Luận văn tập hút lùi cho một lớp bao hàm thức vi phân hàm

B GIO DC V O TO TRNG I HC s PHM H NI INH TH VN KHNH TP HT LI CHO MT LP BAO HM THC VI PHN HM Chuyờn ngnh: Toỏn gii tớch Mó s: 60 46 01 02 LUN VN THC S TON HC Ngi hng dn khoa hc: TS. TRN èNH K H NI, 2015 Li cm n Trc trỡnh by ni dung chớnh ca khúa lun, em xin by t lũng bit n sõu sc ti TS Trn ỡnh K ngi ó tn tỡnh hng dn em cú th hon thnh khúa lun ny. Em cng xin by t lũng bit n chõn thnh ti ton th cỏc thy cụ giỏo phũng sau i hc, trng i hc s phm H Ni ó dy bo em tn tỡnh sut quỏ trỡnh hc tp. Nhõn dp ny em cng xin c gi li cm n chõn thnh ti gia ỡnh, bn bố ó luụn bờn em, c v, ng viờn, giỳp em sut quỏ trỡnh hc v hon thnh lun vn. H Ni, thỏng 01 nm 2015 Hc viờn inh Th Võn Khỏnh Li cam oan Tụi xin cam oan, di s hng dn ca TS Trn ỡnh K, lun Thc s chuyờn ngnh Toỏn gii tớch vi ti Tp hỳt lựi cho mt lp bao hm thc vi phõn hm c hon thnh bi nhn thc ca bn thõn tỏc gi. Trong quỏ trỡnh nghiờn cu thc hin lun vn, tỏc gi ó k tha nhng thnh tu ca cỏc nh khoa hc vi s trõn trng v bit n. H Ni, thỏng 01 nm 2015 Tỏc gi inh Th Võn Khỏnh Mc lc M u (1 ) (2 ) 1. t Xột bi toỏn sau u'(t) e Au(t) + F(u(t),u t ) + g(t), t> T, u T {s) = Q. Toỏn t A : D(A) c X -} Mnh 1.1. Hm sinh ca na nhúm liờn tc mnh l toỏn t tuyn tớnh úng, cú xỏc nh trự mt khụng gian Banach X v xỏc nh nht. Cho A l toỏn t tuyn tớnh úng. c : XI A l song ỏnh }. Tp gii thc ca A l p(A) = {A Ph ca A l (A) = p{A). Gii thc R(X, A) = (XI A) p{A). B 1.1. c l na nhúm liờn tc mnh cú hm sinh A cho ||T(ớ)|| < Me u t vi M > v Lỳ M. Nu ReX > c thỡ X p() v 00 Cụng thc R(X,A) J e ca gii thc. 00 Xs T(s)ds gi cụng thc biu din tớch phn nh lý 1.1 (nh lớ Hille-Yosida). iu kin cn v mt toỏn t tuyn tớnh úng A vi xỏc nh trự mt khụng gian Danach X sinh mt na nhúm liờn tc mnh {T(t)) >0 l tn ti M > l,w G M cho vi mi s thc X > ĩJ thỡ X G p() v Trong trng hp ny ||T(t)|| < Me u t . ~^~ ~ \ 9[-h, 0] Thay = t T , ta c sup v{t + e) T. se [ớ h , t \ p dng bt ng thc Halanay, suy u(t)II < ||(^T||che T) < R(r)e ^ T \ vi mi G [r,T]. Bt ng thc cui cựng cho phộp ta khng nh rng |wớ|c h tin v r ằ 00, vy ta cú th chn t (r, T] cho I\u t l Ik < R{T). Suy vụ lý. Ta va chng minh c rng nu R{T) vi mi t e {t, t + 9), ú > 0,ti + < T. Xột nghim u[(p T ] trờn [t,t + ), ta cú "1 S dng cỏc c lng tng t nh trờn, ta thy rng vi mi t + 6) thỡ INI ch - sup ||w(r)|| se[ h , \ re[t-h,t] Thay = t T , ta c < sup |w(r)| re[ới-/,ớ] max{ sup ||w(r)||; sup ||w(r)||} maxIKII^; sup \\u(r)\\} < R{T). re[ới,ớ] õy l iu vụ lý. Túm li, ta cú th ly h cỏc hỡnh cu cú tõm vi bỏn kớnh R(t), B = {Bc h {0,R(t)) : t R}, lm D-hp th lựi a a b R{t)e H = cho h ng lc a tr u, ú R(t) c chn cho R(t) > 0. Chỳ ý 3.1. V Pg l hm khụng gim, theo (G), nờn ta cú th gi thit rng hp th B t c B 3.2 cng l khụng gim, tc l B( T ) c B(t) vi mi (t,T) G B 3.3. Gi s cỏc gi thit (A), (S) v (F1)-(F3) c tha món. Nu f3 4N (p + q) > 0, thỡ h ng lc a tr u l compact tim cn i vi V- hp th lựi B thu c B 3.2. Chng minh. Trc ht ta khng nh rng, vi e > ta cú th tỡm c mt s Te(ớ, B) > cho Xc(U(t,t- s,B(t - s))) < e,Vs > T e (t, B). Cho T > h v c (0,1) nh B 3.1. Vỡ B l hp th, nờn Thay = t T , ta c ta cú th ly T > cho U{ s,B(t s)) B(t),Vs > . 