Sự suy giảm trong l2 của nghiệm yếu cho phương trình navier stokes

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ——————–o0o——————– HOÀNG THÀNH SỰ SUY GIẢM TRONG L2 CỦA NGHIỆM YẾU CHO PHƯƠNG TRÌNH NAVIER-STOKES LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC THÁI NGUYÊN - 2020 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ——————–o0o——————– HOÀNG THÀNH SỰ SUY GIẢM TRONG L2 CỦA NGHIỆM YẾU CHO PHƯƠNG TRÌNH NAVIER-STOKES Chuyên ngành: Giải Tích Mã số: 46 01 02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học TS Đào Quang Khải THÁI NGUYÊN - 2020 Lời cam đoan Tơi xin cam đoan cơng trình nghiên cứu khoa học độc lập riêng thân hướng dẫn khoa học TS Đào Quang Khải Các nội dung nghiên cứu, kết luận văn trung thực chưa công bố hình thức trước Ngồi ra, luận văn tơi có sử dụng số kết tác giả khác có trích dẫn thích nguồn gốc Nếu phát gian lận xin chịu trách nhiệm nội dung luận văn Thái Nguyên, ngày 15 tháng 09 năm 2020 Tác giả Hoàng Thành Xác nhận khoa chuyên môn Xác nhận người hướng dẫn TS Đào Quang Khải i Lời cảm ơn Trong trình học tập nghiên cứu để hoàn thành luận văn tơi nhận giúp đỡ nhiệt tình người hướng dẫn, TS Đào Quang Khải Tôi muốn gửi lời cảm ơn mơn Giải tích, Khoa Tốn, tạo điều kiện thuận lợi, hướng dẫn, phản biện để tơi hồn thành tốt luận văn Do thời gian có hạn, thân tác giả cịn hạn chế nên luận văn có thiếu sót Tác giả mong muốn nhận ý kiến phản hồi, đóng góp xây dựng thầy cô, bạn Tôi xin chân thành cảm ơn! Thái Nguyên, ngày 15 tháng 09 năm 2020 Tác giả Hoàng Thành ii Mục lục Lời cam đoan i Lời cảm ơn ii Mục lục iv Lời mở đầu 1 Kiến thức chuẩn bị 1.1 Không gian hàm hàm suy rộng 1.1.1 Một số ký hiệu 1.1.2 không gian hàm D(Ω) không gian hàm suy rộng D (Ω) 1.1.3 Không gian hàm E(Ω) không gian hàm suy rộng có giá compact E (Ω) 1.1.4 Không gian hàm giảm nhanh S(Rn ) không gian hàm tăng chậm S (Rn ) 10 1.2 Tích chập 13 1.2.1 Tích chập hàm Lp (Rn ), ≤ p ≤ ∞ 13 1.2.2 Tích chập hàm suy rộng hàm 14 1.3 Phép biến đổi Fourier S(Rn ) S (Rn ) 14 1.4 Không gian Sobolev 17 1.4.1 Không gian Sobolev cấp nguyên không âm 17 1.4.2 Không gian Sobolev cấp thực 18 1.4.3 Không gian Sobolev 19 iii 1.5 Một số khái niệm phương trình Navier-Stokes 20 1.5.1 Phương trình Navier-Stokes 20 1.5.2 Nghiệm yếu phương trình Navier-Stokes 22 1.5.3 Nghiệm mềm 25 Sự suy giảm L2 theo thời gian nghiệm