Một số bài toán điều khiển tối ưu đối với hệ phương trình navier stokes voigt (tt)

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI TRẦN MINH NGUYỆT MỘT SỐ BÀI TOÁN ĐIỀU KHIỂN TỐI ƯU ĐỐI VỚI HỆ PHƯƠNG TRÌNH NAVIER-STOKES-VOIGT TĨM TẮT LUẬN ÁN TIẾN SĨ TỐN HỌC Chun ngành: Mã số: Phương trình vi phân tích phân 46 01 03 HÀ NỘI, 2019 Cơng trình hồn thành Trường Đại học Sư phạm Hà Nội Người hướng dẫn khoa học: GS TS Cung Thế Anh Phản biện 1: GS TSKH Vũ Ngọc Phát Viện Toán học Phản biện 2: PGS TS Nguyễn Sinh Bảy Trường ĐH Thương Mại Phản biện 3: PGS TS Trần Đình Kế Trường ĐHSP Hà Nội Luận án bảo vệ Hội đồng chấm luận án tiến sĩ cấp Trường họp Trường Đại học Sư phạm Hà Nội vào hồi ngày tháng năm Có thể tìm hiểu luận án tại: - Thư viện Quốc gia Việt Nam; - Thư viện Trường Đại học Sư phạm Hà Nội MỞ ĐẦU Lịch sử vấn đề lí chọn đề tài Hệ phương trình Navier-Stokes-Voigt mơ tả chuyển động chất lỏng nhớt lí tưởng đàn hồi, giới thiệu lần đầu Oskolkov vào năm 1973 Năm 2006, hệ Navier-Stokes-Voigt Cao, Lunasin Titi đề xuất sử dụng xấp xỉ tốt cho hệ Navier-Stokes ba chiều cho mục đích mơ số trực tiếp Thực tế, hệ Navier-Stokes-Voigt thuộc vào lớp α-mơ hình học chất lỏng, tức biến dạng hệ Navier-Stokes cổ điển tùy theo điều kiện vật lí mục đích sử dụng (xem Holst, Lunasin Tsogtgerel (2010)) Một ưu điểm hệ Navier-Stokes-Voigt so với α-mô hình khác học chất lỏng khơng cần bổ sung thêm điều kiện biên (ngoài điều kiện biên Dirichlet) để đảm bảo tính đặt toán Trong năm qua, tồn nghiệm dáng điệu tiệm cận nghiệm thời gian vơ hệ phương trình Navier-Stokes-Voigt thu hút quan tâm nhiều nhà toán học Trong miền bị chặn miền không bị chặn thỏa mãn bất đẳng thức Poincaré, có nhiều kết tồn nghiệm dáng điệu tiệm cận nghiệm thời gian vô thông qua tồn tính chất tập hút, xem chẳng hạn V.K Kalantarov E.S Titi (2009), G Yue C.K Zhong (2011), J García-Luengo, P Marín-Rubio J Real (2012), Y Qin, X Yang X Liu (2012), C.T Anh P.T Trang (2013), M Conti Zalati C.G Gal (2015), P.D Damázio, P Manholi A.L Silvestre (2016) Trong trường hợp miền xét phương trình khơng gian, tồn đánh giá độ suy giảm nghiệm thời gian vô nghiên cứu cơng trình C Zhao H Zhu (2015), C.T Anh P.T Trang (2016), C.J Niche (2016) Lý thuyết điều khiển tối ưu phát triển nhanh chóng vài thập kỷ qua trở thành lĩnh vực quan trọng độc lập toán học ứng dụng Bài toán điều khiển tối ưu cho phương trình/hệ phương trình vi phân thường quan tâm nghiên cứu có nhiều ứng dụng lĩnh vực hàng khơng, khoa học vũ trụ, tự động hóa hay vấn đề điều khiển q trình hóa học Tuy nhiên, nhiều tình huống, đối tượng tốn điều khiển tối ưu khơng mơ hình hóa phương trình hệ phương trình vi phân thường, thay vào phương trình/hệ phương trình đạo hàm riêng sử dụng Chẳng hạn, trình truyền nhiệt, khuếch tán, sóng điện từ, dòng chảy chất lỏng, mơ hình hóa phương trình/hệ phương trình đạo hàm riêng Đặc biệt, toán điều khiển tối ưu hệ phương trình đạo hàm riêng học chất lỏng bắt đầu nghiên cứu từ năm 1980 Fursikov ông thiết lập số định lý tồn nghiệm tối ưu cho vài toán điều khiển tối ưu hệ phương trình Navier-Stokes Một số mục tiêu quan trọng lý thuyết điều khiển tối ưu đạt điều kiện cần tối ưu (và điều kiện đủ có thể) Kể từ cơng trình tiên phong Abergel Temam năm 1990, lần điều kiện tối ưu cho toán điều khiển tối ưu học chất lỏng thiết lập, vấn đề nghiên cứu sâu rộng nhiều tác giả theo nhiều hướng khác điều khiển tối ưu miền, điều khiển tối ưu thời gian, điều khiển tối ưu biên điều khiển thưa Chúng xin điểm qua số kết điều kiện tối ưu toán điều khiển tối ưu hệ phương trình Navier-Stokes, hệ phương trình quan trọng học chất lỏng Đối với toán điều khiển tối ưu miền, vấn đề nghiên cứu H.O Fattorini S Sritharan (1994), M D Gunzburger S Manservisi (1999), M Hinze v K Kunisch (2001), F Trăoltzsch D Wachsmuth (2006) Các cơng trình