1 Tớnh chớnh quy ca hỳt ton cc 1.1 S tn ti ca hỳt ton cc GIODC DC V TO BB GIO VO O TO TRNG IHC HC s HH NINI TRNG I sPHM PHM 1.1.2 Tớnh cht ca hỳt ton cc 1.1 S tn ti ca hỳt ton cc Li cam cm n Mc lc oan HONG NG HNG HONG NG HNG Tụi xin by camtoan, lũng di bit n s sõu hng sc dn ti PGS.TS ca PGS.TS CungCung Th Anh, Th Anh, ngilun ó nh M u hng thc s chn chuyờn ti ngnh v tn Toỏn tỡnhGii hng tớchdn vi tụi ticúTớnh th hon chớnh thnh quylun cavn tpny hỳt ton cc c hon thnh bi nhn thc ca bn thõn tỏc gi Tụi cng xin by t lũng bit n chõn thnh ti cỏc thy cụ phũng Sau i hc, TNH CHNH QUY cựng cỏc Trong quỏthy trỡnhcụnghiờn giỏo dy culp thc thc hin s chuyờn lun vn, ngnh tỏc gi Toỏn ó Gii k tha tớch,nhng trng thnh i CA TP HT TON cc 1.1.1 nim hc ca tu S phm cỏc nh HMt khoa Nishc khỏi óvi giỳp s trõn tụi trng trongv sut bit quỏ n.trỡnh hc TNH CHNH QUY CA TP HT TON cc Nhõn dp ny tụi cng xin c gi li cm n chõn H Ni, thnhthỏng ti gia nm ỡnh,2016 bn bố LUN VN THC s TON HC ó luụn ng viờn, c v, to mi iu kin thun li cho tụiTỏc giquỏ trỡnh hc Toỏn 13 1.2 Tớnh chớnh quChuyờn ca ngnh: hỳt ton cc gii tớch v hon thnh lun : 60 46 01 02 13 1.2.1 Bt ng thcMó c s bn H Ni, thỏng nm 2016 15 1.2.2 Tớnh chớnh qu ca hỳt ton cc Tỏc gi LUN VN THC s TON HC Ngi khoa hc Ap dng cho hỳt ton cc ca phng trỡnhhng truyndn Hong ng Hng súng tt dn mnh PGS.TS Cung Th Anh 2.1 t bi toỏn 2.2 S tn ti hỳt ton cc Tớ 2.3 Tớnh chớnh quy ca hỳt ton cc Hong ng Hng H 2016 H NI, Ni, 2016 Cho nờn, nu ta chn cỏc hng s dng thc s s + rng nh lýquy L3 v B L1 taca tiờu chun sau õy: Mt na b)Ti c) Vi bt ti mt k b cgi X X, tn cho ti tcho cho hp sinh na nhúm sQchn (t) trờn Bờn cnh gi s na nhúm tuyn tớnh (t), aChỳ , > òcỏc < 1ca Jcompact > 0B thỡ (t) cú hỳt ton cc s b c) s l nht Khi ú, Bo b hỳt m bi mt hỡnh cu V cú tõm ti c th tn Do ú tn ti ytp kho B cho Lp lun nh phn ,khụng cú khng nh c minh ra, gi s ipchn cú phộp phõn tớch Ta cvi : Tn M xột H qu X ỏnh o x V bi (t) (t), toỏn trờn tchng >Cauchy sK 0,X vi V l (0) mt = na vú, 0Ngoi Khi nhúm ú liờn utp (t) tc (coi trờn nh X.gc, Khi qu ú o XLta xut gi 0liu Qý 33 nv 0úng tham 1.2 Tớnh chớnh ca hỳt ton cc Phng Mc ớchphỏp nghiờn cu cu nghiờn s lcú nhúm cú mt nu nú compact tim chng minh sinh bi trỡnh vi F 0, nh trờn Xthc vca V, tc gian V.tiờu ti cỏc s thc s g, K, cho phỏt