Luận văn tập hút toàn cục đối với hệ phương trình brusselator

Trong những năm qua, sự tồn tại và tính chất của tập hũt, sự tồn tại và tính ổn định của nghiệm dừng đã được nghiên cứu cho nhiều lớp phương trình parabolic phi tuyến.. Trong [8 ], theo

NGUYỄN THỊ LIỄU

TẬP HÚT TOÀN CỤC Đối VỚI HỆ PHƯƠNG TRÌNH BRUSSELATOR

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGUYỄN THỊ LIỄU

TẬP HÚT TOÀN CỤC Đối VỚI HỆ PHƯƠNG TRÌNH BRUSSELATOR

Chuyên ngành: Toán Giải tích Mã số: 60 46 01 02

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC sư PHẠM HÀ NỘI

HÀ NỘI,

Người hướng dẫn kh oa học: PGS.TS Cung Thế Anh

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TRƯỜNG ĐẠI HỌC sư PHẠM HÀ NỘI

HÀ NỘI,

LỜI CẢM ƠN

Tôi xin trân trọng cảm ơn Ban chủ nhiệm khoa Toán, Phòng Sau Đại học trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 cùng các thầy, cô giáo giảng dạy lớp cao học khóa 16 đợt 2 (2012 - 2014), đã tạo điều kiện thuận lợi giúp tôi hoàn thành tốt bản luận văn này

Đặc biệt tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành tới PGS TS Cung Thế Anh, người luôn hướng dẫn và giúp đỡ tôi trong suốt quá trình hoàn thành luận văn

Mặc dù đã có nhiều cố gắng nhưng luận văn khó tránh khỏi những thiếu sót Tác giả mong nhận được những ý kiến đóng góp của quý thầy, cô và bạn đọc để luận văn được hoàn thiện hơn

Xin chân thành cảm ơn!

Hà Nội, tháng 12 năm 2014

rri' _ _ • 2 Tác giả Nguyễn Thị Liễu

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan rằng số liệu và kết quả nghiên cứu trong luận văn này là

trung thực và không trùng lặp với các đề tài khác

Hà Nội, tháng 12 năm 2014

m / _ _ ■ 2Tác giả Nguyễn Thị Liễu

4

Mục lục

5

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Việc nghiên cứu dáng điệu tiệm cận nghiệm của các hệ động lực vô hạn chiều sinh bởi các phương trình đạo hàm riêng phi tuyến hoặc các phương trình vi phân hàm là một bài toán quan trọng và có nhiều ý nghĩa thực tiễn Một trong những cách tiếp cận bài toán này đối với các hệ động lực tiêu hao

vô hạn chiều là nghiên cứu sự tồn tại và các tính chất của tập hũt Đó là một tập compact, bất biến, hút các tập bị chặn và chứa đựng nhiều thông tin về dáng điệu tiệm cận của hệ đang xét

Trong những năm qua, sự tồn tại và tính chất của tập hũt, sự tồn tại và tính ổn định của nghiệm dừng đã được nghiên cứu cho nhiều lớp phương trình parabolic phi tuyến Tuy nhiên phần lớn các kết quả đạt được mới chỉ

là cho trường hợp phương trình vô hướng; các kết quả tương ứng đối với các hệ parabolic phi tuyến xuất hiện trong hóa sinh và hóa lí vẫn còn ít (xem[1]-[14]) Các phương trình parabolic phi tuyến xuất hiện một cách tự nhiên trong nhiều bài toán của hóa sinh và hóa lí, và đang thu hút được sự quan tâm nghiên cứu của nhiều nhà toán học trong và ngoài nước

Lớp chung của các hệ phản ứng-khuếch tán phi tuyến có

dạng D U

ớt dv

phản ứng và khuếch tán của phạm trù hóa học hoặc phạm trù sinh hóa có thể tạo ra đa dạng những mô hình không gian Lớp này của hệ phản ứng-khuếch tán bao gồm một số đáng kể hệ phương trình hình thành mô hình mẫu phát sinh từ các mô hình động lực hóa học hoặc phản ứng sinh hóa và

từ lý thuyết hình thành mô hình sinh học

Trong nhóm này, bốn hệ sau đây thường quan trọng và dùng như các mô hình toán học trong ngành yật lý và sinh học

