LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC: MỘT LỚP IĐÊAN ĐƠN THỨC COHEN MACAULAY

Möc löc Líi c£m ìn ii Líi nâi ¦u iii 1 Mët sè ki¸n thùc mð ¦u 1 1.1 I¶an ìn thùc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.2 Phùc ìn h¼nh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.3 ç thà . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.4 V nh Cohen Macaulay . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 2 Mët lîp i¶an ìn thùc Cohen Macaulay 12 2.1 Phùc Cohen Macaulay khæng chu tr¼nh ð èi chi·u 1 . . . 12 2.2 T½nh Cohen Macaulay cõa phùc ìn h¼nh khæng chu tr¼nh ð èi chi·u 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 K¸t luªn 35 T i li»u tham kh£o 36

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học:

TS Nguyễn Công Minh

HÀ NỘI - 2013

Lời cảm ơn ii

1.1 Iđêan đơn thức 1

1.2 Phức đơn hình 3

1.3 Đồ thị 7

1.4 Vành Cohen - Macaulay 10

2 Một lớp iđêan đơn thức Cohen - Macaulay 12 2.1 Phức Cohen - Macaulay không chu trình ở đối chiều 1 12

2.2 Tính Cohen - Macaulay của phức đơn hình không chu trình ở đối chiều 1 26

Hoàn thành được luận văn này, ngoài sự nỗ lực của bản thân, tôi đãnhận được sự chỉ bảo, giúp đỡ của các thầy cô, gia đình và bạn bè.

Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy Nguyễn Công Minh, người

đã trực tiếp truyền thụ kiến thức và tận tình hướng dẫn cho tôi hoàn thànhluận văn

Tôi xin chân thành cảm ơn các thầy cô trong Khoa Toán - Tin, Bangiám hiệu, Phòng đào tạo Sau đại học, Trường Đại học Sư phạm Hà Nội

đã tạo điều kiện thuận lợi cho tôi trong suốt quá trình học tập và hoànthành luận văn

Tôi xin cảm ơn gia đình, bạn bè đã tạo điều kiện, giúp đỡ, động viêntôi trong quá trình học tập, nghiên cứu và hoàn thành luận văn

Do thời gian và trình độ còn nhiều hạn chế, luận văn chắc chắn khôngtránh khỏi những thiếu sót, tôi rất mong nhận được sự đóng góp ý kiếncủa các thầy cô và các bạn để bản luận văn hoàn chỉnh hơn

Tôi xin chân thành cảm ơn

Hà Nội, tháng năm

Tác giảTrần Văn Trưởng

1 Lí do chọn đề tài

Iđêan đơn thức là một trong những đối tượng đang được nghiên cứurộng rãi trong Đại số giao hoán tổ hợp Các phép toán cộng, giao, thương đối với những iđêan đơn thức có thể thực hiện tính toán bằng máy tínhvới tốc độ cao và có thể tiếp cận bằng một số công cụ lí thuyết trong hìnhhọc, tổ hợp

Lớp vành Cohen-Macaulay là một lớp vành quan trọng nhất trong Đại

số giao hoán Tuy nhiên, việc xác định một vành cho trước có là Macaulay hay không là một vấn đề khó Có nhiều cách kiểm tra về mặt

Cohen-lí thuyết một vành là Cohen-Macaulay, trong luận văn này chúng tôi sửdụng cách tiếp cận tổ hợp

Mục tiêu của luận văn là trình bày một cách chi tiết bài báo Macaulayness of generically complete intersection monomial ideals" của

"Cohen-L D Nam và M Varbaro được công bố gần đây

2 Định hướng và phương pháp nghiên cứu

Dựa trên tài liệu tham khảo chính như trên, tác giả sẽ đọc và trình bàychi tiết, có hệ thống nội dung đề tài trên

+ Phân tích tài liệu lí luận;

+ Đọc, hiểu và chứng minh các định lí và bài tập

+ Xây dựng các ví dụ minh họa

3 Cấu trúc luận văn

Ngoài phần mở đầu, kết luận, mục lục và tài liệu tham khảo, luận vănđược chia làm 2 chương như sau:

Chương 1 trình bày một số khái niệm cần thiết như: Iđêan đơn thức,phức đơn hình, vành Cohen-Macaulay và một số tính chất quan trọng củachúng

