-I HÅC THI NGUYN TR ÕNG -I HÅC S PHM Nguyạn Th Bẳnh NGHIM YU CA H PH èNG TRNH P-LAPLACE PH N THŸ TRN MIN BÀ CHN VŒI SÈ M‘ TŒI HN LUN VN THC S TON HÅC Th¡i Nguy¶n - 2020 -I HÅC THI NGUYN TR ÕNG -I HC S PHM Nguyạn Th Bẳnh NGHIM YU CA H PH ÌNG TRNH P-LAPLACE PH N THŸ TRN MIN BÀ CHN VŒI SÈ M‘ TŒI HN Chuy¶n ng nh: To¡n GiÊi Tẵch M sậ: 8460102 LUN VN THC S TON HC Ngèi hểng dăn khoa hc: TS Nguyạn Vôn Thẳn ThĂi Nguyản - Nôm 2020 i Lèi cam oan Tấi xin cam oan rơng nẻi dung trẳnh b y luên vôn n y l trung thác v khấng trng lªp vĨi · t i kh¡c Ngn t i li»u s dng cho viằc ho n th nh luên vôn l nguÁn t i li»u m C¡c thÊng tin, t i liằu luên vôn n y  ềc ghi r ngun gậc ThĂi Nguyản, thĂng nôm 2020 Ngèi viát luên vôn Nguyạn Th Bẳnh XĂc nhên ca khoa chuyản mấn xĂc nhên ca ngèi hểng dăn TS Nguyạn Vôn Thẳn ii Lèi cÊm ẽn Luên vôn n y ềc ho n th nh dểi sá hểng dăn ca TS Nguyạn Vôn Thẳn ThƯy  tên tẳnh hểng dăn, giÊi Ăp nhng thc mc, gip ễ tấi ho n th nh luên vôn n y Mẻt lƯn na tấi xin gi lèi cÊm ẽn sƠu sc nhĐt án thƯy! -ng thèi, tấi xin gi lèi cÊm ẽn án Ban Chı Nhi»m khoa To¡n v c¡c th¦y cÊ t Bẻ mấn GiÊi tẵch  tÔo iÃu kiằn cho tấi ềc l m luên vôn,  quan tƠm v ấn ậc tấi quĂ trẳnh l m luên vôn Luên vôn l sÊn phâm ca à t i Nghiằm yáu ca mẻt sậ lểp phẽng trẳnh, hằ phẽng trẳnh ¤o h m ri¶ng ch˘a to¡n t˚ pLaplace th˘ v to¡n t˚ Bessel vĨi m¢ sË B2020-TNA-06 TÊi xin c£m ẽn sá hẩ trề và kinh phẵ t à t i gp phƯn ho n thiằn luên vôn ThĂi Nguyản, thĂng nôm 2020 Nguyạn Th Bẳnh iii Mc lc LÌi cam oan LÌi c£m Ïn i ii M ¦u 1 Nghiằm yáu ca hằ phẽng trẳnh cha toĂn t p-Laplace phƠn th vểi Ôi lềng phi tuyán i d§u 1.1 GiĨi thi»u v· b i to¡n v mẻt sậ kát quÊ ph trề 1.2 H» ph˜Ïng tr¼nh ch˘a toĂn t p-Laplace phƠn th vểi Ôi lềng 20 phi tuyán i dĐu Nghiằm yáu ca hằ phẽng trẳnh cha toĂn t p-Laplace phƠn th cha sậ m tểi hÔn v Ôi lềng lÁi 22 2.1 GiÓi thi»u v· b i to¡n v mẻt sậ kát quÊ ph trề 22 2.2 H» ph˜Ïng tr¼nh ch˘a to¡n t˚ p-Laplace ph¥n th˘ ch˘a sË mÙ 51 tểi hÔn v Ôi lềng li K¸t luªn T i li»u tham kh£o 54 55 M ¦u L˛ chn luên vôn Hiằn nay, cĂc nh toĂn hc  d nh sá quan tƠm v o nghiản cu cĂc toĂn t ) khấng a phẽng loÔi elliptic (bao gm loÔi toĂn t laplace phƠn th ( )s cÊ nghiản cu toĂn hc thuƯn ty v toĂn hc ˘ng dˆng Nghi»m cıa h» ph˜Ïng tr¼nh p-laplace kh¡ quan trÂng nhi·u ng nh khoa hÂc nh˜ c¡c ng nh