Phương pháp tìm nghiệm nguyên của hệ phương trình tuyến tính

M U Nhi u bƠi toán th c t d n đ n ph v i h s nguyên mƠ ta ph i tìm đ ph ng trình nƠy Ph ph ng n tính ng trình, h ph ng trình n tính c nghi m nguyên c a ph ng trình nh th th ng đ c g i lƠ ph ơy lƠ m t ch đ quan tr ng ch ng trình vƠ h ng trình i-ô- ng trình ph thông Trong l ch s toán h c đư có r t nhi u nhƠ toán h c nghiên c u v ch đ nƠy Tuy nhiên, s l ng v n đ c n đ c gi i quy t r t nhi u Lu n v n nƠy có m c đích tìm hi u vƠ trình bƠy thu t toán tìm nghi m nguyên c a ph ng trình vƠ h ph N i dung lu n v n đ Ch ng trình n tính v i h s nguyên c chia thƠnh ch ng: ng "Ki n th c chu n b ” nh c l i khái ni m phép chia hai s nguyên, s nguyên t vƠ h p s , nhi u s nguyên, thu t toán -clít tìm c s vƠ ph n d c a c chung l n nh t c a hai hay c chung l n nh t, đ c p t i khái ni m đ ng d vƠ bƠi toán tìm nghi m nguyên c a ph ng trình i-ô-ph ng n tính c a hai hay nhi u bi n s , u ki n t n t i nghi m nguyên c a ph Ch ng "Ph ng trình ng trình n tính" đ c p t i khái ni m nghi m nguyên riêng vƠ nghi m nguyên t ng quát c a ph ng trình n tính v i h s nguyên c a hai hay nhi u bi n s Trình bƠy hai thu t toán tìm nghi m nguyên riêng vƠ nghi m nguyên t ng quát c a ph ng trình n tính vƠ ch ng minh tính đ n c a thu t toán gi i, v i ví d s minh h a cho thu t toán Ch h ph ph ng "H ph ng trình n tính" đ c p t i bƠi toán th c t d n t i ng trình n tính v i h s nguyên vƠ trình bƠy thu t toán gi i h ng trình n tính, ch ng minh tính đ n c a thu t toán gi i, v i ng d ng có liên quan c a bƠi toán đ c a h ph ng trình n tính v i h s nguyên c xét Tìm nghi m nguyên d ng Do th i gian vƠ ki n th c h n ch nên ch c ch n lu n v n nƠy có nh ng thi u sót nh t đ nh, kính mong quí th y cô vƠ b n đóng góp ý ki n đ tác gi ti p t c hoƠn thi n lu n v n sau nƠy Nhơn d p nƠy, tác gi lu n v n xin bƠy t lòng bi t n sơu s c t i GS.TS Tr n V Thi u, đư t n tình giúp đ su t trình lƠm lu n v n Tác gi c ng xin chơn thƠnh c m n th y, cô giáo B môn toán đư nhi t tình gi ng d y, cán b Phòng sau đ i h c vƠ qu n lý khoa h c, Ban giám hi u Tr ng đ i h c Th ng Long đư quan tơm, đ ng viên vƠ t o m i u ki n thu n l i trình tác gi h c t p vƠ nghiên c u t i Tr ng HƠ N i, tháng 05 n m 2016 Tác gi Lê Minh Qu nh Hoa Thang Long University Libraty Ch ng KI N TH C CHU N B Ch ng nƠy nh c l i khái ni m ph n d c a phép chia hai s nguyên, chung l n nh t c a hai hay nhi u s nguyên, thu t toán nh t vƠ đ c p t i bƠi toán tìm nghi m nguyên c a ph -clit tìm c chung l n ng trình n tính v i h s nguyên c a hai hay nhi u bi n s , u ki n t n t i nghi m nguyên c a ph trình N i dung c a ch ng đ ng c tham kh o t tƠi li u [1], [2] vƠ [4] 1.1 C CHUNG L N NH T 1.1.1 c s vƠ ph n d Xét t p s nguyên c = {0,  1,  2, } T lý thuy t s , ta có k t qu sau nh lỦ 1.1.(Thu t toán chia) V i m i a, b  , b  0, t n t i nh t q, r ,  r < |b|, cho a = bq + r (Chia a cho b đ c q lƠ th ng s , r lƠ ph n d ) Ví d 1.1 a) V i a = 23, b = ta có q = 4, r = 3, 23 = 54 + b) V i a = 17, b = - ta có q = - 5, r = 2, 17 = (- 3)(- 5) + c) V i a = - 11, b = ta có q = - 6, r = 1, - 11 = 2(- 6) + d) V i a = - 9, b = - ta có q = 3, r = 3, - = (- 4)3 + nh ngh a 1.1 V i a, b  , ta nói a lƠ nguyên x cho a.x = b Trong tr c (divisor) c a b n u t n t i s ng h p nƠy ta nói r ng b chia h t (divisible) cho a hay b lƠ b i (multiple) c a a vƠ vi t a | b (đ c lƠ a lƠ nói a không lƠ c c a b) Trái l i, ta c c a b vƠ vi t a b Ví d 1.2 Do vƠ - lƠ c c a nên ta vi t | vƠ - | Nh ng không lƠ c c a nên ta vi t BƠi t p 1.1 Gi s a, b, c, m, n  N u a | b vƠ a | c a | (mb + nc) nh ngh a 1.2 V i b t k a  , u sau đơy đúng: | a, - | a, a | a, - a | a Ta nói 1, - 1, a vƠ - a lƠ lƠ đ n v (units), m i c t m th ng (trivial divisors) c a a; vƠ -1 g i c b t k khác c a a g i lƠ c th c s (proper divisors) 1.1.2 S nguyên t vƠ h p s nh ngh a 1.3 S nguyên d c th c s S nguyên d c th c s N u a lƠ s nguyên d ng a > g i m t lƠ s nguyên t (prime) n u a ng a g i lƠ m t h p s (composite) n u a có ng vƠ s nguyên t p1, p2, , pk th a mưn p1p2 pk = a tích p1p2 pk g i lƠ phân tích th