Dưới gradient của hàm giá trị trong bài toán điều khiển tối ưu chứa tham số

[...]... T ((M )1 ( z z f (, w) + z ))] 13 Chương 2 Dưới gradient của hàm giá trị trong bài toán điều khiển tối ưu chứa tham số 2.1 Dưới gradient của hàm giá trị trong bài toán điều khiển tối ưu chứa tham số Xét bài toán điều khiển tối ưu chứa tham số sau: Tìm một vectơ điều khiển u C 0 ([0, 1], Rm ) và một vectơ trạng thái x C 1 ([0, 1], Rn ), sao cho hàm mục tiêu sau đạt cực tiểu 1 L(t, x(t), u(t),... B(, ) D x 2 Ta nói rằng ánh xạ đa trị F : D 2Y phương tại có lát cắt Lipschitz trên địa (, y ) gphF := {(x, y) X ì Y |y F (x)} nếu tồn tại x một ánh xạ đơn trị h : D Y , h Lipschitz trên địa phương tại x sao cho h() = y và h(x) F (x) với mọi x thuộc lân cận của x trong D x 1.2 Dưới gradient của hàm giá trị trong bài toán quy hoạch toán học chứa tham số Trong mục này, chúng ta giả thiết rằng... hợp của M và T Cho f : Z ì W R là một hàm có giá trị thực suy rộng và là một tập lồi, đóng trong Z Với mỗi w W ta đặt H(w) = {z Z| M z = T w} Chúng ta đặt vấn đề tính toán hoặc đánh giá dưới vi phân Fréchet của hàm giá trị h(w) := inf f (z, w) zH(w) Ta ký hiệu (1.2.1) S(w) = {z H(w) | h(w) = f (z, w)} là tập nghiệm của (1.2.1) tương ứng với tham số w W và giả sử rằng z là một nghiệm của bài. .. trị tối ưu của bài toán (2.1.1)-(2.1.4) tương ứng với tham số w = (, ) W bởi V (w) Như vậy, V : W R là một hàm nhận giá trị thực mở rộng Hàm V còn được gọi là hàm giá trị, hoặc hàm biên của bài toán (2.1.1)-(2.1.4) 15 Với mỗi w = (, ) W , đặt 1 J(x, u, w) = g(x(1)) + L(t, x(t), u(t), (t))dt, 0 G(w) = {z = (x, u) X ì U | (2.1.2) và (2.1.3) thỏa mãn}, (2.1.5) K = X ì U Khi đó, bài toán (2.1.1)-(2.1.4)... biến điều khiển, (, ) Rn ì C 0 ([0, 1], Rk ) là các tham số, g : Rn R, L : [0, 1] ì Rn ì Rm ì Rk R là các hàm có giá trị thực suy rộng, A(t) = (aij (t))nìn , B(t) = (bij (t))nìm và T (t) = (cij (t))nìk là các hàm với giá trị là các ma trận, U là một tập lồi, đóng trong C 0 ([0, 1], Rm ) Ta đặt X = C 1 ([0, 1], Rn ), U = C 0 ([0, 1], Rm ), = C 0 ([0, 1], Rk ), W = Rn ì và ký hiệu giá trị tối ưu của. .. ngẫu của Z , : Z R là một hàm giá trị thực mở rộng và z Z sao cho () là hữu hạn Với mỗi 0, tập z z () := {z Z | lim inf (z) () z , z z } z z z zz được gọi là - dưới vi phân Fréchet được gọi là một của -dưới gradient Fréchet tại z Mỗi vectơ z () z của tại z Khi = 0, tập hợp () := 0 () được gọi là dưới vi phân Fréchet của tại z Mỗi vectơ z z z () được gọi là một z dưới gradient. .. Fréchet của tại z Ta biết 10 rằng, dưới vi phân Fréchet trùng với đạo hàm Fréchet cổ điển nếu hàm số được xét là khả vi Fréchet Ngoài ra, ta cũng biết rằng nếu hàm được xét là lồi thì dưới vi phân Fréchet trùng với dưới vi phân theo nghĩa giải tích lồi Tập Cho Tập + () := ()() được gọi là dưới vi phân trên của tại z z z là một tập con khác rỗng của Z Lấy một điểm z và -pháp tuyến của tại... định thứ nhất của định lý Sử dụng bao hàm thức thứ hai của Định lý 1.2.1, ta thu được khẳng định thứ hai của định lý Khi U = U hoặc u intU , ta có kết quả sau 2.1.5 Hệ quả Giả sử rằng hàm giá trị tại V xác định trong (2.1.6) hữu hạn w = ( , ) và các giả thiết (H1) (H3) thỏa mãn Khi đó, nếu vectơ ( , , ) Rn ì C 0 ([0, 1], Rk ) là dưới gradient Fréchet của ( , ), thì tồn tại một hàm khả vi y... chứng minh các kết quả chính của chương này 2.1.4 Định lý Giả sử rằng hàm giá trị hạn tại đó, w = ( , ), intU = , nếu vectơ Fréchet của và V và V (2.1.6) hữu được thỏa mãn Khi xác định trong (H1) (H3) ( , , ) Rn ì C 0 ([0, 1], Rk ) tại ( , ), thì tồn tại các hàm khả vi à : [0, 1] Rm , à(0) = 0, với u (0, à) N (, U) là dưới gradient y : [0, 1] Rn sao cho các điều 27 kiện sau thỏa mãn: 1... W và giả sử rằng z là một nghiệm của bài toán tương ứng với tham số w, nghĩa là z S(w) 12 Định lý sau trình bày một công thức tính dưới vi phân Fréchet của tại h w 1.2.1 Định lý (1.2.1) (i) f (xem [4, Định lý 3.1]) hữu hạn tại h xác định bởi w domS và là khả vi Fréchet tại (ii) M Giả sử hàm giá trị (, w), z toàn ánh, (iii) là một tập lồi, đóng trong Z với int = Khi đó, ta có h(w) [ z