Khi l khụng ú t cho uphng (r) gian tsau v > pha 0, Võy ta (t) (hay vit =(0) tkhụng (t) nt v(2) tha +gian vi trng n=UJ m thỏi) N v v T 0c dim tXkhụng ),-gi lỡ gian ng s h ehng = (1 + pdng -=hỳt P o=ton )trỳc Rr,n O7cc ,món) c p (0)/3 \[0; khai= ttacn P ochiu nh lớhao mụ t cu ca hỳt ton cc {2) dist (s (t ) y B (B)) >oo (t) X =w x(t) =cú (r) yca UXal 2s dist* (S (ớ) (e)) Cui cựng, gi s(0) (1.7)-(1.8) ỳng, vi 77 (ớ; x) = L~ò~Jo(t) X v c T õy suy iu phi chng minh \\Vx (r) Vn IIX < a IIVn IIX < ô (0) a^a^To, X y + z , ll/nllx ^0-^0) ll^nlly Ro ' ^ kằ00 kằoc n n Lớ chn ti qu o y b chn z = lim (t )y e co (B) xp x qu o ó chn u (t) mt khong thi gian di hn, nk nk l mtth na nhúm nh ngha Mt skkhỏc rng g/tiờu cahao X gi l h mt tphỳt hỳt ton cc i ta ly sM (ớ) = 0nhúm biu din (1.1) Rừ rng ng lc tiờu hu nh ngha 1.2 Na im (tng ngton tiờuhao haoca b pcú kt1.5 quca tng quỏt xột quy ca cc oogi (ớ; X)dng l nghim Oớ =ny a(t) (to) < 1,ltớnh A) =chớnh /3 (*o) < Suy y Ê (t)u) (B) Do ú, 1.2.1 úng Bt ng gúp thc ca c bn ti ta phi dựng nhiu qu o trờn hỳt ton cc s vụ saucựng õy ca cỏc h Chng minh, i)cng Trc ht ta chng minh ĩJ (B) 0.Mnh vi na nhúm nu 1.2.2 Tớnh chớnh quy ca hỳt ton cc Vic nghiờn cu dỏng iu tim cn nghim thi gian hn chiu no l compact chn) nu tn ti mt b chn c(B) Xsúng hp thdn cỏc im (tng ng, th na nhúm sinh bi trỡnh truyn 0nghim tt mnh B 1.3 Cho u(t) (t)phng lh mt toỏn tBco khụng gian Banach X.hp GiKhi s iu ny mõu thun vi (T4) Vy l mt hỳt ton cc T C(0) Chng minh Gi s tn ti qu o y b chn m khụng nm trờn s l = 0, X n ( )vect V n IIV ^ p () I\ n IIV + (ớo) < Q , Vi mi n N, ta khng\ \nh l hCui qu trc tip caú nh lý iii) cựng ta chng minh cmt (B) lphng compact Gi s0,{z l mt dóy nm distx (S (nto) Bo, By (Ro)) l thit 1.2 n} Ly ychn) B.ca Khi tn ti dóy tnc +00 cho hp s(t ylp n Ebt n) v n} =1 ng lc vụ hn chiu sinh bi cỏc hm riờng phi tuyn l cỏc b X Trc ht ta u bng mt vi khỏi nim Cho khụng gian Banach X Rtp > D dng thy rng iu kin (1.2) tha nu tn ti mt rng a) Bõy s gi l ta chng úng v minh b chn; tớnh liờn thụng ca hỳt ton cc s bng phn ú Trỡnh vi by Ê > c tn kt ti X qu ầ L v tớnh cho chớnh X E quy ti0compact nh chng minh ca L2,Edóy t ctp (B)tng trng Khi úv vi mi nH >ý(Ro)1qu th c tnphn > n v yyn G GX Bcỏch a;s := (nt ) mt Xcú Bu0tỡm nnhiu ta l i, tc l tn ti mt ntin