yếu cho phương trình Navier-Stokes 27 2.1 Giới thiệu 27 2.2 Những lập luận hình thức 29 2.3 Sự suy giảm Nghiệm Leray-Hopf 36 Kết luận 46 Tài liệu tham khảo 48 iv Lời mở đầu Lý chọn đề tài Việc nghiên cứu phương trình Navier-Stokes quan trọng phương trình học chất lỏng dùng để mơ tả chuyển động chất lỏng chất khí Chúng sử dụng để nghiên cứu thời tiết, thiết kế hình dáng động học máy bay, tơ, nghiên cứu chuyển động máu, phân tích nhiễm, dự báo thời tiết, dòng chảy đại dương nhiều vấn đề khoa học khác Phương trình Navier-Stokes nhận quan tâm lớn mặt tốn học t, chúng có vai trị đặc biệt quan trọng phát triển lý thuyết phương trình đạo hàm riêng đại Mặc dù lý thuyết phương trình đạo hàm riêng trải qua phát triển to lớn kỷ 20 số vấn đề phương trình Navier-Stokes chưa giải quyết, tồn nghiệm dáng điệu nghiệm Cụ thể cho giá trị thời điểm ban đầu trơn phương trình Navier-Stokes có tiếp tục trơn theo tất thời gian sau không, câu hỏi nêu vào năm 1934 J Leray chưa có câu trả lời khẳng định phủ định Tính nghiệm yếu tốn vấn cịn câu hỏi mở Nội dung đề tài Mục đích đề tài nghiên cứu dáng điệu nghiệm tốn Cauchy cho phương trình Navier-Stokes khơng nén không gian ba chiều     ut = ∆u − u · ∇u − ∇p + f ∇·u=0    u(x, 0) = u (x) f giả thiết tiến tới t → ∞ Luận văn trình bày vài kết nghiên cứu suy giảm nghiệm yếu Leray-Hopf L2 theo thời gian thời gian tiến vô cùng, dựa báo Maria Elena Schonbek [2] Luận văn gồm lời mở đầu, hai chương, kết luận tài liệu tham khảo Cụ thể là: Chương 1: Kiến thức chuẩn bị Chương 2: Sự suy giảm L2 nghiệm yếu cho phương trình Navier-Stokes Chương Kiến thức chuẩn bị Các mục 1.1, 1.2 1.3 chương chúng tơi tham khảo tài liệu [1], cịn mục 1.4 1.5 tham khảo tài liệu [3] [5] 1.1 Không gian hàm hàm suy rộng 1.1.1 Một số ký hiệu Cho Ω tập mở Rn ta định nghĩa sau: C k (Ω) = {u : Ω → C|u khả vi liên tục đến cấp k}, C0k (Ω) = {u ∈ C k (Ω)| supp u tập compact}, k ∞ ∞ k C ∞ (Ω) = ∩∞ k=1 C (Ω), C0 (Ω) = ∩k=1 C0 (Ω), supp u = {x ∈ Ω|u(x) = 0} Ký hiệu: Lp (Ω) = {u : Ω → C|u đo được, Ω |u(x)|p dx < ∞} với ≤ p < ∞ L∞ (Ω) = {u : Ω → C|ess sup |u(x)| < ∞} x∈Ω ess sup |u(x)| = inf{K > |{x ∈ Ω||u(x)| > K}| = 0} Ký hiệu Lploc (Ω) = {u : Ω → C u ∈ Lp (K) với tập compact K ⊆ Ω} ≤ p < ∞ F(ui uj ) ∈ L∞ nên ta có |ˆ p| ≤ C (2.17) Kết hợp (2.15) (2.17) ta có |G(ξ, t)| C|ξ|, ta có điều phải chứng minh Bây ta