nghiên cứu tình khơng có ràng buộc lên trạng thái Trong trường hợp có ràng buộc lên trạng thái, toán nghiên cứu G Wang (2002) Liu (2010) Bài toán điều khiển tối ưu thời gian cho hệ phương trình Navier-Stokes nghiên cứu Barbu (1997) E Fernandez-Cara (2012) Bài toán điều khiển tối ưu biên xét nhiều tác giả, chẳng hạn M.D Gunzburger, L.S Hou Th.P Svobodny (1991), J.C De Los Reyes K Kunisch (2005), C John D Wachsmuth (2009), M Holst, E Lunasin G Tsogtgerel (2010) hệ dừng, M Berggren (1998), A.V Fursikov, M.D Gunzburger L.S Hou (1998, 2005), M.D Gunzburger S Manservisi (2000), M Hinze K Kunisch (2004), M Colin P Fabrie (2010) hệ không dừng Chúng ta xem thêm cơng trình điều khiển tối ưu hệ Navier-Stokes luận án tiến sỹ khoa học M Hinze (2002), luận án tiến sỹ M Sandro (1997), D Wachsmuth (2006) tài liệu tham khảo Như mơ tả bên trên, tồn nghiệm dáng điệu tiệm cận nghiệm thời gian vơ hệ phương trình Navier-Stokes-Voigt toán điều kiển tối ưu học chất lỏng quan tâm nghiên cứu nhiều nhà toán học Tuy nhiên, theo hiểu biết chúng tơi, tốn điều khiển tối ưu hệ Navier-Stokes-Voigt chưa quan tâm nghiên cứu Vì chúng tơi lựa chọn đề tài nghiên cứu "Một số toán điều khiển tối ưu hệ phương trình Navier-Stokes-Voigt" cho luận án tiến sĩ Do ý nghĩa vật lí ý nghĩa thực tiễn, người ta xét lớp hệ trường hợp ba chiều hai chiều Luận án trình bày tường minh kết số toán điều khiển tối ưu hệ trường hợp ba chiều (là trường hợp có ý nghĩa vật lí nhất) Tuy nhiên, tất kết luận án trường hợp hai chiều (với phát biểu kết chứng minh tương ứng giống hệt trường hợp ba chiều) Cụ thể nghiên cứu vấn đề sau: (P1) Bài toán điều khiển tối ưu miền hệ phương trình Navier-Stokes-Voigt khơng dừng khơng gian ba chiều, phiếm hàm mục tiêu có dạng tồn phương điều khiển thuộc vào tập lồi, đóng, khác rỗng bất kì, (P2) Bài tốn điều khiển tối ưu thời gian hệ phương trình Navier-Stokes-Voigt khơng dừng khơng gian ba chiều, tập điều khiến chấp nhận tập lồi, đóng, khác rỗng bất kì, (P3) Bài tốn điều khiển tối ưu biên hệ phương trình Navier-Stokes-Voigt khơng dừng khơng gian ba chiều, phiếm hàm mục tiêu có dạng tồn phương biến điều khiển phải thỏa mãn số điều kiện tương thích Mục đích nghiên cứu Mục đích nghiên cứu luận án chứng minh tồn nghiệm tối ưu đưa điều kiện cần đủ tối ưu cho toán (P1), (P2), (P3), cụ thể là: (i) Chỉ tồn nghiệm tối ưu, thiết lập điều kiện cần tối ưu cấp điều kiện đủ tối ưu cấp hai cho toán (P1) (ii) Chứng minh tồn nghiệm tối ưu, thiết lập điều kiện cần tối ưu cấp điều kiện đủ tối ưu cấp hai cho toán (P2) (iii) Chứng minh tồn nghiệm tối ưu, thiết lập điều kiện cần tối ưu cấp một, điều kiện cần tối ưu cấp hai điều kiện đủ tối ưu cấp hai cho toán (P3) Cấu trúc kết luận án Luận án gồm bốn chương danh mục tài liệu tham khảo Chương trình bày số khái niệm kết khơng gian Sobolev phương trình đạo hàm riêng liên quan đến hệ Navier-Stokes-Voigt số kết phụ Chương trình bày kết tốn điều khiển tối ưu miền Chương trình bày kết toán điều khiển tối ưu thời gian Chương trình bày kết toán điều khiển tối ưu biên Các chương 2, viết dựa báo [CT1], [CT2] Danh mục cơng trình khoa học liên quan đến luận án đăng tạp chí Numerical Functional Analysis and Optimization Applied Mathematics and Optimization Kết Chương nội dung công trình [CT3] Danh mục cơng trình gửi đăng Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ VÀ MỘT SỐ KẾT QUẢ PHỤ Trong chương này, nhắc lại số khái niệm kết không gian hàm, phép nhúng, toán tử, hệ Navier-Stokes-Voigt số kết phụ hệ tuyến tính hóa Các khơng gian hàm • Lp không gian Sobolev: Lp (Ω), W m,p (Ω), H m (Ω) (m ∈ N), H s (Ω), H s (Γ) (s ∈ R, s ≥ 0) • Không gian hàm trừu tượng: Lp (0, T ; X), ≤ p ≤ ∞, W 1,p (0, T ; X) Một số bất đẳng thức: Bất ng thc Hăolder, Bt ng thc Poincarộ, Bt ng thc Gronwall, Bất đẳng thức Young với Các phép nhúng liên tục