iằn t trèng, thiản vôn hc, cẽ chĐt lng, Trong bËi c£nh ‡a ph˜Ïng c¡c nh to¡n hÂc  nghiản cu hằ phẽng trẳnh cha toĂn t p-laplace m h m l toĂn phi tuyán c ẻ tông tểi hÔn thấng qua a tÔp Nahari Mẻt m rẻng cıa ( )s t˚ p-Laplace ph¥n th˘ s ( )p () s p , ˜Ịc ‡nh ngh¾a b i: Z lim u x ( ) = !0 p u (x) u (y) j jx j n (u (x) u (y)) dy; x : 2R yjn+ps n R nB (0) to¡n t˚ n y v m rỴng cıa n‚ ềc nghiản cu b i mẻt sậ tĂc giÊ trản thá giểi thèi gian gƯn Ơy CĂc b i toĂn dÔng Kirchhoff mấ tÊ mẻt sậ hiằn tềng vêt l Kirchhoff [13]  nghiản cu phẽng trẳnh: @ @t2 2u p h + 2L Z @u L @x E dx @x2 = @u @ A mỴt m rỴng cıa ph˜Ïng truy·n s‚ng D' Alambert, mấ tÊ sá thay i ẻ d i ca dƠy quĂ trẳnh rung ẻng, ; p0; h; E; L l trẳnh trản cha Ôi lềng khÊng ‡a ph˜Ïng L @u trung b¼nh R@x (1:1) p0 @u dx ca ẻng nông @x ềc trản h c¡c h¬ng sË Ph˜Ïng L E @u +2L R0@x dx, phˆ thc v o [0; L] HÏn n˙a cĂc b i toĂn dÔng hằ sinh hc, u ềc s dng nhiÃu mấ hẳnh vêt l v mấ tÊ nh mẻt quĂ trẳnh C nhiÃu b i toĂn kiu Kirchhoff  ềc nghiản cu cho cĂc lểp toĂn t khĂc Thèi gian gƯn Ơy, b i toĂn Kirchhoff  ềc nghiản cu cho to¡n t˚ Laplace ph¥n th˘, p-Laplace ph¥n th˘ [2], [3], [8], tr¶n mi·n b‡ ch°n vĨi i·u ki»n bi¶n Dirichlet hay Neumann V· h» ph˜Ïng tr¼nh ch˘a to¡n t˚ p-Laplace cÙng nghi¶n c˘u ˜Ịc b i nhi·u t¡c gi£ bơng nhiÃu cĂch khĂc nh phẽng phĂp bián phƠn, a tÔp Nehari [1], [11], [13], [14] Vểi mong muận tiáp tc hểng nghiản cu trản, chng tấi chn à t i Nghiằm yáu ca hằ phẽng trẳnh p-Laplace phƠn th trản miÃn b chn vểi sậ m tểi hÔn l m luên vôn cao hc Phẽng phĂp nghiản cu Luên vôn s dng phẽng phĂp nghiản cu cẽ bÊn Mc ẵch ca luên vôn Mc ẵch ca luên vôn l nghiản cu nghiằm yáu ca hằ phẽng trẳnh cha toĂn t p-laplace phƠn th trản miÃn b chn vểi sậ m tểi hÔn Ôi lềng phi tuyán i dĐu Ngo i ra, chng tấi cng tẳm hiu và nghiằm yáu ca hằ phẽng trẳnh cha toĂn t plaplace phƠn th vểi sậ m tểi hÔn v Ôi lềng li Nẻi dung ca luên vôn Luên vôn gm chẽng: - Chẽng Nghiằm yáu ca hằ phẽng trẳnh cha toĂn t pLaplace phƠn th vểi Ôi lềng phi tuyán ậi dĐu - Chẽng Nghiằm yáu ca hằ phẽng trẳnh cha toĂn t pLaplace phƠn th cha sậ m tểi hÔn v Ôi lềng lÁi Ch˜Ïng Nghi»m y¸u cıa h» ph˜Ïng trẳnh cha toĂn t p-Laplace phƠn th vểi Ôi lềng phi tuyán i dĐu 1.1 Giểi thiằu và b i toĂn v mẻt sậ kát quÊ ph trề Trong phƯn n y chng tấi nghiản cu sá tn tÔi v nghiằm bẻi cho hằ phẽng trẳnh sau: j ! 