Chương 2 trình bày các chứng minh chi tiết bài báo trên và một số ví

dụ minh họa

Hà Nội, tháng năm

Tác giảTrần Văn Trưởng

Một số kiến thức mở đầu

Cho k là một trường và S = k[x1, x2, , xn] là vành đa thức n biếntrên trường k (viết ngắn gọn là k[x]) m = (x1, x2, , xn) là iđêan phânbậc cực đại của S

Định nghĩa 1.1.1 Một đơn thức trong S là tích xa = xa1

1 xa2

2 xan

n ,trong đó vectơ a = (a1, a2, , an) ∈ Nn Một iđêan I ⊂ [x] được gọi làiđêan đơn thức nếu nó có một tập sinh gồm các đơn thức

Một đơn thức xa trong S được gọi là không chứa mũ nếu a ∈ {0; 1}n.Một iđêan được gọi là iđêan đơn thức không chứa mũ nếu nó được sinh bởicác đơn thức không chứa mũ

Ví dụ 1.1.2 Cho k = R, n = 3, S = R[x, y, z] Khi đó xy, xy3z5, xyz, xz

là các đơn thức và I = (x, y2, xy3) là một iđêan đơn thức

Bổ đề 1.1.3 (Dickson) Mọi iđêan đơn thức đều có một tập sinh đơn thứctối tiểu duy nhất và tập sinh đó là hữu hạn

Chứng minh Giả sử I là một iđêan đơn thức trong

S = K[x1, x2, , xn] Khi đó tồn tại tập A ⊂ Nn sao cho (xa | a ∈ A) làmột tập sinh tối tiểu của I Ta có

Bây giờ ta sẽ chỉ ra tập sinh đó là duy nhất Thật vậy, giả sử tồn tạihai tập hữu hạn A, B ⊂ Nn sao cho (xa | a ∈ A) và (xb| b ∈ B) là hai hệsinh đơn thức tối tiểu của I Khi đó ta có

I = (xa | a ∈ A) = (xb| b ∈ B)

Với mỗi a ∈ A, vì xa ∈ (xb| b ∈ B) nên tồn tại b ∈ B sao cho xa xb Vì

xb ∈ (xa | a ∈ A) nên tồn tại a0 ∈ A sao cho xb xa0, suy ra xa xa0 Mà(xa | a ∈ A) là hệ sinh đơn thức tối tiểu của I nên a = a0 Do vậy ta có

xa xbvàxb xa

Suy ra a = b.

Chứng minh tương tự ta có với mỗi b ∈ B đều tồn tại a ∈ A sao cho

b = a Do đó A = B, tức là hệ sinh đơn thức tối tiểu của I là duy nhất

Ta có điều phải chứng minh



Định nghĩa 1.2.1 Cho tập hữu hạn V = {v1, v2, , vn} Một phứcđơn hình ∆ trên V là họ các tập con của V đóng với phép lấy tập con,nghĩa là với mọi F ∈ ∆ và G ⊂ F thì G ∈ ∆, đồng thời {vi} ∈ V, ∀i ∈{1, 2, , n}

Mỗi phần tử F của ∆ được gọi là một mặt Cho F ∈ ∆, đặtdim F := |F | − 1 thì dim F được gọi là số chiều của F Nếu F có sốchiều bằng i ta gọi F là một i − mặt Số chiều của ∆, ký hiệu là dim ∆

và được xác định như sau:

0, 1 tương ứng gọi là đỉnh và cạnh của ∆ Mặt lớn nhất (theo nghĩa tậphợp) được gọi là mặt cực đại của ∆ Ký hiệu F (∆) là tập hợp tất cả mặtcực đại của ∆ Một phức đơn hình hoàn toàn được xác định bởi tập cácmặt cực đại của nó, nghĩa là nếu F (∆) = {F1, F2, , Fm} thì ta viết

∆ = hF1, F2, , Fmi

Phức đơn hình ∆ được gọi là thuần túy nếu các mặt cực đại của nó cócùng số chiều

Phức đơn hình ∆ được gọi là liên thông nếu với mọi F, G ∈ F (∆)đều tồn tại dãy các mặt cực đại F = F0, F1, , Fq−1, Fq = G thỏa mãn