compact: Định lý Rellich-Kondrachov, phép nhúng không gian hàm trừu tượng Các tốn tử: Dạng tam tuyến tính, tốn tử grad, số tốn tử tuyến tính liên tục song tuyến tính cần dùng Sự tồn nghiệm hệ Navier-Stokes-Voigt không dừng không gian ba chiều Một vài kết phụ hệ tuyến tính hóa: định nghĩa nghiệm yếu số tính chất nghiệm yếu Một số khái niệm Giải tích lồi: nón tiếp tuyến nón pháp tuyến tập lồi không gian Hilbert Chương BÀI TOÁN ĐIỀU KHIỂN TỐI ƯU TRONG MIỀN Trong chương này, chúng tơi nghiên cứu tốn điều khiển tối ưu với phiếm hàm mục tiêu dạng toàn phương hệ Navier-Stokes-Voigt ba chiều miền bị chặn, biến điều khiển đóng vai trò ngoại lực hệ phương trình Chúng tơi tồn nghiệm tối ưu, điều kiện cần tối ưu cấp điều kiện đủ tối ưu cấp hai Nội dung chương viết dựa báo [CT1] Danh mục cơng trình khoa học liên quan đến luận án 2.1 Đặt toán Cho Ω miền bị chặn R3 với biên Lipschitz địa phương Γ T > thời điểm cuối cố định Kí hiệu Q trụ Ω × (0, T ) Trong chương này, nghiên cứu tốn cực tiểu hóa phiếm hàm mục tiêu dạng tồn phương sau J(y, u) = αT |y(x, T ) − yT (x)|2 dx + Ω αQ |y(x, t) − yQ (x, t)|2 dxdt Q + γ |u(x, t)|2 dxdt Q Ở biến trạng thái y biến điều khiển u phải thỏa mãn hệ phương trình Navier-Stokes-Voigt    yt − ν∆y − α2 ∆yt + (y · ∇)y + ∇p = u, x ∈ Ω, t > 0,        ∇·y = 0, x ∈ Ω, t > 0,          y(x, t) = 0, x ∈ Γ, t > 0, y(x, 0) = y0 (x), x ∈ Ω Giả sử • Vận tốc ban đầu y0 hàm cho trước V Trạng thái mong muốn phải thoản mãn yT ∈ V yQ ∈ L2 (Q) • Các hệ số αT , αQ số thực khơng âm, có số dương để phiếm hàm mục tiêu không tầm thường Tham số quy hóa γ đo chi phí điều khiển số dương • Tập điều khiển chấp nhận được, kí hiệu Uad , lồi, đóng, khác rỗng L2 (Q) Khi cực tiểu hóa phiếm hàm J(y, u) tức ta muốn tìm điều khiển mà thỏa mãn nhiều mục đích: trạng thái tương ứng gần với trang thái mong muốn yQ toàn khoảng thời gian (0, T ), gần với trạng thái kì vọng yT thời điểm cuối T chi phí điều khiển nhỏ (thể chỗ chuẩn u nhỏ) Ta phát biểu lại tốn điều khiển tối ưu cách xác sau: Tìm J(y, u), ràng buộc hệ phương trình yt + νAy + α2 Ayt + B(y, y) = u L2 (0, T ; V ), y(0) = y0 V, điều kiện u ∈ Uad Chúng khai thác ý tưởng phương pháp sử dụng toán điều khiển tối ưu hệ phương trình Navier-Stokes Trong tồn nghiệm tối ưu chứng minh theo phương pháp quen thuộc, chọn cách tiếp cận khác thiết lập điều kiện cần tối ưu, tính trực tiếp đạo hàm theo hướng phiếm hàm mục tiêu theo biến điều khiển thay sử dụng phương pháp nhân tử Lagrange Chúng chọn cách tiếp cận tự nhiên sử dụng ý tưởng đơn giản tìm cực trị hàm thực biến Cách tiếp cận dẫn đến dạng điều kiện tối ưu cấp hai mà không biểu diễn qua đạo hàm cấp hai hàm Lagrange thông thường, sau tính tốn hai dạng có giá trị Chúng tơi sử dụng cách tiếp cận nghiên cứu toán điều khiển tối ưu Chương Chương Để chứng minh điều kiện đủ tối ưu cấp hai, sử dụng phương pháp phản chứng giống D Wachsmuth sử dụng cho toán điều khiển tối ưu hệ Navier-Stokes không gian hai chiều Trong không gian ba chiều, tồn nghiệm yếu hệ phương trình NavierStokes-Voigt, chúng tơi khơng phải đối mặt với khó khăn mà tác giả khác gặp phải xét toán điều khiển tối ưu miền hệ phương trình Navier-Stokes Cũng lí mà tốn tối ưu chúng tơi xét có điểm tương đồng với toán điều khiển tối ưu miền hệ phương trình Navier-Stokes không gian hai chiều xét luận án tiến sĩ D Wachsmuth (2006) D Wachsmuth làm việc với tập ràng buộc dạng hình hộp chúng tơi chọn tập ràng buộc tập lồi, đóng, khác rỗng Khi tập ràng buộc có dạng hình hộp, người ta chứng minh phương nón u) ∩ C(¯ u) (xem định nghĩa u) ∩ C(¯ u) giới hạn dãy phương nón FUad (¯ TUad (¯ C(¯ u) (2.32)) Đây điểm mấu chốt để thiết lập điều kiện cần tối ưu cấp hai luận án D Wachsmuth Tuy nhiên, lựa chọn tập ràng buộc tập lồi, đóng, khác rỗng bất kì, chúng tơi khơng có cách nhận xấp xỉ tương tự điều khiển