Luận văn thạc sĩ điều khiển hỗn hợp h và thụ động cho một lớp hệ phương trình vi phân phân thứ phi tuyến

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ————— o0o ————— HOÀNG HẢI HÀ ĐIỀU KHIỂN HỖN HỢP H∞ VÀ THỤ ĐỘNG CHO MỘT LỚP HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN PHÂN THỨ PHI TUYẾN LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Chuyên ngành: Toán ứng dụng Mã số: 46 01 12 TẬP THỂ HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS MAI VIẾT THUẬN TS NGUYỄN HỮU SÁU Thái Nguyên, 11/2020 Mục lục Chương Một số kiến thức chuẩn bị 1.1 Giải tích phân thứ 1.1.1 Tích phân phân thứ 1.1.2 Đạo hàm phân thứ 1.2 Phương pháp hàm Lyapunov cho hệ phương trình vi phân phân thứ 10 1.3 Một số bổ đề bổ trợ 13 Chương Điều khiển hỗn hợp H∞ thụ động cho lớp hệ phương trình vi phân phân thứ phi tuyến 14 2.1 Phát biểu toán 14 2.2 Bài toán hiệu suất hỗn hợp H∞ thụ động cho lớp hệ phương trình vi phân phân thứ phi tuyến 16 2.3 Điều khiển hỗn hợp H∞ thụ động cho lớp hệ phương trình vi phân phân thứ phi tuyến 23 LỜI NĨI ĐẦU Giải tích phân thứ thu hút ý nhà khoa học kỹ sư Điều chủ yếu giải tích phân thứ phù hợp để mơ tả nhớ đặc tính di truyền vật liệu quy trình khác nhau, điều mà đạo hàm tích phân bậc ngun khơng mơ tả xác Hệ phương trình vi phân điều khiển phân thứ nhận quan tâm nghiên cứu nhiều nhà khoa học nhiều kết quan trọng toán ổn định theo nghĩa Lyapunov, ổn định hữu hạn thời gian, tính thụ động tính tiêu tan cơng bố năm gần [7, 8, 14, 15, 17, 20, 22] Trong năm gần đây, toán điều khiển hỗn hợp H∞ thụ động cho số lớp hệ phương trình vi phân bậc nguyên nhận quan tâm nghiên cứu nhiều nhà khoa học [5, 18, 26, 27, 28] Chẳng hạn, Sakthivel cộng [18] nghiên cứu toán điều khiển hỗn hợp H∞ thụ động cho lớp hệ Markovian jump suy biến có trễ cách sử dụng phương pháp hàm Lyapunov-Krasovskii kết hợp với kỹ thuật bất đẳng thức ma trận tuyến tính Chen cộng [5] thiết kế điều khiển phản hồi đầu tĩnh để nghiên cứu toán điều khiển hỗn hợp H∞ thụ động cho lớp hệ tuyến tính suy biến có trễ Bài tốn điều khiển hỗn hợp H∞ thụ động cho lớp hệ phương trình vi phân phân thứ phi tuyến nghiên cứu D.C Huong M.V Thuan [11] cách sử dụng phương pháp hàm Lyapunov cho hệ phân thứ kỹ thuật bất đẳng thức ma trận tuyến tính Luận văn tập trung trình bày số tiêu chuẩn cho tốn điều khiển hỗn hợp H∞ thụ động cho lớp hệ phương trình vi phân phân thứ phi tuyến dựa sở đọc hiểu tổng hợp báo công bố năm gần Luận văn gồm có chương gồm nội dung sau: Trong chương 1, chúng tơi trình bày số khái niệm giải tích phân thứ tích phân đạo hàm phân thứ Riemann–Liouville, tích phân đạo hàm phân thứ Caputo, phương pháp hàm Lyapunov cho hệ phương trình