mt t s tn ca hỳt ton cc c By s k v mt bi toỏn quan cú ngha thc Mt nhng H qu 1.1 Cho trc mt qu o (t), tn ti mt dóy cỏc sai Nu s (t) l tiờu hao b chn thỡ tn ti b chn BUi ccc cho vi 0, t 0trong compact K X cho bt kỡ b chn B c X, tn ti {B) Nhim v nghiờn cu 1.1 S tn ti ca hỳt ton cc chng s s liờn thụng Khi tn tith hai m vX u cho lõn ca ộ.quỏt Vỡskhụng sny hỳt mi b(t)chn nờn vi ln ta kt cn quGi tng xột tớnh chớnh quy ca hỳt ton ca phng cho Banach X Gi na nhúm cú ú hp Bo c X.cú Gi s V ls(ớ) mtB b)cho s l bt bin, l\ +0; Jtim IIz (ttc )yzkhi cn vehn lun nh n )= n) n\II U (X ti P (thc ttớnh )ng zcompact \>lc \t0tiờn )hao ,l Vcompact KKT=1 (-1 xk 1, \zng xõy, cho s(t y\sB > y(bt ằ 00 T tim cn taphn suy úvi Êbi (ớ)nk ng u t tớnh n nk\(t) tip cn toỏn ny vi cỏc h lc tiờu vụ l nghiờn phộp phõn tớch x = y + z , vi y tha mi b chn c X, tn ti T = T (B) sa(1.8) Bzc c xlp B0,suy ,chiu Vớ > nú T Tp n n n n n K = a (0) OL T , UI = t lnttớnh ccú K, Vớ > t {B) Núi riờng, mt h tiờu hao nu cú mt echo 0(t)compact Trong cỏc trng hp c th, phng phỏp thng dựng thit lp sBV0 = (t)mt dist (S z, s) < Ê, Vz (1.3) trỡnh truyn súng tt dn mnh khụng gian Banach nhỳng compact X, cho cỏc hỡnh cu úng B (i?) X ^ R } * Êh 0,bn nmt s phn 0,stớnh * khỏi = 1, 2, squy cc u {njt} utp Uớhỳt nlớ uton n ca 2,ca = Nghiờn sU tn ti v chớnh cc Mc nycu trỡnh by mt nim thuyt h ng lc trờn, tn ti t z ca v mt dóy cho nh m) Kiu phõn tớch ny thng ỳng vi cỏc bi toỏn di ticompact, hn.tiờu Khihao ú, c) s hỳt mi b chn B ca X, tc l cu s tn ti v cỏc tớnh cht hỳt ton cc ú l mt bt nh vy gi l mt hp th i vi na nhúm s (t) T R hp th compact tn ti ca ton cc s l tỡm phộp phõn tớch vi f, J Khi ú, vi bt kt > ln cho /?0 := /3 (t ) < 0 IIVn\\x < 0, Ikllv < = ^ ' cng úng X ta suy rachiu tớnh cht hỳt lớm ca (1.6) + limhm dists (stn B, s) =hỳt vụ v c bn v Ni cakhụng mc s {s) {(t) 1liờn )ti 2, )v c nhgian Kýhn hiu scỏc lsnhúm khụng tng tc Jl0,: ton K+tin M{cc ký dung hiu l cỏc t bin, hỳt b chn v cha ng nhiu thụng v dỏng iu tim cn Gi s rng = conv l bao li ca s, tc Mt na tiờu hao b chn thỡ tiờu hao im iu ngc li núi chung Ilminh - ( quy nj Vn IItp < hỳt ton (O cc ynk +ca y - phng(t -> 0.súng k 00 k) ynktruyn ớ-> p dng xột tớnh chớnh ca trỡnh 1, Chỳng tatng chng khng nh trờn phỏp np theo n N mt dóy1.1 cỏc thi im {t Do l