Tập hút toàn cục của bài toán parabolic suy biến nửa tuyến tính trong miền bị chặn với số hạng phi tuyến tăng trưởng kiểu đa thức

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ————————————————— NGUYỄN THU HẰNG TẬP HÚT TOÀN CỤC CỦA BÀI TOÁN PARABOLIC SUY BIẾN NỬA TUYẾN TÍNH TRONG MIỀN BỊ CHẶN VỚI SỐ HẠNG PHI TUYẾN TĂNG TRƯỞNG KIỂU ĐA THỨC LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thái Nguyên - Năm 2017 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ————————————————— NGUYỄN THU HẰNG TẬP HÚT TOÀN CỤC CỦA BÀI TOÁN PARABOLIC SUY BIẾN NỬA TUYẾN TÍNH TRONG MIỀN BỊ CHẶN VỚI SỐ HẠNG PHI TUYẾN TĂNG TRƯỞNG KIỂU ĐA THỨC Chuyên ngành: GIẢI TÍCH Mã số: 60.46.01.02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học TS PHẠM THỊ THỦY Thái Nguyên - Năm 2017 Lời cam đoan Tôi xin cam đoan công trình nghiên cứu riêng Các tài liệu luận văn trung thực Luận văn không trùng lặp với luận văn khác Thái Nguyên, tháng năm 2017 Người viết Luận văn Nguyễn Thu Hằng Xác nhận Xác nhận Trưởng (phó) khoa chuyên môn người hướng dẫn khoa học TS Phạm Thị Thủy i Lời cảm ơn Luận văn hoàn thành Trường Đại học Sư phạm – Đại học Thái Nguyên hướng dẫn tận tình TS Phạm Thị Thủy Nhân dịp em xin cảm ơn Cô hướng dẫn nhiệt tình truyền thụ kinh nghiệm trình học tập, nghiên cứu hoàn thành luận văn Xin chân thành cảm ơn Phòng Sau Đại học, Ban chủ nhiệm Khoa Toán, thầy cô giáo Trường Đại học Sư phạm – Đại học Thái Nguyên giảng dạy tạo điều kiện thuận lợi cho trình học tập nghiên cứu khoa học Rất mong góp ý kiến thầy cô giáo bạn học viên để luận văn hoàn chỉnh Thái Nguyên, tháng năm 2017 Người viết luận văn Nguyễn Thu Hằng ii Mục lục Lời cam đoan i Lời cảm ơn ii Mục lục iii Mở đầu 1 Kiến thức chuẩn bị 1.1 Một số khái niệm 1.2 Một số tính chất tập hút toàn cục 10 1.3 Một số bất đẳng thức thường dùng 17 Tập hút toàn cục lớp phương trình Parabolic suy biến miền bị chặn 19 2.1 Đặt toán 19 2.2 Sự tồn nghiệm yếu 20 2.3 Sự tồn tập hút toàn cục L2 (Ω) 27 2.4 Sự phụ thuộc nửa liên tục tập hút toàn cục vào số hạng 2.5 phi tuyến 29 Tính trơn tập hút toàn cục 31 Sự tồn tập hút toàn cục L2p−2 (Ω) 31 2.5.1 iii Sự tồn tập hút toàn cục D02 (Ω, σ) 38 Đánh giá số chiều fractal tập hút toàn cục 40 2.5.2 2.6 Kết luận 44 Tài liệu tham khảo 45 iv Mở đầu Lý chọn đề tài Sự tồn tập hút toàn cục phương trình