vi phân phân thứ Ngồi ra, chúng tơi trình bày tốn điều khiển H∞ thụ động cho số lớp hệ phương trình vi phân với bậc ngun Cuối chương, chúng tơi trình bày số bổ đề bổ trợ Nội dung chương tham khảo chủ yếu từ tài liệu [8, 12, 13] Trong chương luận văn, chúng tơi trình bày số tiêu chuẩn cho toán điều khiển hỗn hợp H∞ thụ động cho lớp hệ phương trình vi phân phân thứ phi tuyến Nội dung chương tham khảo chủ yếu từ tài liệu [11] Luận văn thực trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên hoàn thành hướng dẫn TS Mai Viết Thuận TS Nguyễn Hữu Sáu Tơi xin bày tỏ lịng biết ơn chân thành sâu sắc tới tập thể hướng dẫn khoa học Những người đặt vấn đề nghiên cứu, dành nhiều thời gian hướng dẫn, tận tình dìu dắt bảo tơi suốt q trình thực đề tài luận văn Tôi xin trân trọng cảm ơn Ban giám hiệu trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên, Ban chủ nhiệm khoa Toán – Tin giảng viên tham gia giảng dạy, tạo điều kiện tốt để học tập nghiên cứu Đồng thời xin gửi lời cảm ơn tới gia đình thân yêu, cảm ơn người bạn thân thiết chăm sóc động viên khích lệ tơi suốt q trình nghiên cứu Sau tơi xin kính chúc tồn thể q thầy trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên thật dồi sức khỏe, niềm tin để tiếp tục thực sứ mệnh cao đẹp truyền đạt tri thức cho hệ mai sau Xin chân thành cảm ơn Danh mục ký hiệu Rn không gian vec tơ thực Euclide n chiều A> ma trận chuyển vị ma trận A I ma trận đơn vị λ(A) tập hợp tất giá trị riêng ma trận A λmax (A) = max{Reλ : λ ∈ λ(A)} λmin (A) = min{Reλ : λ ∈ λ(A)} kAk chuẩn phổ ma trận A, kAk = A≥0 ma trận A nửa xác định dương, tức hAx, xi ≥ 0, ∀x ∈ Rn A≥B nghĩa A − B ≥ A>0 ma trận A xác định dương, tức hAx, xi > 0, ∀x ∈ Rn , x 6= LM Is bất đẳng thức ma trận tuyến tính (Linear matrix inequalities) kxk chuẩn Euclide véc tơ x = (x1 , x2 , , xn )> ∈ Rn Rn×r khơng gian ma trận thực cỡ (n × r) C([a, b], Rn ) khơng gian hàm liên tục trên[a, b] nhận giá trị Rn AC m [a, b] không gian hàm liên tục tuyệt đối cấp m trên[a, b] α t It tốn tử tích phân phân thứ Riemann - Liouville cấp α RL α t0 Dt toán tử đạo hàm phân thứ Riemann - Liouville cấp α C α t0 Dt toán tử đạo hàm phân thứ Caputo cấp α Γ(x) hàm Gamma Eα,β hàm Mittag-Leffler hai tham số dαe số nguyên nhỏ lớn α p λmax (A> A) L2 ([0, ∞), Rp ) không gian hàm khả tích bậc hai nhận giá trị Rp Chương Một số kiến thức chuẩn bị Trong chương này, chúng tơi trình bày số khái niệm kết tính ổn định ổn định hóa hệ phương trình vi phân thường hệ phương trình vi phân có trễ Chúng tơi trình bày số kết bổ trợ sử dụng chứng minh kết luận văn cho chương sau Kiến thức sử dụng chương tham khảo [8, 12, 13] 1.1 1.1.1 Giải tích phân thứ Tích phân phân