Học viên: Quản Thị Bạch Mai Người hướng dẫn: PGS.TS Trần Đình Kế Hà Nội, 26-10-2016 19 / 27 Mở đầu Chương Chương Xét không gian PC0 = {u ∈ PC ([0, +∞); X ) : lim u(t) = 0}, t→+∞ với chuẩn u ∞ = sup u(t) t≥0 PC không gian Banach Học viên: Quản Thị Bạch Mai Người hướng dẫn: PGS.TS Trần Đình Kế Hà Nội, 26-10-2016 20 / 27 Mở đầu Chương Chương Định lí 3.2 Giả sử (A*), (F*), (I) thỏa mãn Khi đó, toán (2.1)- (2.3) có nghiệm tích phân thỏa mãn u(t) = o(1) t → +∞, với điều kiện t (t − s)α−1 Pα (t − s) µk + sup = MA t≥0 k∈Λ < 1, (15) (t − s)α−1 Pα (t − s) m(s)ds < (16) χ k(s)ds t lk + sup = MA k∈Λ t>0 Định lí (3.3) Với giả thiết Định lí (3.2) thỏa mãn Khi đó, nghiệm không toán (1)-(3) ổn định tiệm cận yếu Học viên: Quản Thị Bạch Mai Người hướng dẫn: PGS.TS Trần Đình Kế Hà Nội, 26-10-2016 21 / 27 Mở đầu Chương Chương 3.2 Áp dụng Xét hệ vi phân lưới dα ui (t) = (Au(t))i + fi (t), t > 0, t = tk , k ∈ N, dt α fi (t) ∈ [f1i (t, ui (t), ui (t − ρ(t))), f2i (t, ui (t), ui (t − ρ(t)))], ui (s) = ϕi (s), s ∈ [−h, 0], τj > 0, → (20) dα đạo hàm theo nghĩa Caputo dt α toán tử tuyến tính xác định u = (ui ) : [−h, +∞) → (18) (19) ∆ui (tk ) = Iik (ui (tk )), bậc α ∈ (0, 1), A : (17) 2, (Av )i = vi+1 − (2 + λ)vi + vi−1 , v ∈ , ρ : R+ → [0, h] hàm liên tục, λ số dương, không gian dãy (v ) i i∈Z thỏa mãn i∈Z vi < ∞ Học viên: Quản Thị Bạch Mai Người hướng dẫn: PGS.TS Trần Đình Kế Hà Nội, 26-10-2016 22 / 27 Mở đầu Chương Chương Hệ coi mô hình nửa rời rạc bao hàm thức: ∂α ∂2 u(x, t) = u(x, t) − λu(x, t) + f (x, t), x ∈ R, t > 0, ∂t α ∂x f (x, t) ∈ [f1 (x, t, u(x, t), u(x, t − ρ(t))), f2 (x, t, u(x, t), u(x, t − ρ(t)))], ∆u(x, tk ) = Ik (x, u(x, tk )), u(x, s) = ϕ(x, s), s ∈ [−h, 0], ta rời rạc hóa biến x Học viên: Quản Thị Bạch Mai Người hướng dẫn: PGS.TS Trần Đình Kế Hà Nội, 26-10-2016 23 / 27 Mở đầu Chương Chương (N1) Các hàm f1i , f2i : R+ × R2 → R, i ∈ Z, liên tục thỏa mãn max{|f1i (t, y , z)|2 , |f2i (t, y , z)|2 } ≤ m2 (t)(|y |2 +|z|2 ), ∀(t, η, z) ∈ R+ ×R2 m ∈ C (R+ ; R+ ) thỏa mãn m(t) ≤ Cm với Cm > + t α+1 (N2) Các hàm Iik : R → R, i ∈ Z, k ∈ N, hàm liên tục |Iik (y )| ≤ lk |y |, với {lk : k ∈ N} dãy không âm thỏa mãn Học viên: Quản Thị Bạch Mai Người hướng dẫn: PGS.TS Trần Đình Kế k∈N lk < ∞ Hà Nội, 26-10-2016 24 / 27 Mở đầu Chương