hệ phương trình parabolic nửa tuyến tính không suy biến nghiên cứu nhiều tác giả, miền bị chặn không bị chặn Tính liên tục tập hút toàn cục toán parabolic nghiên cứu công trình lớn Cho đến nay, kết lí thuyết tập hút lớp phương trình parabolic không suy biến phong phú hoàn thiện Tuy nhiên kết tương ứng trường hợp phương trình suy biến nhiều vấn đề mở Việc nghiên cứu tồn tính chất tập hút lớp phương trình parabolic suy biến vấn đề thời sự, có ý nghĩa khoa học hứa hẹn nhiều ứng dụng toán thực tế Do lựa chọn vấn đề làm nội dung nghiên cứu luận văn với tên gọi “ Tập hút toàn cục toán parabolic suy biến nửa tuyến tính miền bị chặn với số hạng phi tuyến tăng trưởng kiểu đa thức.” Mục đích đề tài Tìm hiểu nghiên cứu tồn tại, số tính chất tập hút toàn cục (bao gồm tính trơn, phụ thuộc liên tục theo tham biến, đánh giá số chiều fractal, ) toán parabolic suy biến nửa tuyến tính miền bị chặn với số hạng phi tuyến tăng trưởng kiểu đa thức Phương pháp nghiên cứu Để chứng minh tồn tập hút tính trơn tập hút, sử dụng phương pháp lí thuyết hệ động lực vô hạn chiều, nói riêng phương pháp đánh giá tiên nghiệm tiệm cận phương pháp đánh giá phần đuôi nghiệm Để đánh giá số chiều tập hút toàn cục, sử dụng phương pháp Ladyzhenskaya Bố cục luận văn Nội dung luận văn gồm 46 trang có phần mở đầu, hai chương nội dung, phần kết luận danh mục tham khảo Chương 1: Trình bày khái niệm kết tổng quát tập hút toàn cục kết không gian hàm toán tử sử dụng chương Chương 2: Là nội dung luận văn Trình bày kết tồn tập hút toàn cục L2 (Ω), L2p−2 (Ω), D02 (Ω, σ) đánh giá số chiều tập hút toàn cục Chương Kiến thức chuẩn bị Trong chương này, ta nhắc lại số kiến thức không gian hàm, kết tổng quát tập hút toàn cục số khái niệm xét tính chất tập hút toàn cục Các nội dung chương trích dẫn từ tài liệu tham khảo [1], [5], [6], [8], [9], [10] 1.1 Một số khái niệm Định nghĩa 1.1.1 (Không gian metric) Cho X tập khác rỗng, X ta trang bị hàm số ρ:X ×X →R (x, y) → ρ(x, y) thỏa mãn điều kiện sau a) ρ(x, y) ≥ ∀x, y ∈ X; ρ(x, y) = ⇔ x = y; b) ρ(x, y) = ρ(y, x) ∀x, y ∈ X; c) ρ(x, z) ≤ ρ(x, y) + ρ(y, z) ∀x, y, z ∈ X Khi ρ gọi metric hay khoảng cách X Cặp (X, ρ) gọi không gian metric Mỗi phần tử X gọi điểm, ρ(x, y) gọi khoảng cách hai điểm x y X Ta thường gọi điều kiện (a) tiên đề đồng nhất, điều kiện (b) tiên đề đối xứng, điều kiện (c) tiên đề tam giác Định nghĩa 1.1.2 (Không gian metric đầy đủ) Giả sử (X, ρ) không gian metric Dãy {xn } phần tử X gọi dãy Cauchy (hay dãy bản) lim ρ(xm , xn ) = m,n→∞ Nghĩa là, với ε > , tồn số n0 ∈ N∗ , cho với n ≥ n0 ta có ρ(xm , xn ) < ε Không gian metric X gọi không gian metric đầy đủ dãy Cauchy phần tử X hội tụ Định nghĩa 1.1.3 Một tập hợp E gọi không gian tuyến tính định chuẩn trường K (K trường số thực phức) nếu: a) E không gian tuyến tính trường K; b) Mỗi phần tử u ∈ E đặt tương ứng với số thực gọi chuẩn u kí hiệu u thỏa mãn tiên đề: u ≥ 0, u = ⇔ u = 0; u+v ≤ u+v ≤ u + v ; đó, d v dt L2 (Ω) ≤ 2C3 v L2 (Ω) (2.18) Mặt khác, từ Bổ đề 2.3.1, tồn số R thời điểm t0 u0 L2 (Ω) cho u (t) D01 (Ω,σ) + u (t) Lp (Ω) ≤ R với t ≥ t0 u0 L2 (Ω) (2.19) Nhân vô hướng phương trình (2.1) với ut , ta có u (t) L2 (Ω) + 1d dt u D01 (Ω,σ) F (u) dx = − +2 ≤ u f F (u) = u (t) L2 (Ω) + gut dx Ω g Ω L2 (Ω) + ut 2 L2 (Ω) (2.20) (ξ) dξ Vì vậy, d dt D01 (Ω,σ) u F (u) dx ≤ g +2 Ω L2 (Ω) (2.21) Từ điều kiện (F) ta thu C4 (|u|p − 1) ≤ F (u) ≤ C5 (|u|p + 1) (2.22) Lấy tích phân (2.21) từ t với t + sử dụng (2.22) , ta có t+1 u (t) t L2 (Ω) dt L2 (Ω) ≤ g + 2C5 |Ω| + u (t) D01 (Ω,σ) Từ (2.19), tồn số C6 phụ thuộc vào g t+1 ut t L2 (Ω) dt ≤C6 , với t ≥ t0 + 2C5 u (t) L2 (Ω) , C4 , C5 u0 L2 (Ω) , p Lp (Ω) R cho (2.23) so sánh (2.18) với (2.23) dùng bất đẳng thức Gronwall đều, ta thu ut L2 (Ω) ≤C g 32 L2 (Ω) , |Ω| , với t đủ lớn Bổ đề chứng minh Bổ đề 2.5.2 Nửa nhóm {S (t)}t≥0 có tập hấp thụ bị chặn L2p−2 (Ω), nghĩa là, tồn số dương ρ2p−2 , cho với tập bị chặn B ⊂ L2 (Ω), tồn số T = T (B) ≥ cho u (t) L2p−2 (Ω) ≤ ρ2p−2 với t ≥ T, u0 ∈ B Bổ đề 2.5.3 Với ≤ r < ∞ tập bị chặn B ⊂ L2 (Ω), tồn số dương T , phụ thuộc vào r chuẩn L2 B , cho |ut (s)|r dx ≤ M với u0 ∈ B, s ≥ T, Ω số dương M phụ thuộc vào r không phụ thuộc vào B , d ut (s) = (S (t) u0 ) |t=s dt Chứng minh Ta chứng minh qui nạp tồn dãy Tk , k (k = 0, 1, 2, ), phụ thuộc vào k B , cho k N 2( N −2+α ) |ut (s)| dx ≤ Mk với u0 ∈ B, s ≥ Tk , (Ak ) Ω t+1 t |ut (s)|2( k+1 N N −2+α ) N −2+α N dxds ≤ Mk với u0 ∈ B, s ≥ Tk , (Bk ) Ω Mk phụ thuộc vào k không phụ thuộc vào B a) Trường hợp k = : (A0 ) chứng minh Bổ đề 2.5.1 b) Trường hợp tổng quát: Giả sử (Ak ) (Bk ) k , ta phải chứng minh điều với k + 33 Đạo hàm hai vế (2.1) theo thời