Nghiệm β nhớt của phương trình hamilton jacobi và ứng dụng trong bài toán điều khiển tối ưu tt

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI PHAN TRỌNG TIẾN NGHIỆM β-NHỚT CỦA PHƯƠNG TRÌNH HAMILTON-JACOBI VÀ ỨNG DỤNG TRONG BÀI TỐN ĐIỀU KHIỂN TỐI ƯU Chun ngành: Tốn giải tích Mã số: 46 01 02 TÓM TẮT LUẬN ÁN TIẾN SĨ TỐN HỌC Hà Nội-2020 Cơng trình hồn thành tại: Trường Đại học Sư phạm Hà Nội Người hướng dẫn khoa học: TS Trần Văn Bằng PGS TS Hà Tiến Ngoạn Phản biện: Phản biện: Phản biện: Luận án bảo vệ trước Hội đồng cấp Trường chấm luận án tiến sĩ họp vào hồi ngày tháng năm 20 Có thể tìm hiểu luận án tại: - Thư viện Quốc gia Việt Nam - Thư viện Trường Đại học Sư phạm Hà Nội MỞ ĐẦU Phương trình Hamilton-Jacobi cấp một lớp phương trình đạo hàm riêng phi tuyến có nhiều ứng dụng, xuất nhiều lĩnh vực học, điều khiển tối ưu, đặc biệt bao gồm lớp phương trình quy hoạch động toán điều khiển tối ưu tất định, thường gọi phương trình Hamilton-Jacobi-Bellman Nói chung, lớp phương trình Hamilton-Jacobi phi tuyến thường khơng có nghiệm cổ điển Do loại nghiệm yếu nhiều nhà toán học quan tâm nghiên cứu nghiệm nhớt số Lý thuyết nghiệm nhớt phương trình đạo hàm riêng xuất từ đầu năm 80 kỷ trước, báo Crandall M G Lions P L (1983) cung cấp khái niệm nghiệm suy rộng quan trọng cho phương trình đạo hàm riêng phi tuyến khái niệm nghiệm nhớt Thay buộc nghiệm u thỏa mãn phương trình hầu khắp nơi, tác giả đòi hỏi nghiệm hàm liên tục, thỏa mãn cặp bất đẳng thức vi phân thông qua hàm thử đủ trơn qua khái niệm vi phân, vi phân Khái niệm nghiệm nhớt giới thiệu công cụ hiệu để nghiên cứu phương trình Hamilton-Jacobi phi tuyến Cần ý nghiệm nhớt phương trình đạo hàm riêng nghiệm yếu chúng hàm liên tục đạo hàm xác định thông qua hàm thử nguyên lý cực trị Tuy nhiên, người ta chứng minh nghiệm nhớt xây dựng thơng qua trên, đạo hàm, chúng gọi nửa đạo hàm Điều tạo kết nối chặt chẽ lý thuyết nghiệm nhớt giải tích khơng trơn bao gồm lý thuyết vi phân Từ năm 1993, nguyên lý biến phân trơn chứng minh Deville sử dụng công cụ quan trọng để chứng minh tính nghiệm β-nhớt phương trình Hamilton-Jacobi có dạng u + F (Du) = f , F liên tục Xβ∗ f liên tục bị chặn X Với lớp nghiệm hàm liên tục bị chặn Bài toán điều khiển tối ưu giới thiệu vào năm 1950, có nhiều ứng dụng Toán học, Vật lý lĩnh vực khác Theo nguyên lý quy hoạch động, hàm giá trị toán điều khiển tối ưu nghiệm phương trình đạo hàm riêng tương ứng Tuy nhiên, hàm giá trị thường khơng khả vi, số phương pháp khác giới thiệu để nghiên cứu hàm giá trị Nghiệm nhớt lần công cụ hiệu để nghiên cứu lý thuyết điều khiển tối ưu Tiếp cận tốn điều khiển tối ưu thơng qua nghiệm nhớt vi phân khác chưa nhiều đặc biệt hàm giá trị không bị chặn Gần phương trình Hamilton-Jacobi khớp nối mạng lưới nghiên cứu nhiều Các tác giả tập trung giải tính chất hàm giá trị toán điều khiển tối ưu, nguyên lý so sánh nghiệm nhớt toán điều khiển tối ưu trường hợp hàm chi phí bị chặn Mặc dù đạt số kết quan trọng song dường giả thiết đưa công trình tương đối chặt Chúng tơi đặt vấn đề nghiên cứu β-dưới vi phân, tính nghiệm β-nhớt phương trình Hamilton-Jacobi cho phương trình có dạng u + H(x, Du) = u + H(x, u, Du) = 0, tính ổn định tồn nghiệm β-nhớt quan tâm Ngoài ứng dụng nghiệm β-nhớt toán điều khiển tối ưu lớn Trên sở chúng tơi quan tâm đến tìm điều kiện cần điều kiện đủ cho toán điều khiển tối ưu không gian vô hạn chiều Hướng tiếp cận nghiệm nhớt khớp nối nghiên cứu