thứ Trong mục này, chúng tơi trình bày sơ lược khái niệm tích phân phân thứ Khái niệm tích phân phân thứ mở rộng tự nhiên khái niệm tích phân lặp thơng thường Định nghĩa 1.1 ([13]) Cho α > [a, b] ⊂ R, tích phân phân thứ RiemannLiouville cấp α hàm x : [a, b] −→ R cho Z t α (t − s)α−1 x(s)ds, t ∈ (a, b], t0 It x(t) := Γ(α) t0 Γ(.) hàm Gamma xác định Γ(α) = +∞ R tα−1 e−t dt, α > 0 Trong Định nghĩa 1.1 α = 0, quy ước α t0 It := I với I toán tử đồng Sự tồn tích phân phân thứ Riemann–Liouville cấp α với < α < cho định lý sau Định lý 1.1 ([13]) Giả sử x : [a, b] −→ R hàm khả tích [a, b] Khi đó, tích phân α t0 It x(t) tồn với hầu hết t ∈ [a, b] Hơn nữa, α t0 It x hàm khả tích Ví dụ sau cho ta tích phân phân thứ số hàm Ví dụ 1.1 ([13]) (i) Cho x(t) = (t − a)β , β > −1 t > a Với α > 0, có α t0 It x(t) = Γ(β + 1) (t − a)α+β , Γ(α + β + 1) t > a (ii) Cho x(t) = eλt , λ > Với α > 0, có α t0 It x(t) −α =λ +∞ X j=0 1.1.2 (λt)α+j , Γ(α + j + 1) t > Đạo hàm phân thứ Mục trình bày cách ngắn gọn đạo hàm Riemann–Liouville đạo hàm Caputo Đây hai loại đạo hàm sử dụng rộng rãi nhiều lĩnh vực Định nghĩa 1.2 ([13]) Cho trước số thực dương α khoảng [a, b] ⊂ R Đạo hàm phân thứ Riemann–Liouville cấp α hàm x : [a, b] −→ R cho RL α t0 Dt x(t)  dn  n−α dn := n t0 It x(t) = dt Γ(n − α) dtn Z t (t − s)n−α−1 x(s)ds, t0 n := dαe số nguyên nhỏ lớn α dn dtn đạo hàm thông thường cấp n Ví dụ 1.2 Cho hàm bước đơn vị (unit-step function)    1, t ≥ f (t) =   0, t < Bằng cách sử dụng Định nghĩa 1.2, ta tính đạo hàm phân thứ Riemann– Liouville cấp α hàm f (t) RL α Dt f (t) = t−α Γ(1 − α) Trước trình bày điều kiện cho tồn đạo hàm phân thứ Riemann– Liouville, nhắc lại số kết sau Cho [a, b] khoảng hữu hạn R AC[a, b] không gian hàm tuyệt đối liên tục [a, b] Kolmogorov Fomin mối liên hệ hàm tuyệt đối liên tục hàm khả tích Lebesgue sau: Z t f (t) ∈ AC[a, b] ⇔ f (t) = c + ϕ(s)ds (ϕ(s) ∈ L(a, b)), a hàm tuyệt đối liên tục f (t) có đạo hàm f (t) = ϕ(t) hầu khắp nơi [a, b] Với n ∈ N, ta định nghĩa lớp hàm AC n [a, b] sau:  AC n [a, b] = f : [a, b] −→ R, (Dn−1 f )(t) ∈ AC[a, b]  d D= dt  Mệnh đề sau cho ta số đặc tính lớp hàm AC n [a, b] Mệnh đề 1.1 ([13]) Không gian AC n [a, b] chứa tất hàm f (t) có dạng sau: f (t) = α t0 It ϕ(t) + n−1 X ck (t − t0 )k , k=0 ϕ(t) ∈ L(a, b), ck (k = 0, 1, , n − 1) số tùy ý Z t α (t − s)n−1 ϕ(s)ds t0 It ϕ(t) = (n − 1)! t0 Ngoài ra, từ điều kiện ta có ϕ(s) = f (n) (s), f (k) (t0 ) (k = 0, 1, , n − 1) ck = k! Định lý sau cho ta tiêu chuẩn cho tồn đạo hàm phân thứ Riemann–Liouville Định lý 1.2 ([13]) Cho α ≥ 0, n = dαe Nếu f (t) ∈ AC n [a, b], đạo hàm phân thứ RL α t0 Dt f (t) tồn hầu khắp nơi [a, b] biểu diễn dạng sau RL α t0 Dt