tối ưu không thuộc vào phần tập ràng buộc Do không thiết lập điều kiện cần tối ưu cấp hai Tuy nhiên, xét tập ràng buộc có dạng hình hộp sử dụng kết xấp xỉ nêu chúng tơi thu điều kiện cần tối ưu cấp hai tương tự D Wachsmuth 2.2 Sự tồn nghiệm tối ưu Trước tiên, đưa định nghĩa nghiệm toán điều khiển tối ưu Định nghĩa 2.2.1 (i) Một điều khiển u¯ ∈ Uad gọi nghiệm tối ưu toàn cục J(¯ y , u¯) ≤ J(y, u), ∀u ∈ Uad (ii) Một điều khiển u¯ ∈ Uad gọi nghiệm tối ưu địa phương tồn số ρ > cho J(¯ y , u¯) ≤ J(y, u) với u ∈ Uad với u − u¯ L2 (Q) ≤ ρ Ở đây, y¯ y tương ứng trạng thái liên kết với u¯ u Định lý sau tồn nghiệm tối ưu chứng minh phương pháp dùng cho toán điều khiển tối ưu Định lí 2.2.2 Bài tốn điều khiển tối ưu có nghiệm tối ưu tồn cục u¯ ∈ Uad với trạng thái liên kết tương ứng y¯ ∈ W 1,2 (0, T ; V ) khoảng (0, T )    zt − ν∆z − α2 ∆zt + (z · ∇)¯ y + (¯ y · ∇)z + ∇q        ∇·z          = h, x ∈ Ω, t > 0, = 0, x ∈ Ω, t > 0, z(x, t) = 0, x ∈ Γ, t > 0, z(x, 0) = 0, x ∈ Ω, C(¯ u) := h ∈ L2 (Q) : (w + γ u¯) · hdxdt = (2.32) Q Khi tồn ε > ρ > cho J(v) ≥ J(¯ v ) + ε u − u¯ với cặp v = (y, u) với u − u¯ L2 (Q) L2 (Q) (2.33) ≤ ρ Từ ta suy u¯ nghiệm tối ưu địa phương Chú ý 2.4.2 Để thiết lập điều kiện cần tối ưu cấp cần chứng minh ánh xạ điều khiển - trạng thái u → y có đạo hàm theo hướng, để thiết lập điều kiện đủ tối ưu cấp hai chúng tơi cần tính chất tốt ánh xạ này, khả vi Fréchet đến cấp hai Mặc dù không phát biểu cách rõ ràng, chứng minh tính chất chứng minh định lý Chú ý 2.4.3 Trong chương này, xét toán điều khiển tối ưu miền hệ phương trình Navier-Stokes-Voigt ba chiều trường hợp khơng có ràng buộc đặt lên trạng thái Đối với trường hợp có ràng buộc đặt lên điều khiển trạng thái điểm, toán điều khiển tối ưu tương tự nghiên cứu gần N H Sơn T M Nguyệt (2019) 10 Chương BÀI TOÁN ĐIỀU KHIỂN TỐI ƯU THỜI GIAN Trong chương này, chúng tơi nghiên cứu tốn điều khiển tối ưu cho hệ Navier-StokesVoigt không dừng không gian ba chiều miền bị chặn, thời gian cần thiết để đạt đến trạng thái mong muốn đóng vai trò cốt yếu biến điều khiển ngoại lực hệ phương trình Chúng tơi tồn nghiệm tối ưu, điều kiện cần tối ưu cấp điều kiện đủ tối ưu cấp hai Nội dung chương viết dựa báo [CT2] Danh mục công trình khoa học liên quan đến luận án 3.1 Đặt toán Cho Ω miền bị chặn R3 với biên Lipschitz địa phương Γ T > thời điểm cuối cố định Chúng xét tốn cực tiểu hóa phiếm hàm sau: γ J(u) = T ∗ (u) + u 2 W 1,2 (0,T ;L2 (Ω)3 ) , với 1/2 ∗ T (u) := inf t ∈ [0, T ] : |∇y(t) − ∇ye | dt ≤δ Ω Ở đây, ye trạng thái mong muốn đạt tới; δ, γ số dương cho trước y trạng thái liên kết với điều khiển u, tức y nghiệm yếu hệ phương trình Navier-Stokes-Voigt 11 sau khoảng (0, T )    yt − ν∆y − α2 ∆yt + (y · ∇)y + ∇p = u, x ∈ Ω, t > 0,        ∇·y = 0, x ∈ Ω, t > 0,          y(x, t) = 0, x ∈ Γ, t > 0, y(x, 0) = y0 (x), x ∈ Ω (3.2) Cực tiểu hóa J(u) đồng nghĩa với việc ta muốn cân mong muốn "tiến đến ye nhanh có thể" "sử dụng điều khiển nhỏ" Bài toán gọi toán điều khiển tối ưu thời gian cho hệ Navier-Stokes-Voigt (3.2) Bài toán điều khiển tối ưu thời gian nghiên cứu cho phương trình vi phân thường (J.P LaSalle (1960)) Sau tốn nghiên cứu cho phương trình đạo hàm riêng có nhiều kết cơng bố, xem chẳng hạn V Barbu (1993, 1997), G Wang (2004), D.K Phung, G Wang X Zhang (2007), E Fernandez-Cara (2012), S Micu (2012), K Kunisch D Wachsmuth (2013), J Zheng Y Wang (2013), K Kunisch L Wang (2013, 2016), S Micu L.E Temereanca (2014), D.K Phung, L Wang C Zhang (2014) Trong cơng trình này, tồn nghiệm tối ưu và/hoặc điều kiện cần tối ưu cấp thiết lập cho nhiều phương trình/hệ phương trình đạo hàm riêng khác Một giả thiết thường ấn định giải toán tồn điều khiển chấp nhận cho phiếm hàm mục tiêu có giá trị hữu hạn Đây vấn đề khó, trường hợp hữu hạn chiều, liên quan đến toán điều khiển với ràng buộc