Dựa mô hình có nghiệm nhớt theo phương pháp cổ điển, vấn đề tính nghiệm nhớt, ứng dụng nghiệm nhớt cho toán điều khiển tối ưu khớp nối hứa hẹn cho ta kết có ý nghĩa Luận án này, ngồi phần mở đầu, kết luận, danh mục tài liệu tham khảo, gồm bốn chương Chương trình bày khái niệm vi phân β-nhớt tính chất nó, số kết nguyên lý biến phân trơn Chương chứng minh kết tính nghiệm β-nhớt phương trình Hamilton-Jacobi dạng tổng quát u+H(x, u, Du) = khơng gian Banach Tính ổn định tồn nghiệm phương trình Chương chứng minh hàm giá trị toán điều khiển tối ưu nghiệm β-nhớt phương trình HamiltonJacobi tương ứng Các phản hồi điều kiện đủ cho điều khiển tối ưu trình bày chương Chương nêu khái niệm khớp nối, số giả thiết thiết lập toán điều khiển tối ưu Một số tính chất hàm giá trị hàm giá trị hàm liên tục G, tính Lipschitz địa phương O Ji , đánh giá hàm giá trị O thông qua Hamilton; Nghiệm nhớt khớp nối chứng minh hàm giá trị toán điều khiển tối ưu nghiệm nhớt phương trình Hamilton-Jacobi tương ứng; Một số kết nguyên lý so sánh nghiệm chứng minh hàm giá trị nghiệm nhớt phương trình Hamilton-Jacobi; Những áp dụng cho kết chúng tơi tốn điều khiển tối ưu Chương β -DƯỚI VI PHÂN Trong chương chúng tơi trình bày vi phân β-nhớt không gian Banach X chứng minh nguyên lý biến phân trơn, nhằm áp dụng để chứng minh tính nghiệm β-nhớt 1.1 Tính β-khả vi Định nghĩa 1.1.1 Cho X không gian Banach, borno β X họ tập đóng, bị chặn đối xứng tâm X thỏa mãn ba điều kiện sau: 1) X = B, B∈β 2) họ β đóng kín phép nhân với vô hướng, 3) hợp hai phần tử β chứa phần tử β Theo [Hoàng Tụy, 2005], Định lý 27, trang 415, họ β Định nghĩa 1.1.1 xác định X ∗ tôpô lồi địa phương Hausdorff τβ Không gian X ∗ với tôpô τβ ký hiệu Xβ∗ Một sở lân cận điểm gốc Xβ∗ họ tất tập có dạng {f : |f (x)| < ε, ∀x ∈ M }, > tùy ý M ∈ β Khi đó, dãy phiếm hàm (fm ) ⊂ X ∗ , hội tụ phần tử f ∈ X ∗ tôpô τβ với tập M ∈ β ε > cho trước, tồn n0 ∈ N cho với m ≥ n0 , x ∈ M ta có |fm (x) − f (x)| < ε Hay fm hội tụ tới f tập M Do tơpơ τβ gọi tơpơ hội tụ tập thuộc họ β với Ví dụ 1.1.2 Ta dễ dàng kiểm tra kết sau: 1) Họ F tất tập đóng, bị chặn, đối xứng tâm X borno gọi borno Fréchet; ký hiệu τF 2) Họ H tất tập compact, đối xứng tâm X borno gọi borno Hadamard; ký hiệu τH 3) Họ W H tất tập compact yếu, đóng, đối xứng tâm X borno gọi borno Hadamard yếu; ký hiệu τW H 4) Họ G tất tập hữu hạn, đối xứng tâm X borno gọi borno Gâteaux; ký hiệu τG Nhận xét 1.1.3 Nếu β borno F (Fréchet), H (Hadamard), W H (Hadamard yếu) G (Gâteaux), ta có tơpơ Fréchet, tơpơ Hadamard, Hadamard tơpơ yếu tơpơ Gâteaux không gian đối ngẫu X ∗ , tương ứng Rõ ràng, F -tôpô tôpô mạnh G-tôpô tôpô yếu β-tôpô X ∗ Định nghĩa 1.1.4 Cho hàm f xác định X, ta nói f β-khả vi x ∈ X có β-đạo hàm ∇β f (x) ∈ X ∗ f (x) hữu hạn f (x + tu) − f (x) − t ∇β f (x), u →0 t t → u ∈ V với V ∈ β Ta nói hàm f β-trơn x ∇β f : X → Xβ∗ liên tục lân cận x Khi borno β thay họ: F, H, W H, G ta có khái niệm đạo hàm tương ứng: Fréchet, Hadamard, Hadamard yếu, Gâteaux 1.2 Dưới vi phân β-nhớt Định nghĩa 1.2.1 Cho f : X → R hàm nửa liên tục f (x) < +∞ Ta nói f khả vi phân β-nhớt x∗ đạo hàm β-nhớt f x tồn hàm Lipschitz địa phương g : X → R cho g β-trơn x, ∇β g(x) = x∗ f − g đạt cực tiểu địa phương x Ta ký hiệu tập tất đạo hàm β-nhớt f x Dβ− f (x) gọi vi phân β-nhớt f x Cho f : X → R hàm nửa liên tục f (x) > −∞ Ta nói f khả vi phân β-nhớt x∗ đạo hàm β-nhớt f x tồn hàm Lipschitz địa phương g : X → R cho g