f (t) = n−1 X k=0 f (k) (t0 ) (t − t0 )k−α + Γ(1 + k − α) Γ(n − α) Kết sau suy trực tiếp từ Định lý 1.2 Z t t0 f (n) (s)ds (t − s)α−n+1 Hệ 1.1 ([13]) Nếu < α < f (t) ∈ AC[a, b]   Z t f (t ) f (s)ds RL α + t0 Dt f (t) = α Γ(1 − α) (t − t0 )α t0 (t − s) Mệnh đề sau khẳng định toán tử đạo hàm phân thứ Riemann–Liouville tốn tử tuyến tính Mệnh đề 1.2 ([12]) Cho trước số thực dương α Khi đạo hàm phân thứ Riemann–Liouville cấp α toán tử tuyến tính, tức RL α t0 Dt [λf (t) α RL α + µg(t)] = λ RL t0 Dt f (t) + µ t0 Dt g(t) λ, µ ∈ R, f (t), g(t) ∈ AC n [a, b] Chứng minh Ta có RL α t0 Dt [λf (t) + µg(t)] Z dn t (t − s)n−α−1 [λf (s) + µg(s)] ds = Γ(n − α) dtn t0 Z Z dn t dn t λ µ n−α−1 = (t − s) f (s)ds + (t − s)n−α−1 g(s)ds n n Γ(n − α) dt t0 Γ(n − α) dt t0 α RL α = λ RL t0 Dt f (t) + µ t0 Dt g(t) Định nghĩa 1.3 ([12]) Cho trước số thực dương α khoảng [a, b] ⊂ R Đạo hàm phân thứ Caputo cấp α hàm x : [a, b] −→ R cho C α t0 Dt x(t) := n−α n D x(t), t0 It n := dαe số nguyên nhỏ lớn α Dn = dn dxn đạo hàm thông thường cấp n T Đối với hàm véc tơ x(t) = (x1 (t), x2 (t), , xd (t)) đạo hàm phân thứ Caputo x(t) định nghĩa theo thành phần sau: C α t0 Dt x(t) :=
T C α C α C α t0 Dt x1 (t), t0 Dt x2 (t), , t0 Dt xd (t) Định lý sau cho ta điều kiện đủ cho tồn đào hàm Caputo phân thứ cấp α Định lý 1.3 ([13]) Cho α ≥ 0, n = [α] + Nếu f (t) ∈ AC n [a, b], đạo α hàm phân thứ Caputo C t0 Dt f (t) tồn hầu khắp nơi [a, b] Hơn nữa, ta có α (i) Nếu α 6∈ N C t0 Dt x(t) biểu diễn dạng sau: Z t f (n) (s)ds C α D f (t) = t0 t Γ(n − α) t0 (t − s)α−n+1 Đặc biệt, < α < f (t) ∈ AC[a, b], ta có: Z t f (s)ds C α t0 Dt f (t) = Γ(1 − α) t0 (t − s)α n (ii) Nếu α = n ∈ N C t0 Dt f (t) biểu diễn dạng sau: C n t0 Dt f (t) = f (n) (t) Đặc biệt, C t0 Dt f (t) = f (t) Mệnh đề sau khẳng định toán tử đạo hàm phân thứ Caputo toán tử tuyến tính Mệnh đề 1.3 ([12]) Cho trước số thực dương α Khi đạo hàm phân thứ Caputo cấp α tốn tử tuyến tính, tức C α t0 Dt [λf (t) α C α + µg(t)] = λ C t0 Dt f (t) + µ t0 Dt g(t), λ, µ ∈ R, f (t), g(t) ∈ AC n [a, b] Chứng minh Tương tự chứng minh Mệnh đề 1.2 Ta dễ dàng chứng minh tính chất sau đạo hàm phân thứ Caputo Mệnh đề 1.4 ([12]) Cho trước số thực dương α Nếu ξ số C α t0 Dt ξ = Giống với phép tính vi–tích phân cổ điển, đạo hàm phân thứ Caputo nghịch đảo trái tốn tử tích phân phân thứ Định lý 1.4 ([13]) Cho α > f (t) ∈ C[a, b] Khi ta có C α α t0 Dt ( t0 It f (t)) = f (t) 21 α C α = It1−α Itf Dtf V (x(t)) f   1−α α C α = Itf Itf Dtf V (x(t)) = It1−α (V (x(t)) − V (x(0))) = It1−α V (x(t)) − It1−α V (x(0)) f f f Mặt khác, ta lại có 1−α Itf V (x(t)) = Γ(1 − α) Z tf (tf − s)−α xT (s)P x(s)ds ≥ 0, ∀tf ≥ 0 Với điều kiện ban đầu không, ta thu đánh giá sau Z tf 1−α (tf − s)−µ xT (0)P x(0)ds = 0, ∀tf ≥ 0 Itf V (x(0)) = Γ(1 − α) α Hence It1f C Dtf V (x(t)) ≥ 0, ∀tf ≥ with zero initial condition Therefore, we have Z tf −γ −1 T T