a s nguyên t (prime factorization) c a a Ví d 1.3 Các s nguyên t < 40: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37 nh lỦ 1.2 ( nh lý c b n c a s h c) M i s a  , a > 1, có phơn tích th a s nguyên t nh t (không k s sai khác v th t th a s ) Ví d 1.4 12 = 223; 18 = 232; 231 = 3711 nh ngh a 1.4 Cho a, b  Ta đ nh ngh a c chung l n nh t (greatest common divisor) c a a vƠ b lƠ s nguyên l n nh t d mƠ c a vƠ b đ u chia h t cho d: d | a vƠ d | b c chung l n nh t đ s s d ng (a, b) đ ch c chung l n nh t c a a vƠ b Ví d 1.5 Hưy tìm ±1, ±2, ±4, ±8; vƠ c ký hi u lƠ (a, b) = d ho c gcd (a, b) = d Ta c chung l n nh t c a vƠ 20 Ta th y c c a 20 lƠ ±1, ±2, ±4, ±5, ±10 T đó, 20 lƠ ±1, ±2, ±4 Vì th , c c a lƠ c chung c a vƠ c chung l n nh t c a vƠ 20 lƠ Ta vi t gcd (8, 20) = ho c (8, 20) = Có th ki m tra l i r ng (12, - 9) = 3; (- 15, 20) = 5; (- 3, - 7) = nh ngh a 1.5 N u c chung l n nh t (a, b) = ta nói hai s nguyên a vƠ b lƠ nguyên t (relatively prime) nh lỦ 1.3 N u a, b  Ví d 1.6 Hưy tìm (a, b) = d (a/d, b/d) = c chung l n nh t c a 20 vƠ 45 B ng cách phơn tích th a s nguyên t ta có 20 = 22×5 vƠ 45 = 32×5 T đó, ta tìm đ c c chung l n nh t c a 20 vƠ 45 b ng 5, t c lƠ (20, 45) = Ta th y Thang Long University Libraty (20/5, 45/5) = (4, 9) = nh lỦ 1.4 N u a, b, c  cho a | bc a, b nguyên t a | c nh lỦ 1.5 Cho a, b, c  Khi (a + cb, b) = (a, b) Ví d 1.7 Xét ba s : a = 110, b = 44, c = 22 Theo nh lý 1.4, ta s có (110 + 22×44, 44) = (110, 44) hay (1078, 44) = (110, 44) ki m tra đ ng th c nƠy, ta c n tính (1078, 44) vƠ (110, 44) Ta th y 44 = 22×11, 110 = 2×5×11 vƠ 1078 = 2×72×11 T suy (1078, 44) = (110, 44) = 22 K t qu ki m tra nh ngh a 1.6 Cho a, b  T h p n tính (linear combination) c a a vƠ b lƠ t ng có d ng ax + by, x, y  nh lỦ 1.6 Cho hai s a, b  Khi d = (a, b) s nguyên d nh t bi u di n đ cd ng nh i d ng d = ax + by v i x, y  Ví d 1.8 Gi s a = 51 vƠ b = 187 Ta th y 51 = 3×17 vƠ 187 = 11×17 T (51, 187) = 17 N u ch n x = 4, y = - 1, ta có 51×4 - 187×1 = 204 - 187 = 17 = (51, 187) nh lỦ 1.7 N u a, b, m, n  c c s chung c a a b c c ng c s c a ma + nb, ngh a (c | a vƠ c | b) c | (ma + nb) Ví d 1.9 Gi s a = 21, b = 39, vƠ c = Ta có 21 = 3×7 vƠ 39 = 3×13 Vì th , 21 vƠ 39 chia h t cho Gi s m = 7, n = - Khi 7×21 - 3×39 = 147 - 117 = 30 Rõ rƠng lƠ c c a 30, 30 = 3×10 nh lỦ 1.8 N u a, b s nguyên d ng t p h p t h p n tính c a a b t p b i nguyên c a (a, b) Ví d 1.10 Gi s a = 52, b = 117 Ta th y 52 = 22×13 vƠ 117 = 32×13 Do (52, 117) = 13 V i b t k x, y ph tìm đ c s nguyên k nghi m ng trình 52x + 117y = 13k Tìm x vƠ y cho ta k = 2, t c lƠ x, y th a mưn 52x + 117y = 13×2 = 26 Chia c hai v cho 13, ph tìm đ ng trình rút g n 4x + 9y = Ta c x = vƠ y = - 2, 4×5 - 9×2 = 20 - 18 = 1.1.3 c chung l n nh t c a nhi u s nguyên nh ngh a 1.7 Ta m r ng đ nh ngh a c chung l n nh t cho n s nguyên v i n ≥ Xét n s nguyên, không b ng Ta đ nh ngh a c a chúng lƠ s l n nh t c chung l n nh t c chung c a n s vƠ vi t (a1, a2, , an) Ví d 1.11 Có th th y (2, 6, 14) = vƠ (7, 21, 49) = Tuy nhiên, ta g p nhi u h n ba s nguyên ho c nhi u s ph c t p mƠ ta không th d dƠng tìm đ c c chung c a chúng Trong nh ng tr ng h p nh th , ta có th dùng đ nh lý sau đơy nh lỦ 1.9 N u a1, a2, , an s nguyên, không b ng 0, (a1, a2, , an-1, an) = (a1, a2, , (an-1, an)) Ví d 1.12 Tìm c chung l n nh t c a 96, 405, 693 vƠ 1989 Phơn tích s nguyên th a s nguyên t vƠ dùng nh lý 1.9, ta th y 96 = 25×3, 405 = 34×5, 693 = 32×7×11, 1989 = 32×13×17 (96, 405, 693, 1989) = (96, 405 (693, 1989)) = (96, 405, 9) = (96, (405, 9)) = (96, 9) = nh lỦ 1.10 N u c, d  c = dq + r, v i q, r  (c, d) = (r, d) Ví d 1.13 Xét đ ng th c 48 = 9×5 + N u phơn tích đ ng th c nƠy theo nh lý 1.10, ta th y c = 48, d = 9, q = vƠ r = Thang Long University Libraty Ta có 48 = 24×3 vƠ = 32 Áp d ng đ nh lý ta đ 1.2 c (48, 9) = (3, 9) = NG D nh ngh a 1.8 Cho a, b  Ta nói r ng a đ ng d v i b (congruent to) modulo m (vi t t t lƠ mod m) n u m | (a - b) Ta ký hi u lƠ a  b (mod m) Nh n xét 1.1 L u ý r ng ta có th bi u di n m | a b ng a  (mod m) BƠi t p 1.2 V i b t k a  ta có: a  a (mod