β-trơn x, ∇β g(x) = x∗ f − g đạt cực đại địa phương x Ta ký hiệu tập tất đạo hàm β-nhớt f x + Dβ f (x) gọi vi phân β-nhớt f x Định lý 1.2.2 1) Nếu β1 ⊂ β2 Dβ−2 f (x) ⊂ Dβ−1 f (x) nói − riêng DF− f (x) ⊂ Dβ− f (x) ⊂ DG f (x) với borno β 2) Nếu f hàm liên tục, f (x) hữu hạn Dβ− f (x), Dβ+ f (x) hai tập khác rỗng f β-khả vi x 3) Nếu β1 ⊂ β2 f β1 -khả vi x f khả vi phân β2 -nhớt x Dβ−2 f (x) = {∇β1 f (x)} 4) Dβ− f (x) + Dβ− g(x) ⊂ Dβ− (f + g)(x) 5) Dβ− f (x) tập lồi Ta có kết sau: Nhận xét 1.2.3 − − − 1) DF− f (x) ⊂ DW H f (x) ⊂ DH f (x) ⊂ DG f (x) − 2) Nếu X khơng gian phản xạ DF− f (x) = DW H f (x) − − − n 3) Nếu X = R DF f (x) = DW H f (x) = DH f (x) − 4) Nếu X = R DF− f (x) = DG f (x) Định lý 1.2.4 Nếu f hàm lồi xác định tập lồi C x ∈ C, với borno β ta có − Dβ− f (x) = DG f (x) = ∂f (x) Tiếp theo, ta ký hiệu Dβ (X) = {g : X → R| g bị chặn, Lipschitz β-khả vi X}, g ∞ = sup{|g(x)| : x ∈ X}, ∇β g ∞ = sup{ ∇β g(x) : x ∈ X} Dβ∗ (X) = {g ∈ Dβ (X)| ∇β g : X → Xβ∗ liên tục} Chúng sử dụng giả thiết sau (Hβ ) Tồn hàm bump (tức hàm có giá khác rỗng bị chặn) b cho b ∈ Dβ (X); (Hβ∗ ) Tồn hàm bump b cho b ∈ Dβ∗ (X) Mệnh đề 1.2.5 Giả thiết (Hβ ) (Hβ∗ ) thỏa mãn không gian Banach X có chuẩn β-trơn Mệnh đề 1.2.6 Cho X không gian Banach thỏa mãn (Hβ ) (tương ứng (Hβ∗ )) E tập đóng X Khi đó, với hàm nửa liên tục dưới, bị chặn f E ε ∈ (0, 1), tồn g ∈ Dβ (X) (tương ứng g ∈ Dβ∗ (X)) x0 ∈ E cho: (a) f + g đạt cực tiểu x0 ; (b) g ∞ ≤ ε ∇β g ∞ ≤ ε Mệnh đề 1.2.7 Cho X không gian Banach thỏa mãn giả thiết (Hβ∗ ) u, v hai hàm bị chặn X cho u nửa liên tục v hàm nửa liên tục Khi đó, tồn số C cho với ε ∈ (0, 1), tồn x, y ∈ X, p ∈ Dβ+ u(x), q ∈ Dβ− v(y) cho: (a) x − y < ε2 p − q < ε; (b) Với z ∈ X, v(z) − u(z) ≥ v(y) − u(x) − ε; (c) x − y p < Cε, x−y q < Cε Định lý 1.2.8 Cho X không gian Banach với chuẩn tương đương với chuẩn β-trơn f1 , · · · , fN : X → R N hàm nửa liên tục dưới, bị chặn lim inf{ N n=1 fn (yn ) : diam(y1 , · · · , yN ) ≤ η→0 η} < +∞ Khi đó, với ε > 0, tồn xn ∈ X, n = 1, · · · , N x∗n ∈ Dβ− fn (xn ) thỏa mãn (i) diam(x1 , · · · , xN ) max(1, x∗1 , · · · , x∗N ) < ε; N (ii) N fn (xn ) < inf x∈X n=1 N fn (x) + ε; n=1 x∗n < ε (iii) n=1 Định lý 1.2.9 Cho X không gian Banach với chuẩn tương đương với chuẩn β-trơn Giả sử Ω ⊂ X tập mở f1 , · · · , fN : Ω → R N hàm nửa liên tục dưới, bị chặn Khi đó, với ε > 0, tồn xn ∈ Ω, n = 1, · · · , N x∗n ∈ Dβ− fn (xn ) thỏa mãn (i) diam(x1 , · · · , xN ) max(1, x∗1 , · · · , x∗N ) < ε, N (ii) N fn (xn ) < inf x∈Ω n=1 n=1 N x∗n < ε (iii) n=1 fn (x) + ε, Kết luận Trong chương tập trung số vấn đề chính: 1) Đưa số nhận xét β-khả vi, mối quan hệ β-khả vi borno β có mối quan hệ bao hàm Trong chương đưa số nhận xét tính chất vi phân thường gặp mối quan hệ vi phân thường gặp Chỉ số trường hợp đặc biệt mà tập vi phân hàm 2) Chứng minh kết quy tắc tổng mờ β-dưới vi phân 2.1.2 Nghiệm bị chặn Định lý 2.1.3 Cho X không gian Banach với chuẩn tương đương với chuẩn β-trơn Xét F (x, u, Du) = u + H(x, Du) với H : X × Xβ∗ → R thỏa mãn giả thiết: (B) với x, y ∈ X x∗ , y ∗ ∈ Xβ∗ , |H(x, x∗ )−H(y, y ∗ )| ≤ w(x−y, x∗ −y ∗ )+K max( x∗ , y ∗ ) x−y , K số dương w : X × Xβ∗ → R hàm liên tục với w(0, 0) = Cho u, v hai hàm bị chặn cho u nửa liên tục v nửa liên tục Nếu u nghiệm β-nhớt v nghiệm β-nhớt phương trình F (x, u, Du) = u ≤ v Hệ 2.1.4 Dưới giả thiết Định lý 2.1.3, nghiệm β-nhớt lớp hàm liên tục bị chặn phương trình u+H(x, Du) = Định lý 2.1.5 Cho X không