Z θy (t)y(t) + 2(1 − θ)y (t)ω(t) dt ≥ −γ tf ω T (t)ω(t)dt, ∀tf ≥ 0 Theo Định nghĩa 2.1, hệ (2.5) ổn định tiệm cận toàn cục với hiệu suất hỗn hợp H∞ thụ động mức γ Định lý chứng minh hoàn toàn Nhận xét 2.3 Xét hệ (2.5) với ma trận A = − diag{a1 , a2 , , an }, > 0(i = 1, , n) thành phần phi tuyến f (x(t)) chọn hàm kích hoạt, tức f (x(t)) = (f1 (x1 (t)), f2 (x2 (t)), , fn (xn (t))), fi (.)(i = 1, , n) hàm liên tục, fi (0) = fi (.)(i = 1, , n) thỏa mãn điều kiện |fi (ξ)| ≤ li |ξ|, ∀ξ ∈ R, (2.21) li (i = 1, ) số dương biết Quan sát thấy điều kiện (2.21) tương đương với điều kiện (2.4) với κ = max{li , i = 1, , n} Khi hệ (2.5) trở thành hệ nơ ron thần kinh phân thứ nghiên cứu cơng trình nhiều nhà khoa học năm gần [19, 23, 25] Do nói Định lý 2.1 2.2 lớp hệ nơ ron thần kinh phân thứ 22 Ví dụ sau đưa để minh họa cho Định lý 2.2 Nhận xét 2.3 Ví dụ 2.2 Xét hệ nơ ron thần kinh phân thứ Caputo với cấu trúc vòng   C α  t≥0  Dt x(t) = [A + Ga Fa (t)Ha ]x(t) + W f (x(t)) + Dω(t),   (2.22) y(t) = M x(t) + N ω(t), t ≥ 0,      x(0) = x ∈ R3 , α ∈ (0, 1), x(t) = (x1 (t), x2 (t), x3 (t))T ∈ R3 véc tơ trạng thái hệ, ω(t) ∈ R véc tơ nhiễu, y(t) ∈ R véc tơ quan sát, f (x(t)) = (sin(x1 (t)), sin(x2 (t)), sin(x3 (t)))T ∈ R3 hàm kích hoạt mạng nơ ron      −5 0.6 h i     A =  −6 , G = , H = 0.4  0.5 0.6 0.8 , Fa (t) = cos t, a a     0 −5.5 0.9     −2.5 0.5  h i h i     W = −2.5  , D = 0.9 , M = 1 , N =     0.8 −2.5 Quan sát thấy hàm kích hoạt f (x(t)) thỏa mãn điều kiện (2.4) với κ = Cho trước θ = 0.4 Ta xét toán đạt hiệu suất hỗn hợp H∞ thụ động hệ (2.22) Sử dụng hộp công cụ LMI Control Toolbox MATLAB [10], ta thấy điều kiện (2.15) Định lý 2.2 thỏa mãn với 1 = 3.2872, 2 = 3.3025, γ = 4.4643   0.7834 0.1260 0.1615   P = 0.1260 0.7053 0.1638   0.1615 0.1638 0.8559 Theo Định lý 2.2, hệ (2.22) ổn định tiệm cận toàn cục với mức hiệu suất hỗn hợp H∞ thụ động γ = 4.4643 Để mô phỏng, chọn α = 0.87, ω(t) = e−0.1t sin t điều kiện ban đầu x1 (0) = 1, x2 (0) = 2, x3 (0) = Hình 2.2 mơ quỹ đạo trạng thái x1 (t), x2 (t), x3 (t) hệ (2.22) Rõ ràng, từ kết mô ta thấy hệ (2.22) ổn định tiệm cận toàn cục 23 2.5 1.5 0.5 0 Time(sec) Hình 2.2: Quỹ đạo trạng thái x1 (t), x2 (t), x3 (t) hệ (2.22) Ví dụ 2.2 2.3 Điều khiển hỗn hợp H∞ thụ động cho lớp hệ phương trình vi phân phân thứ phi tuyến Trong mục này, chúng tơi trình bày toán điều kiển hỗn hợp H∞ thụ động cho hệ (2.1) Cụ thể, thiết kế điều khiển ngược phụ thuộc trạng thái u(t) = Kx(t), K ∈ Rm×n ma trận tìm