m); N u a  b (mod m) b  a (mod m); N u a  b (mod m) vƠ b  c (mod m) a  c (mod m) N u a  b (mod m) ta có: a + c  b + c (mod m); ac  bc (mod m) N u có thêm c  d (mod m) ta có: a + c  b + d (mod m); ac  bd (mod m) NgoƠi ra, n u ac  bd (mod m) vƠ c, m nguyên t a  b (mod m) Bơy gi ta có th phơn lo i s nguyên thƠnh l p d a quan h đ ng d modulo m c a chúng, v i s nguyên m nƠo đó, m > 1, b ng cách đ t s nguyên đ ng d v i vƠo m t l p M i s nguyên ch đ c đ t m t vƠ ch m t l p nh th vƠ b t k c p s nguyên x, y l y t m t l p s th a mưn x  y (mod m) Các l p nƠy g i lƠ l p th ng d modulo m (residue classes), ký hi u lƠ a m , a lƠ m t ph n t l p M t t p ch a m t ph n t c a m i l p th ng d có th đ c vi t thƠnh /m Ví d m = 4, ta có th vi t /4 = {0, 1, 2, 3} V i m t s phép toán, c th lƠ c ng, tr , nhơn vƠ l y th a, m t ph n t b t k c a l p lƠ đ i di n cho c l p, ngh a lƠ th c hi n phép toán nƠy ph n t đ i di n c a hai l p s cho k t qu l p th ng d gi ng nh áp d ng cho ph n t b t k c a m i l p V i phép toán khác, ví d nh t, không đ c chung l n c Nh n xét 1.2 Ta có th tùy ý thay đ i gi a bi u th c đ ng d vƠ bi u th c đ i s c a m t s Ch ng h n, phát bi u "n có d ng 4k + 1" t ng đ ng v i cách nói r ng n  (mod 4) nh lỦ 1.11 N u m, n nguyên t m có ngh ch đ o phép nhân modulo n Ch ng minh Vì m, n nguyên t nên = am + bn v i a, b  theo nh lý 1.6 Xét ph c chung l n nh t (m, n) = ng trình đ ng d (modulo n):  am + bn (mod n)  am +  am (mod n) Do m có ngh ch đ o phép nhơn modulo n 1.3 THU T TOÁN -CLIT VẨ M M c nƠy đ c p t i thu t toán c a hai s nguyên d ฀ R NG –clít quen thu c đ tìm c chung l n nh t ng ó lƠ thu t toán c c k nhanh đ tìm c chung l n nh t nh lỦ 1.12 (Thu t toán –clít) tìm ta đ t r- = a, r0 = b, r i tính liên ti p th c chung l n nh t c a hai s a b ng qi+1 s d ri+1 theo ri-1 = riqi+1 + ri+1 v i i = 0, 1, 2, cho t i g p s d rn+1 = Khi đó, s d khác không cu i rn s c chung l n nh t c a a b Ví d 1.14 Ta minh h a thu t toán -clít qua vi c tìm (246, 699) L n l t th c hi n phép chia sau: 699 = 246×2 + 207 246 = 207×1 + 39 207 = 39×5 + 12 Thang Long University Libraty 39 = 12×3 + 12 = 3×4 + Thu t toán -clít nói r ng c chung l n nh t c a hai s lƠ s d khác cu i ví d trên, s d khác cu i lƠ nên (246, 699) = N u mu n tìm c chung l n nh t c a nhi u h n hai s ta có th s d ng thu t toán -clít, k t h p v i nh lý 1.9 Ví d 1.15 S d ng thu t toán -clít tìm (33, 176, 275, 352, 539, 1331) • Tr c h t tìm (539, 1331) b ng cách s d ng thu t toán -clít Ta có 1331 = 539×2 + 253 539 = 253×2 + 33 253 = 33×7 + 22 33 = 22×1 + 11 22 = 11×2 + S d khác cu i lƠ 11 Vì th , (539, 1331) = 11 • Ti p theo lƠ tìm (33, 176, 275, 352, 11) = (33, 176, 275, (352, 11)) Ta có 352 = 11×32 + S d b ng 0, th (352, 11) = 11 • Ti p theo ta tìm (33, 176, 275, 11) = (33, 176, (275, 11)) Ta có 275 = 11×25 + 0, t c 275 lƠ b i c a 11 vƠ (275, 11) = 11 • Ti p theo tìm (33, 176, 11) = (33, (176, 11)) Do 176 = 11×16 + nên (176, 11) = 11 • Cu i cùng, tìm (33, 11) = (11×3, 11) = 11 K t qu lƠ (33, 176, 275, 352, 539, 1331) = 11  Bi u di n d = (a, b) d Ta đư bi t cách tìm i d ng t h p n tính c a a vƠ b c chung l n nh t c a hai s nguyên b ng thu t toán -clít Gi s rn = (a, b), a > b, rn-2 = rn-1×qn + rn vƠ rn-1 = rn×qn+1 + Khi ta mu n vi t c chung l n nh t c a hai s nguyên d i d ng m t t h p n tính c a nh ng s nguyên nƠy, ta s d ng quy trình sau ng th c (a, b) = rn = rn-2 - rn-1×qn cho th y (a, b) lƠ m t t h p n tính c a rn-2 vƠ rn-1 T đ ng th c tr c rn-3 = rn-2×qn-1 + rn-1 suy rn-1 = rn-3 - rn-2×qn-1 Vì v y, ta nh n đ c rn = rn-2 - (rn-3 - rn-2×qn-1)×qn = rn-2(1 + qn-1×qn) - qn×rn-3 Bi u th c cu i cho th y rn lƠ m t t h p n tính c a rn-2 vƠ rn-3 Ta ti p t c trình "bi u di n (a, b) nh t h p n tính c a m i c p s d " cho t i tìm đ c (a, b) nh t h p n tính c a a vƠ b V i c p s d ri vƠ ri-1 ta có bi u di n (a, b) = k×ri + m×ri-1 Do ri = ri-2 - ri-1×qi nên ta có (a, b) = k×(ri-2 - ri-1×qi) + m×ri-1 = k×ri-2 + (m - k×qi)ri-1 Ti p t c cho t i đ ng th c đ u a = b×q1 + r1, ta s tìm đ h p n tính c a a vƠ b d nh lý sau đ a ph c (a, b) nh m t t ng pháp