gian Banach với chuẩn tương đương với chuẩn β-trơn Ω ⊂ X tập mở Xét F (x, u, Du) = u + H(x, Du) với H : X × Xβ∗ → R thỏa mãn giả thiết: (C) với x, y ∈ X x∗ , y ∗ ∈ Xβ∗ , |H(x, x∗ )−H(y, y ∗ )| ≤ w(x−y, x∗ −y ∗ )+K max( x∗ , y ∗ ) x−y , K số dương w : X × Xβ∗ → R hàm liên tục với w(0, 0) = Giả sử u, v hai hàm xác định, bị chặn liên tục Ω Nếu u nghiệm β-nhớt v nghiệm β-nhớt phương trình F (x, u, Du) = u ≤ v ∂Ω u ≤ v Ω Hệ 2.1.6 Dưới giả thiết Định lý 2.1.5, u, v hai hàm liên tục đều, bị chặn Ω cho u = v ∂Ω Nếu u, v hai nghiệm β-nhớt phương trình F (x, u, Du) = u = v Ω 2.1.3 Nghiệm không bị chặn Trên sở khái niệm trên, chúng tơi trình bày kết tính nghiệm β-nhớt (2.1) 11 Định lý 2.1.7 Cho X không gian Banach với chuẩn β-trơn Ω tập mở X Giả sử hàm H thỏa mãn giả thiết (H0), (H1) (tương ứng (H1)*), (H2), (H3) H thỏa mãn (H0) Lấy u, v ∈ C(Ω) tương ứng nghiệm β-nhớt toán u + H(x, u, Du) ≤ v + H(x, v, Dv) ≥ Ω, (2.3) giả sử tồn môđun m cho |u(x) − u(y)| + |v(x) − v(y)| ≤ m( x − y ) Ω (2.4) Khi ta có u(x) − v(x) ≤ sup(u − v)+ + ∂Ω t.ư u(x) − v(x) ≤ sup(u − v)+ + ∂Ω sup (H − H)+ , Ω×R×X ∗ 1 − LH sup (H − H)+ , Ω×R×X ∗ (2.5) với x ∈ Ω Nói riêng, Ω = X, ta có cơng thức (2.5) số hạng sup∂Ω (u − v)+ vế phải thay Hệ 2.1.8 (So sánh tính nhất) Cho X khơng gian Banach có chuẩn tương đương với chuẩn β-trơn Cho Ω ⊂ X tập mở với biên ∂Ω = ∅, ϕ hàm liên tục ∂Ω Giả sử hàm H thỏa mãn giả thiết (H0), (H1) (tương ứng (H1)*), (H2) (H3) Nếu u, v ∈ C(Ω) tương ứng nghiệm β-nhớt nghiệm β-nhớt phương trình (2.1) thỏa mãn (2.4), u ≤ v Ω, miễn u ≤ v ∂Ω Do đó, tốn (2.1), (2.2) có khơng q nghiệm C(Ω) Trong trường hợp Ω toàn khơng gian X, ngun lý so sánh tính nghiệm phương trình (2.1) dễ dàng có hệ 2.2 Tính ổn định tồn nghiệm β-nhớt 2.2.1 Tính ổn định Chúng tơi trình bày tính ổn định nghiệm β-nhớt Sử dụng tính ổn định giống [R Deville, G Godefroy, V Zizler, (1993)], ta có Mệnh đề 2.2.1 12 Định lý 2.2.1 (Tính ổn định) Cho X không gian Banach với chuẩn β-trơn Ω tập mở X Lấy un ∈ C(Ω) Hn ∈ C(Ω × R × Xβ∗ ), n = 1, 2, hội tụ đến u, H tương ứng n → ∞ theo nghĩa: Với x ∈ Ω tồn R > cho un → u BR (x) n → ∞ (x, r, p), (xn , rn , pn ) ∈ Ω × R × Xβ∗ với n = 1, 2, (xn , rn , pn ) → (x, r, p) n → ∞, Hn (xn , rn , pn ) → H(x, r, p) Nếu un nghiệm β-nhớt (tương ứng nghiệm dưới) Hn = Ω, u nghiệm β-nhớt (tương ứng nghiệm dưới) H = Ω 2.2.2 Sự tồn Định lý 2.2.2 (Sự tồn tại) Cho X không gian Banach với chuẩn β-trơn Ω tập mở X Cho H : Ω×R×Xβ∗ → R thỏa mãn (H0), (H1) (tương ứng (H1)*), (H2), (H3) lim inf (r + H(x, r, p)) > với (x, r) ∈ Ω × R p →∞ (2.6) Khi đó, tồn nghiệm β-nhớt phương trình (2.1) Định lý 2.2.3 (Sự tồn nghiệm toán Dirichlet) Dưới giả thiết Định lý 2.2.2 giả sử thêm tồn u0 , v0 ∈ C(Ω) cho u0 = v0 = ϕ ∂Ω; u0 , v0 tương ứng nghiệm β-nhớt nghiệm β-nhớt phương trình (2.1) tốn (2.1)-(2.2) có nghiệm u ∈ C(Ω) Kết luận Trong chương tập trung số vấn đề chính: Chứng minh tính nghiệm β-nhớt phương trình Hamilton-Jacobi Chứng minh tính ổn định nghiệm β-nhớt phương trình Hamilton-Jacobi Chứng minh tồn nghiệm β-nhớt phương trình Hamilton-Jacobi 13 Chương ỨNG DỤNG CỦA NGHIỆM β -NHỚT ĐỐI VỚI BÀI TOÁN ĐIỀU KHIỂN TỐI ƯU Chương hàm giá trị toán điều khiển tối ưu với thời gian vô hạn nghiệm β-nhớt phương trình Hamilton-Jacobi tương ứng Tính bị chặn nghiệm không cần thiết chứng minh Ngồi chương chúng tơi đưa điều kiện cần điều kiện đủ cho toán điều khiển tối ưu không gian vô hạn chiều cách sử dụng nghiệm β-nhớt Các kết chương viết dựa báo [2] Danh mục cơng trình khoa học tác giả liên quan đến luận án 3.1 Bài toán điều khiển tối ưu với thời gian vơ hạn 3.1.1 Bài tốn điều khiển tối ưu-nguyên lý quy hoạch động Bellman với hàm giá trị trơn Cho X không gian Banach với chuẩn β-trơn U không gian mêtric Xét phương trình trạng thái y (s) = g(y(s), α(s)), y(0) = x, α(s) ∈ U, s > 0, (3.1) x ∈ X g : X × U → X ánh xạ cho trước với điều khiển α(·) ∈ U := {α : [0, ∞) → U đo α(t) ∈ U với t ∈ [0, ∞) h.k.n.