phân tích trường hợp f = Định lý 2.3 Cho u : Rn × R+ → Rn , p : Rn × R+ → R, hàm trơn với u triệt tiêu vô cùng, cho u p thỏa mãn:     ut + u · ∇u − ∆u + ∇p = f     (2.18) ∇·u=0        u(x, 0) = u0 (x), x ∈ Rn Nếu u0 ∈ L1 (Rn ) ∩ L2 (Rn ), f ∈ L∞ ((0, ∞), W −1,1 (Rn )), ∇ · f = f (·, ) ≤ K(t + 1)−n/2 u(·, t) 2 ≤ C(t + 1)−n/2+1 C phụ thuộc vào n, K chuẩn u0 L1 L2 Chứng minh Đánh giá lượng (2.6) thay bằng: d dt |u|2 dx = −2 Rn |∇u|2 dx + Rn u · f dx (2.19) Rn Tích phân phương trình (2.19) theo thời gian ta được: t |u|2 dx + t |∇u|2 dxds = Rn |u0 |2 dx + Rn 34 u · f dxds Rn (2.20) Đầu tiên ta u(·, t) ∈ L2 (R3 ) Ta dùng bất đẳng thức Schwarz giả thiết f để đánh giá tích phân cuối (2.20): t t u · f dxds ≤ Rn f (·, s) (2.21) u(·, s) ds Đặt α(T ) = sup u(·, t) 0≤t≤T Kết hợp (2.20) (2.21) suy ra: T f (·, s) ds ≤ C + α(T )K(T + 1)−n/2+1 α(T )2 ≤ C + α(T ) Do α(t) ≤ C, (2.22) C phụ thuộc vào K chuẩn u0 L2 Tiếp tục lặp lại tương tự cách chứng minh Định lý 2.2 cho ta bất đẳng thức giống với (2.8) d dt |ˆ u|2 dξ + n t+1 Rn |ˆ u|2 dξ ≤ n t+1 Rn |ˆ u|2 dξ + S(t) u.f dx, Rn S(t) giống Định lý 2.2 Dùng đánh giá (2.22) giả thiết f cho ta d dt |ˆ u|2 dξ + Rn n t+1 |ˆ u|2 dξ ≤ n t+1 Rn |ˆ u|2 dξ + C(t + 1)−n/2 S(t) Để tiếp tục, giống với Định lý 2.2 cần phải đánh giá bổ trợ |ˆ u(ξ, t)| ≤ C|ξ|−1 cho ξ ∈ S Nhớ lại cách chứng minh đánh giá này, giống trường hợp f = 0, ta cần chứng minh: |fˆ(ξ, t)| ≤ |ξ|C 35 Đánh giá cuối hệ f ∈ L∞ ((0, ∞), W −1,1 (Rn )) Sự suy giảm L2 nghiệm phương trình (2.18) đưa theo lập luận cách chứng minh Định lý 2.2 Tốc độ suy giảm sau đạt cho nghiệm (2.18) với u ∈ L1 (Rn ), n ≥ Hệ 2.4 Cho u0 , u, p giống Định lý 2.2 Cho f thỏa mãn ∇ · f = 0, f ∈ L∞ ((0, ∞), W −1,1 (Rn )), f (·, t) u(·, t) ≤ K1 (t + 1)−(n/2+1) Nếu thêm điều kiện: ≤ K2 , ta có u(·, t) ≤ C(t + 1)−n/2 , C phụ thuộc vào K1 , K2 chuẩn u0 L1 L2 Chứng minh Lặp lại cách chứng minh Định lý 2.3 với đánh giá |ˆ u(ξ, t)| ≤ K2 2.3 Sự suy giảm Nghiệm Leray-Hopf Ta thiết lập suy giảm L2 nghiệm Leray-Hopf cho phương trình Navier-Stokes ba chiều     ut + u · ∇u − ∆u + ∇p = f ∇·u=0 (2.23)    u(x, 0) = u (x), f = (f , f , f ) thỏa mãn điều kiện suy giảm thích hợp để xác định cụ thể 36 Chúng ta dùng kí hiệu H01 (R3 ) =H01 = bao đóng C0∞ (R3 ) chuẩn ( ∫ |∇u|2 dx)1/2 , R3 H −1 = không gian đối ngẫu H01 , V = C0∞ (R3 ) ∩ {u : ∇ · u = 0}, H = bao