quy n p đ tìm (a, b) i d ng m t t h p n tính c a a vƠ b nh lỦ 1.13 Cho a, b hai s nguyên d ng Khi đó, ta có bi u di n d = (a, b) = kn×a + mn×b v i kn mn s h ng th n c a dãy s đ c xác đ nh theo đ quy b i k -1 = 1, m -1 = 0, k0 = 0, m0 = ki = ki -2 - ki -1×qi, mi = mi -2 - mi -1×qi v i i = 1, 2, , n, qi th ng s c a phép chia th i thu t toán -clít tìm c chung l n nh t c a a b 10 Thang Long University Libraty k i(1) = f i( 2) (k 1( 2) , , k (n2)2 ), i = 1, 2, , n - 1, (P2) m i f i( 2) lƠ hƠm n tính afin v i h s nguyên (N u trình th c hi n thu t toán ta g p m t ph ng trình nghi m nguyên h ban đ u c ng nghi m nguyên vƠ d ng thu t toán) Tr ng h p t t c ph ng trình đư gi i đ u có nghi m nguyên b c j,  j  r (v i r lƠ h ng c a ma tr n A) ta có k i( j1) = f i( j) (k 1( j) , , k (nj) j ), i = 1, 2, , n - j + 1, (Pj) m i f i( j) lƠ hƠm n tính afin v i h s nguyên vƠ k i0 = xi, i = 1, , n Cu i cùng, sau r b ta nh n đ c vƠ n u m i ph c nghi m nguyên c a ph ng trình đư gi i đ u có nghi m nguyên, ng trình nh t l i v i n - r + n s H ban đ u s có nghi m nguyên vƠ ch ph b ng trình nh t l i c r có nghi m nguyên N u có, nghi m nguyên t ng quát đ c ký hi u lƠ k i( r 1) = f i( r ) (k 1( r ) , , k (nr )r ), i = 1, 2, , n - r + 1, (Pr) m i f i( r ) lƠ hƠm n tính afin v i h s nguyên  Bơy gi ta c n th c hi n trình thay th ng c nh sau Thay th giá tr c a k i( r 1) = f i( r ) (k 1( r ) , , k (nr )r ), i = 1, 2, , n - r + có r vƠo bi u th c k i( r  ) = f i( r 1) (k 1( r 1) , , k (nrr1)1 ), i = 1, 2, , n - r + 2, b c r - vƠ nh n đ c k i( r  ) = f i( r 1) ( f i( r ) (k 1( r ) , , k (nr )r ), , f (nr)r 1 (k 1( r ) , , k (nr )r )) = g i( r 1) (k 1( r ) , , k (nr )r ), i = 1, 2, , n - r + 2, m i g i( r 1) lƠ hƠm n tính afin v i h s nguyên Ti p t c lƠm nh v y cho t i ta thay th giá tr k i(1) = g i( 2) (k 1( r ) , , k (nr )r ), i = 1, 2, , n - nh n đ c (P2) vƠo bi u th c xi (P1) vƠ nh n đ 35 c b c (r) (r) (r) (r) xi = f i(1) (g 1( 2) (k , , k nr ), , g (n2 )1 (k , , k nr )) (r) (r) = g i(1) (k , , k nr ), i = 1, 2, , n m i g i(1) lƠ hƠm n tính afin v i h s nguyên Nh th ng l , đ đ n gi n ký hi u ta vi t l i xi = gi(k1, , kn-r), i = 1, , n, m i gi lƠ hƠm n tính afin v i h s nguyên quát c a h ph ó lƠ nghi m t ng ng trình ban đ u ฀ nh lỦ 3.3 Thu t toán thay th đ n Ch ng minh Thu t toán lƠ h u h n g m r l n gi i ph l n thay th ng c Rõ rƠng lƠ n u m t ph ng trình vƠ r - ng trình h ban đ u nghi m nguyên toƠn b h c ng nghi m nguyên Ký hi u (S) lƠ h ban đ u vƠ (Sj) lƠ h thu đ c b c (Pj),  j  r - Khi chuy n t (Pj) sang (Pj+1), ta chuy n t h (Sj) t i h (Sj+1) t ng đ ng theo ngh a có nghi m nguyên, t c lƠ k i( j1) = t i0 , (i = 1, , n - j + 1) lƠ m t nghi m nguyên riêng c a h (Sj) vƠ ch k i( j) = h i0 , (i = 1, , n - j) lƠ m t nghi m nguyên riêng c a h (Sj+1), k i0 = f i( j1) (t 10 , , t 0n  j1 ), i = 1, 2, , n - j Do nghi m nguyên t ng quát c a chúng c ng t th nƠy) Nh v y cu i vi c gi i h ban đ u (S) t trình (c a h g m nh t m t ph ng đ ng đ ng (xét phép ng v i gi i ph ng ng trình (Sr-1) v i h s nguyên Suy h (S) có nghi m nguyên vƠ ch h (Sj) có nghi m nguyên ฀ minh h a thu t toán, ta xét ví d đ n gi n sau Ví d 3.1 Dùng Thu t toán thay th tìm nghi m nguyên c a h ph (S) ng trình:  5x  y  2z  w  6,   x  y  3z  11w  0, 36 Thang Long University Libraty Gi i Ta gi i ph ng trình th nh t đ tìm nghi m nguyên Ta nh n đ c nghi m nguyên t ng quát x  t1  2t yt    z   t  t  3t  w  t (P1) t1, t2, t3  Th vƠo ph ng trình th hai, ta nh n đ ch 5t1  23t2 + 2t3 + = (S1) Gi i ph ng trình nƠy, ta nh n đ c nghi m nguyên t ng quát t  k1   t  k  2k  t  9k  23k  3 (P2) k1, k2  Ng c tr l i, th (P2) vƠo (P1) ta nh n đ c x  3k1  4k  2, y  k ,    z  31k1  79k  23,  w  9k1  23k  7, k1, k2  ó lƠ nghi m nguyên t ng quát c a h (S) ban đ u: 3.3 THU T TOÁN DỐNG PHÉP u vƠo: H ph ฀ NG D ng trình n tính Ax = b u ra: Cho bi t h có nghi m nguyên hay không N u có cho nghi m nguyên t ng quát c a h Thu t toán g m b B c c nh sau: t t = 1, h = vƠ p = 37 B c (A) Chia m i ph bi n N u không nh n đ ng trình cho c th c chung l n nh t c a h s c a ng s nguyên