gian kí hiệu v = ut , ta có vt − div (σ (x) ∇v) + f (u) v = k+1 Nhân (2.24) với |v|2( N −2+α ) N d C dt −2 v lấy tích phân Ω, ta có k+1 N 2( N −2+α ) |v| (2.24) k+1 N σ (x) ∇(v)( N −2+α ) dx + C Ω dx Ω k+1 N 2( N −2+α ) ≤ C3 |v| dx, (2.25) Ω số C phụ thuộc vào số chiều không gian N k Dùng (Bk ) bất đẳng thức Gronwall đều, (2.25) trở thành k+1 |v|2( N −2+α ) N dx ≤ Mk+1 với t ≥ Tk , (2.26) Ω (Ak+1 ) Đối với (Bk+1 ), lấy tích phân (2.25) từ t tới t + dùng (2.26) ta có t+1 t k+1 N ∇(v)( N −2+α ) dxds ≤ Mk+1 (2.27) Ω 2N Do phép nhúng D01 (Ω, σ) → L N −2+α (Ω), ta có  ( |v|  k+1 N 2N N −2+α N −2+α )  N −2+α N k+1 N dx = v ( N −2+α )  Ω 2N L N −2+α (Ω) k+1 N ≤ C ∇v ( N −2+α ) (2.28) L2 (Ω) So sánh (2.27) với (2.28), ta có (Bk+1 ) Từ r≤2 N N −2+α k với k ≤ log N N −2+α r 34 N N −2+α > (N ≥ 2), ta có Giả sử Hm = span {e1 , e2 , , em } L2 (Ω), {ej }∞ j=1 vectơ riêng toán tử Au = −div (σ (x) ∇v) Ω với điều kiện biên Dirichlet Pm : L2 (Ω) → Hm phép chiếu trực giao Bổ đề 2.5.4 Với e > tập bị chặn B ⊂ L2 (Ω), tồn T ≥ ne ∈ N , cho |v2 |2 dx ≤ Ce với u0 ∈ B, Ω với t ≥ T m ≥ ne , v2 = (I − Pm ) v = (I − Pm ) ut số C phụ thuộc vào B e Chứng minh Nhân (2.24) với v2 lấy tích phân Ω, ta có 1d v2 dt L2 (Ω) + v2 L2 (Ω) ≤ |f (u) v| |v2 | dx Ω Do 1d v2 dt L2 (Ω) + λm v2 L2 (Ω) ≤ |f (u) v| |v2 | dx, (2.29) Ω λm giá trị riêng thứ m toán tử Au := −div (σ (x) ∇u) Ω Từ (F), Bổ đề 2.5.2 Bổ đề 2.5.3, ta có 2( p−1 p−2 ) |f (u) v| dx ≤ Ω p−2 p−1 |u|2(p−1) |f (u)| Ω p−1 ≤ M0 , (2.30) Ω với u0 ∈ B , t ≥ T , số M0 không phụ thuộc vào B số T phụ thuộc vào B p Do đó, (2.29) trở thành d v2 dt L2 (Ω) + λm v2 35 L2 (Ω) ≤ C Nếu t ≥ T , từ bất đẳng thức suy v2 (t) L2 (Ω) ≤ v2 (T ) −λm (t−T ) L2 (Ω) e + C − e−λm (t−T ) λm Điều nghĩa bổ đề với t m đủ lớn Chọn Y = L2 (Ω) , X = L2p−2 (Ω), ta có nửa nhóm {S (t)}t≥0 liên tục mạnh - yếu L2p−2 (Ω) Do đó, từ Định lí 1.2.17, để chứng minh tồn tập hút toàn cục L2p−2 (Ω), ta cần chứng minh bổ đề sau Bổ đề 2.5.5 Với e > tập bị chặn B ⊂ L2 (Ω), tồn số dương M = M (B, e) T = T (B, e) cho |u (t)|2p−2 dx ≤ Ce với u0 ∈ B t ≥ T, Ω(|u(t)|≥M ) số C không phụ thuộc vào B e Chứng minh Với e > cho trước, từ Mệnh đề 1.2.13 (F), tồn M1 = M1 (B, e) > T1 = T1 (B, e) > 0, cho ước lượng sau với u0 ∈ B t ≥ T1 : |g|2 dx < e mesΩ (|u (t)| ≥ M1 ) < e, Ω(|u(t)|≥M1 ) |ut (s)|2 dx < C