Fi ∩ Fi+1 6= ∅

Phức đơn hình ∆ được gọi là liên thông mạnh nếu với mỗi cặp

F, G ∈ F (∆) ta đều có thể kết nối bởi một dãy liên thông mạnh, nghĩalà: Có một dãy các mặt cực đại F = F0, F1, , Fk = G thỏa mãn

|Fi ∩ Fi+1| = d − 1 ∀i = 0, , k − 1, ở đó dim ∆ = d − 1

Nhận xét 1.2.2 Nếu ∆ liên thông mạnh thì ∆ liên thông và thuần túy

Ví dụ 1.2.3 Xét phức đơn hình ∆ bao gồm tất cả các tập concủa các tập hợp {1, 2, 3}, {3, 4, 5}, {2, 4}, {6} được mô tả bằng hình vẽdưới đây: Ta thấy rằng F (∆) = {{1, 2, 3}, {3, 4, 5}, {2, 4}, {6}}, tức là

Hình 1.1:

{{1, 2, 3}, {3, 4, 5}, {2, 4}, {6}} là các mặt cực đại của ∆ với số chiều lầnlượt tương ứng là 2, 2, 1, 0 Như vậy ∆ không thuần túy và do đó khôngliên thông mạnh, dim ∆ = 2

Ví dụ 1.2.4 Xét phức đơn hình ∆ cho bởi hình vẽ dưới đây: Ta nhậnthấyF (∆) = {F1, F2, F3, F4, F5, F6, F7, F8, F9}, ở đó: F1 = {1, 2, 3},F2 =

8 7

6

3 2

1

Hình 1.2:

{2, 3, 4}, F3 = {2, 4, 5}, F4 = {3, 4, 6},F5 = {4, 5, 8}, F6 = {4, 6, 9}, F7 ={5, 7, 8}, F8 = {4, 8, 9}, F9 = {6, 9, 10} Dễ thấy dim Fi = dim Fj = 2,

∀i, j = 1, , 9, do đó ∆ là phức đơn hình thuần túy và dim ∆ = 2 Hơnnữa, ∆ liên thông mạnh

Định nghĩa 1.2.5 ChoS = k[x1, x2, , xn] là vành đa thức trên trường

k và ∆ là một phức đơn hình trên V = {v1, v2, , vn} Iđêan Stanley Reisner của phức đơn hình ∆ là iđêan được xác định bởi

mũ trong S Hơn nữa: dim k[∆] = dim ∆ + 1

Chứng minh Dễ thấy tương ứng ∆ I∆ là một đơn ánh, do vậy ta

cần chứng minh nó là một toàn ánh là đủ Giả sử I là một iđêan đơn thứckhông chứa mũ, khi đó I có một tập sinh đơn thức tối tiểu, tức là tồn tạitập J hữu hạn sao cho:

I∆ = (x4, x5, x6, x7, x8, x9, x10) ∩ (x1, x5, x6, x7, x8, x9, x10)

Ví dụ 1.3.2 Cho đồ thị G = (V, E) với tập đỉnh V = {v1, v2, , v6}

và tập cạnh E = {{v1, v2} , {v1, v3} , {v2, v4} , {v3, v4} , {v5, v6}} Khi đó

G được biểu diễn bởi hình vẽ:

G mà hai đỉnh liên thuộc với nó đều thuộc V0 thì G0 = (V0, E0) được gọi

là đồ thị con của G cảm sinh trên tập đỉnh V0 hay cũng được gọi là đồ thịcon cảm sinh bởi G = (V, E) trên tập đỉnh V0 Khi đó G0 được kí hiệu là

G0 = G[V0]

Định nghĩa 1.3.4 Giả sử G = (V, E) là một đồ thị Một đường có độdài n trong G là một đồ thị con của G gồm các cạnh {vi−1, vi} với mọi

i = 1, 2, , n, trong đó v0, v1, , vn ∈ V Khi đó v0 được gọi là đỉnh đầu

và vn được gọi là đỉnh cuối của đường trên

Nếu v0 ≡ vn và n ≥ 3 thì đường trên được gọi là một chu trình có độdài n

Ví dụ 1.3.5 Xét đồ thị G trong ví dụ 1.3.2 thì:

(i) {{v1, v2} , {v2, v4} , {v4, v3}} là một đường có độ dài 3

(ii) {{v1, v2} , {v2, v4} , {v4, v3} , {v3, v1}} là một chu trình có độ dài 4

Định nghĩa 1.3.6 Đồ thị G = (V, E) được gọi là liên thông nếu với haiđỉnhvi, vj khác nhau bất kì của G đều tồn tại một đường trong Gvới đỉnhđầu là vi, đỉnh cuối là vj Trong trường hợp ngược lại thì đồ thị G đượcgọi là không liên thông.