đ i v i nh t m t ph ng trình h nghi m nguyên.D ng thu t toán (B) N u có m t b t ph ng trình h h nghi m nguyên D ng thu t toán (C) N u có nhi u ph ng trình trùng gi l i m t vƠ lo i b đ ng nh t th c kh i h n u có B ph c N u có (i0, j0) cho | a i0 j0 | = nh n đ c giá tr c a bi n x j0 t ng trình i0; h th c (Tt) Th h th c nƠy (n u có th ) vƠo ph th c (Tt-1), (Hh) vƠ (Pp) v i m i t, h vƠ p ng trình khác c a h vƠ vƠo h t t := t + 1, lo i ph h N u không c p nƠo nh th chuy n sang B B t iB ng trình i0 kh i c c H l i có nh t m t bi n? N u có xét d li u m i vƠ chuy n c N u trái l i vi t nghi m nguyên t ng quát c a h ph ng trình b ng cách thay k1, k2, … cho t t c bi n k t s h ng đ u tiên bên ph i c a m i bi u th c bi u di n giá tr c a n s h ban đ u D ng thu t toán B c Tính a = {|r| : a ij1  r (mod a ij2 ), < |r| < a ij2 } i , j1 , j2 vƠ xác đ nh ch s i, j1, j2 v i r đ t giá tr c c ti u a (n u có nhi u kh n ng ch n m t kh n ng b t k ) a ij  r B c t x j2 = th  x j1 , h th c (Hh) a ij2 Th h th c nƠy (n u có th ) vƠo m i ph ng trình c a h vƠ vƠo h th c (Tt-1), (Hh) vƠ (Pp) v i m i t, h vƠ p B c (A) N u a  đ t x j2 := th , h := h + vƠ quay l i B (B) N u a = ta nh n đ c giá tr x j1 t ph c ng trình (i), bi u th c (Pp) 38 Thang Long University Libraty Th h th c nƠy (n u có th ) vƠo ph ng trình khác c a h vƠ vƠo h th c (Tt-1), (Hh) vƠ (Pp) v i m i t, h vƠ p Lo i ph t h := h + 1, p := p + vƠ quay l i B ng trình (i) kh i h c ฀ ch ng minh tính đ n c a thu t toán ta c n b đ sau B đ 3.1 Xét B c c a thu t toán t M = {|r| : a ij1  r (mod a ij2 ), < |r| < a ij2 , i, j1, j2 = 1, 2, 3, } Khi đó, M   Ch ng minh Rõ rƠng, M lƠ h u h n vƠ M  Khi M có c c ti u vƠ * ch M   Gi s ph n ch ng: M =  Khi đó, a ij1  (mod a ij2 ), i, j1, j2 T suy r ng a ij2  (mod a ij1 ), i, j1, j2 Ngh a lƠ | a ij1 | = | a ij2 |, i, j1, j2 Xét m t ch s i0 tùy ý nh ng c đ nh Rõ rƠng lƠ ( a i01 , , a i0n ) = a i0 j  0, j (vì thu t toán đư ch y qua b B c 2(B) vƠ 2(C)) Do thu t toán c ng đư qua c | a i0 j |  1, j, nh ng tr c thu t toán đư qua b c 2(A) nên k t qu lƠ | a i0 j | = 1, j Mơu thu n nƠy cho th y gi thi t ph n ch ng lƠ sai ฀ B đ 3.2 Xét a i0 j1  r (mod a ij2 ) Th j  r x j2 = th  x j1 a i0 j2 vào h (A) ta nh n đ c h (B) Khi xj = x 0j , j = 1, , n m t nghi m nguyên riêng c a (A) ch xj = x 0j , j  j2 vƠ th = x 0j2  a i0 j1  r a i0 j2 m t nghi m nguyên riêng c a (B) ฀ B đ 3.3 Gi s a1  a2 nh n đ c B c Khi đó, < a2 < a1 Ch ng minh Ch c n ch ng t r ng a1 < |aij|, i, j Gi s a i0 j0 có tính ch t | a i0 j0 |  a1 Do a1  | a i0 jm | = {| a i0 j |} Gi s a i0 js v i | a i0 js | > | a i0 jm | Có ph n 39 t nh th | a i0 jm | lƠ h s nh nh t v tr t đ i vƠ không ph i m i | a i0 j |, j = 1, , n, đ u b ng NgoƠi h s a i0 jm ta ch n a i ˆj v i a i ˆj  k a i0 jm Xét q0 = [ a i ˆj / a i0 jm ]  0 vƠ r0 = a i ˆj - q0 a i0 jm  Ta có a i ˆj  r0 (mod a i0 jm ) 0 vƠ < |r0| < | a i0 jm | < | a i0 j0 |  a1 Nh v y ta đ c r0 v i |r0| < a1, mơu thu n v i đ nh ngh a c a a1 V y a1 < |aij|, i, j ฀ B đ 3.4 Thu t toán nêu h u h n Ch ng minh M c tiêu c a thu t toán lƠ chuy n h m ph s v h m1 ph ng trình c a n n ng trình c a n1 n s v i m1 < m, n1 < n Nh v y cu i đ a t i ph ng trình n tính v i n - r + n s , r = rank A Ph nƠy đ c gi i b ng thu t toán Nghi m nguyên t ng quát c a h s ph thu c n - tham s nguyên đ c l p n tính Vi c rút g n h ph hi n B c 2, vƠ 7(B), Các b ng trình ng trình đ c vƠ có th gi m ph c th c ng trình c a h , nh ng ch v i u ki n nh t đ nh Quan tr ng nh t lƠ tìm nghi m c a h B c 7(B), b c nƠy gi m m t ph ng trình c a h Do s ph h u h n nên ta t i tìm nghi m nguyên c a m t ph ng trình nh t Ta c ng c n ch r ng vi c chuy n t m t h mini t i h mi+1ni+1 đ kho ng th i gian h u h n: đ B ng trình lƠ c th c hi n c vƠ phép thay th bi n th ng xuyên c ti n hƠnh cho đ n a = ฀ nh lỦ 3.4 Thu t toán nêu cho nghi m nguyên t ng quát c a h ph ng trình n tính Ch ng minh Theo B đ 3.4, thu t toán lƠ h u h n Các b c vƠ lƠ rõ rƠng vƠ có m c đích đ n gi n hóa tính toán đ n m c t i đa có th B c ki m tra u ki n d ng thu t toán Vi c thay th b ng tham s k1, k2, mang tính