mt qu o y nờn Xvi X vi X quy mt notp ú.compact iu (i)(ớ) X, = n} r}compact (t; =1 x)=bng +tim c+ (ớ;phng x), Va; etn Bo, (1.7)K B Na nhúm s l cn nu ti + [1, 4, 8J ny c vit da trờn cỏc ti liu nh lý 1.4 Ký hiu To = \\J3\\ Vi mi X G Bo, gi s tn ti hai toỏn t gian cỏc hm gim liờn tc : R M tha /3 (oo) < x> H qu 1.3 Na nhúm (t) cú hỳt ton cc s b chn V \\u (t )z\\ < Po\\z\\ + (l-Po)Ro, (1.5) x 2.1 t bi toỏn ca h ang xột 115 (ớJ ycỏc -na z\\ -> 0lkhi k -> CXD khụng ỳng, nhng nú(E, ỳng vi nhúm khụng gian hu hn chiu n ú dist F) = sup inf d (a, b) na khong cỏch Hausdoff gia tt dn mnh Bi vy y = lim (t )y Do ú y G C (B) hay LO (B) 0Trng hp n =vi 0y:ỳng doa:Uk= yE L = Xsớ,,y,X zu0x> ={t)z nk(t) vx (t)y = L(t)z x) V 0, 1, N+=C1,(ớ;2, ny cho mõuvi thun (1.3) ,G bF Tip ta nh ngha tớnh compact tim cn cho hm j b trit ti vụV cựng vtớnh J= nghim Vtheo trờn Xfc-^oo v Utxtiờu trờn cúoocỏc cht sau: i t n Ơ oo, v x (t) n+(t) n Ơ =1 hai tp1.3 E4=1 vtrờn Fkhỏi ca X nh ngha 1.6 Mt toỏn tvi nghim XChn l nhỳng mt hliờn cỏc tc ỏnhVxc uX(t) : X > Nhn xột a razn kt lun phộp cnớ Gi s khng nh ỳng nthỡv 00 nhiu lp phng trỡnh o hm riờng phi tuyn da trờn nhng qu tng trn b chn r c K vi iu kin biờn Dirichlet v X nm trờn s vỡ s bt bin Bi vy s ch gm cỏc qu o b xeBo xeB Ly y G C> (B), ú tn ti dóy > +00 v {z cho S (t nh ngha 1.1 H ng lc l mt cp (X, (t)) gm mt khụng gian tim cn nu Vớ 0, s (t) cú th biu din di dng n} c B n) z n n H qu 1.2 Nu u (t) cng l mt na nhúm thỡ nú cú hp th phng phỏp ny cho ta tớnh V-b chn ca m khụng 1.1.2 Tớnh cht ca hỳt ton cc c na {2) H. ugian (t) gi l nhúm nu nú thờm tớnh khụng X Kt rừmt ỳng Bocht (b X)cun hp th bi Rừ rng rng ộchn cng lng liờn thụng b(ớ), chn vchn xem chai sc.phi Tớnh liờntheo tc ca srng (t) =vn s{1)cúca (ớ) +s, snu (1.1) Tuy nhiờn, suy raqu tớnh V-b chn c lng th u thi quỏt ca lớ thuyt h lc tiờu hao vụ hn chiu, cỏc chuyờn chn vi mi b X S(t)x = v (t) y + u (ớ) y Do (t) liờn tc, ta cú Banach X v mt h cỏc ỏnh x (t) : X > X, t > tha món: xvi U AU Au + ip (u) = /, X e r, t > 0, u x ||w (t) (t t ) u || < Ê mi t < t < t R n n n n n+ U(t + T ) = U(t)U ( T ) , Vớ, r > i tng nghiờn cu: Tp hỳt ton cc ca h ng lc tiờu hao vụ hn chiu cn (1.9) + l trc(to) /m, Z"m +1ngha xmtp (to)hỳt ton cc sau õy lVm h ca nh chớnh nú (t) s(ớ), kộo theo (t) sx c=qu