Chương Từ giả thiết N1 N2 dẫn đến điều kiện (15)-(16) thỏa mãn với hệ số Cm , lk , cj nhỏ, ta thu tính ổn định tiệm cận yếu nghiệm không hệ (17)-(20) Học viên: Quản Thị Bạch Mai Người hướng dẫn: PGS.TS Trần Đình Kế Hà Nội, 26-10-2016 25 / 27 Mở đầu Chương Chương Kết luận Luận văn trình bày số kết tính giải tính ổn định yếu hệ vi phân bậc phân số chứa xung trễ hữu hạn Việc chứng minh tính giải tính ổn định yếu điểm cân sử dụng nguyên lý điểm bất động cho ánh xạ nén việc lựa chọn độ đo không compact không gian nghiệm đóng vai trò quan trọng Các kết trình bày dựa công trình nhóm tác giả Trần Đình Kế–Đỗ Lân, em xem xét mô hình đơn giản Từ đó, điều kiện đặt giảm nhẹ Các kết trình bày luận văn mở rộng cho hệ vi phân bậc phân số chứa xung với trễ vô hạn Học viên: Quản Thị Bạch Mai Người hướng dẫn: PGS.TS Trần Đình Kế Hà Nội, 26-10-2016 26 / 27 Mở đầu Chương Chương EM XIN TRÂN TRỌNG CẢM ƠN! Học viên: Quản Thị Bạch Mai Người hướng dẫn: PGS.TS Trần Đình Kế Hà Nội, 26-10-2016 27 / 27 [...]... với các hệ số Cm , lk , cj nhỏ, ta thu được tính ổn định tiệm cận yếu của nghiệm không của hệ (17)-(20) Học vi n: Quản Thị Bạch Mai Người hướng dẫn: PGS.TS Trần Đình Kế Hà Nội, 26-10-2016 25 / 27 Mở đầu Chương 1 Chương 2 Kết luận Luận văn trình bày một số kết quả về tính giải được và tính ổn định yếu của một hệ vi phân bậc phân số chứa xung và trễ hữu hạn Vi c chứng minh tính giải được và tính ổn định. .. (1)-(3) có ít nhất một nghiệm tích phân trong PC Học vi n: Quản Thị Bạch Mai Người hướng dẫn: PGS.TS Trần Đình Kế Hà Nội, 26-10-2016 16 / 27 Mở đầu Chương 1 Chương 2 Chương 3 :Tính ổn định yếu của điểm cân bằng Ký hiệu Σ(ϕ) là tập nghiệm của bà toán (1)-(3) ứng với điều kiện ban đầu ϕ sao cho 0 ∈ Σ(0) Nghiệm không của bài toán (1)-(3) được gọi là ổn định tiệm cận yếu nếu nó là 1 ổn định: với mọi > 0, tồn... s ∈ [−h, 0], τj > 0, → 2 (20) dα là đạo hàm theo nghĩa Caputo dt α là toán tử tuyến tính xác định bởi trong đó u = (ui ) : [−h, +∞) → 2 (18) (19) ∆ui (tk ) = Iik (ui (tk )), bậc α ∈ (0, 1), A : (17) 2, (Av )i = vi+ 1 − (2 + λ )vi + vi 1 , v ∈ 2 , ρ : R+ → [0, h] là một hàm liên tục, λ là một số dương, 2 là không gian các dãy (v ) 2 i i∈Z thỏa mãn i∈Z vi < ∞ Học vi n: Quản Thị Bạch Mai Người hướng dẫn:... s)α−1 Pα (t − s) m(s)ds < 1 (16) χ k(s)ds 0 t lk + 2 sup = MA k∈Λ t>0 0 Định lí (3.3) Với các giả thiết của Định lí (3.2) thỏa mãn Khi đó, nghiệm không của bài toán (1)-(3) là ổn định tiệm cận yếu Học vi n: Quản Thị Bạch Mai Người hướng dẫn: PGS.TS Trần Đình Kế Hà Nội, 26-10-2016 21 / 27 Mở đầu Chương 1 Chương 2 3.2 Áp dụng Xét hệ vi phân lưới dα ui (t) = (Au(t))i + fi (t), t > 0, t = tk , k ∈ N, dt α... 2 Cố định ϕ ∈ C ([−h, 0]; X ), với u ∈ PC , đặt u[ϕ](t) = u(t) ϕ(t) nếu t > 0, nếu t ≤ 0 Ký hiệu PFp (u) = {f ∈ Lploc (R+ ; X ) : f (t) ∈ F (t, u(t), u[ϕ]t ) hầu khắp t ∈ R+ } Học vi n: Quản Thị Bạch Mai Người hướng dẫn: PGS.TS Trần Đình Kế Hà Nội, 26-10-2016 9 / 27 Mở đầu Chương 1 Chương 2 Định nghĩa 2.1 Hàm u : [−h, +∞) → X được gọi là một nghiệm tích phân của bài toán (1)-(3) nếu u(t) = ϕ(t) với. .. định yếu của điểm cân bằng sử dụng nguyên lý điểm bất động cho ánh xạ nén và vi c lựa chọn độ đo không compact trên không gian nghiệm đóng vai trò quan trọng Các kết quả được trình bày dựa trên các công trình của nhóm tác giả Trần Đình Kế–Đỗ Lân, nhưng em xem xét một mô hình đơn giản hơn Từ đó, các điều kiện đặt ra được giảm nhẹ Các kết quả trình bày trong luận văn có thể mở rộng cho các hệ vi phân. .. h < với mọi u ∈ Σ(ϕ) và t > 0, ở đây · h ký hiệu chuẩn sup trong C ([−h, 0]; X ); 2 hút yếu: với mọi ϕ ∈ B, tồn tại u ∈ Σ(ϕ) thỏa mãn ut t → +∞ Học vi n: Quản Thị Bạch Mai Người hướng dẫn: PGS.TS Trần Đình Kế h → 0 khi Hà Nội, 26-10-2016 17 / 27 Mở đầu Chương 1 Chương 2 3.1 Giả thiết (A*) Nửa nhóm W (·) sinh bởi A là liên tục theo chuẩn và ổn định mũ, W (t)x ≤ MA e −βt x , ∀t ≥ 0, x ∈ X (F*) Hàm phi... Chương 1 Chương 2 (N1) Các hàm f1i , f2i : R+ × R2 → R, i ∈ Z, liên tục và thỏa mãn max{|f1i (t, y , z)|2 , |f2i (t, y , z)|2 } ≤ m2 (t)(|y |2 +|z|2 ), ∀(t, η, z) ∈ R+ ×R2 trong đó m ∈ C (R+ ; R+ ) thỏa mãn m(t) ≤ Cm với Cm > 0 1 + t α+1 (N2) Các hàm Iik : R → R, i ∈ Z, k ∈ N, là các hàm liên tục và |Iik (y )| ≤ lk |y |, với {lk : k ∈ N} là một dãy không âm thỏa mãn Học vi n: Quản Thị Bạch Mai Người... (s)ds, với t > 0 + 0 Học vi n: Quản Thị Bạch Mai Người hướng dẫn: PGS.TS Trần Đình Kế Hà Nội, 26-10-2016 10 / 27 Mở đầu Chương 1 Chương 2 Với ϕ ∈ C ([−h, 0]; X ) cho trước, xét F : PC → P(PC ) xác định bởi F(u)(t) = Sα (t)ϕ(0) + Sα (t − tk )Ik (u(tk )) 0