h th ng hóa vƠ th m m Các bi n t, h, p lƠ bi n đ m (k t B đ đ m h th c d ng T, H, P (đánh s theo yêu c u phép th vƠ vƠ 7(B)), h đ m bi n ph m i đ Phép th t b c không nh h c đ a vƠo c 1) vƠ dùng b c3 th i m phơn nh h ng t i nghi m nguyên t ng quát c a h (theo B 40 Thang Long University Libraty đ 3.2) B đ 3.1 cho th y r ng b c tìm đ toán th c hi n bi n đ i h mini thƠnh h t ng đ c a b i   M Thu t * ng mi+1ni+1 có nghi m nguyên t ng quát (B đ 3.2) ฀ Ví d 3.2 Tìm nghi m nguyên c a h ph 12x  7y + 9z ng trình: = 12,  5y + 8z + 10w = 0, 15x + 21z + 69w = Gi i Ta áp d ng thu t toán II (Ta có ch đích ch n ví d qua m i b thu t toán) t t = 1, h = vƠ p =1 (A) Ph ng trình th t tr thƠnh 5x + 7z + 23w = (B)  (C)  Không Chuy n sang B c 5 a = 2, i = 1, j1 = 2, j2 = vƠ r = z = t1 + y, h th c (H1) Thay h th c nƠy vƠo h ban đ u ta đ 12x + 2y + 9t1 = 12, 3y + 8t1 + 10w = 0, 5x + 7y + 7t1 + 23w = a  1, đ t z = t1, h := vƠ quay l i B c 2  Không Chuy n sang B c 5 a = 1, i = 2, j1 = 4, j2 = vƠ r = y = t2  3w, h th c (H2) Th vƠo h tr 41 c ta đ c c cc a 12x + 2t2 + 9t1  6w = 12, 3t2 + 8t1 + w = 0, 5x + 7t2 + 7t1 + 2w = Th vƠo h th c (H1) ta đ c z = t1 + t2  3w, h th c (H1)' w =  3t2  8t1, h th c (P1) Th (P1) vƠo h ta đ c 12x + 20t2 + 57t1 = 12, 5x + t2  9t1 = Th ti p vƠo h th c khác ta đ c z = 10t2 + 25t1, h th c (H1)" y = 10t2 + 24t1, h th c (H2)' h := 3, p := vƠ quay l i B c 4 Còn bi n x, t1, t2  t2 =  5x + 9t1, h th c (T1) Th h th c nƠy (vƠo n i có th ) ta đ c  112x + 237t1 =  (h m i) z = 10  50x + 115t1, h th c (H1)"' y = 10  50x + 114t1, h th c (H2)" w =  + 15x  35t1, h th c (P1)' t t := vƠ chuy n sang B c 4 H bi n x vƠ t1 Quay l i B c 2  Không Chuy n sang B c 5 a = 13 (one three), i = 1, j1 = 2, j2 = vƠ r = 13 x = t3 + 2t1, h th c (H3) Sau thay th ta nh n đ c: 42 Thang Long University Libraty  112t3 + 13t1 =  (h m i) z = 10  50t3 + 15t1, h th c (H1)iv y = 10  50t3 + 14t1, h th c (H2)"' w =  + 15t3  35t1, h th c (P1)" t1, h th c (T1)' t2 =  5t3  t x := t3, h := vƠ quay l i B c 2  Không Chuy n sang B c 5 a = 13, i = 1, j1 = 1, j2 = vƠ r = t1 = t4 + 9t3, h th c (H4) Sau thay th ta nh n đ 5t3 + 13t4 =  (h ph c: ng trình) z = 10 + 85t3 + 15t4, h th c (H1)v y = 10 + 76t3 + 14t4, h th c (H2)iv x= 19t3 + 2t4, h th c (H3)' w =   30t3  5t4, h th c (P1)"' t4, h th c (T1)" t2 =  14t3  t t1 := t4, h := vƠ quay l i B c 2  Không Chuy n sang B c 5 a = 2, i = 1, j1 = 2, j2 = vƠ r = - t3 = t5  3t4, h th c (H5) Sau thay th ta nh n đ 5t5  2t4 =  (h ph ng trình) z = 10 + 85t5  240t4, h th c (H1)vi y = 10 + 76t5  214t4, h th c (H2)v x= 19t5  55t4, h th c (H3)" 43 c: w =   30t5  85t4, h th c (P1)iv t2 =  14t5  41t4, h th c (T1)"' 9t5 + 26t4, h th c (H4)' t1 = t t3 := t6, h := vƠ quay l i B c 2  Không Chuy n sang B c 5 a = 1, i = 1, j1 = 2, j2 = vƠ r = t4 = t6 + 2t5, h th c (H5) Sau thay th ta nh n đ t5  2t6 =  (h ph c: ng trình) z = 10  395t5  240t6, h th c (H1)vii y = 10  392t5  214t6, h th c (H2)vi x=  91t5  55t6, h th c (H3)"' w = 3  140t5  85t6, h th c (P1)v t2 = + 68t5  41t6, h th c (T1)iv Ph t1 =  43t5  26t6, h th c (H4)" t3 =  5t5  3t6, h th c (H5) ng trình có h s c a bi n b ng 1, suy t5 = 2t6  h th c (P2) Th h th c nƠy vƠo h ph ng trình ta nh n đ c = Th ti p vƠo h th c l i cho ta z =  240t6 + 3170, y =  918t6 + 2826, x =  237t6 + 728, w= 365t6  1123, t2 = 177t6  543, t1 = 112t6 + 344, (các h th c không quan tr ng) t3 = 13t6 + 40, t4 =  5t6,  16 44 Thang Long University Libraty t h := 7, p := vƠ quay l i B Ph c v i t6  ng trình h t bi n V y nghi m nguyên t ng quát c a h ban đ u lƠ: x = - 237k1 + 728, y = - 918k1 + 2826, z = 1030k1 + 3170, w = 365k1 - 1123, k1 lƠ tham s nguyên D ng thu t toán 3.4 NGHI M NGUYÊN D NG C A H Trong nhi u bƠi toán th c t ng m×n I-Ô-PH NG i ta c n tìm nghi m nguyên d không đ n thu n nghi m nguyên) c a h ph b, A ฀ ng (ch ng trình i-ô-ph ng n tính Ax = lƠ ma tr n nguyên vƠ rank (A) = m, b m lƠ véct nguyên Trong nh ng bƠi toán nh th , c ng có th dùng thu t toán đư trình bƠy đ tìm nghi m nguyên d ng c a h ph ng trình c n gi i Sau đơy lƠ m t s ví d áp d ng thu t toán Ví d 