37 ( . ) Gi n Ê N l s c nh cho Cxc(m) < e. Vi s > T e (t, ) := nT + T, U{t,t s, B(t - s)) = ta cú Q T ,t G T ,t-T r,t-(n-i)r(W(ớ -nT,t- s B{t - s))) ầ/T.i Êt,ớ-t Q T,t- (n -i)T { B{t - nT ), nh vo (3.7). p dng liờn tip B 3.1, ta c Xc{U{t,t- s,B(t- s))) < Cxc{B{t- nT)) < Cxc{B{t)) < e. Cho S > +00 v e u ( t , t s,B{t S ) ) . Ta s ch rng {Êfc} compact tng i Ch- Do nh tựy ý, nờn ta s thu c tớnh compact tng i nu chng minh c Xc ({&:}) < Ê Gi N G N l s c nh cho S > Te(ớ, B) + T vi mi > N. Khi ú ta cú U(t,t- s k ,B(t - s k)) =U(t,t- T ,U(t -T ,t- s k ,B(t - s k))) W(M-Te,5(ớ-Te)),Vfc > N, theo (3.7), õy T e thay th cho Tỗ(t,B). Nh vy {tk:k>N}cU(t,t-Te,B(t-T)) v Xc : k > N } ) < Xc (U(t,t-TeỡB(t-Te)) < e. 2 Thay = t T , ta c Kt hp cỏc B 2.3, 3.2, v 3.3, ta thu c kt qu chớnh sau. nh lý 3.1. Gi s cỏc gi thit (A), (S), (G) v (F1)-(F3) c tha món. Khi ú h ng lc a tr u sinh bi h (l)-(2) cú mt T>- hỳt lựi ton cc Ch, nu ta cú min{a: (a + b),3 N(p + g)} > 0. 3.2. ng dng Mt vớ d in hỡnh cho mụ hỡnh tru tng ca ta l bi toỏn iu khin phn hi sau õy du t) = ý(D)u(x, t) + f(x, u(x, t),u(x, t - h)) (3.8) V (3.9) u(x, T + s) = ipT(x, s), X GM n , s Ê + m(x)v(t) \h, 0], + g(x,ớ),X (3.10) E Kn, t {t) e / ki(y)u(y,t - h)dy, / k (y)u(y,t - h)dy Un J > T, ú u v V tng ng l cỏc hm trng thỏi v hm iu khin. Ký hiu }(D) l toỏn t vi phõn o hm riờng c xỏc nh nh sau (D) = Y, a1,>2] c hiu l {tv + (1 t)v : [0,1]} vi , ?2 M. Biu trng ca ỡp(D) c xỏc nh bi m = E ô(*) = E ô-.)-|a|[...]... gọi là hàm đa trị Cho V là một họ các hàm đa trị lấy giá trị trong B(E) và có tính chất đóng đối với bao hàm thức: nếu D G V và D' là một hàm đa trị sao cho D'(t) с D(t) với mọi t € R, thì D' ẽ T> Định nghĩa 1.12 Hàm đa trị в G V đượcgọiỉà mộttập V-hấp thụ lùi (dưới tác động của hệ động lực и) nếu với mọi D € V, tồn tại T = T(t, D) > 0 sao cho u(t,t — s, D(t — s)) С B(t), với mọi s >T Ta nói rằng hàm. .. như sau Định lý 1.6 ([8]) Cho и là một hệ động lực đa trị trên E và là nửa liên tục trên, và в £ V là một tập V-hấp thụ lùi của и sao cho и là compact 2 2 tiệm cận đối với в Khi đó hàm đa trị A cho bởi A(t) = Ả(t, B) là một tập T> -hút lùi đối với и và A là phần tử duy nhất Hơn nữa, nếu u là một hệ động lực đa trị ngặt thì A là bất biến Chương 2 Sự TỒN TẠI VÀ TÍNH CHẤT CỦA TẬP NGHIỆM 2.1 Sự tồn tại... là bất biến âm, tức là A(t ) с U(t,T, А(т)) với mọi (í, r) ẽ Tập V- hút lùi toàn cục Ả được gọi là bất biến nếu bao hàm thức trong điều kiện iỉỉ) được thay bởi A(t ) = U(t,T, A( T )) với mọi (t,T ) ẽ Với mỗi hàm đa trị D, ta định nghĩa tập ÜJ- giới hạn lùi của D là một tập phụ thuộc t như sau A(i,ữ) = nu T>0 S>T BỔ đề 1.5 ([8]) Cho u là một hệ động lực đa trị trên E có tính chất nửa liên tục trên,... là một hàm đa trị sao cho и là compact tiệm cận đối với B, tức là với mỗi dẫy s n —> +oo; t e Ш, mọi dãy y n ẽ u(t, t — s n , B(t — s n )) là compact tương đối Khi đó, với t € M, tập ui-giới hạn lùi Л(t, в) là khác rỗng, compact và lim dists(ZY(i, t — s, B{t — s)), A(í, BỴ) = 0, S—Ï + OC Л(t, в) с u(t, s, A(s, B)), với mọi (t, 5) G Bổ đề vừa rồi dẫn