Đồ thị con liên thông G0 = (V0, E0) của đồ thị G = (V, E) được gọi làmột thành phần liên thông của G nếu G0 = G[V0] và với mọi V00 ∈ V màchứa thực sự V0 thì đồ thị G[V00] không liên thông

Khi G không liên thông thì ta có thể viết G dưới dạng G =

r

S

i=1

Gi,trong đó G1, G2, , Gr là các thành phân liên thông của G

Một rừng là một đồ thị hữu hạn không có chu trình

Một cây là một rừng liên thông

Ví dụ 1.3.7 Xét đồ thị G như trong ví dụ 1.3.2 Khi đó :

(i) G không liên thông vì với hai đỉnh v1 và v5 không có đường giữachúng

(ii) Các đồ thị con cảm sinh G1 = G[v1, v2, v3, v4] và G2 = G[v5, v6] làcác thành phần liên thông của G

(iii) Đồ thị G không là một rừng vì có một chu trình , do đó không làcây

Ví dụ 1.3.8 Xét đồ thị G cho bởi hình vẽ dưới đây:

Định nghĩa 1.4.1 Cho R là một vành giao hoán có đơn vị 1.

Một xích các iđêan nguyên tố của R là một dãy hữu hạn, tăng thực

sự các iđêan nguyên tố của R có dạng P0 ⊂ P1 ⊂ · · · ⊂ Pn, trong đó

Pi−1 6= Pi với mọi i = 1, 2, , n Số nguyên nđược gọi là độ dài của xích.Chiều Krull của vành R là cận trên đúng của tất cả các độ dài của cácmắt xích các iđêan nguyên tố trong R Chiều Krull của R được kí hiệu làdim R

Ví dụ 1.4.2

i) Nếu R là một vành Artin thì dim R = 0, vì mỗi iđêan nguyên tố của

R đều là một iđêan cực đại.

ii) Với K là một trường, vành đa thức vô hạn biến

R = K[x1, x2, , xn, ] có dim R = ∞, vì xích các iđêannguyên tố

Hmi(S/I) = 0, ∀i < dim(S/I),

ở đó Hmi (S/I) là môđun đối đồng điều địa phương thứ i của S/I đối vớiiđêan cực đại m

Cho S = k[x1, , xn] là một vành đa thức trên trường k và I là mộtiđêan đơn thức trong S Kí hiệu G(I) là tập sinh đơn thức tối tiểu của I

và ∆ là phức đơn hình tương ứng với iđêan căn của I, tức là

∆ =

n

{i1, i2, , in} ⊂ V = {v1, , vn} | xi1xi2 · · · xin ∈/ √I

o.Với a = (a1, a2, , an) ∈ Zn, đặt Ga := {i | ai < 0} và

Một lớp iđêan đơn thức Cohen

-Macaulay

chiều 1

Định nghĩa 2.1.1 Cho ∆ là một phức đơn hình

Ta nói ∆là shellable nếu ∆thuần túy và nó có thể được đưa ra bởi mộttrật tự tuyến tính F1, F2, , Fm các mặt cực đại của ∆, nói cách khácphức đơn hình hFii ∩ hF1, , Fi−1i được sinh bởi một tập khác rỗng cácmặt cực đại của hFii, ∀i = 2, , m Một trật tự tuyến tính như vậy đượcgọi là một shelling của ∆

Cho F ∈ ∆, đặt lk∆(F ) = {G : F ∪ G ∈ ∆, F ∩ G = ∅}

Phức đơn hình ∆ được gọi là phức Cohen - Macaulay nếu vành Stanley

- Reisner k[∆] = k[x1, , xn]/I∆ là vành Cohen - Macaulay

Chú ý: Ta nói dãy F1; ; Fm là trật tự shelling của ∆ tương đươngvới cách nói : Với mọi i và với mọi j < i đều tồn tại l ∈ Fi\Fj và k < isao cho Fi\Fk = {l}

Ví dụ 2.1.2 a) Xét phức đơn hình ∆ trong hình dưới đây:

Ta nhận thấy ∆ là shellable vì ta chỉ ra được một shelling của ∆ là:

6

5 4

3 2

4

3 2

Ta thấy rằng∆1 và∆2 đều không là shellable vì chúng không có shellingnào Chẳng hạn, ta xét phức đơn hình∆2 Nếu ∆2 có một shelling thì chỉ

có thể là một trong sáu dãy sau: F1; F2; F3 hoặc F1; F3; F2 hoặc F2; F1; F3hoặc F2; F3; F1 hoặc F3; F1; F2 hoặc F3; F2; F1