} Ta giới thiệu hàm chi phí ∞ J(x, α) = e−λs f (yx (s), α(s))ds, λ > f : X × U → R 14 (3.2) Bài toán điều khiển tối ưu P (x) X tìm α(·) ∈ U cho J(x, α(·)) = inf J(x, α) α∈U Ta ký hiệu hàm giá trị P (x) V (x) Khi ∞ V (x) = inf J(x, α) = inf α∈U α∈U e−λs f (yx (s), α(s))ds Bây đưa giả thiết để nghiên cứu tính chất hàm giá trị toán điều khiển tối ưu: Hàm g : X × U → X f : X × U → R liên tục thỏa mãn điều kiện sau (B1) Tồn số L0 , L, C, m > 0, K ∈ β, với ≤ m < λ L , K ⊂ B(0, L) môđun liên tục địa phương ω(·, ·), cho với x, x ∈ X u ∈ U, |g(x, u) − g(x, u)| ≤ L0 x − x , g(x, u) ∈ K, |f (x, u)| ≤ Cem|x| , |f (x, u) − f (x, u)| ≤ ω(|x − x|, |x| ∨ |x|), |x| ∨ |x| = max{|x|, |x|} (B2) Tồn số L0 , L, C, m > 0, K ∈ β, với ≤ m < Lλ0 , K ⊂ B(0, L) môđun liên tục địa phương ω(·, ·), cho với x, x ∈ X u ∈ U, |g(x, u) − g(x, u)| ≤ L0 |x − x|, g(0, u) ∈ K, |f (x, u)| ≤ C(1 + |x|)m , |f (x, u) − f (x, u)| ≤ ω(|x − x|, |x| ∨ |x|) 3.1.2 Tính chất hàm giá trị tốn điều khiển tối ưu Mệnh đề 3.1.1 (X.J Li, J.M Yong, (1995), Mệnh đề 6.1) Giả sử hai điều kiện (B1) (B2) Khi đó, với x ∈ X u(·) ∈ U[0, ∞), phương trình trạng thái (3.1) có quỹ đạo yx (·) hàm chi phí (3.2) xác định Hơn nữa, ta có kết sau: (a) Nếu (B1) V hàm liên tục địa phương có số M > cho |V (x)| ≤ M em|x| , 15 x ∈ X (b) Nếu (B2) V hàm liên tục địa phương tồn số M > cho |V (x)| ≤ M (1 + |x|)m , x ∈ X 3.2 Ứng dụng nghiệm β-nhớt toán điều khiển tối ưu Ta xét toán điều khiển tối ưu (3.1)-(3.2) Ta xác định hàm H : X × Xβ∗ → R cho H(x, p) = sup {− p, g(x, α) − f (x, α)} α∈U Mệnh đề 3.2.1 (a) Nếu (B1) |H(x, p) − H(x, q)| ≤ L|p − q|, |H(x, p) − H(y, p)| ≤ L0 |p||x − y| + ω(|x − y|, |x| ∨ |y|) (3.3) (b) Nếu (B2) |H(x, p) − H(x, q)| ≤ (L + L0 |x|)|p − q|, |H(x, p) − H(y, p)| ≤ L0 |p||x − y| + ω(|x − y|, |x| ∨ |y|) (3.4) Định lý 3.2.2 Cho X không gian Banach với chuẩn β-trơn Giả sử (B1) (B2) Khi đó, hàm giá trị V nghiệm β-nhớt λV (x) + H(x, DV (x)) = (3.5) Định lý 3.2.3 Với α(·) ∈ U, hàm sau không giảm: s s→ e−λt f (yx (t, α), α(t))dt + e−λs V (yx (s, α)), s ∈ [0, ∞) Hơn nữa, hàm số điều khiển α(·) tối ưu cho vị trí ban đầu x Một kết khác chúng tơi chúng tơi đưa điều kiện đủ cho điều khiển tối ưu khái niệm nghiệm β-nhớt phương trình Hamilton-Jacobi 16 Mệnh đề 3.2.4 Nếu V hàm Lipschitz địa phương hầu khắp s tồn p ∈ Dβ± V (yx (s)) thỏa mãn bất đẳng thức λV (yx (s)) − p, yx (s) − f (yx (s), α(s)) ≤ 0, α(·) điều khiển tối ưu với x, Dβ± V (z) = Dβ+ V (z) ∪ Dβ− V (z) Mệnh đề sau đưa kết quan trọng cho phản hồi tối ưu Cách tiếp cận sử dụng vi phân β-nhớt Mệnh đề 3.2.5 Nếu V hàm Lipschitz địa phương; α(·) tối ưu với x, λV (yx (s)) − p, yx (s) − f (yx (s), α(s)) = với p ∈ Dβ± V (yx (s)) với hầu khắp s Từ kết ta có định lý sau Định lý 3.2.6 Giả sử V hàm Lipschitz địa phương Dβ± V (yx (s)) = ∅ với hầu khắp nơi s > Khi khẳng định sau tương đương: (a) α(·) tối ưu với x; (b) với hầu khắp nơi s > với p ∈ Dβ± V (yx (s)), λV (yx (s)) − p, yx (s) − f (y, α) = 