điều khiển Có kết điều kiện đủ tối ưu cho toán điều khiển tối ưu thời gian cho phương trình đạo hàm riêng, xem chẳng hạn H.O Fattorini (2005), G Wang E Zuazua (2012), K Kunisch L Wang (2013) Tiếp theo, chúng tơi mơ tả xác tốn điều khiển tối ưu: Cho Uad tập lồi, đóng, khác rỗng không gian W 1,2 (0, T ; L2 (Ω)) Tìm Min J(u) u∈Uad Để nghiên cứu tốn, ta giả sử: • Vận tốc ban đầu y0 trạng thái mong muốn ye hàm cho trước V ; • Hệ số γ đo chi phí điều khiển số dương; • Hằng số δ số thực dương; • y0 − ye > δ (nếu y0 − ye ≤ δ tốn trở nên tầm thường) 12 Để chứng minh tồn nghiệm tối ưu thiết lập điều kiện cần tối ưu cấp một, sử dụng cách tiếp cận E Fernandez-Cara (2012) Có khác biệt cách lựa chọn điều khiển so với tác giả Ở đây, điều khiển trơn hơn, cụ thể thuộc không gian W 1,2 (0, T ; L2 (Ω)) thay L2 (0, T ; L2 (Ω)) cơng trình E Fernandez-Cara Có hai lý cho lựa chọn chúng tơi Thứ nhất, lựa chọn đảm bảo trạng thái liên kết y¯ nghiệm tối ưu u¯ khả vi liên tục theo biến thời gian Chúng cần tính chất để thiết lập điều kiện tối ưu (cụ thể để tính đạo hàm T ∗ ), đồng thời giả thiết Định lý 5.6 báo E Fernandez-Cara Hai là, chúng tơi cần tính khả vi theo thời gian y¯ để thiết lập điều kiện đủ tối ưu cấp hai Có phương pháp khác dựa việc tham số hóa lại thời gian để đưa điều kiện tối ưu Theo cách này, toán điều khiển tối ưu thời gian tham số hóa lại khoảng thời gian cố định, hàm T ∗ (u) tham số hệ động lực (xem K Kunisch, K Pieper A Rund (2016)) Để chứng minh điều kiện đủ tối ưu cấp hai (Định lý 3.4.1 đây), sử dụng phương pháp phản chứng sử dụng Chương 3.2 Sự tồn nghiệm tối ưu Sự tồn nghiệm toán điều khiển tối ưu phát biểu định lý sau Định lí 3.2.3 Giả sử tồn điều khiển u ∈ Uad cho J(u) < +∞ Thế tốn điều khiển tối ưu thời gian có nghiệm tối ưu toàn cục Chú ý 3.2.5 (i) Giả thiết định lý đảm bảo tồn điều khiển chấp ¯ e , δ) khoảng nhận để chuyển từ trạng thái ban đầu y0 đến hình cầu B(y thời gian hữu hạn Như nói trên, có tồn điều khiển hay không câu hỏi mở (ii) Chứng minh định lý dựa kĩ thuật cổ điển tương tự chứng minh Định lý 2.2.2 Điểm đáng lưu ý chứng minh việc kiểm tra tính chất nửa liên tục yếu theo dãy hàm T ∗ 3.3 Điều kiện cần tối ưu cấp Giả sử điều kiện Định lý 3.2.3 thỏa mãn giả sử u¯ nghiệm u) Thêm toán điều khiển tối ưu xét Kí hiệu y¯ trạng thái liên kết với u¯ Đặt T = T ∗ (¯ 13 nữa, ta giả sử < T < T, y¯(T ) − ye , y¯t (T ) (3.6) < y¯(T ) − ye , y¯t (T ) Chú ý 3.3.2 Nếu u¯ nghiệm tối ưu (3.7) ≤ Ở điều kiện (3.7), ta giả sử bất đẳng thức ngặt Xét hệ phương trình liên hợp sau    −wt − ν∆w + α2 ∆wt − (¯ y · ∇)w + (∇¯ y )T w + ∇p = 0, x ∈ Ω, t > 0,        ∇·w = 0, x ∈ Ω, t > 0, (3.8) = 0, x ∈ Γ, t > 0, w(x, t)          w(T ) − α2 ∆w(T ) + ∇q = −∆w0 , w0 ∈ V xác định w0 = − T (¯ y (T ) − ye ) ((¯ yt (T ), y¯(T ) − ye )) Với trợ giúp trạng thái liên hợp w, ta phát biểu điều kiện cần tối ưu cấp (điều kiện (3.11)) Định lí 3.3.4 Giả sử u¯, y¯, T xác định Ngoài ta giả sử giả thiết Định lý 3.2.3 điều kiện (3.6), (3.7) thỏa mãn Khi hệ phương trình (3.8) có nghiệm yếu w Hơn nữa, ta có T (w(t), m(t))dt + γ(¯ u, m)W 1,2 (0,T ;L2 (Ω)) ≥ 0, ∀m ∈ TUad (¯ u) (3.11) Điều kiện (3.11) gọi điều kiện cần tối ưu cấp Đặc biệt, ta có bất đẳng thức biến phân sau T (w(t), v(t) − u¯(t))dt + γ(¯ u, v − u¯)W 1,2 (0,T ;L2 (Ω)) ≥ 0, ∀v ∈ Uad 3.4 Điều kiện đủ tối ưu cấp hai Giả sử u¯ điều khiển chấp nhận y¯ trạng thái liên kết u¯ Đặt T = T ∗ (¯ u) Kí hiệu w trạng thái liên hợp, tức w ∈ W 1,2 (0, T ; V ) nghiệm yếu hệ (3.8) Đặt T C(¯ u) := m ∈ W 1,2 (0, T ; L (Ω)) : (w(t), m(t))dt + γ(¯ u, m)W 1,2 (0,T ;L2 (Ω)) = 14 Giả sử m ∈ W 1,2 (0, T ; L2 (Ω)) Kí hiệu z nghiệm yếu hệ phương trình tuyến tính hóa    zt − ν∆z − α2 ∆zt + (z · ∇)¯ y + (¯ y · ∇)z + ∇q        ∇·z          = m, x ∈ Ω, t > 0, = 0, x ∈ Ω, t > 0, z(x, t) = 0, x ∈ Γ, t > 0, z(x, 0) = 0, x ∈ Ω Đặt