để hệ đóng   C α   Dt x(t) = [A + ∆A(t) + BK] x(t) + f (x(t)) + Dω(t), t ≥ 0,   y(t) = M x(t) + N ω(t),      x(0) = x ∈ Rn , (2.23) ổn định tiệm cận toàn cục với hiệu suất hỗn hợp H∞ thụ động mức γ Định lý 2.3 Cho trước số θ ∈ [0, 1], hệ đóng (2.23) ổn định tiệm cận tồn cục với hiệu suất hỗn hợp H∞ thụ động mức γ tồn ma trận đối xứng xác định dương P ∈ Rn×n , ma trận Y ∈ Rm×n , ba số dương 24 γ, 1 , 2 cho bất đẳng thức ma trận tuyến tính thỏa mãn   √ T T N11 N12 P Ha κP θP M   √  ∗ N T 0 θN   22    ∗ ∗ −1 I 0    (2.24)   < 0,  ∗  ∗ ∗ − I 0     γ  ∗  I ∗ ∗ ∗ −   γ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ −2I N11 = AP + P AT + BY + Y T B T + 1 Ga GTa + 2 W W T , N12 = D − (1 − θ)P M T , N22 = −(1 − θ)(N T + N ) − γI Ngoài ra, điều khiển ngược ổn định hóa cho u(t) = Y P −1 x(t), t ≥ Chứng minh Xét hàm Lyapunov V (x(t)) = xT (t)P −1 x(t), P nghiệm bất đẳng thức ma trận tuyến tính (2.24) Bằng cách sử dụng kỹ thuật tương tự chứng minh Định lý 2.2, ta thu ước lượng C α Dt V (x(t)) + γ −1 θy T (t)y(t) − 2(1 − θ)y T (t)ω(t) − γω T (t)ω(t) ≤ η T (t)Mη(t), (2.25)     x(t) M M12  , M =  11 , η(t) =  ω(t) ∗ M22 M11 = P −1 A + AT P −1 + P −1 BK + K T B T P −1 + 1 P −1 Ga GTa P −1 T −1 −1 T + 2 P −1 W W T P −1 + −1 Ha Ha + 2 κ I + 2γ θM M, M12 = P −1 D − (1 − θ)M T , 25 M22 = −(1 − θ)(N + N T ) − γI + 2γ −1 θN T N Nhân bến trái bên phải M ma trận diag{P, I} chuẩn vị đặt K = Y P −1 ta thu điều kiện M < tương đương với điều kiện   M11 M12  < 0, M= ∗ M22 (2.26) T M11 = AP + P AT + BY + Y T B T + 1 Ga GTa + 2 W W T + −1 P Ha Ha P + 2−1 κ2 P P + 2γ −1 θP M T M P, M12 = D − (1 − θ)P M T , M22 = −(1 − θ)(N + N T ) − γI + 2γ −1 θN T N Từ Bổ đề Schur (Bổ đề 1.2), ta thấy điều kiện M < tương đương với điều kiện (2.24) Từ suy C α Dt V (x(t)) + γ −1 θy T (t)y(t) − 2(1 − θ)y T (t)ω(t) − γω T (t)ω(t) ≤ 0, ∀t ≥ Tới kỹ thuật tương tự chứng minh Định lý 2.2, ta dễ dàng chứng minh định lý Tiếp theo, xét số trường hợp riêng Khi ∆A(t) = 0, hệ (2.1) trở thành       C α Dt x(t) = Ax(t) + W f (x(t)) + Dω(t) + Bu(t), t ≥ 0, y(t) = M x(t) + N ω(t), t ≥ 0,      x(0) = x ∈ Rn (2.27) Hệ đóng tương ứng ứng với điều khiển ngược phụ thuộc trạng thái u(t) = Kx(t) miêu tả   C α   Dt x(t) = (A + BK) x(t) + W f (x(t)) + Dω(t), t ≥ 0,   y(t) = M x(t) + N ω(t), t ≥ 0,      x(0) = x ∈ Rn (2.28) 26 Bằng kỹ thuật chứng minh hoàn toàn tương tự Định lý 2.3, ta thu hệ Hệ 2.1 Cho trước số θ ∈ [0, 1], hệ đóng (2.28) ổn định tiệm cận tồn cục với hiệu suất hỗn hợp H∞ thụ động mức γ tồn ma trận đối xứng xác định dương P ∈ Rn×n , ma trận Y ∈ Rm×n , hai số dương γ,  cho bất đẳng thức ma trận tuyến tính thỏa mãn   √ T W11 W12 κP θP M   √  ∗ W T 0 θN 22     