cng l tip liờn thụng, vN, vỡ s(cũn = gi s ctrn) Mnh ú s^ (t) tha cỏcCho tớnh cht sau: Chng minh t \\z\\ R trc bt kchớnh nG t (1.5) v tớnh cht ca ca na gian: tng t nh yờu cu kho [4, 8J Tuy nhiờn, cỏc kt qu v tớnh quy l trc tớnh nh lý 1.2 Gi s na nhúm (t) cú hỳt ton cc s Cho mt qu ( x , 0) = u ( x ) , X ri, Nhn xột 1.1 [8j Nu X l khụng gian Banach li u v na nhúm ( ) cú Trong trng hp tng quỏt, mt phộp phõn tớch na nhúm dng z = ( ) z ) y n n Chng minh nh lý 1.3 n n b) Tn ti a G @ cho vi mi y Bx {To), a) (0) = 1,1 l phộp ng nht; t ta suy ca) cllujj+1 Nhn xột 1.2 Cỏc ỏnh x trờn liờn h cht ch vi vic nghiờn cu phng Hn na, bc nhy (t t ) v \\ dn ti n > oo n+ n n s nờn U nL3 ( cu: ) s A *nhúm =b1,gi quy T ú vi mi > 0,khụng Ui u dng ugian th < (2.1) ph Phm vi nghiờn chớnh ca hỳt ton cc p cho hỳt khụng H qu ỳng di thit yu nhúm ta cú hỳt ton cc, tc lTớnh tớnh chn ca hỳt cỏc trn hn Mnh Gi na trờn Xhn cú hỳt ton cc s Kh ú lim Jx(t) (t) =tp Q< 00 (1.9) o utp(t) =1.1 (t) u , mt sai s Ê > v mt khong thi gian T > Khi ú tn -ằ oo, chn U ( x , 0) = Ui ( ), X G r, mt hp th b thỡ ba iu kin sau õy l tng ng: 20 Gitrong s B khụng lcúmt hp thhn bGi chn ca na nhúm ( kin Taban s u chng (1.7), tuõn theo (1.8) thgian phc nhiu Tuy nhiờn, l) ớ>00 cphõn c trỡnh vi Banach s rng vi mi d sộgian (t) Dopha ú tn ti(s) dóy cỏc im xớt(to) (=0;vy, )m+y1nx.chỳng GZm+1.(tụi)chn s cho xn z ca(t) phng trỡnh truyn súng tt dn mnh n [5j b) (s) =S((m (ớ), vi mi t,=sao sxS> sup II14 (t)y\\x 0, a)v Nu Btn l chn, bt bin caqu Xto thỡ Bc c0 s (tớnh i); Mnh 1.2 Ký \\B trc cho (to) Chng Bo c20 Bo ||C/ (nớ 4hiu /5To fl= + Pton (B), (1nh -Cho /30ra )kt < /3 + 0jllxdo ú ta(B) 0)tp cú X< (t) 0b G C suy (t) C (B) c1.2 C (B), 0"fi t cc > xeB Ta xột mt tỡnh n gin sau, m s s dng (1.7)-(1.8) 1.1.3 S xy ra, ti ca ta cú th hỳt khng cc c kt lun ca nh lý 1.4 minh = c l(duy mt hỳt ton cc Bi B phộp v nh ngha ca E: X, tn ti nghim nht (theo ngha yu) a) Na nhúm ) l compact tim cn, Ui\JU Tớnh compact tim cn ca h ng lc cho chỳng ta trớch mt lm ti nghiờn cu ca lun 2vi v gi s rng mi Xhp Êph Bo tn ti hai toỏn tmi nghim (t)C trờn X vvi Ux22 (t) xG Do 2/ Rx (T v econ By (-Ro), s dng b)-c) v ta suy c lng c) vi mi > 0, (t) c (X, X); Bõy gi ta chng bao hm thc ngc li yV l0 d) vi mi ul, 11 (t) uthuc (t) ((0; +oo), X) umt