với s ≥ T1 Ω(|u(s)|≥M1 ) f (s) ≥ với s ≥ M1 , f (s) ≤ với s ≤ −M1 Kí hiệu ΩM1 = Ω (u (t) ≥ M1 ) Ω2M1 = Ω (u (t) ≥ 2M1 ) 36 (2.31) Nhân (2.1) với (u − M1 )p−2 + (u − M1 )+    u − M1 , u ≥ M1 , (u − M1 )+ =   0, u ≤ M1 Ta có ΩM1 + ΩM (u − M1 )p−1 + ut dx + (p − 1) f (u) (u − M1 )p−1 + dx ≤ ΩM1 σ (x) (u − M1 )p−2 + |∇u| dx |g|2 dx ΩM1 ΩM1 2p−2 (u − M1 )+ dx Từ (2.31), ta có f (u) (u − M1 )p−1 dx ≤ Ce ΩM1 Vì p−1 f (u) u Ω2M1 dx ≤ p −1 ≤ p−2 f (u) u Ω2M1 ΩM1 M1 1− u p−1 dx f (u) (u − M1 )p−1 ≤ Ce Chú ý mes (Ω2M1 ) ≤ e (F), bất đẳng thức suy u2p−2 dx ≤ Ce t ≥ T1 (2.32) 2ΩM1 Lấy (u + M1 )− p−2 (u + M1 )− làm hàm thử,    u + M1 , u ≥ −M1 (u + M1 )− =   0, u ≤ −M1 Ta có |u (t)|2p−2 dx ≤ Ce, t ≥ T1 Ω(u(t)≤−2M1 ) 37 (2.33) So sánh (2.32) (2.33), ta có |u (t)|2p−2 dx ≤ Ce với u0 ∈ B, t ≥ T1 Ω(|u(t)|≥2M1 ) Vậy bổ đề chứng minh Định lý 2.5.6 Giả sử điều kiện (Hα ) - (F)- (G) thỏa mãn Khi nửa nhóm {S (t)}t≥0 sinh Bài toán (2.1) có tập hút toàn cục AL2p−2 L2p−2 (Ω) 2.5.2 Sự tồn tập hút toàn cục D02 (Ω, σ) Trước tiên, ta tồn tập hấp thụ D02 (Ω, σ) Bổ đề 2.5.7 Nửa nhóm {S (t)}t≥0 có tập hấp thụ bị chặn D02 (Ω, σ), nghĩa là, tồn số ρA > 0, cho với tập bị chặn B ⊂ L2 (Ω), tồn TB > cho div (σ (x) ∇u (t)) L2 (Ω) ≤ ρA với t ≥ TB , u0 ∈ B Chứng minh Nhân vô hướng L2 (Ω) phương trình (2.1) với −div (σ (x) ∇v), ta có div (σ (x) ∇v)2L2 (Ω) ≤ Ω ut div (σ (x) ∇v) dx + Ωf (u) σ (x) |∇u|2 dx+ Ω g (x)div (σ (x) ∇v) dx Áp dụng bất đẳng thức Cauchy điều kiện (F) ta có div (σ (x) ∇u) L2 (Ω) ≤C ut L2 (Ω) + u D01 (Ω,σ) + g L2 (Ω) (2.34) Do đó, từ Bổ đề 2.5.1 nửa nhóm {S (t)}t≥0 có tập hấp thụ bị chặn 38 D01 (Ω, σ), ta có div (σ (x) ∇u (t)) L2 (Ω) ≤ ρA , với t đủ lớn Định lí chứng minh Giả sử K (A) độ đo Kuratowski L2 (Ω) A định nghĩa sau K (A) = inf δ > 0|A có phủ mở gồm tập có đường kính < δ Ta có bổ đề sau từ [7] Bổ đề 2.5.8 Giả sử f (.) thỏa mãn điều kiện (F) Khi với tập A ⊂ L2p−2 (Ω), K (A) < e L2p−2 (Ω) K (f (A)) < Ce L2 (Ω), f (A) = {f (u) |u ∈ A} số C phụ thuộc vào chuẩn L2p−2 A, độ đo Lebesgue Ω hệ số C0 , C1 , C2 điều kiện (F) Ta chứng minh {S (t)}t≥0 thỏa mãn Điều kiện (C) D02 (Ω, σ) Bổ đề 2.5.9 Với e > tập bị chặn B ⊂ L2 (Ω) , tồn T = T (e, B) ≥ ne ∈ N , cho |(I − Pm ) div (σ (x) ∇v)|2 dx ≤ e Ω với u0 ∈ B, t ≥ T m ≥ ne Định lý 2.5.10 Giả sử điều kiện (Hα ) - (F)- (G) thỏa mãn Khi