Bài toán điều khiển cho một lớp phương trình vi phân phân phi tuyến cấp hai

B GIO DC V O TO TRNG I HC S PHM H NI NGUYN TH HUYN BI TON IU KHIN CHO MT LP PHNG TRèNH VI PHN PHI TUYN CP HAI LUN VN THC S TON HC Chuyờn ngnh: Toỏn Gii Tớch Mó s : 60 46 01 02 Ngi hng dn khoa hc TS. Trn ỡnh K H Ni, 2014 Li cm n Lun c hon thnh ti trng i hc S phm H Ni di s hng dn ca TS. Trn ỡnh K. Tụi xin by t lũng bit n sõu sc ti TS. Trn ỡnh K, ngi ó nh hng chn ti v tn tỡnh hng dn tụi cú th hon thnh lun ny. Tụi cng xin by t lũng bit n chõn thnh ti phũng sau i hc, cỏc GS, TS dy cao hc chuyờn ngnh Toỏn gii tớch, trng i hc S phm H Ni 2, cựng cỏc bn hc viờn lp cao hc K16 ó giỳp tụi sut quỏ trỡnh hc v thc hin lun vn. Nhõn dp ny tụi cng xin c gi li cm n chõn thnh ti Ban Giỏm hiu trng Cao ng ngh C khớ Nụng Nghip - Bỡnh Xuyờn - Vnh Phỳc ó to mi iu kin thun li cho tụi thi gian hc cao hc. Qua õy tụi cng by t lũng bit n ti gia ỡnh, bn bố ng nghip ó luụn ng viờn, c v, to mi iu kin thun li cho tụi sut quỏ trỡnh hc v hon thnh lun vn. H Ni, thỏng 06 nm 2014 Tỏc gi Nguyn Th Huyn Li cam oan Tụi xin cam oan, di s hng dn ca TS. Trn ỡnh K, lun Thc s chuyờn ngnh Toỏn gii tớch vi ti Bi toỏn iu khin cho mt lp phng trỡnh vi phõn phi tuyn cp hai c hon thnh bi nhn thc ca riờng tụi. Trong quỏ trỡnh nghiờn cu thc hin lun vn, tụi ó k tha nhng thnh tu ca cỏc nh khoa hc vi s trõn trng v bit n. H Ni, thỏng 06 nm 2014 Tỏc gi Nguyn Th Huyn Mc lc M u . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Chng 1. Kin thc chun b . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1. o khụng compact v ỏnh x a tr . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2. H hm Cụ-sin v tớnh iu khin c ca phng trỡnh cp hai tuyn tớnh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 Chng 2. Tớnh iu khin c ca h phi tuyn . . . . . . 16 2.1. Thit lp cỏc gi thit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 2.2. Chng minh tớnh iu khin c. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 Chng 3. ng dng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 Kt lun . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 Ti liu tham kho . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 M u 1. Lớ chn ti Xột bi toỏn iu khin x (t) Ax(t) Bu(t) F (t, x(t), u(t)), t J := [0, T ], (0.0.1) x(0) + g(x) = x0 , x (0) + h(x) = x1 , (0.0.2) ú hm trng thỏi x ly giỏ tr khụng gian Hilbert X, hm iu khin u L2 (J; V ), vi V l mt khụng gian Hilbert. Toỏn t tuyn tớnh A l phn t sinh ca mt h hm Cụ-sin {C(t)}tR , toỏn t iu khin B : V X l tuyn tớnh, b chn v hm phi tuyn F : J ìX ìV X l mt ỏnh x a tr. Cỏc hm g, h : C(J; X) X v giỏ tr ban u (x0 , x1 ) X c cho trc. H iu khin tuyn tớnh tng ng vi h (0.0.1)-(0.0.2) l: x (t) = Ax(t) + Bu(t), t J, (0.0.3) x(0) = x0 , x (0) = x1 . (0.0.4) Nghim tớch phõn x C(J; X) ca (0.0.3)-(0.0.4) ng vi iu khin u c cho bi t S(t s)Bu(s)ds, x(t) = C(t)x0 + S(t)x1 + vi {S(t)}tR l h