8M > > R j jx yjn+ps u(x) u(y) p ( )p u (x) dxdy s > > > > (P ; 2n > = f (x) jujq 2u + )> v(x) v(y) > >M j > > < > j R x y n+ps j j p + juj ujvj s dxdy ( ) v (x) ; p ! > > > 2n 2 > = g (x) jvjq 2v + juj jvj v + > n R >u = v = > n > > > > > > : ‚ ( )s l c¡c to¡n t˚ p-Laplace ph¥n th˘ ˜Ịc ‡nh ngh¾a b i: x lim Z u (x) u (y) p (u (x) u (y)) dy; x p s ( )p u ( ) = !0 j n R nB (0) jx j yjn+ps 2R n ; ‚ M (t) = a + bt; a; b > o; p 2; < q < p, 2p < r ps; ps < n < 2ps vÓi s (0; 1) ; ; l c¡c sË th¸c, Rn l miÃn giểi hÔn vểi giểi hÔn trẽn v f; g th‰a m¢n c¡c gi£ ‡nh sau: + + q (f1) f; g L ( ) vÓi = ; + v g+ (x) = max fg (x) ; 0g =6 (f2) f (x) = max ff (x) ; 0g 6= (f v g c th i dĐu trản ) Trong chẽng n y chng tấi chng minh sá tn tÔi ca nghiằm bẻi khấng Ơm ậi vểi hằ phẽng trẳnh kiu Kirchhoff loÔi elliptic vểi toĂn t p-phƠn th v Ôi lềng phi tuyán i dĐu bơng cĂch nghiản cu cĂc thuẻc tẵnh ca a ! tÔp Nehari ậi vểi tham sậ v Cho < p < 1; ta x²t khÊng gian X = fuju : R ! R l o ˜Òc; uj Trong ‚ Q = R2nn (C C ) v ‡nh chu©n, vĨi chu©n x¡c ‡nh b i: u X = u Khi ‚, X l n j Z B jj jj jj jj n C =R n + Lp( ) u (x) u (y) jx yj p +s p 2L (); n () n+ps ux u(y) j x Q y dxdy1p j p : (1.1) C A l mẻt khấng gian Banach phÊn xÔ Ta k˛ hi»u n X0 = fh X : h = R n 0l khÊng gian j @ KhÊng gian X p L (Q)g g: mỴt khÊng gian Banach vĨi chu©n ˜Ịc x¡c ‡nh b i u X0 = j Z jj jj B n+ps u(x) j Q x j u(y) y 11 dxdy p p : (1.2) C j @ A L˜u ˛ r¬ng phẽng trẳnh (1.1) v (1.2), cĂc tẵch phƠn c th ềc m rẻng án R2n, t u = Rnn BƠy giè tẳm cĂc nghiằm ca b i to¡n (P ; ) chÛng ta x²t khÊng gian tẵch E := X0 X0 vểi chuân xĂc nh b i p k(u; v)k = kukX + kvkX p p H m n«ng l˜Ịng cıa b i to¡n (P ; ) ˜Òc x¡c 1 J (u; v) = M ; p c p kukX + pM kvkX p : ‡nh b i: c f(x) u qdx + g(x) v dx q Z u v dx; 45 Khi ‚ tÁn tÔi (u1; v1) E cho dÂy uk * u1; vk * v1 X0; Khi ‚ uk ! u1; vk ! v1 mÔnh L ( ), vÓi r < p Z q Z q q q ( ju1j + jv1j ) dx k ! 1: ( jukj + jvkj ) dx ! Theo BÍ · 2.1.9 (u1; v1) l nghi»m y¸u cıa (2.1) T¯ (u ; v ) N k k ; , ta c‚ +p +q J ; (uk; vk) = p ( + ) k(uk; vk)kp +qZ q Z q( + ) q q ( jukj + jvkj ) dx q ( jukj + jvkj ) dx: q ( + ) VÓi c ; < 0, ta c‚ Z ( ju1jq + jv1jq) dx q( + ) c ; > 0: +q Cho n¶n (u ; v ) N l nghiằm khấng tƯm thèng ca (2.1) Tiáp theo ta chng minh (uk; vk) ! (u1; v1) mÔnh