0; (3.6) (c) với hầu khắp nơi s > tồn p ∈ Dβ± V (yx (s)) cho (3.6) Kết luận Trong chương này, chứng minh hàm giá trị toán điều khiển tối ưu nghiệm β-nhớt phương trình Hamilton-Jacobi So sánh với kết [J.M Borwein, Q.J Zhu, (1996)] nghiệm β-nhớt chúng tơi khơng bị chặn nghiệm β-nhớt trình bày [J.M Borwein, Q.J Zhu, (1996)] bị chặn Chúng đưa điều kiện cần điều kiện đủ cho lớp toán điều khiển tối ưu với thời gian vô hạn cách sử dụng nghiệm β-nhớt Tương tự ta đưa kết toán điều khiển tối ưu với thời gian hữu hạn, thời gian tối thiểu chiết khấu thời gian tối thiểu 17 Chương PHƯƠNG TRÌNH HAMILTON-JACOBI VỚI BÀI TỐN ĐIỀU KHIỂN TỐI ƯU TRÊN KHỚP NỐI VỚI HÀM CHI PHÍ KHƠNG BỊ CHẶN Nội dung chương nghiên cứu nghiệm nhớt cho toán điều khiển tối ưu khớp nối Chúng hàm giá trị nghiệm nhớt phương trình HamiltonJacobi tương ứng trình bày tính chất nghiệm nhớt Ngồi nghiệm nhớt sử dụng để thiết lập điều kiện cần điều kiện đủ cho điều khiển tối ưu lớp toán điều khiển tối ưu Các kết chương viết dựa báo [3] Danh mục cơng trình khoa học tác giả liên quan đến luận án 4.1 Bài toán ĐKTƯ Khớp nối 4.1.1 Khớp nối Chúng tập trung vào khớp nối Rd với N nửa đường thẳng gọi cạnh, N > Với i = 1, · · · , N , ei ký hiệu véc tơ đơn vị thứ i Cạnh ký hiệu (Ji )i=1,··· ,N Ji nửa đường thẳng đóng R+ ei Nửa đường thẳng Ji gán với đỉnh O để tạo thành khớp nối G: G = N i=1 Ji 4.1.2 Bài toán điều khiển tối ưu Chúng tơi nghiên cứu tốn điều khiển tối ưu với thời gian vơ hạn có chi phí quy hoạch động khác cho cạnh Với i = 1, · · · , N, • tập điều khiển Ji ký hiệu Ai , • hệ điều khiển hệ động lực fi , • chi phí hoạt động i Chúng giới thiệu giả thiết sử dụng chương (H0) (Tập điều khiển) Cho A khơng gian mêtric (ta lấy A = Rd ) Với i = 1, · · · , N, Ai tập compact khác rỗng A tập Ai rời 18 (H1) (Động lực) Với i = 1, · · · , N, hàm fi : Ji × Ai → R liên tục bị chặn số M Hơn nữa, có số L > cho |fi (x, a) − fi (y, a)| ≤ L|x − y| với x, y ∈ Ji , a ∈ Ai Tiếp theo, ký hiệu Fi (x) tập {fi (x, a)ei : a ∈ Ai } (H2) (Chi phí) Với i = 1, · · · , N, hàm i : Ji × Ai → R liên tục λ tồn số C, m ≥ 0, với ≤ m < M môđun địa phương liên tục ω(·, ·) cho | i (x, a) − i (y, a)| ≤ ω(|x − y|, |x| ∨ |y|) với x, y ∈ Ji , a ∈ Ai , | i (x, a)| ≤ Cem|x| với x ∈ Ji , a ∈ Ai , (H2)∗ (Chi phí) Với i = 1, · · · , N, hàm i : Ji × Ai → R liên tục có số C, m ≥ môđun địa phương liên tục ω(·, ·) cho | i (x, a) − i (y, a)| ≤ ω(|x − y|, |x| ∨ |y|) với x, y ∈ Ji , a ∈ Ai , | i (x, a)| ≤ C(1 + |x|)m với x ∈ Ji , a ∈ Ai Chú ý số M (H2) (H2)∗ cho (H1) (H3) (Tính lồi động lực chi phí) Với i = 1, · · · , N, tập hợp sau F Li (x) = {(fi (x, a)ei , i (x, a)) : a ∈ Ai } tập đóng, khác rỗng lồi (H4) (Tính điều khiển mạnh) Tồn số thực δ > cho [−δei , δei ] ⊂ Fi (O) = {fi (O, a)ei : a ∈ Ai } Đặt M = {(x, a) : x ∈ G, a ∈ Ai x ∈ Ji \{O} a ∈ ∪N i=1 Ai x = O} Khi M tập đóng Ta định nghĩa hàm M bởi: với (x, a) ∈ M, fi (x, a)ei fi (O, a)ei f (x, a) = x ∈ Ji \{O}, x = O a ∈ Ai Hàm f liên tục M từ tập Ai rời Lấy F (x) xác định F (x) = Fi (x) ∪N i=1 Fi (O) 19 x ∈ Ji \{O} x = O Với x ∈ G, tập quỹ đạo chấp nhận x Yx = y˙ x (t) ∈ F (yx (t)) hầu khắp t > yx (0) = x yx ∈ Lip(R+ ; G) : Ta giới thiệu tập quỹ đạo điều khiển chấp nhận x Tx = + + (yx , α) ∈ L∞ loc (R ; M) :yx ∈ Lip(R ; G) t yx (t) = x + f (yx (s), α(t))ds Hàm chi phí Chi phí với quỹ đạo (yx , α) ∈ Tx ∞ J(x; (yx , α)) = (yx (t), α(t))e−λt dt, (4.1) λ > số thực hàm chi phí định nghĩa x ∈ Ji \{O}, i (x, a) M ∀(x, a) ∈ M, (x, a) = x = O a ∈ Ai i (O, a) Hàm giá trị toán điều khiển tối ưu với thời gian vô hạn v(x) = inf (yx ,α)∈Tx J(x; (yx , α)) (4.2) 4.1.3 Một số tính chất hàm giá trị đỉnh Bổ đề 4.1.1 Với giả thiết (H0), (H1), (H2) (H2)∗ , (H3), (H4), tồn ε > cho v|Ji liên tục Lipschitz Ji ∩B(O, ε) Bổ đề 4.1.2 Với giả thiết (H0), (H1), (H2) (H2)∗ , (H3), (H4), hàm giá trị v thỏa mãn v(O) ≤ − T HO λ 4.2 Phương trình HJ nghiệm nhớt 4.2.1 Hàm thử Để định nghĩa nghiệm nhớt tập G, trước hết cần định nghĩa lớp hàm thử chấp nhận Định nghĩa 4.2.1 Hàm ϕ : G → R hàm thử chấp nhận 20 • ϕ liên tục G C G\{O}, • với j, j = 1, · · · , N, ϕ|Jj ∈ C (Jj ) Tập tất hàm thử chấp nhận được ký hiệu R(G) Nếu ϕ ∈ R(G) ζ ∈ R, Dϕ(x, ζei ) xác định Dϕ(x, ζei ) = dϕ dϕ ζ dx (x) x ∈ Ji \{O} Dϕ(O, ζei ) = ζ limh→0+ dx (hei ) i i 4.2.2 Trường véc tơ Với i = 1, · · · , N, ta ký hiệu Fi+ (O) F L+ i (O) tập hợp Fi+ (O) = Fi (O) ∩ R+ ei , + F L+ i (O) = F Li (O) ∩ (R ei × R), Các tập khác rỗng nhờ giả thiết (H3) Chú ý ∈ ∩N i=1 Fi (O) Từ giả thiết (H2), tập compact lồi Với x ∈ G, tập F (x) F L(x) xác định Fi (x) + ∪N i=1 Fi (O) F (x) = x nằm cạnh Ji \{O} x = O, F Li (x) + ∪N i=1 F Li (O) F L(x) = x nằm cạnh Ji \{O} x = O 4.2.3 Định nghĩa nghiệm nhớt Bây ta định nghĩa nghiệm nhớt phương trình λu(x) + {−Du(x, ζ) − ξ} = sup G (4.3) (ζ,ξ)∈F L(x) Định nghĩa 4.2.2 • Một hàm nửa liên tục u : G → R nghiệm nhớt (4.3) G với x ∈ G, ϕ ∈ R(G) cho u − ϕ đạt cực đại địa phương điểm x, λu(x) + sup {−Dϕ(x, ζ) − ξ} ≤ (4.4) (ζ,ξ)∈F L(x) • Một hàm nửa liên tục u : G → R nghiệm nhớt (4.3) G với x ∈ G, ϕ ∈ R(G) cho u − ϕ đạt cực tiểu địa phương x, λu(x) + sup {−Dϕ(x, ζ) − ξ} ≥ (4.5) (ζ,ξ)∈F L(x) • Hàm liên tục u : G → R nghiệm nhớt (4.3) G vừa nghiệm nhớt vừa nghiệm nhớt (4.3) G 21 4.2.4 Hàm Hamilton Ta định nghĩa hàm Hamilton Hi : Ji × R → R Hi (x, p) = max{−pfi (x, a) − i (x, a)} a∈Ai hàm Hamilton HO : RN → R HO (p1 , · · · , pN ) = max max {−pi fi (O, a) − i (O, a)} i=1,··· ,N a∈Ai s.t fi (O,a)≥0 Định nghĩa 4.2.3 • Một hàm nửa liên tục u : G → R nghiệm nhớt (4.3) G với x ∈ G, ϕ ∈ R(G) cho u − ϕ đạt cực đại địa phương x, dϕ (x) ≤ x ∈ Ji \{O}, dxi dϕ dϕ (O), · · · , (O) ≤ dx1 dxN λu(x) + Hi x, λu(O) + HO (4.6) • Một hàm nửa liên tục u : G → R nghiệm nhớt (4.3) G với x ∈ G, ϕ ∈ R(G) cho u − ϕ đạt cực tiểu địa phương x, dϕ (x) ≥ x ∈ Ji \{O} dxi dϕ dϕ (O), · · · , (O) ≥ dx1 dxN λu(x) + Hi x, λu(O) + HO (4.7) Định lý 4.2.4 Giả sử (H0), (H1), (H2) (hoặc (H2)∗ ) (H3) đúng, hàm giá trị v xác định (4.2) nghiệm nhớt (4.3) G 4.3 Nguyên lý so sánh tính Định lý 4.3.1 (a) Giả sử (H0), (H1), (H2) (H3) Lấy u, v : G → R thỏa mãn |u(x)| ≤ Kem|x| , |v(x)| ≤ Kem|x| với số λ K > 0, x ∈ G, với ≤ m < M u, v liên tục G Hơn tồn ri > cho u|Ji , v|Ji liên tục Lipschitz Ji ∩ B(O, ri ) Giả sử u nghiệm nhớt v nghiệm nhớt (4.3) G Khi u ≤ v 22 (b) Giả sử (H0), (H1), (H2)∗ (H3) Lấy u, v : G → R thỏa mãn |u(x)| ≤ K(1 + |x|)m , |v(x)| ≤ K(1 + |x|)m với số K > 0, x ∈ G, với ≤ m u, v liên tục G Hơn tồn ri > cho u|Ji , v|Ji liên tục Ji ∩ B(O, ri ) Giả sử u nghiệm nhớt v nghiệm nhớt (4.3) G Khi u ≤ v 4.4 Ứng dụng nghiệm nhớt Định lý 4.4.1 Với x ∈ G (yx , α) ∈ Tx , hàm sau không giảm: s s→ e−λt f (yx (t), α(t))dt + e−λs v(yx (s)), s ∈ [0, ∞) Hơn hàm điều khiển α(·) tối ưu với vị trí ban đầu x Định lý 4.4.2 Với x ∈ G, α(·) điều khiển cho với (yx , α) ∈ Tx hàm giá trị v liên tục Lipschitz thỏa mãn v(yx (s) + tf (yx (s), α(s))) − v(yx (s)) + (yx (s), α(s)) ≤ λv(yx (s)) t (4.8) với hầu khắp nơi s, α(·) tối ưu với thời điểm đầu x lim inf t→0+ Định lý 4.4.3 Giả sử hàm giá trị v Lipschitz địa phương Khi α(·) tối ưu với thời điểm đầu x v(yx (s) + tf (yx (s), α(s))) − v(yx (s)) + (yx (s), α(s)) = λv(yx (s)) t (4.9) với hầu khắp nơi s lim t→0 Kết luận Nội dung chương nghiên cứu toán điều khiển tối ưu khớp nối So sánh với kết gần đây, hàm chi phí mà chúng tơi sử dụng lớp rộng Do đó, hàm giá trị đạt khơng bị chặn Chúng tơi thiết lập điều kiện cần đủ cho điều khiển tối ưu toán điều khiển tối ưu với thời gian vô hạn 23 KẾT LUẬN Luận án nghiên cứu ứng dụng vi phân cho nghiệm nhớt phương trình Hamilton-Jacobi khơng gian Banach Cụ thể luận án nghiên cứu vấn đề sau: (1) vi phân β-nhớt, tính chất vi phân β-nhớt, nguyên lý biến phân trơn; (2) tính nghiệm β-nhớt phương trình Hamilton-Jacobi khơng gian Banach có dạng u+H(x, Du) = u+H(x, u, Du) = bao gồm tính chất nghiệm tính tổng quát Hamiltonian; tính ổn định sử tồn nghiệm β-nhớt cho phương trình; (3) nghiệm β-nhớt toán điều khiển tối ưu không gian Banach, phản hồi tối ưu tốn điều khiển tối ưu với thời gian vơ hạn; (4) nghiệm nhớt toán điều khiển tối ưu khớp nối, điều kiện cần đủ cho điều khiển tối ưu Cụ thể, luận án đạt kết sau: Chứng minh số kết nguyên lý biến phân trơn cho hàm nửa liên tục bị chặn không gian Banach X thỏa mãn giả thiết (Hβ∗ ) khơng gian có chuẩn β-trơn Chứng minh tính nghiệm β-nhớt phương trình Hamilton-Jacobi lớp hàm liên tục bị chặn cho phương trình Hamilton-Jacobi có dạng u + H(x, Du) = 0, tính nghiệm lớp hàm liên tục khơng bị chặn phương trình đạo hàm riêng cấp dạng tổng quát u + H(x, u, Du) = Chứng minh tính ổn định tồn nghiệm β-nhớt phương trình Hamilton-Jacobi dạng tổng quát u + H(x, u, Du) = Chứng minh hàm giá trị toán điều khiển tối ưu với thời gian vô hạn nghiệm β-nhớt phương trình Hamilton-Jacobi tương ứng, chứng minh điều kiện cần đủ điều khiển tối ưu Khi nghiên cứu nghiệm nhớt khớp nối: Chứng minh số tính chất hàm giá trị tính liên tục, độ tăng, tính bị chặn điểm O Thiết lập điều kiện cần đủ cho điều khiển tối ưu toán điều khiển tối ưu với thời gian vơ hạn 24 DANH MỤC CƠNG TRÌNH KHOA HỌC CỦA TÁC GIẢ LIÊN QUAN ĐẾN LUẬN ÁN [1] T.V Bang, P.T Tien, (2018), On the existence, uniqueness, and stability of β-viscosity solutions to a class of HamiltonJacobi equations in Banach spaces, Acta Math Vietnam DOI: 10.1007/s40306-018-0287-7 [2] P.T Tien, T.V Bang, (2019), Uniqueness of β-viscosity solutions of Hamilton-Jacobi equations and applications to a class of optimal control problems, Differential Equations and Dynamical Systems, DOI: 10.1007/s12591-019-00479-7 [3] P.T Tien, T.V Bang, (2019), Hamilton-Jacobi equations for optimal control on junctions with unbounded running cost functions, Applicable Analysis, DOI: 10.1080/00036811.2019.1643012 ... Chứng minh tính ổn định nghiệm β- nhớt phương trình Hamilton- Jacobi Chứng minh tồn nghiệm β- nhớt phương trình Hamilton- Jacobi 13 Chương ỨNG DỤNG CỦA NGHIỆM β -NHỚT ĐỐI VỚI BÀI TOÁN ĐIỀU KHIỂN TỐI... tồn nghiệm phương trình chúng tơi Chương chứng minh hàm giá trị toán điều khiển tối ưu nghiệm β- nhớt phương trình HamiltonJacobi tương ứng Các phản hồi điều kiện đủ cho điều khiển tối ưu trình. .. trị toán điều khiển tối ưu với thời gian vô hạn nghiệm β- nhớt phương trình Hamilton- Jacobi tương ứng, chứng minh điều kiện cần đủ điều khiển tối ưu Khi nghiên cứu nghiệm nhớt khớp nối: Chứng