1993, một loạt các không gian mẫu được tạo ra bởi các giải pháp ổn định và các giải pháp phát triển lâu năm đã tiếp xúc bằng các thực nghiệm [8 ], bằng

mô phỏng số, hoặc bằng các phân tích toán học [13]

Lúc đầu, Brusselator là hệ của hai phương trình vi phân thông thường như các phương trình phản ứng cân bằng cho tự xúc tác, phản ứng dao động hóa học [3] Tên của mô hình là thành phố của các nhà khoa học đã đề xuất

nó Trong nhiều hệ tự xũc tác, động lực học phức được nhìn thấy, bao gồm các trạng thái bội ổn định, các quỹ đạo tuần hoàn và các điểm rẽ nhánh.Phản ứng Belousov-Zhabotinsky [5] là một phản ứng hóa học chung, trong đó nồng độ của các chất đưa ra động thái dao động Đặc biệt, mô hình Brus- selator mô tả trường hợp trong đó các phản ứng hóa học theo sơ đồ:

= diAu + u 2 v— (b+ l)u + a,(t,x) G (0,°o) X £2,

át dv

3- = — U 2 V + bu,(t,x) G (0,°o) X íì,

ót

u ( t , x ) =v(í,jc) = 0,í>0,jcễ d Q , u(0,x) = Uo (x) ,v(0,jc) = Vo (x) ,x e П, trong đó D I , ( Ỉ 2 , A , B là các hằng số dương Ở đây, người ta giả định rằng hệ số tỉ lệ cho các phản ứng trung gian phụ là bằng 1 Trên thực tế các kết quả của luận văn này sẽ không bị ảnh hưởng bằng cách lấy các hệ số phản ứng khác nhau

Lưu ý rằng có một số ví dụ nổi tiếng đã biết của tự xúc tác có thể được

mô phỏng bởi hệ phương trình Brusselator; như phản ứng iodat- sulfite, phản ứng clorit-iodua-axit malonic, phản ứng axen-iodat, một

ferrocyanua-số phản ứng xúc tác enzim và tăng trưởng nấm mycelia, xem [3]-[4]

Kể từ năm 1970 đã có một số hạn chế nghiên cứu giải pháp không gianmẫu như trạng thái ổn định của ổn định địa phương và các điểm rẽ nhánh cho hệ phương trình Brusselator Trong [6 ]-[10], một số không gian Turing phát sinh bởi hệ phương trình Brusselator được nghiên cứu về số lượng hoặc phân tích, bao gồm cả mô hình tăng đột biến, mô hình sọc và những bất ổn dao động Trong kết quả số [2] đã được trình bày, cho thấy mô hình mazelike, mô hình lục giác và mô hình hỗn loạn-tìm kiếm, cho hệ phương trình Brusselator 2D và phiên bản hyperbolic với các phương trình dòng khuếch tán Trong [8 ], theo các giả định của đầu vào chậm và tỉ lệ khuếch tán chậm, sự tồn tại của mô hình kiểu mẫu mesa cho Brusselator 1D được hiển thị cùng với một mức cho sự ổn định địa phương và một điểm rẽ nhánh Hopf với sự ổn định kiểu bình thở bằng cách sử dụng phương pháp nhiễu loạn kì dị

Lý thuyết cơ bản của tập hút toàn cục và các ứng dụng có thể tìm thấy trong[11] -[12] và nhiều tài liệu tham khảo trong đó Kể từ những năm 1980

sự tồn tại của một tập hút toàn cục đã được chứng minh đối với một số lớp phương trình parabolic suy biến và đã làm tắt dần các phương trình sóng phi tuyến Tiêu tán điển hình của một phương trình phản ứng-khuếch tán đơn được thể hiện trong kí hiệu điều kiện tiệm cận ở bên phải hàm phi tuyến

/ (S )

lim sup —< 0 .

|j|—>oo S

Đối với hệ của hai hay nhiều phản ứng-khuếch tán, kí hiệu tiệm cận trong hệ vectơ luôn luôn không thỏa mãn Một kết quả hạn chế về sự tồn tại của tập hút toàn cục đã được chứng minh cho một phần tiêu tán hệ phản ứng-khuếch tán, như các phương trình FitzHugh-Nagumo Một số kết quả dựa trên việc xây dựng một miền bất biến dương trên K" nói chung cung cấp duy nhất tập hút địa phương