đóng V L2 (R3 ), V = bao đóng V H01 (R3 ), V = không gian đối ngẫu V Đầu tiên, xét trường hợp f = Định lý 2.5 Cho u0 ∈ H ∩ L1 (R3 ) Tồn nghiệm Leray- Hopf phương trình Navier-Stokes ba chiều (2.23) với f = giá trị ban đầu u0 cho u(·, t) ≤ C(t + 1)−1/2 , với số tốc độ C phụ thuộc vào chuẩn liệu ban đầu u0 L1 L2 Ta thấy tốc độ suy giảm giống Định lý 2.2 với n = Để chứng minh Định lý 2.5 ta lập luận hình thức chuyển sang nghiệm xấp xỉ uN Ta chứng minh uN hội tụ mạnh L2 (R3 × [0, T ]), T > 0, tới nghiệm Leray-Hopf phương trình Navier-Stokes ba chiều (2.23) Do suy giảm L2 uN kéo theo suy giảm L2 nghiệm yếu (2.23) Giả sử lực f triệt tiêu thiết lập suy giảm cho nghiệm xấp xỉ uN Định lý 2.6 Giả sử u0 ∈ H ∩ L1 (R3 ) Cho uN pn thỏa mãn d uN + ψδ (uN ) · ∇uN − ∆uN + ∇pN = 0, dt ψδ (u) hàm điều chỉnh làm trễ mơ tả sau Ta có: uN (·, t) ≤ C(t + 1)−1/2 , 37 số C phụ thuộc vào chuẩn liệu ban đầu L1 L2 Bổ đề 2.7 Giả sử f ∈ L2 (0; T ; V ), u ∈ L2 (0; T ; V ), p hàm suy rộng ut − ∆u + ∇p = f (2.24) theo nghĩa suy rộng D = R3 × (0, T ) Khi đó: ut ∈ L2 (0; T ; V ) d ∫ |u|2 dx = ∫ (ut , u) dt R3 R3 theo nghĩa suy rộng, u ∈ C([0; T ], H), sau thay đổi tập hợp có độ đo khơng Nghiệm phương trình (2.24) L2 (0; T ; V ) với liệu ban đầu cho H Bổ đề 2.8 Giả sử f ∈ L2 (0; T ; V ), u0 ∈ H , w ∈ C ∞ (R3 ) ∇ · w = Thì có hàm u hàm suy rộng p thỏa mãn u ∈ C([0; T ], H) ∩ L2 (0; T ; V ), ut + w · ∇u − ∆u + ∇p = f, theo nghĩa suy rộng D, u(0) = u0 Hệ 2.9 Theo giả thiết Bổ đề 2.8 ta có w · ∇u ∈ L2 (0; T ; V ) ut ∈ L2 (0; T ; V ) 38 Hiệu chỉnh ψδ (u) thiết lập dựa vào hàm ψ(x, t) ∈ C ∞ thỏa mãn ψ ≥ 0, ∫ ∫ ψdxdt = 1, sup ψ ⊂ {(x, t) : |x|2 < t, < t < 2} Nếu u ∈ L2 (0; T ; V ) đặt u˜(x, t) = u(x, t) t ∈ R3 × R+ với trường hợp khác (2.25) ta định nghĩa ψδ (u)(x, t) = δ −4 ∫ ∫ ψ(y/δ, t/δ)u(x − y, t − τ )dydτ với δ = T /N Giá trị ψδ (u) thời điểm t phụ thuộc giá trị u thời điểm z ∈ (t − 2δ, t − δ) Bổ đề 2.10 Với ∀u ∈ L∞ (0; T ; H) ∩ L2 (0; T ; V ) ta có ∇ · ψδ (u) = 0, |ψδ (u)|2 (x, t)dx ≤ Cess sup sup 0≤t≤T |u|2 dx, 0 0, tới nghiệm Leray-Hopf phương trình Navier- Stokes ba chiều (2.23) Do suy giảm L2 uN kéo theo suy giảm L2 nghiệm yếu. .. u(·, t) L2 (Rn ) ≤ C(t + 1)−n/2 , với ∀n ≥ Do uN hội tụ đủ mạnh L2 (R3 × [0, T ]) với ∀T > tới nghiệm LerayHopf phương trình Navier- Stokes (2.1), suy giảm L2 hàm uN kéo theo suy giảm L2 nghiệm