đến một điều kiện đủ cho sự tồn tại tập ì^ -hút lùi. .. £{s)ds : £ G D} %ỉ T %Ị T Chứng minh Với e > 0, tồn tại một dãy G D sao cho X (Jr D ^ d s ) - 2x({/ £n(s)ds}) +e theo Mệnh đề 1.3 Ap dụng Mệnh đề 1.2 cho biểu thức cuối cùng, ta có J r Vì e là tùy ý, ta thu được điều phải chứng minh 1 9 □ 1.3 Tập hút lùi cho quá trình đa trị Ta sẽ sử dụng một số khái niệm trong giải tích đa trị Cho Y là một không gian metric Định nghĩa 1.10 Ánh xạ đa trị T : Y —> V(E) được... в £ T> là tập и -hút lùi (dưới sự tác động của u) nếu với mọi D e V lim dist E (U(t, t — s, D(t — s)), B(t )) = 0, s — Я-оо với mỗi t £ R ỏ đẫy dist#(•, •) là nửa khoảng cách H ausdorff giữa hai tập con của E: dist£(A, В) = sup inf d E (a, b) Định nghĩa 1.13 Hàm đa trị A E T> được gọi là tập V- hút ỉùi toàn cục 2 1 đối với u nếu nó thỏa mãn ỉ) A(t) là compact với mỗi t e M; ii) A là U -hút lùi; iii)... Jr_1(y) = {y € Y : F{y) n V 7^ 0} là một tập con đóng trong Y với mỗi tập con đóng V c E; ỉỉ) nửa liên tục trên yếu (weakly u.s.c) nếu T^ịy)là một tập con đóng trong Y với mỗi tập con đóng yếu V c E; ỉii) đóng nếu đồ thiTjr = {(y, z) : z G là tập con đóng của Y X E; iv) compact nếu J-{Y) là tập compact tương đối trong E; v) quasicompact nếu hạn chế của nó trên mỗi tập compact A c Y là compact Các kết... compact Các kết quả sau sẽ được sử dụng Bổ đề 1.3 ([20, Theorem 1.1.12]) Cho G : Y —> V(E) là ánh xạ đa trị quasicompact đóng với giá trị compact Khi đó G là nửa liên tục trên Bổ đề 1.4 ([6, Proposition 2]) Cho £ ỉà một không gian Banach và íĩ là một tập con khác rỗng của một không gian Banach khác Giả sử rằng G : íỉ —»■ V(S) là một ánh xạ đa trị với giá trị compact yếu và lồi Khi đó G là nửa liên tục... là trường hợp đặc biệt của kết quả trong [17] Định nghĩa 2.2 Cho D c L l (J\X), D được gọi ỉà bị chặn tích phân nếu tồn tại một hàm V ẽ L X (J) sao cho ll£(í)ll < với hầu khắp t e J và với mọi £ trong D Dãy {f n } c L l (J]X) được gọi là semicompact nếu nó bị chặn tích phân và c K(t), với hầu khắp t e J, trong đó K(t) Cl,íẼ J, là họ các tập compact Ta biết rằng nếu {/n} là dãy semicompact trong L1(J;X),... đẳng thức cuối là hàm tăng theo biến t nên ta có (2.3) Ký hiệu Mo = {u e cvr : sup < ||m(s)|| J}, se[r,í] trong đó ĩp là nghiệm của phương trình tích phân Ip(t) = N + M(a + b) í ĩp(s)ds Dễ thấy rằng Mữ là tập con lồi đóng của CVT và ước lượng (2.3) chỉ ra rằng F{MÒ) c M0 Bướ c 2 Ta tìm một tập lồi compact M c CyT và bất biến đối với T Đặt Mk+ 1 = convJ7(A / íjfc), k = 0,1,2 ở đây ký hiệu conv là bao . HỌC sư PHẠM HÀ NỘI 2 • • • • ĐINH THỊ VÂN KHÁNH TẬP HÚT LÙI CHO MỘT LỚP BAO HÀM THỨC VI PHÂN HÀM Chuyên ngành: Toán giải tích Mã số: 60 46 01 02 LUẬN VĂN THẠC Sĩ TOÁN HỌC • • • Người hướng dẫn khoa. Học vi n Đinh Thị Vân Khánh Lời cam đoan Tôi xin cam đoan, dưới sự hướng dẫn của TS Trần Đình Kế, luận văn Thạc sĩ chuyên ngành Toán giải tích với đề tài Tập hút lùi cho một lớp bao hàm thức vi. không thể áp dụng cho vi c nghiên cứu các bao hàm thức vi phân. Để nghiên cứudáng điệu tiệm cận của các nửa nhóm đa trị sinh bởi hệ không duy nhất nghiệm hoặc các bao hàm thức vi phân trong trường