Đối với hệ phương trình Brusselator trên, những khó khăn chủ yếu trongviệc chứng minh sự tồn tại tập hũt toàn cục là ở trên thực tế, đa thức phi tuyến có tính tương tác đối nhau trong hai phương trình được ghép thành đôi không có tiêu tán riêng hoặc tiêu tán tiệm cận, gây ra một số trở ngại nhất định trong việc chứng minh sự tồn tại của các tập hấp thụ và thậm chí nhiều thách thức trong hiển thị compact tiệm cận Trong luận văn này, một phương pháp phân tích mới được nghiên cứu và được sử dụng để hiển thị tính K -co của nửa nhóm

Vì yậy, chúng tôi chọn vấn đề này làm đề tài nghiên cứu của luận văn với tên gọi là: "Tập hút toàn cục đối với hệ phương trình Brusselator"

Kết quả của luận văn này dựa chủ yếu vào bài báo " Y You, G L O B A L

2 Mục đích nghiên cứu

Nghiên cứu sự tồn tại và đánh giá số chiều fractal, số chiều Hausdorff của tập hút toàn cục của hệ phương trình Brusselator xuất hiện trong hóa học.

3 Nhiệm yụ nghiên cứu

• Nghiên cứu sự tồn tại duy nhất nghiệm của bài toán

• Nghiên cứu sự tồn tại tập hút của nửa nhóm sinh bởi nghiệm của bài toán

Đánh giá số chiều fractal và số chiều Hausdorff của tập hũt toàn cục.

MỤC LỤC

4 Đối tượng và phạm vỉ nghỉên cứu

• Đối tượng nghiên cứu: Hệ phương trình Brusselator

• Phạm vi nghiên cứu: Sự tồn tại và đánh giá số chiều fractal, số chiều

Hausdorff của tập hút toàn cục

5 Phương pháp nghiên cứu

• Nghiên cứu sự tồn tại nghiệm: phương pháp nửa nhóm

• Nghiên cứu sự tồn tại và đánh giá số chiều fractal, số chiều Hausdorff

của tập hũt toàn cục: các phương pháp của lí thuyết hệ động lực

6 Kết quả chính của luận văn

Chương 1

Kiến thức chuẩn bi

Trong chương này, chúng tôi trình bày các kiến thức cơ sở cần thiết cho việc trình bày các nội dung chính của luận văn Các kết quả của chương này được trình bày dựa trên [1]-[14]

Trong luận văn này ta sử dụng các không gian hàm sau:

1.1.1 Các không gian Ư (£2)

tích Lebesgue bậc p trên ũ với chuẩn được định nghĩa như sau:

Đỉnh nghĩa 1.1.2 Ư° (£2) là không gian Banach bao gồm tất cả các hàm đo

1

được và bị chặn hầu khắp nơi trên ũ với chuẩn

IMIl“(Q) := esssup\ U (jc)|

XGŨ.

1.1.2 Không gian Sobolev

Sobolev được định nghĩa

được định nghĩa như sau:

IMIh^q) = u \ 2 + \^u\2) D X , V Ớ I H À M U € H 1 (£2)

Giả sử X là một không gian Banach phức, ta có các định nghĩa sau:

Bây giờ ta xét một trường hợp đặc biệt: nửa nhóm giải tích Giả sử <p € (0 , N ), kí

s (í) u 0 = u (í) € c° ([0, +oo) ;X) n c°° ((0, +oo) ;X) ,u(t)eD (A)

cho

II / (“) - / (v) llx2 < L ( r ) \ \ U ~ v||Xl>

Xét phương trình tiến hóa nửa tuyến tính ôtônôm sau

(1.1) ^ = A u ( t ) + f ( u ( t ) ) ,t > 0 , u ( 0 ) = Щ

dt

([0, Г] -X) n c 1 ((0, Т] -X) n с ((0, T] -D (A)) và и thỏa mãn (1.1) với mọi t €

J o

Giả sử S (í) là một nửa nhóm giải tích trong X với toán tử sinh А = — В ,

ở đó В : D ( B ) —»• X là một toán tử quạt thỏa mãn

Reơ (В ) > 0

trình (1.1) có một nghiệm tích phân duy nhất и € c° ( [о, г] ; X a ) Hơn nữa, и G с 1 ((о,

т ] ;Х) ПС 0 ( [о, г) ;D ( А )) là mộtnghiệm cổ điển của ( 1 1 )

Chúng tôi tham khảo [1], [11] và [12] cho các khái niệm và các

thông tin cơ bản trong lý thuyết của hệ động lực vô hạn chiều,

bao gồm một số thông tin đưa ra dưới đây cho rõ ràng.