S(m) = − y¯tt (T )S (m) + zt (T )S(m), y¯(T ) − ye ((¯ yt (T ), y¯(T ) − ye )) Σ(m) = − − ((z(T ), y¯(T ) − ye )) , ((¯ yt (T ), y¯(T ) − ye )) T T b(z(t), z(t), w(t))dt − y¯t (T )S(m) + z(T ) 2((¯ yt (T ), y¯(T ) − ye )) Định lý đưa điều kiện đủ tối ưu cho toán điều khiển tối ưu xét Hơn nữa, chúng tơi chứng minh điều kiện kéo theo tăng trưởng bậc hai theo chuẩn W 1,2 phiếm hàm mục tiêu W 1,2 -lân cận nghiệm tối ưu (xem (3.32)) Định lí 3.4.1 Giả sử T ∈ (0, T ), ((¯ yt (T ), y¯(T ) − ye )) < 0, ánh xạ t → y¯(t) khả vi Fréchet đến cấp hai T Ta giả sử thêm hai điều kiện sau thỏa mãn: (i) Điều kiện cần tối ưu cấp một: T (w(t), m(t))dt + γ(¯ u, m)W 1,2 (0,T ;L2 (Ω)) ≥ 0, u); ∀m ∈ TUad (¯ (ii) Bất đẳng thức S (m) + 2T Σ(m) + γ m W 1,2 (0,T ;L2 (Ω)) > 0, (3.31) với m ∈ TUad (¯ u) ∩ C(¯ u) \{0} Khi đó, tồn ε > ρ > cho bất đẳng thức J(u) ≥ J(¯ u) + ε u − u¯ với u ∈ Uad thỏa mãn u − u¯ W 1,2 (0,T ;L2 (Ω)) W 1,2 (0,T ;L2 (Ω)) ≤ ρ Từ ta suy u¯ nghiệm tối ưu địa phương Điều kiện (ii) gọi điều kiện đủ tối ưu cấp hai 15 (3.32) Chương BÀI TOÁN ĐIỀU KHIỂN TỐI ƯU TRÊN BIÊN Trong chương này, chúng tơi nghiên cứu tốn điều khiển tối ưu biên hệ phương trình Navier-Stokes-Voigt miền bị chặn Đầu tiên, chứng minh kết tồn nghiệm hệ phương trình Navier-Stokes-Voigt với điều kiện biên Dircihlet khơng Sau đó, chúng tơi tồn nghiệm tối ưu, thiết lập điều kiện cần tối ưu cấp cấp hai, điều kiện đủ tối ưu cấp hai Các điều kiện tối ưu cấp hai xuất dạng tối ưu theo nghĩa khác biệt điều kiện cần đủ tối thiểu Nội dung chương viết dựa cơng trình gửi đăng, chưa cơng bố [CT3] Danh mục cơng trình khoa học liên quan đến luận án 4.1 Đặt toán Cho Ω miền bị chặn R3 với biên Γ thuộc lớp C Chúng nghiên cứu toán điều khiển tối ưu biên sau: (PL ) Cực tiểu hóa hàm chi phí L(g) = γ1 T |y − yd |2 dxdt + Ω γ2 |y(T ) − yT |2 dx + Ω γ3 T g H1/2 (Γ) + gt H1/2 (Γ) dt, g biến điều khiển biên biến trạng thái y nghiệm yếu hệ phương trình 16 Navier-Stokes-Voigt sau khoảng (0, T )    yt − ν∆y − α2 ∆yt + (y · ∇)y + ∇p =       ∇ · y = Q Q, Γ × (0, T ),    y=g      y(0) = y Ω Để nghiên cứu tốn điều khiển trên, ta giả sử • Vận tốc đầu y0 hàm cho trước H1 (Ω) thỏa mãn điều kiện ∇ · y0 = Γ y0 · nds = 0; • Các trạng thái mong muốn yd , yT thuộc vào không gian L2 (Q) L2 (Ω); • Các hệ số γ1 , γ2 số thực khơng âm, có hệ số dương để hàm mục tiêu không tầm thường Hệ số γ3 đo chi phí điều khiển số thực dương; • Điều khiển biên g thuộc vào tập điều khiển chấp nhận Ad định nghĩa sau Ad = g ∈ W 1,2 (0, T ; H1/2 (Γ)) : g(0) = y0 Γ g · nds = với hầu khắp t ∈ [0, T ] Γ Khi cực tiểu hóa phiếm hàm L(g) tức ta muốn tìm điều khiển mà thỏa mãn nhiều mục đích: trạng thái tương ứng gần với trang thái mong muốn yd toàn khoảng thời gian (0, T ), gần với trạng thái kì vọng yT thời điểm cuối T chi phí điều khiển nhỏ (thể chỗ chuẩn g nhỏ) Nói chung, tốn điều khiển tối ưu biên khó tốn điều khiển tối ưu miền Về mặt kĩ thuật, lựa chọn khơng gian hàm thích hợp khơng dễ thấy không Về mặt thực tế, rõ ràng tác động biên có ảnh hưởng yếu tác động lên toàn miền xét, khó để đạt đến mục tiêu mong muốn Trong năm qua, toán điều khiển tối ưu biên hệ phương trình Navier-Stokes nghiên cứu nhiều tác M.D Gunzburger, L.S Hou Th.P Svobodny (1991), M Berggren (1998), L.S Hou S.S Ravindran (1998), A.V Fursikov, M.D Gunzburger L.S Hou (1998, 2005), M Hinze (2002), J.C De Los Reyes K Kunisch (2005), C John D Wachsmuth (2009), M Colin P Fabrie (2010), M Holst, E Lunasin G Tsogtgerel (2010) Một số nghiên cứu dừng lại việc chứng minh tồn nghiệm tối ưu 17 đưa hệ tối ưu mà dùng để suy điều khiển trạng thái tối ưu Một số khác trình bày cách thiết lập hệ tối ưu, thuật toán xấp xỉ nghiệm hệ kết thử nghiệm số Chúng gii thiu cỏc cụng trỡnh gn õy ca G Băarwolff M Hinze (2006, 2008), G Bornia, M Gunzburger S Manservisi (2013), C Cavaterra, E