3.3 (BƠi toán c "Tr m trơu, tr m bó c ") T ng m t đƠn trơu có 100 con, g m ba lo i: trơu đ ng, trơu n m vƠ trơu giƠ Ơn trơu n h t 100 bó c Cho bi t: trơu đ ng n 5, trơu n m n 3, l kh trơu giƠ bó H i m i lo i có trơu? Gi i G i s trơu đ ng lƠ x1, s trơu n m lƠ x2 vƠ s trơu giƠ lƠ x3 Theo đ u bƠi ta có h ph ng trình c a n s : x1 + x2 + x3 = 100, 5x1 + 3x2 + x3/3 = 100 Vì s trơu ph i lƠ s nguyên d h ph ng nên ta c n tìm nghi m nguyên d ng c a ng trình Ta đ a h nƠy v d ng có h s nguyên, b ng cách nhơn c hai v c a ph ng trình sau v i ta nh n đ 45 ch t ng đ ng: x1 + x2 + x3 = 100, 15x1 + 9x2 + x3 = 300 Dùng thu t toán thay th , ta nh n đ c nghiêm nguyên c a h lƠ x1 = - 100 + 4k, x2 = 200 - 7k, x3 = 3k v i k Mu n có nghi m nguyên d ng, ta c n tìm k x1 = - 100 + 4k > x2 = 200 - 7k > x3 = 3k > th a mưn k > 25, k < 200/7 k ≤ 28, k > Có giá tr k th a mưn u ki n nƠy: k = 26, k = 27 vƠ k = 28 • V i k = 26 x1 = trơu đ ng, x2 = 18 trơu n m, x3 = 78 trơu giƠ • V i k = 27 x1 = trơu đ ng, x2 = 11 trơu n m, x3 = 81 trơu giƠ • V i k = 28 x1 = 12 trơu đ ng, x2 = trơu n m, x3 = 84 trơu giƠ Ki m tra l i cho th y c nghi m nƠy th a mưn m i u ki n bƠi toán Ví d 3.4 (BƠi toán dơn gian "Tr m bánh, tr m ng có 100 chi c bánh dƠnh cho 100 ng ฀ i n") Trong m t l h i, i n Ơn ông n 3, đƠn bƠ n 2, lai dai hai tr n H i có đƠn ông, đƠn bƠ vƠ tr tham d ? Gi i G i x1 lƠ s đƠn ông, x2 lƠ s đƠn bƠ vƠ x3 lƠ s tr Theo đ u bƠi ta có ph ng trình c a n s : x1 + x2 + x3 = 100, (1) 6x1 + 4x2 + x3 = 200 (2) Gi i theo thu t toán s d ng phép d ng d , k t qu ta nh n đ c nghi m nguyên t ng quát c a h lƠ: x1 = - 100 + 3k, x2 = 200 - 5k, x3 = 2k, k Có giá tr nguyên c a k cho nghi m nguyên d Các nghi m nguyên d ng c a bƠi toán đ ng: 34 ≤ k ≤ 39 c ghi b ng sau: 46 Thang Long University Libraty k x1: đƠn ông x2 : đƠn bƠ x3 : tr 34 30 68 35 25 70 36 20 72 37 11 15 74 38 14 10 76 39 17 78 Ki m tra l i cho th y c nghi m nƠy th a mưn m i u ki n bƠi toán Tóm l i ch ng nƠy đư trình bƠy u ki n c n vƠ đ đ h ph ฀ ng trình n tính có nghi m nguyên vƠ gi i thi u thu t toán thay th vƠ thu t toán đ ng d đ xu t [2], đ tìm nghi m nguyên c a h ph nguyên (h ph ng trình ng trình n tính v i h s i-ô-ph ng n tính), kèm theo ch ng minh tính đ n c a thu t toán vƠ ví d minh h a Cu i ch nghi m nguyên d ng c a h ph ng đ c p t i bƠi toán tìm ng trình i-ô-ph ng n tính 47 K T LU N Lu n v n đư tìm hi u vƠ trình bƠy m t s thu t toán đ nghi m nguyên c a ph nguyên (ph ng trình vƠ h ph ng trình vƠ h ph c bi t đ n đ tìm ng trình n tính v i h s ng trình i-ô-ph ng n tính) N i dung lu n v n đư đ c p t i n i dung c th sau đơy: M t s khái ni m c b n v lý thuy t s nh : chia hai s nguyên, s nguyên t vƠ h p s , s nguyên, thu t toán c s vƠ ph n d c a phép c chung l n nh t c a hai hay nhi u -clít tìm c chung l n nh t Khái ni m v đ ng d vƠ bƠi toán tìm nghi m nguyên c a ph ng trình i-ô-ph ng n tính c a hai hay nhi u bi n s , u ki n t n t i nghi m nguyên c a ph ng trình Nghi m nguyên riêng vƠ nghi m nguyên t ng quát c a ph ng trình n tính v i h s nguyên c a hai hay nhi u bi n s Hai thu t toán tìm nghi m nguyên riêng vƠ nghi m nguyên t ng quát c a ph ng trình n tính vƠ ch ng minh tính đ n c a thu t toán gi i, v i ví d s minh h a cho thu t toán BƠi toán tìm nghi m nguyên c a h ph nguyên vƠ hai thu t toán gi i h ph ng trình n tính v i h s ng trình n tính, ch ng minh tính đ n c a thu t toán gi i, v i ng d ng c a bƠi toán đ nguyên d ng c a h ph c xét Tìm nghi m ng trình n tính v i h s nguyên 48 Thang Long University Libraty TẨI LI U THAM KH O [1] Adamchik V (2005), "Integer Divisibility", 21-127: Concepts of Mathematics, Lecture [2] Smarandache F (1995), "Integer Algorithms to Solve Diophantine Linear Equations and Systems", in the book “Collected Papers”, Vol 1, by F Smarandache, , Bucharest, pp 99-177, 1995 [3] Davis T (2006), "Introduction to Diophantine Equations", tomrdavis@earthlink.net: http://www.geometer.org/mathcircles, Sept 7, 2006 [4] A Schrijver A (1986), Theory of Linear and Integer Programming John Wiley & Son, New York 49 [...]