CHƯƠNG 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 11

1.3.1 Một số khái niệm

Giả sử X là một không gian Banach, ta có các định nghĩa sau:

1) s ( 0 ) = I, I là phép đồng nhất;

2) S ( t ) S ( s ) = S ( 5 ) S ( t ) = S ( t + x ) , V t , s > 0 \

3) s(t) Uo liên tục đối với (í, Mo) £ [0; +00) X X.

chặn) nếu tồn tại một tập bị chặn Во с X hút các điểm (tương ứng, hút các tập bị chặn) của X.

thường được gọi tắt là nửa nhóm tiêu hao.

Dễ thấy một nửa nhóm tiêu hao bị chặn thì tiêu hao điểm Điều ngược lại nói chung không đúng, nhưng nó đúng với các nửa nhóm trong không gian hữu hạn chiều.Định nghĩa về tính chất КГ-СО của nửa nhóm {5 (í)}í> 0 được trình bày như sau

Đỉnh nghĩa 1.3.4 Nửa nhóm {5(0}/>o t r o n 8 không gian metrỉc đầy đủ X được gọi là K-co nếu với mọi tập con bị chặn B của X, có

í—>oo

hạn, nếu với mọi tập con bị chặn B của X, ta có

í—>oo

vT>f

Bây giờ ta định nghĩa tính compact tiệm cận

là compact trong X, ỏ đây [ 7 ] là bao đóng của tập 7

Một hệ động lực gọi là compact nếu nó là compact tiệm cận và ta có thể lấy S t1) (í)

= 0 trong biểu diễn (1.2) Rõ ràng rằng bất kì hệ động lực tiêu hao hữu hạn chiều nào cũng là compact

Dễ dàng thấy rằng điều kiện (1.3) được thỏa mãn nếu tồn tại một tập

compact К trong X sao cho với bất kì tập bị chặn В С X , tồn tại T O ( B ) sao

1.3.2 Một số định lí và bổ đề

Bổ đề sau đây rất hữu ích khi chứng minh tính compact tiệm cận

cho

T—»+° o

với mọi tập В bị chặn trong X.

phần tử V := S ( T ) U E K sao cho

dist ( S (T ) U , K ) = S (í) И — (T ) И

Do đó nếu đặt ( T ) U = S (í) И — (t) U ,dễ thấy sự phân tích (1.3) thỏa

mãn tất cả các yêu cầu trong định nghĩa của tính compact tiệm cận □

và mọi dãy T ] Ç — > {5 (íjfc) •**}*= 1 là compact tương đối trong X ;

oo

Với sự nghiên cứu của compact tiệm cận đối với nửa nhóm Brusselator, ta sẽ có cách tiếp cận sự hiển thị tính chất K - C O đối với nửa nhóm {5 (í)}f>0 - Nhớ lại định nghĩa của độ đo không compact Kuratowski đối với các tập bị chặn trong không gian Banach X ,

độ đo Kuratowski được liệt kê trong bổ đề sau, xem [11, Bổ đề 22.2]

Kuratowski của các tập bị chặn trong X Khi đó к có các tính chất sau:

trong X.

2) Kr(ßi+ß 2 ) < к ( B ị ) + К ( В 2 ) với bất kì tổng tuyến tính B\ + - 6 2 -

-4) Giả sử X là tổng trực tiếp của hai không gian con tuyến tính đóng Xị v à X 2 ,

điều kiện sau đây được thỏa mãn:

2) {£( 0 }f> Q Ỉ à K - c o ,

đối với nửa nhóm đó.