Rocca H Wu (2017) toán điều khiển tối ưu biên hệ Boussinesq hai chiều, hệ MHD hệ Ericksen-Leslie hai chiều Sử dụng kết tính giải hệ Navier-Stokes-Voigt không gian ba chiều với điều kiện biên không (Định lý 4.2.2) ý tưởng cách tiếp cận M.D Gunzburger S Manservisi (2000), chứng minh tồn nghiệm tối ưu thiết lập điều kiện cần tối ưu cấp Sau đó, chúng tơi phát triển ý tưởng cách tự nhiên để nhận điều kiện cần tối ưu cấp hai Cách tiếp cận mà sử dụng để thiết lập điều kiện cần tối ưu cấp hai khác so với cách làm thông thường cho toán điều khiển tối ưu - cách mà thường liên quan đến tính khả vi liên tục lớp C ánh xạ điều khiển-trạng thái hàm Lagrange Cụ thể, không chứng minh ánh xạ điều khiển-trạng thái thuộc vào lớp C mà chứng minh có đạo hàm theo hướng đến cấp điều đủ để thiết lập điều kiện cần tối ưu cấp hai Vì cách làm áp dụng cho trường hợp mà ánh xạ điều khiển-trạng thái không thuộc vào lớp C Điều kiện đủ tối ưu cấp hai chứng minh phương pháp phản chứng (Định lý 4.5.1) theo ý tưởng dùng Chương Chương Một điểm đáng ý đưa dạng cho điều kiện tối ưu cấp hai điều kiện tối ưu theo nghĩa điều kiện đủ cấp hai gần với điều kiện cần cấp hai Ngoài ra, lựa chọn điều khiển biên tối thiểu theo nghĩa lựa chọn cần thiết để đảm bảo tính đặt hệ phương trình trạng thái 4.2 Tính giải hệ Nevier-Sokes-Voigt ba chiều với điều kiện biên không Trong mục này, nghiên cứu tồn nghiệm hệ phương trình Navier-Stokes-Voigt khơng dừng không gian ba chiều với điều kiện biên Dirichlet không 18    yt − ν∆y − α2 ∆yt + (y · ∇)y + ∇p = 0, x ∈ Ω, t > 0,       ∇·y = 0, x ∈ Ω, t > 0,          y(x, t) = g(x, t), x ∈ Γ, t > 0, y(x, 0) = y0 (x), x ∈ Ω (4.3) Ở đây, y = y(x, t) = (y1 (x, t), y2 (x, t), y3 (x, t)) vận tốc cần tìm, y0 = y0 (x) vận tốc ban đầu, p = p(x, t) áp suất cần tìm, g = g(x, t) hàm véc tơ cho trước xác định với x ∈ Γ t > 0, ν > hệ số nhớt α = hệ số đặc trưng cho tính đàn hồi chất lỏng Sự tồn nghiệm hệ phương trình Navier-Stokes-Voigt với điều kiện biên khơng phát biểu định lý sau Định lí 4.2.2 Cho Ω tập mở bị chặn R3 có biên thuộc lớp C Giả sử y0 ∈ H1 (Ω) g ∈ W 1,2 (0, T ; H1/2 (Γ)) thỏa mãn điều kiện ∇ · y0 = 0, y0 = g(0) Γ, g · nds = với hầu khắp t ∈ [0, T ] Γ Khi hệ (4.3) có nghiệm yếu (y, p) ∈ W 1,2 (0, T ; H1 (Ω)) × L2 (0, T ; L20 (Ω)) theo nghĩa    yt + νAy + α2 Ayt + B(y, y) + grad p =        ∇ · y(t) = y(t) = g(t)          H−1 (Ω), Ω, Γ, y(0) = y0 , với hầu khắp t ∈ [0, T ] Ở đây, yt coi phần tử không gian H−1 (Ω) theo nghĩa sau yt , v H−1 (Ω),H10 (Ω) := (yt , v), v ∈ H10 (Ω) Hơn nữa, y0 , g W 1,2 (0,T ;H1/2 (Γ)) ≤ M, tồn số C = C(M ) cho y 4.3 W 1,2 (0,T ;H1 (Ω)) ≤ C Sự tồn nghiệm tối ưu Định lí 4.3.1 Bài tốn (PL ) có nghiệm tối ưu tồn cục 19 4.4 Điều kiện cần tối ưu cấp cấp hai 4.4.1 Điều kiện cần tối ưu cấp Đặt A0 = h ∈ W 1,2 (0, T ; H1/2 (Γ)) : h(0) = Γ h · nds = với hầu khắp t ∈ [0, T ] Γ Định lý sau đưa điều kiện cần tối ưu cấp cho toán xét Định lí 4.4.1 Nếu g¯ ∈ Ad nghiệm tối ưu tốn (PL ) g¯ thỏa mãn điều kiện sau T T γ3 (¯ g , h)H1/2 (Γ) dt + γ3 (¯ gt , ht )H1/2 (Γ) dt T − τ (t), h(t) H−1/2 (Γ),H1/2 (Γ) dt − π, h(T ) H−1/2 (Γ),H1/2 (Γ) = 0, ∀h ∈ A0 , τ ∈ L2 (0, T ; H−1/2 (Γ)), π ∈ H−1/2 (Γ) xác định τ (s), h H−1/2 (Γ),H1/2 (Γ) := −(wt (s), v) + ν(∇w(s), ∇v) − α2 (∇wt (s), ∇v) − B(¯ y (s), w(s), v) + B(v, y¯(s), w(s)) + (σ(s), ∇ · v) − γ1 (¯ y (s) − yd (s), v), với h ∈ H1/2 (Γ), với hầu khắp s ∈ [0, T ], (4.25) π, h H−1/2 (Γ),H1/2 (Γ) = (w(T ), v) + α2 (∇w(T ), ∇v) + (κ, ∇ · v) − γ2 (¯ y (T ) − yT , v), với h ∈ H1/2 (Γ) (4.26) Trong (4.25) (4.26), v phần tử H1 (Ω) thỏa mãn v|Γ = h (w, σ, κ) ∈ W 1,2 (0, T ; V ) ×L2 (0, T ; L20 (Ω)) × L20 (Ω) nghiệm yếu hệ phương trình liên hợp sau    ˜ y , w) + grad σ = γ1 (¯  −wt + νAw − α2 Awt − B(¯ y , w) + B(¯ y − yd )        H−1 (Ω) với hầu khắp t ∈ [0, T ],    ∇ · w(t) = Ω, với hầu