Với dãy 1; dãy 3: Ta cố định F3, ta có F3\F1 = F3\F2 = {5; 6} Rõràng không tồn tại Fi, ∀i = 1; 2 để F3\Fi = {5} hoặc F3\Fi = {6}

Với dãy 2; dãy 4: Ta cố định F3, ta có F3\F1 = F3\F2 = {5; 6} Rõràng dãy này cũng không là shelling

Với dãy 5: Ta cố định F1, ta có F1\F3 = {1; 2} Như vậy dãy này cũngkhông là shelling

Với dãy 6: Ta cố định F2, ta có F2\F3 = {1; 4} Như vậy dãy này cũngkhông là shelling

Như vậy cả 6 dãy trên không là shelling, do đó ∆2 không là shellable.Dưới đây là một số kết quả :

i) ∆ là shellable =⇒ ∆ là Cohen - Macaulay =⇒ ∆ là thuần túy.ii) Nếu ∆ là Cohen - Macaulay thì ∆ và lk∆(F ) là liên thông mạnh

∀F ∈ ∆

Bổ đề 2.1.3 Cho ∆ là một phức đơn hình Cohen - Macaulay (d − 1) chiều F, G ∈ F (∆) thỏa mãn |F ∩ G| < d − 1 Khi đó, tồn tại H ∈ F (∆)sao cho (F ∩ G) ⊂ (H ∩ G) và |H ∩ G| = d − 1

-Chứng minh Vì F ∩ G ∈ ∆ và ∆ là phức Cohen - Macaulay nên theokết quả (ii) ở trên thì lk∆(F ∩ G) liên thông mạnh

Đặt G0 = G\(F ∩ G), F0 = F \(F ∩ G), ta thấy ngay

F0, G0 ∈ lk∆(F ∩ G) Bây giờ giả sử có H ∈ lk∆(F ∩ G) sao cho F0 ⊂ H,

ta suy ra F ⊂ H ∪ (F ∩ G) ∈ ∆ Vì F ∈ F (∆) nên F = H ∪ (F ∩ G),hay ta được F0 = H, điều này có nghĩa là F0 ∈ F (lk∆(F ∩ G)) Tương tự

ta cũng được G0 ∈ F (lk∆(F ∩ G))

Như vậy ta đượclk∆(F ∩G)liên thông mạnh vàF0, G0 ∈ F (lk∆(F ∩G))

Do đó tồn tại dãy liên thông mạnh F0 = F00; F10; ; Fk−10 , Fk0 = G0 Ta chỉviệc chọn H = Fk−10 ∪ (F ∩ G) thì H là tập thỏa mãn bổ đề, thật vậy:

= d − x − 1 + x

= d − 1

Cho F ∈ ∆, ta kí hiệu BF là iđêan (xi : vi ∈ F )/ Bằng việc sử dụng bổ

đề 2.1.3 ta được hệ quả sau:

Hệ quả 2.1.4 Cho ∆ là một phức đơn hình Cohen - Macaulay (d − 1) chiều có F (∆) = F1, , Fm Khi đó, với mọi i = 1, , m, ta có:

Chứng minh đẳng thức (2):

Để chứng minh (2) ta chỉ cần chứng minh BFj+BFi = BFj∩BFi, ∀j 6= i,thật vậy:

1 Tập các đỉnh V (G(∆)) = F (∆).

2 Tập các cạnhE(G(∆)) = {F, G} : F, G ∈ F (∆)và|F ∩ G| = d − 1 Phức đơn hình ∆ được gọi là phức đơn hình Cohen - Macaulay khôngchu trình ở đối chiều 1 nếu ∆ là phức Cohen - Macaulay và G(∆) là mộtcây

Nhận xét 2.1.6 Phức đơn hình thuần túy ∆ liên thông mạnh khi và chỉkhi G(∆) liên thông

Ví dụ 2.1.7.