E v J ; (u1; v1) = c + ; T¯ (u ; v ) N c; ; ; , ¡p dˆng bÍ · Fatou, ta nhªn ˜Ịc: J ; (u1; v1) = + p p ( + ) k(u1; v1)k q q q q ( + ) Z ( ju1j + jv1j ) dx p (u ; v ) + lim inf + p p k p( + )k k!1 k + q q( + ) k q (u Z kj j v + kj q ) dx j @ A = lim inf J ; (uk; vk) = c ; : k!1 Vªy J ; (u1; v1) = c ; v k(uk; vk)kp ! k(u1; v1)kp k(uk u 1; v k p v1)k = k(uk; vk)k p Ta cÙng c‚ k (u1; v1)kp + ok (1) : Cho n¶n (uk; vk) ! (u1; v1) mÔnh E Ta chng minh (u1; v1) c ; = c+ (u1; v1) N + N ;, v ; Gi£ s˚ m¥u thuăn ; Theo B à 2.1.6, tn tÔi nh§t t2 > t1 > cho: (t1u1; t1v1) N + ; ; (t2u1; t2v1) N ; : 46 -°c bi»t, ta c‚ t1 < t2 = L˜u ˛ r¬ng d d2 J ; (t1u1; t1v1) = 0; 2J ; (t1u1; t1v1) > 0; dt dt nản tn tÔi t (t1; 1] cho J ; (t1u1; t1v1) < J ; (t u1; t v1) Khi ‚ c; J ; (t1u1; t1v1) < J ; (t u1; t v1) ; J ; (u1; v1) = c ; (vÊ l˛) Do ‚ (u1; v1) N ; +: Tiáp theo ta xĂc nh sá tn tÔi iºm c¸c tiºu Ëi vĨi J ; jN ; Cho R S := inf u X0 R u(y) 2n jx yj ju(x) n+ps nf g R np n ps ju (x)j p n ps j dxdy dx : n T [4], ta  biát < p < 1; s (0; 1) ; n > ps, tn tÔi h m tiu ậi vểi S v cho mÂi c¸c h m tiºu U cho S, tÁn tÔi x0 Rn v h m u : R ! R khÊng ¥m, gi£m cho U (x) = u (jx x0j) U = U (r) : Nh¥n U vểi mẻt sậ dẽng náu cƯn, ta c th giÊ s˚ p s n : ( )p U = U s Cho > bĐt kẳ, ta c h m sË (2.40) R U jj U (x) = n pps x cng l mẻt tiu ậi vĨi S th‰a m¢n (2.40) Trong [4], ta c‚ c¡c ểc tẵnh tiằm cên sau Ơy ca U B à 2.1.19 Tn tÔi c1; c2 > 0; c1 r > cho vÓi mÂi r > 1, ta c‚ c2 U ( r) U (r) n ps r p n ps ; U (r) p Gi£ s, khấng mĐt tẵnh tng quĂt m Cho n¸u m ; p (t U ( )) n¸u > > > : > : ; > 0, gi£ s˚ U() m = U() U( ) : ; >0 g ; (t) = p m ; 1 0t U( ) n¸u U ( ) t U() t U(): 47 v t = > > G ; (t) = Z p d g; () n¸u t U ( ) U( )) n¸u U ( ) m ; (t t U(): > p < > n¸u t U ( ) ( ) m; t+U H mv > g : G ; khÊng t«ng v liản tc Xt h m khấng tông ậi xng cƯu ; (2.41) u ; (r) = G ; (U (r)) 8u (r) náu r u ; (r) = tha mÂn: tha mÂn cho bĐt kẳ 0< , ta c c¡c ¡nh gi¡ sau ¥y: Z j u (x) u ; (y) j p ; 2n R x y j n+ps n n dxdy S ps + O(( ps ) p ); j Z ju ; (x)jps dx S n n n ps C(( )p ): R 2> BÍ · 2.1.21 Gi£ s˚ i·u ki»n (2.45) Ûng Khi tn tÔi p p cho ; tha m¢n < p q + p q < 2, tn tÔi (u; v) En f(0; 0)g, vểi u 0; v cho sup J ; < c1 t hơng sậ  cho (2.22) -c biằt c ; < c1 vÓi mÂi Trong ‚ c1 l ; p th‰a m¢n cho t > ı b² v h (t) < 0 ; ; ; cho t > ı lÓn Hẽn na, h Ôt Ôi tÔi 1 k(u0; v0)k t := B + p p C ju 0j jv0j dx @ R A Do ‚, ta c‚ sup J (tu ; tv ) = h (t ) = t = + 0 p (u; v ) k 0k p 2t + + Z u v dx j j j j 0 (+) p( + ) + 1 p + ( + )+ 2+ = ku k ; X0 p p+ p ju ; j + dx p+ p p + p p R ps n + " s + # u n ; X0 p ps n2 ps = + k n ps p j j ps ps : k R u dx ; Theo BÍ · 2.1.20 v (2.18), ta c‚ n s sup J (tu0; tv0) t + n ps ps + + ; n ps ps n ps S ps + O n p # n S p n " 2s n ps n ps n n S ps + C p ps p +O : (2.42) p Cho >0 cho vÓi ; 2s c1 = n p th‰a m¢n < p q + p q n S < 1, ps ; p q +pq > 0: C0 p p v 49 Ta c‚ p t J ; (tu0; tv0) p k(u0; v0)k p Ct cho p ; >0: t 0v Do , tn tÔi t0 (0; 1) cho sup J ; (tu0; tv0) < c1: t t0 p p VÓi mÂi ; th‰a m¢n < p ta c‚ + q p q < V¼ ; > 1, t¯ (2.41) v (2.42), sup J ; (tu0; tv0) = sup [J ; (tu0; tv0) t to n 2s S ; t to n n ps +O p K ; (tu0; tv0)] p q0 ps p Z +p B(0; ) q n n ps 2s S +O ps ; p q p n ju ; jqdx t Z ju ; jqdx: ( + ) q0 t B(0; ) (gi£ s khấng mĐt tẵnh tng quĂt Cậ nh > ı b² cho B (0) m ) V¼ sup (u ; ) , theo cÊng th˘c (2.41), BÍ · 2.1.19, vĨi < , ta c‚ Z q B(0; ) q Z ju ; (x)j dx = jU (x)j dx = n ps n q p B(0; ) n ps p q !n jU (x)j dx B(0; ) / / n q Z Z U(r)qrn 1dr n ps n p q qZ !n 1c1 r n > > C n ’ > < > n n ps p n ps p q n¸u q log n¸u j j q= (n ps)q p(p n(p n n(p n n(p n q> n¸u 1) q< > 1) ps 1) : ps 1) ps : > : Theo i·u ki»n (2.45), ta ˜Òc t t0 sup J C(;) ; 0 n (tu ; tv ) n n ps q n ps < n p q ; n + ps n ps p C n(p 1) n¸u n¸u log p : S 2s j j q> q= n(p 1) n ps n ps : n ps p dr q 50 Cho = p q p + n ps p q p p , ta c‚ ; t t0 sup J > < (tu ; tv ) C(;) 0;2 p p q : p p q S 2s p np ps1 (n + n p n ps p p + C ; ps pq q) p q p > n + p q n(p 1) p(n ps) p log p q p + p q + pq n(p 1) n ps n¸u q > N¸u q > n(p 1) n ps , ta chÂn p p q 0< p p p q +p < C0 Trong ‚ C 0l l ps p + p q < 2; (p 1) C( + ) p p q p p q +p q p q p n ps (n (n ps) +p q p q) (2.43) : h¬ng sË dẽng xĂc nh (2.14) Thác tá (2.43) c nghắa p 1+ p n ps n p q n ps 1) Thay q = n(p n ps p p q p q + q < ( p q ,q> ) + p q n ps cho vĨi ; th‰a m¢n 0< p p p , ta chÂn p C n 1) : > cho vểi ; tha mÂn C náu q = n(p p + p q n(p 1) p(n ps) p log p q p +p q p q log p p + q p p q ! +1 vÓi ; ! v p p p q Khi ‚, chÂn ( + ) + ( = n(p 1) p p(n ps) p q ’ 1; 2; 3; p q n ps p ) p + p q : >0 p vĨi ; th‰a m¢n < p q t p +p q < , ta c‚ sup J ; (tu; tv) < c1: (2.44) 51 V¼ (u0; v0) 6= (0; 0) Theo BÍ Ã 2.1.6 v (2.44), tn tÔi t2 > cho: (t u ; t v ) N 2 ; v c J ; ; (t u ; t2v0) sup J ; (tu0; tv0) < c1 p vĨi ; th‰a m¢n < p t p + p q M»nh à 2.1.22 Tn tÔi mẻt sậ dẽng