Trong [11, Chương 2], lý thuyết cơ bản về sự tồn tại của tập hút toàn cục được chứng minh, có thể bắt đầu ngắn gọn trong bổ đề sau

chất sau:

và£2(|w| < M ) = { X G £2 : M } , và dùng M ( • ) để kí hiệu độ đo Lebesguecủa tập con trong Q

Định lí 1.3.1 [14] Giả sử Y = L 2 ( Q ) hoặc H Giả sử {£ (í)}í > 0 là ni ^ a nhóm trong

Y Khỉ đó tồn tại một tập hút toàn cục sể trong Y đối với nửa nhóm này khỉ và chỉ khỉ hai điều kiện sau được thỏa mãn:

ii) Với bất kì £ ^ 0, co CŨC hang Sỡ dĩ/ểớTiỊy ii/ — j Vß T — T Sữo cho

( x ; t : w o ) là hàm đặc trưng của tập con П ( \ s ( t ) Wo I < M )

ta đặt

Số chiều Hausdorff của tập hợp M được định nghĩa bởi

dimH M = inf{ D : Ị U ( M , D ) = 0}.

số chiều fractal của M được định nghĩa bởi

dimpM = ffiS jggffig = ĩỉm

£ — > 0 log2 (l/e) e- > 0 ln(l/e)

• Bất đẳng thức Gronwall: Giả sử X ( T ) là một hàm liên tục tuyệt đối trên [0 ;T]

Nói riêng, nếu A và B là các hằng số và

• Bất đẳng thức Gronwall dạng tích phân: Cho Ẹ (T ) là một hàm khả tích, không

âm trên [0 ; T ] và thỏa mãn với hầu khắp T bất đẳng thức tích phân

J X ( s ) d s< X , J a (s ) d s < Av ầ Ị b ( s ) d s < B với r > 0 nào đó và với mọi t > ÍQ Khi đó

với mọi T > T O + R

Chương 2

Tập hút toàn cục đối với hệ Brusselator

Trong chương này, chúng ta chứng minh sự tồn tại nghiệm, sự tồn tại tập hút toàn cục và đánh giá số chiều fractal của tập hút toàn cục của nửa nhóm sinh bởi nghiệm của bài toán Kết quả của chương này dựa trên bài báo [14]

Như đã giới thiệu ở phần mở đầu,

(2.1) = d\Au + u 2 v— (b+ \)u + a A t , x ) G (0,°o) X

£2, ở t

(2.2) — = d 2Av — U 2 V + bu, (t,x) €

(0, oo) X £2, àt

U (T , X ) = V ( T , X ) = 0 , í > 0 ,x € D Q ,

trong đó D Ị , D 2 , A , B là các hằng số dương Hệ (2.1)-(2.2) được gọi là

hệ phương trình Brusselator Ở đây, người ta giả định rằng hệ số tỉ lệ cho các phản ứng trung gian phụ là bằng 1 Trên thực tế các kết quả của luận văn này sẽ không bị ảnh hưởng bằng cách lấy các hệ số phản ứng khác nhau

2

Cho hệ phương trình Brusselator và ba mô hình hệ Gray-Scott, hệ Glycolysis và hệ Schnackenberg đã đề cập trong phần đầu với số chiều không gian N < 3, tuy nhiên, đã không có nhiều kết quả nghiên cứu đáng

kể của hệ động lực toàn cục Trong luận văn này, với những giả thiết không ngặt, chúng tôi chứng minh sự tồn tại của tập hũt toàn cục trong không gian

điều kiện biên Dirichlet thuần nhất

Với các không gian tích Hilbert

là một toán tử sinh ra của Co-nửa nhóm giải tích trong không gian H Vì,

là xác định trên E và Lipschitz địa phương

Khi đó bởi Định lí 1.2.1 của phương trình tiến hóa [2], người ta chứng

2

minh được sự tồn tại địa phương và tính duy nhất của

v ( t )\\ 2 < e - 2 Ỵ d 2 t \ \ v 0\\ 2 +

2 y d 2

Hơn nữa, với bất kì T > 0, (2.6) cũng suy ra

Lấy tích phân của bất đẳng thức (2.11) thấy rằng nghiệm mạnh Z { T ) của

phương trình (2 .1 0 ) thỏa mãn ước lượng