nửa nhóm {S (t)}t≥0 sinh Bài toán (2.1) có tập hút toàn cục AD02 D02 (Ω, σ) 39 2.6 Đánh giá số chiều fractal tập hút toàn cục Trong mục này, thay cho (G), ta giả sử ngoại lực g thỏa mãn điều kiện mạnh hơn: (G’) g ∈ L∞ (Ω) Bổ đề 2.6.1 Giả sử điều kiện (Hα ) - (F)- (G’) thỏa mãn Khi tập hút toàn cục A bị chặn L∞ (Ω) Chứng minh Giả sử u (t) quỹ đạo tập hút toàn cục A Trước tiên, nhân phương trình (2.1) với (u − M )+ , sau lấy tích phân Ω, ta có 1d dt (u − M )+ dx + ΩM ∇u∇(u − M )+ dx + ΩM f (u) (u − M )+ dx ΩM g (u − M )+ dx = + ΩM Sử dụng bất đẳng thức Poincaré, ta thu 1d dt 2 (u − M )+ dx+λΩM ΩM (u − M )+ dx ≤ ΩM (g − f (u)) (u − M )+ dx ΩM Do điều kiện (F) ta chọn M đủ lớn cho f (u) ≥ g L∞ (Ω) với u ≥ M Khi d dt (u − M )+ dx + 2λΩM ΩM (u − M )+ dx ≤ ΩM Từ bất đẳng thức Gronwall, ta có (u (t) − M )+ dx ≤ e−2λΩM t ΩM |(u0 − M )|2 dx → t → +∞ ΩM 40 Do tính bất biến A, ta có (u (t) − M )+ dx = (2.35) Ω(u(t)≥M ) Lặp lại trình trên, với (u + M )− thay cho (u − M )+ , ta thu (u + M )− dx = (2.36) Ω(u(t)≤−M ) Từ (2.35) (2.36) ta có u (t) L∞ (Ω) ≤ M Định lý 2.6.2 Giả sử điều kiện (Hα ) - (F)- (G’) thỏa mãn Khi tập hút toàn cục A nửa nhóm sinh Bài toán (2.1) có số chiều fractal hữu hạn, cụ thể, 9eC3 dimf A ≤ m ln ln 1−δ 1+δ δ = e−2λm + C C3 +λm −1 , với C > đó, m đủ lớn cho δ < Chứng minh Giả sử u01 , u02 ∈ A cho trước, đồng thời u1 (t) = S (t) u01 u2 (t) = S (t) u02 nghiệm Bài toán (2.1) với điều kiện ban đầu u01 , u02 Từ S (t) A = A với t ≥ từ Bổ đề 2.6.1, tồn M > cho ui (t) L∞ (Ω) ≤ M, i = 1, 2, với t ≥ (2.37) Đặt ω (t) = u1 (t) − u2 (t), ta có ωt − div (σ (x) ∇ω) + f (u1 ) − f (u2 ) = 41 (2.38) Nhân vô hướng (2.38) với ω (t) L2 (Ω), ta có 1d ω dt L2 (Ω) + ω D01 (Ω,σ) + (f (u1 ) − f (u2 ) , ω) = Từ điều kiện (F), ta có d ω dt L2 (Ω) ≤ 2C3 ω L2 (Ω) , ω (t) L2 (Ω) ≤ e2C3 t ω (0) L2 (Ω) , Giả sử ω (t) = ω1 (t) + ω2 (t), ω1 (t) phép chiếu ω (t) L2 (Ω) ω1 (t) L2 (Ω) ≤ e2C3 t ω (0) L2 (Ω) (2.39) Mặt khác, nhân vô hướng (2.38) với ω2 (t) L2 (Ω), ta có 1d ω2 dt L2 (Ω) Ω (f Từ ≤ + ω2 D01 (Ω,σ) + (f (u1 ) − f (u2 ) , ω2 ) = (u1 ) − f (u2 ) , ω2 ) dx |f (u1 + θ (u2 − u1 ))| |ω| |ω2 | dx Ω + |u1 |p−2 + |u2 |p−2 |ω| |ω2 | dx ≤C Ω ≤ C ω2 ≤C ω ω2 D01 (Ω,σ) L2 (Ω) L2 (Ω) ≥ λm ω2 d ω2 dt ω L2 (Ω) ui L2 (Ω) , L2 (Ω) + u1 L∞ (Ω) p−2 L∞ (Ω) + u2 p−2 L∞ (Ω) ≤ M, i = 1, 2, nên + λm ω2 42 