y1.1 Êminh co [ ).bqu iu ny khụng th xy vỡ co co (B)ban =l sộ cF, UiU hp th chn ca na nhúm (t) thỡ ĩJ mt compact vtp sup IIu p (ớ) +iu J{t) x (t)y\\ v < v s v mi dóy tk > 00, {S 37}fcLi l||z|| compact tng i X, kina)y(t+Vi z =tp X,n,btnchn t)v > dóy t xeBo T tớnh compact tim cn ca (t) suy tn ti mt dóy n bt kỡ Bcho co) X tn ti (B) > tn mt tnII^Tm > +oo cho ll/m lllx z/m llx !Q T phng trỡnh vi cho trc, +(e, T) Vy 00 l v liờn thụng \ip (r) ) x = x(t) S(to)x sup y\\ ao\\y\\ \\u(nt z\\0)v z\\ s v ||iớ0X Vo II < s n s ip sss s s c s s s t (t) < Ê, t E T] {tn t)y n h k 15 19 18 16 11 12 10 14 ii 496857 17 13 20 23 f{t) + _7_ ầ(t), _chỳng _(t)Na Lp ú f(t) =Êta (v),V(t)) v ầ(t) = vit (w(t),w (t))cho lnghim ca tthụng Chng minh li chng minh nh lýcompact 2C2_ dng trng ip (r) Kim Ta tra cú phng h qu trc trỡnh tip vi sau thu c S ỏp cc ca TL Kt qu ca mc ny c da trờn cỏc ti liuhp [6, Tip theo, tụi gii thiu phim hm nng lng nh lý 2.3 nhúm S(t) cú hỳtca ton cc liờn CH aq Ê (vi cr = 0, (fii = v / = 0), ta thu c bt Echo + z(t) cỏc bi hin titoỏn vi zNu thay d (t) ỡt + S(t) 7J |u|->00 )ll^ir |W phõn H qu 2.2 Cauchy >i = 0^v f1/2 = 0, thỡ ró v Do ú {0} c E + Êo u (2.13) + (2aĂi 4e)|Ê| CQ A = IC& 1/4 + e IMI5/4 + e(wt,2 i, (2.4) ta li r= ỏ I{^0 I I I ^TL I I : 11^0IIô I I Ro}cú Bo khỏc2.giỏ tr Ê 2nh, ta thu c bt ng thc vi A (t)quy < ca (2etp hỳt c0e ' ) 841-866 1.mt Sau Equations ta coi ln, c th > Khi ú lm tớnh tng quỏt, l hp chn ca s (t)>trờn TL,súng tc- Co, lttvi kỡ b chn B c(2TL, 11) E(t) X \\z(t)\\ tonth ccbca phng trỡnh truyn dnbt mnh A (ớ) + J v ỏp dng Gronwall thụng thng cho ta c lng c) Conh + c(l + -fi ) thuc K Q{t)t (R Qb ) (xỏc nh bi lý 2.2), nhiờn l mt giỏ tr c 0(ớ), v = ] ( ) , u (t)z = c ( t ) , 1x x v t b Gronwall suy hin[3] (2.15) bngwto ôeC([o,ri;/r (ớ)), + Aw Aw + (p(u) (p f, to(R, 1) tt and t + 0(v) =Local A.N Carvalho J.w Cholewa (2002), well posedness for tn tiú t Tj = t(0t(B, cho (t)(B(tc) = Bo(r vi(ớ), mi nghim ca ) = 1) (V (sao t), V (t))s v w ))tl t t(t> Co t (2.6) suy tn ti a < cho Theo(lHAÊqu vúB 2Trt nh) S dng (2.4) v (2.7) ta cú )> 02T nu Ênh (cúth nh, vi 1E critical nonlinearities, (2.14) thụng 0zta bt k, ti K KU0(R) Ana, ( c) tProvidence, )c = sh ( tn t thc )mTớ {2002 t= )2,di Mt ( ti t ) )v t,tha = minh Ta kim tra tip iu kin T ú