v l mi·n b‡ ch°n cıa Rn Khi ta c kát quÊ sau Ơy: -nh l 2.2.1 Gi£ s˚ r¬ng ps < n < ps 0: ‚ (2.1) quy v· N¸u (u; 0) ho°c (0; u) 8( )ps u = jujq 2u HÏn n˙a, ta chÂn w X0n f0g cho p k(0; w)k = kwk p Z X0 q = jwj dx > Theo B à 2.1.6, tn tÔi nh§t < t1 < tmax (u1; w) cho: (t1u1; t2w) N + ; ; 53 ‚ ( tmax (u1; w) = + q R u ) (j jq q w ) dx + j j p ( +p) k(u1; w)k B @ p q C A = + q + p pq > 1: HÏn n˙a J (t u ; t w) = inf ; v (u ; 0) N c ; + + ; 1 t tmax (tu ; tw) k²o theo J ; (t1u1; t1w) (vÊ l˛) Do ‚ (u1; v1) cÙng l + J ; (tu1; tw) < J ; (u1; 0) = c nghiằm khấng tƯm thèng ;; 54 Kát luên Luên vôn nghiản cu nghiằm yáu ca hằ phẽng trẳnh cha toĂn t p-Laplace phƠn th trản miÃn b chn vểi sậ m tểi hÔn Ôi lềng phi tuyán ậi dĐu Ngo i ra, chng tấi cng tẳm hiu và nghiằm yáu ca hằ phẽng trẳnh cha toĂn t p-Laplace phƠn th vểi sậ m tểi hÔn v Ôi lềng li Kát quÊ chẵnh ca luên vôn gm c: Chẽng Nghiằm yáu ca hằ phẽng trẳnh cha toĂn t pLaplace phƠn th vểi Ôi lềng phi tuyán i dĐu Chẽng Nghiằm yáu ca hằ phẽng trẳnh ch˘a to¡n t˚ pLaplace ph¥n th˘ ch˘a sË mÙ tĨi hÔn v Ôi lềng li Trong chẽng I, tấi trẳnh b y sá tn tÔi ca nghiằm bẻi khấng Ơm ậi vểi hằ phẽng trẳnh kiu Kirchhoff loÔi elliptic vểi toĂn t p-phƠn th v Ôi lềng phi tuyán ậi dĐu CĂc kát quÊ chẵnh l -nh l 1.2.1 v -nh l 1.2.2 Nẻi dung ca chẽng ềc dáa [15] cıa t i li»u tham kh£o Trong ch˜Ïng II, tấi trẳnh b y sá tn tÔi nghiằm yáu ca hằ phẽng trẳnh cha toĂn t p-Laplace phƠn th cha sậ m tểi hÔn v Ôi lềng li Kát quÊ chẵnh l -nh l 2.2.1 Nẻi dung ca chẽng ˜Ịc d¸a [7] cıa t i li»u tham kh£o 55 T i li»u tham kh£o [1] Adriouch, K., EL Hamidi, A., (2006), The Nehari manifold for systems of nonlinear elliptic equations, Nonlinear Anal, 64(10), 2149-2167 [2] Autuori, G., Fiscella, A., Pucci, P., (2015), Stationary Kirchhoff problems involving a fractional elliptic operator and a critical nonlinearity, Nonlinear Anal, 125, 699-714 [3] Bozhkov, Y., Mitidieri, E., (2003), Existence of multiple solutions for quasilinear systems via fibering method , J Differ Equations, 190(1), 239-267 [4] Brasco, L., Mosconi, S., Squassina, M., (2006), Optimal decay of extremal functions for the fractional Sobolev inequality, Calc Var Partial Differen-tial Equations, 55, 1-32 [5] Brezis, H., Lieb, E H., (1983), A relation between pointwise convergence of functions and convergence of functionals, Proc Am Maths Soc 88, 486-490 [6] Chen, W., Deng, S., (2006), The Nehari manifold for a fractional p-Laplacian system involving concave-convex nonlinearities, Nonlinear Anal, 27, 80-92 [7] Chen, W., Squassina, M., (2016), Critical nonlocal systems with concave-convex powers, Advanced Nonlinear Studies, 16(4), 821-842 [8] Di Nezza, E., Palatucci, G., Valdinoci, E., (2012), Hitchhikers guide to the fractional Sobolev spaces , Bull Sci Math, 136(5), 521-573 [9] Drasbek, P., Pohozaev, S L., (1997), Positive solutions for the p-Laplacian: Application of the fibering method, Proc Roy Soc Edinburgh Sect A, 127, 703-726 56 [10] Faria, F., Miyagaki O., Pereira F., Squassina M., Zhang C., (2016), The Brezis- Nirenberg problem for nonlocal systems, Adv Nonlinear Anal, 5, 85-103 [11] Goyal, S., Sreenadh, K., (2015), Existence of multiple solutions of p- frac-tional Laplace operator with sign-changing weight function, Adv Nonlinear Anal 4(1), 37-58 [12] Hsu, T S., (2009), Multiple positive solutions for a critical quasilinear el-liptic system with concave-convex nonlinearities, Nonlinear Anal, 71, 2688-2698 [13] Kirchhoff, G., Mechanik Teubner Leipzig (1883) [14] Massara, M., Talbi, M., (2015), On a class of nonlocal elliptic systems of (p, q)- Kirchhoff type, J Egypt Math Soc, 23(1), 37-41 [15] Mishra, P K., Sreenadh, K., (2017), Fractional p-Kirchhoff system with sign changing nonlinearities, RACSAM, 111, 281-296 ... dx p a kukX + kvkX p Z q f (x) juj dx + p + q a p q p p + kvk X0 p k kX0 v + k kXp + p q p p p kukX + kvkX p + q X0 p q p 0q + (j j kgk ) p q S (j j kfk ) kuk u a kukXp0 + kvkXp0 q p p p q p p... ) + 2p 2pq 2p q Z ju j j jv j j + a 2p C kujkX p ku jk Xp q p + kv jk Xp0 ; p ‚ C = j j kfk + kv jk Xp p p p p p p q q B¥y giÌ x²t h (t) = ap tr p + j j kgkpp q q 2pq q p q : C t vÓi r = pq >... kukX p p p + kvkX p q + (j j kgk )p p 2( + a (p q p : p q)S + : q) (1.7) + p ? ?p dˆng (1.7), ta ˜Òc q E ; (u; v) kuk p X0 + kvk p X0 p q + p a (p q) ( +q )S a( + p) + q p + p q S q (j j kfk )p p q