L2 (Ω) ≤C ω L2 (Ω) Do đó, dùng bất đẳng thức Gronwall ta có ω2 (t) L2 (Ω) ≤e −2λm t ω (0) ≤ e−2λm t ω2 (0) ≤ e −2λm t L2 (Ω) t −2λm t e2λm s ω (s) + Ce t −2λm t L2 (Ω) +Ce Ce2C3 t + λm + C3 ω (0) L2 (Ω) ds e2λm s e2C3 s ω (0) L2 (Ω) L2 (Ω) ds (2.40) Từ (2.39) (2.40), ta có ω1 (1) L2 (Ω) ≤ e2C3 ω (0) δ = e−2λm + C λm +C3 L2 (Ω) , ω2 (1) L2 (Ω) ≤ δ ω (0) L2 (Ω) , < m đủ lớn Áp dụng Định lí 1.2.22 với M = A, V = S (1) , l = e2C3 δ trên, ta có điều phải chứng minh 43 Kết luận Trong luận văn giới thiệu số kết tồn số tính chất tập hút toàn cục ( bao gồm tính trơn, phụ thuộc liên tục theo tham biến, đánh giá số chiều fractal, ) toán Parabolic suy biến nửa tuyến tính miền bị chặn với số hạng phi tuyến tăng trưởng kiểu đa thức Trình bày chi tiết chứng minh tồn nghiệm Bài toán (2.1), tồn tập hút toàn cục L2p−2 (Ω) D02 (Ω, σ) với tính trơn, phụ thuộc liên tục vào số hạng phi tuyến số chiều fractal 44 Tài liệu tham khảo Tiếng Việt [1] Hoàng Tụy (2005), Hàm thực giải tích hàm, NXB Đại Học Quốc Gia Hà Nội [2] Trần Đức Vân (2005), Lý thuyết phương trình vi phân đạo hàm riêng, NXB Đại Học Quốc Gia Hà Nội Tiếng Anh [3] Anh.C.T, Binh.N.D and Thuy.L.T (2010), "On the global attractors for a class of semilinear degenerate parabolic equations", Ann Pol Math 98, No.1, 71-89 [4] Anh.C.T and Thuy.L.T (2012), "Notes on global attractors for a class of semilinear degenerate parabolic equations", J Nonlinear Evol Equ Appl 4, 41-56 [5] Caldiroli.P.C and Musina.R (2000), "On a variational degenerate elliptic problem", Monlinear Diff Equ Appl 7, 187-199 45 [6] Lions.L.L (1969),"Quelques Mesthodes de Resssolution des Problemes aux Limites Non Lineaires", Dunod, Paris [7] Ma.Q.F, Wang.S.H and Zhong.C.K (2002), "Necessary and sufficient conditions for the existence of global attractor for semigroups and applications", Indiana University Math J, 51, no 6, 1541-1559 [8] Robinson.J.C (2001), "Infinite-Dimensional Dynamical Systems", Cambridge University Press [9] Temam.R (1997), "Infinite Dimensional Dynamical Systems in Mechanic and Physics", 2nd edition, Springer-Verlag [10] Zhong.C.K, Yang.M.H and Sun.S (2006), "The existence of global attractors for the norm-to-weak continuous semigroup and application to the nonlinear reaction-diffusion equations", J Differential Equations 15, 367-399 46