... nghi m t ng quát c a ph ng trình đó đ ng trình tuy n tính ng trình B c 6 A) mƠ c cho b i thu t toán (theo B đ 2.4 vƠ c ch ng minh xong 2.3 THU T TOÁN S ฀ D NG PHÉP NG D M c nƠy trình bƠy m t thu t toán khác tìm nghi m nguyên c a ph ng trình tuy n tính v i các h s nguyên, d a trên phép tính đ ng d Ch ng minh tính đúng đ n c a thu t toán vƠ nêu ví d minh h a Xét ph ng trình tuy n tính: a1x1 + a2x2 + +... ng nƠy đư nh c l i thu t toán -clit tìm nghi m nguyên riêng vƠ nghi m nguyên t ng quát c a ph ng trình tuy n tính v i các h s nguyên c a hai hay nhi u bi n s Ti p đó trình bƠy hai thu t toán khác tìm nghi m nguyên t ng quát c a ph ng trình Các thu t toán nƠy đ a ph ng trình ban đ u v các ph ng trình v i h s nh d n, cho t i khi có h s b ng  1 thì d ng Ch ng minh tính đúng đ n c a các thu t toán vƠ... N TÍNH H S ng nƠy đ c p t i h ph ng trình ng 3 ng trình tuy n tính v i các h s nguyên (h i-ô-ph ng tuy n tính) , đi u ki n c n vƠ đ đ h có nghi m nguyên vƠ hai thu t toán tìm nghi m nguyên c a h ph đ c đ xu t nghi m nguyên d ng đ ng trình Hai thu t toán nƠy đư [2] vƠ khác v i thu t toán Hecmit đư bi t M i thu t toán đ ch ng minh ch t ch vƠ đ ch NGUYÊN c minh h a b ng ví d s Cu i ch ng c a h ph ng trình. .. h i tính toán ph c t p, tuy nhiên d dƠng đ  c l p trình trên máy tính Ý t u tiên ch n gi i m t ph ng trình nƠo đó (th ng thu t toán nh sau ng lƠ ph ng trình đ n gi n), b ng cách dùng m t trong các thu t toán tìm nghi m nguyên c a m t ph trình đư bi t (N u có ph ng ng trình nƠo đó không có nghi m nguyên thì h c n gi i s không có nghi m nguyên vƠ d ng thu t toán) Nghi m nguyên t ng quát c a ph ng trình. .. z3 Ph ng trình i-ô-ph ng đ n gi n nh t lƠ ph ng trình i-ô-ph ng tuy n tính: a1x1 + a2x2 + + anxn = b (n nguyên, n  1), 11 (2.1) trong đó a1, a2, , an, b  vƠ a1, a2, , an không cùng b ng 0 Ví d ph trình tuy n tính hai bi n: ax + by = c v i a, b, c V n đ đ t ra lƠ xác đ nh xem m t ph ng ng trình tuy n tính đư cho có nghi m nguyên hay không? N u có thì tìm t t c các nghi m nguyên c a ph ng trình? ... Long University Libraty Ch GI I PH Ch ng 2 NG TRỊNH TUY N TÍNH H S NGUYÊN ng nƠy đ c p t i khái ni m nghi m nguyên riêng vƠ nghi m nguyên t ng quát c a ph ng trình tuy n tính v i các h s nguyên c a hai hay nhi u bi n s Ti p đó trình bƠy hai thu t toán, khác v i thu t toán nguyên t ng quát c a ph -clit đư bi t, tìm nghi m ng trình vƠ ch ng minh tính đúng đ n c a các thu t toán, cùng v i các ví d s minh... do (*) c ng ng trình i-ô-ph ng tuy n tính k bi n) vƠ ta hoƠn thƠnh ch ng minh đ nh lý theo quy n p Tóm l i, ch ng nƠy đư trình bƠy l i m t s khái ni m c b n c a lý thuy t s : c s vƠ ph n d , s nguyên t vƠ h p s , đ ng d vƠ bƠi toán tìm nghi m nguyên c a ph đi u ki n t n t i nghi m nguyên c a ph c chung l n nh t, thu t toán ng trình -clit, i-ô-ph ng tuy n tính vƠ ng trình i-ô-ph ng tuy n tính 14 Thang... i, nghi m t ng quát c a ph ng trình đư cho ph thu c hai tham s nguyên n vƠ p (ho c s vƠ m) nh đư nêu trên 2.2 THU T TOÁN GI M D N H S Thu t toán nh m xác đ nh xem ph ng trình tuy n tính v i h s nguyên có nghi m nguyên hay không, n u có thì đ a ra nghi m t ng quát c a ph 17 ng trình u vƠo: Ph  ng trình tuy n tính a1x1 + + anxn = b v i ai, b  , xi lƠ n s nguyên c n tìm, i = 1, , n, vƠ ít nh t m... c tính nghi m nguyên t ng quát đư bi t, d a trên c chung l n nh t V i ph nh lỦ 2.2 Cho a, b  nguyên khi và ch khi d là và d = (a, b) Ph ng trình hai bi n ta có: ng trình ax + by = c có nghi m c c a c N u d | c thì ph ng trình có vô s nghi m nguyên H n n a, n u x = x0, y = y0 là m t nghi m nguyên riêng c a ph thì nghi m t ng quát c a ph x = x0 + ng trình có d ng b a ×k và y = y0 - ×k v i k  d d tìm. .. Cho bi t ph  ng trình có nghi m nguyên hay không N u ph trình có nghi m nguyên thì cho ra nghi m t ng quát c a ph Thu t toán g m 9 b ng trình c nh sau: B c 1 Tính d = (a1, , an) - B c 2 N u d | b (d lƠ c chung l n nh t c a a1, , an c c a b hay b chia h t cho d) thì "ph nghi m nguyên" : Chuy n t i B "ph ng c 3 N u d ng trình có b (b không chia h t cho d) thì ng trình không có nghi m nguyên" : D ng thu