1) Phức đơn hình ∆xét trong ví dụ 2.1.2a là một phức đơn hình Cohen

- Macaulay không chu trình ở đối chiều 1 Đồ thị G(∆) của ∆ như tronghình vẽ dưới:

2) Phức đơn hình ∆ trong ví dụ 1.2.4 không phải là phức đơn hìnhCohen - Macaulay không chu trình ở đối chiều 1 vì đồ thị G(∆) khôngphải là cây như trong hình vẽ:

không là phức Cohen - Macaulay không chu trình ở đối chiều 1.

là phức Cohen - Macaulay không chu trình ở đối chiều 1

6

5 4

3 2

1

Hình 2.3:

Bổ đề 2.1.8 Cho ∆ là phức Cohen - Macaulay (d − 1) - chiều không chu

trình ở đối chiều 1 và F1, , Fk là một dãy liên thông mạnh với k ≥ 2.Khi đó ta có: (Fk ∩ F1) ⊂ (F2 ∩ F1).

Chứng minh Ta có thể giả sử F1 = {v1, , vd},

F2 = {v2, , vd+1}, k > 2 Vì ∆ là phức Cohen - Macaulay khôngchu trình ở đối chiều 1 nên G(∆) là cây, từ đây ta được |F1∩ Fk| < d − 1(vì nếu |F1 ∩ Fk| = d − 1 thì dãy F1, , Fk sẽ có chu trình) Để chứngminh (Fk ∩ F1) ⊂ (F2∩ F1) ta sẽ chứng minh bằng phản chứng, thật vậy:Giả sử (Fk ∩ F1) * (F2 ∩ F1), ta được ngay v1 ∈ Fk

Do ∆ là phức Cohen - Macaulay nên lk∆(v1) liên thông mạnh

Đặt F10 = F1\ {v1} , Fk0 = Fk\ {v1} thì ta được F10, Fk0 ∈ F (lk∆(v1))(xem chứng minh bổ đề 2.1.3) Do đó, tồn tại dãy liên thông mạnh trong

lk∆(v1) , cụ thể là tồn tại dãy F10, Ft01, , Ft0h, Fk0 trongF (lk∆(v1)) sao cho

F1, , Fm trên F (∆)thỏa mãn Fj là đỉnh tự do củaG(∆)|{F1, ,Fj}, nghĩa

là, chỉ tồn tại một cạnh của G(∆)|{F1, ,Fj} chứa Fj Sử dụng bổ đề 2.1.8

và quy nạp trên m ta được F1, , Fm là một shelling của ∆, do đó ∆ làshellable

Thật vậy: Ta chỉ cần chứng minh với mọi j = 2, , m thì dãy

F1, , Fj có tính chất: Vớii nào đó thuộc tập {1, , j} mà Fj\Fi = {v}thì v ∈ Fj\Fi, ∀i < j

Trước hết ta chứng minh bằng quy nạp rằng: Nếu dãy F1, , Fj liênthông mạnh thì luôn thỏa mãn tính chất trên(ta chọn i = j − 1)

Rõ ràng với j = 2 thì khẳng định trên luôn đúng

Với j = 3, ta được một dãy liên thông mạnh F1, F2, F3 Khi đó do

|F3\F2| = 1 nên ta có thể giả sử F3\F2 = {v} Khi đó ta suy ra được

v ∈ F3\F1 vì nếu không thì v ∈ F1 Theo bổ đề 2.1.8 thì F3∩ F1 ⊂ F2∩ F1nên v ∈ F2 ∩ F1(vô lý) Vậy v ∈ F3\Fi, với i = 1; 2

Giả sử khẳng trên đúng đến j = k, ta sẽ chứng minh dãy F1, , Fk+1cũng có tính chất trên Thật vậy, giả sử Fk+1\Fk = {v}, đồng thời giả sửphản chứng nếu tồn tại i < k + 1 để v /∈ Fk+1\Fi, ta cũng có thể giả sửthêm rằng v ∈ Fk+1\Fj, ∀j = i + 1, , k Vì v /∈ Fk+1\Fi nên v ∈ Fi hay

ta được v ∈ Fk+1 ∩ Fi Mặt khác dãy Fi, , Fk+1 liên thông mạnh nêntheo bổ đề 2.1.8 ta có Fk+1 ∩ Fi ⊂ Fi+1 ∩ Fi, do đó v ∈ Fi+1 ∩ Fi (mâuthuẫn) Vì thế điều giả sử là sai, hay v ∈ Fk+1\Fi, ∀i = 1, , k

Bây giờ với mọi j = 2, , m ta xét dãy F1, , Fj Nếu dãy nàyliên thông mạnh thì dãy có tính chất ở trên Giả sử dãy không liên thôngmạnh Do Fj là đỉnh tự do của G(∆)| {F1, ,Fj} và G(∆) là cây nên tồn tại