khắp t ∈ [0, T ],       w(t) = Γ, với hầu khắp t ∈ [0, T ],       w(T ) + α2 Aw(T ) + grad κ = γ2 (¯ y (T ) − yT ) H−1 (Ω) ˜ y , w), v Ở đây, B(¯ H−1 (Ω),H10 (Ω) (4.27) := B(v, y¯, w) Chú ý 4.4.2 Giá trị vế phải (4.25) (4.26) không phụ thuộc vào hàm v chọn 20 4.4.2 Điều kiện cần tối ưu cấp hai Định lý sau đưa điều kiện cần tối ưu cấp hai cho toán (PL ) (điều kiện (4.32) đây) Định lí 4.4.3 Giả sử g¯ ∈ Ad nghiệm tối ưu tốn (PL ) Kí hiệu y¯ trạng thái liên kết với g¯ w trạng thái liên hợp, tức w nghiệm hệ (4.27) Giả sử h ∈ A0 z hàm không gian W 1,2 (0, T ; H1 (Ω)) cho (z, h) thỏa mãn hệ phương trình sau     zt + νAz + α2 Azt + B(¯ y , z) + B(z, y¯) + grad p1 =        H−1 (Ω) với hầu khắp t ∈ [0, T ],    ∇ · z(t) = Ω, với hầu khắp t ∈ [0, T ],       z(t) = h(t) Γ, với hầu khắp t ∈ [0, T ],       z(0) = 0, (4.28) Đặt T T |z|2 dt + γ2 |z(T )|2 + γ3 h q(h) := γ1 W 1,2 (0,T ;H1/2 (Γ)) −2 b(z, z, w)dt Khi ta có q(h) ≥ 0, ∀ h ∈ A0 4.5 (4.32) Điều kiện đủ tối ưu cấp hai Một điều kiện đủ để điều khiển nghiệm tối ưu phát biểu định lý (điều kiện (4.37)) Hơn nữa, ta chứng minh điều kiện kéo theo tăng trưởng kiểu W 1,2 W 1,2 -lân cận của nghiệm tối ưu (xem (4.38)) Định lí 4.5.1 Giả sử g¯ ∈ Ad Kí hiệu y¯ trạng thái liên kết với g¯ w nghiệm hệ (4.27) Cho h hàm tùy ý A0 z hàm không gian W 1,2 (0, T ; H1 (Ω)) cho (z, h) thỏa mãn hệ phương trình (4.28) Nếu g¯ thỏa mãn điều kiện cần tối ưu cấp giả thiết đây, sau gọi điều kiện đủ tối ưu cấp hai: T |z|2 dt + γ2 |z(T )|2 + γ3 h q(h) := γ1 W 1,2 (0,T ;H1/2 (Γ)) T −2 b(z, z, w)dt > với h ∈ A0 \{0}, (4.37) tồn ε > ρ > cho bất đẳng thức L(g) − L(¯ g ) ≥ ε g − g¯ 21 W 1,2 (0,T ;H1/2 (Γ)) (4.38) với g ∈ Ad thỏa mãn g − g¯ W 1,2 (0,T ;H1/2 (Γ)) 22 ≤ ρ Từ ta suy g¯ nghiệm tối ưu KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ MỘT SỐ VẤN ĐỀ NGHIÊN CỨU TIẾP THEO Kết luận Trong luận án này, nghiên cứu số toán điều khiển tối ưu hệ phương trình Navier-Stokes-Voigt khơng gian ba chiều Kết luận án tồn nghiệm tối ưu điều kiện tối ưu cho toán này, cụ thể Sự tồn nghiệm tối ưu, điều kiện cần tối ưu cấp một, điều kiện đủ tối ưu cấp hai cho toán điều khiển tối ưu miền toán điều khiển tối ưu thời gian Sự tồn nghiệm tối ưu, điều kiện cần tối ưu cấp cấp hai, điều kiện đủ tối ưu cấp hai cho toán điều khiển tối ưu biên Kết luận án góp phần làm phong phú thêm nghiên cứu hệ phương trình NavierStokes-Voigt tốn điều khiển tối ưu phương trình đạo hàm riêng học chất lỏng Kiến nghị số vấn đề nghiên cứu Một số vấn đề mở tiếp tục nghiên cứu là: Xấp xỉ số cho toán điều khiển tối ưu xét luận án Bài toán điều khiển tối ưu cho hệ Navier-Stokes-Voigt với điều khiển "bang-bang" Bài toán điều khiển tối ưu cho hệ Navier-Stokes-Voigt với điều khiển độ đo 23 DANH MỤC CƠNG TRÌNH KHOA HỌC Cơng trình cơng bố [CT1] C.T Anh T.M Nguyet, Optimal control of the instationary three dimensional Navier-Stokes-Voigt equations, Numer Funct Anal Optim 37 (2016), 415-439 (SCIE) [CT2] C.T Anh T.M Nguyet, Time optimal control of the unsteady 3D NavierStokes-Voigt equations, Appl Math Optim 79(2019), 397-426 (SCI) Cơng trình gửi đăng [CT3] C.T Anh T.M Nguyet, Optimal boundary control of the 3D Navier-StokesVoigt equations, gửi đăng tạp chí Optimization (2019) ... cho toán điều khiển tối ưu xét luận án Bài toán điều khiển tối ưu cho hệ Navier- Stokes- Voigt với điều khiển "bang-bang" Bài toán điều khiển tối ưu cho hệ Navier- Stokes- Voigt với điều khiển độ đo... tối ưu miền, điều khiển tối ưu thời gian, điều khiển tối ưu biên điều khiển thưa Chúng xin điểm qua số kết điều kiện tối ưu tốn điều khiển tối ưu hệ phương trình Navier- Stokes, hệ phương trình. .. đủ tối ưu cấp hai cho toán điều khiển tối ưu miền toán điều khiển tối ưu thời gian Sự tồn nghiệm tối ưu, điều kiện cần tối ưu cấp cấp hai, điều kiện đủ tối ưu cấp hai cho toán điều khiển tối ưu