hm Sin ng vi h Cụ-sin {C(t)}tR . i vi h phi tuyn (0.0.1)-(0.0.2), hm x C(J; X) c gi l nghim tớch phõn ng vi iu khin u nu tn ti mt hm f L1 (J; X) cho f (t) F (t, x(t), u(t)) vi hu khp t J v t x(t) = C(t)[x0 g(x)] + S(t)[x1 h(x)] + S(t s)[Bu(s) + f (s)]ds. Nhng c bn liờn quan n cỏc phng trỡnh vi phõn cp hai v h hm Cụ-sin cú th tỡm thy [14]. Vic nghiờn cu tớnh gii c ca phng trỡnh cp hai vi iu kin khụng cc b ó c tin hnh bi nhiu tỏc gi, ú cú cỏc kt qu tiờu biu trỡnh by [2, 4, 17, 18]. t t S(t s)Bu(s)ds, W (x0 , x1 , u)(t) = C(t)x0 + S(t)x1 + v ký hiu (x0 , x1 , u) l nghim ca h (0.0.1)-(0.0.2) ng vi iu khin u v d kin ban u (x0 , x1 ). Chỳ ý rng cú mt s khỏi nim khỏc v tớnh iu khin c cho h phng trỡnh vi phõn cp hai (xem [3]). õy, ta quan tõm n khỏi nim iu khin c dc theo qu o: h tuyn tớnh (0.0.3)-(0.0.4) c gi l iu khin c chớnh xỏc nu vi (x0 , x1 ) X , ta cú WT = X, ú WT := {W (x0 , x1 , u)(T ) : u L2 (J; V )}. Tng t, ta núi rng h (0.0.1)-(0.0.2) l iu khin c chớnh xỏc nu vi (x0 , x1 ) X , ta cú T = X, ú T := {y(T ) : y (x0 , x1 , u), u L2 (J; V )}. Trong [5, 10], kt qu v tớnh iu khin c cho phng trỡnh vi tớch phõn bc hai phi tuyn ó c thit lp vi iu kin hm phi tuyn tha iu kin Lipschitz. Bi toỏn iu khin i vi bao hm thc vi phõn hm dng trung tớnh ó c nghiờn cu [23]. Cú th tỡm thy cỏc kt qu iu khin cho phng trỡnh vi phõn cha xung hoc bao hm thc vi phõn trung tớnh cha xung cỏc cụng trỡnh [8, 24, 26]. i vi bi toỏn iu khin cú iu kin ban u phi a phng, mt s kt qu gn õy c thit lp cỏc cụng trỡnh [4, 7, 16]. Trong cỏc cụng trỡnh k trờn, cỏc tỏc gi ó s dng mt gi thit quan trng, ú l toỏn t T BT u = S(T s)Bu(s)ds cú nghch o b chn BT1 : X L2 (J; V )/ ker BT . Gi thit ny ũi hi BT phi l ton ỏnh v ú WT = X. Ta bit rng i vi h (0.0.3)-(0.0.4), ớch WT khụng th trựng vi X nu, S(ã) l toỏn t compact v X l khụng gian vụ hn chiu (xem [28, 29]). Trong trng hp ny, WT l khụng gian thc s ca X. Do vy gi thit BT l ton ỏnh khụng thc t, c vi lp phng trỡnh súng c in (xem vớ d chng cui). Do hn ch núi trờn, khỏi nim iu khin c chớnh xỏc n khụng gian t hu dng. Ta mụ t khỏi nim ny nh sau. Gi s X0 l mt khụng gian úng ca X v E0 X ì X. H tuyn tớnh c gi l iu khin c chớnh xỏc t E0 n X0 (hay (E0 , X0 )-iu khin c) nu vi mi (x0 , x1 ) E0 , xT X0 , tn ti u L2 (J; V ) cho W (x0 , x1 , u)(T ) = xT . Gi s rng {C(T )x0 + S(T )x1 : (x0 , x1 ) E0 } X0 . Khi ú iu kin R[BT ] = X0 tng ng vi (E0 , X0 )-iu khin c cho h (0.0.3)-(0.0.4), ú R[BT ] l nh ca BT . Mc tiờu ca lun l i tỡm cỏc iu kin cho hm phi tuyn F v cỏc hm g, h cho h phi tuyn (0.0.1)-(0.0.2) l (E0 , X0 )-iu khin c h tuyn tớnh tng ng (0.0.3)-(0.0.4) cú tớnh cht ny. So sỏnh vi cỏc kt qu ó cú, h iu khin ang xột cho phộp cú nhiu iu khin, tc l, hm phi tuyn khụng ch ph thuc hm trng thỏi x m cũn ph thuc u. Ngoi ra, ta khụng gi thit hm F, g, h tha iu kin Lipschitz. Thay vo ú, ta yờu cu mt iu kin yu hn, iu kin ny c din t qua o khụng compact (MNC) (xem Chỳ ý 2.1.1 v 2.1.2 cú so sỏnh chi tit). chng minh kt qu iu khin c, ta ỏp dng lý thuyt im bt ng cho ỏnh x a tr nộn (xem [19]). C th, ta s xõy dng cỏc o khụng compact phự hp v s dng cỏc c lng theo o chng minh tớnh nộn ca toỏn t nghim, t ú ỏp dng nh lý im bt ng thớch hp. Cỏch tip cn ca lun l phng phỏp ph dng dựng nghiờn cu cỏc bao hm thc vi phõn (xem [19] v cỏc cụng trỡnh [9, 12, 21, 22]). Trong Chng 1, chỳng tụi gii thiu mt s kin thc c bn liờn quan n o khụng compact, gii tớch a tr v cỏc kt qu iu khin i vi phng trỡnh cp hai tuyn tớnh. Chng trỡnh by kt qu chớnh: tớnh iu khin c (nh lý 2.2.2) cho h phi tuyn (0.0.1)(0.0.2). Chng cui trỡnh by mt ng dng cho bi toỏn iu khin i vi phng trỡnh truyn súng phi tuyn. 2. Mc ớch nghiờn cu Nghiờn cu bi toỏn iu khin phi tuyn vụ hn chiu thụng qua mt lp bi toỏn iu khin phi tuyn cp hai khụng gian Hilbert. Chng minh chi tit cỏc kt qu bi bỏo [20]. 3. Nhim v nghiờn cu 1. Tỡm hiu lý thuyt phng trỡnh vi phõn cp hai tuyn tớnh tng quỏt; 2. Tỡm hiu bi toỏn iu khin i vi phng trỡnh cp hai tuyn tớnh; 3. Tỡm hiu lý thuyt im bt ng ca ỏnh x a tr nộn; 4. Chng minh tớnh iu khin c cc b ca mt lp bi toỏn vi phng trỡnh cp hai phi tuyn. 4. i tng v phm vi nghiờn cu i tng nghiờn cu l bi toỏn iu khin liờn quan n phng trỡnh vi phõn cp hai. Phm vi nghiờn cu: tớnh iu khin c cc b. 5. Phng phỏp nghiờn cu Lun s dng mt s phng phỏp v cụng c ca gii tớch bao gm: Lý thuyt h hm Cụ-sin; o khụng compact v lý thuyt im bt ng ca ỏnh x a tr nộn; Lý thuyt iu khin cỏc h vi phõn tuyn tớnh. 6. úng gúp mi ca lun Chng minh chi tit cỏc kt qu bi bỏo [20]. Chng Kin thc chun b 1.1. o khụng compact v ỏnh x a tr Gi s E l mt khụng gian Banach. Ký hiu C(E) = {A P(E) : A l úng}, K(E) = {A P(E) : A l compact}, Kv(E) = {A K(E) : A l li}. Ta cú nh ngha sau õy. nh ngha 1.1.1. Gi s (A, ) l sp th t b phn. Mt hm : P(E) A c gi l o khụng compact (MNC) trờn E nu (co ) = () vi mi P(E), ú co l bao li úng ca . Mt MNC c gi l i) n iu, nu , P(E), kộo theo (0 ) (1 ); ii) khụng k d, nu ({a} ) = () vi mi a E, P(E); iii) bt bin i vi nhiu compact, nu (K ) = () vi mi compact tng i K E v P(E); Nu A l mt nún khụng gian nh chun, ta núi l 29 T (2.2.36)-(2.2.39) ta c T CX (1 F(A)) mg + mh + 4M0 M k0 T B X ,V + 4M0 k(s)ds CX (D) T + 4M0 M q0 T B X ,V + 4M0 q(s)ds CV (C) = k0 + 4M0 M k0 T B X ,V CX (D) + q0 + 4M0 M q0 T B X ,V CV (C). Bt ng thc cui cựng vi (2.2.35) kộo theo C (F(A)) = CX (1 F(A)) + CV (2 F(A)) 2k0 + 2M0 M T B X ,V CX (D) + 2q0 + 2M0 M T B X ,V CV (C). Tc l C (F(A)) Thay vo (2.2.30) v CX (D) + CV (C) = C (A). < 1, ta c C (A) = v ú A l mt compact tng i, tớnh chớnh tc ca C . Ta cú iu phi chng minh. Nhn xột 2.2.1. Nu S(t) l compact vi t J v X l tỏch c, ta cú th loi b gi thit (F4). Trong thc t, ta s dng (F4) cho c lng (2.2.34) v (2.2.39). Vi gi s S(t) compact, ta c c lng (2.2.34) trc tip (da vo Mnh 30 1.1.2): X QLSF1 (A) T S(T s)f (s)ds : f L1 (J; X), f (s) F (s, D(s), C(s)) = X T X S(T s)f (s) : f L1 (J; X), f (s) F (s, D(s), C(s) ds =0 tớnh compact ca S(T s). c lng (2.2.39) cú c bng cỏch thc tng t. Vỡ vy, trng hp ny q0 = 0, k0 = mg + mh (2.2.29) v ú iu kin (2.2.29) tr thnh 2k0 (1 + 2M0 M T B X ,V ) < 1. Chỳ ý rng, tỡnh S(t) compact xut hin nhiu bi toỏn iu khin i vi phng trỡnh o hm riờng, bao gm phng trỡnh parabolic. Theo ú tớnh iu khin c chớnh xỏc cho nhng mụ hỡnh ny khụng th thc hin c. Bc cui cựng ta chng minh nh lớ chớnh. ú l kt qu v tớnh iu khin c cho h (0.0.1)-(0.0.2). nh lý 2.2.2. Gi s cú cỏc gi thit (SA), (F1)-(F4) v (GH1)(GH3). Nu (2.2.29) v bt ng thc N0 Cg g (n) + M0 Ch h (n) + M0 (n) lim n n < + M (1 + M0 T B ) T à(s)ds c thc hin thỡ h phi tuyn (0.0.1)-(0.0.2) l (E0 , X0 )-iu khin c. Chng minh. Ta ỏp dng nh lý 1.1.1 ch rng toỏn t a tr F cú mt im bt ng. Ta ó chng minh B 2.2.4 v nh 31 lý 2.2.1 rng F l na liờn tc trờn v C -nộn. Phn cũn li ta ch s tn ti s R > cho F(BR ) BR , õy BR = {(x, u) C(J; X) ì C(J; V ) : x C + u C R}. Gi s ngc li vi mi n N, tn ti (xn , un ) C(J; X) ì C(J; V ) cho xn C + un C n (2.2.40) yn C + zn C > n, (2.2.41) vi (yn , zn ) F(xn , un ). Ly fn SF1 (xn , un ) cho yn = G(xn ) + L(Bzn + fn ), zn = B S (T ã)(T0 )1 xT QG(xn ) QL(fn ) . i vi zn , ta cú zn C M xT X + C(T ) x0 g(xn ) X T +M S(T ) x1 h(xn ) X S(T s)fn (s)ds + X M xT X + C(T ) + M S(T ) x0 + Cg g ( xn C) x1 + Ch h ( xn C) (2.2.42) T + M M0 à(s) xn (s) X + un (s) V ds C +M C(T ) Cg g ( xn C) + S(T ) Ch h ( xn C) T + M M0 xn C + un à(s)ds, C (2.2.43) õy C = M ( xT X + C(T ) x0 + S(T ) x1 ó núi trờn ta ó s dng (GH2) v (F3). X ). Trong c lng 32 i vi yn , ta cú yn (t) X C(t) x0 g(xn ) + S(t) x1 h(xn ) X t t S(t s)Bzn (s)ds + X S(t s)fn (s)ds + N0 x0 X X + Cg g ( xn C) + M0 x1 X + Ch h ( xn C) t + M0 T B zn C + M0 à(s) xn (s) + un (s) X V õy N0 = suptJ C(t) . Do ú yn C C0 + N0 Cg g ( xn C) + M0 Ch h ( xn C) T + M0 T B zn C + M0 xn C + un à(s)ds, C (2.2.44) ú C0 = N0 x0 X + M0 x1 X. Ký hiu T (r, ) = N0 Cg g (r) + M0 Ch h (r) + M0 (r + ) à(s)ds. Theo (2.2.43) v (2.2.44) ta cú zn C C + M yn C C0 + M0 T B xn C, zn un C C + , xn C, un C . Do ú yn C + zn C C0 + + M0 T B zn C0 + + M0 T B C C + + + M (1 + M0 T B ) xn C, un C (2.2.45) xn C, un C . (2.2.46) ds, 33 Thay vo (2.2.40)-(2.2.41) v s dng (2.2.46) ta cú 1< n yn C + zn C C0 + (1 + M0 T B )C n + + M (1 + M0 T B ) n xn C, un C . Khi ú 1 lim xn C , un C + M (1 + M0 T B ) n n N0 Cg g (n) + M0 Ch h (n) + M0 (n) lim n n T à(s)ds . õy l iu mõu thun vi gi thit ca nh lý. nh lý 2.2.2 c chng minh. Chng ng dng Xột h iu khin sau x(t, ) x(t, ) = + u(t, ) + f (t, x(t, ), u(t, )), t [0, T ], [0, ], t2 (3.0.1) x(t, 0) = x(t, ) = 0, (3.0.2) m x(0, ) = x0 () gk ()x(tk , )d, tk [0, T ], k = 1, .m, k=1 (3.0.3) x(0, ) = x1 () t m tk hk (, )x(s, )dds. k=1 (3.0.4) õy hm iu khin u L2 (0, T ; L2 (0, )). Ly X = L2 (0, ). nh ngha toỏn t A : X X bi Ay = y vi xỏc nh D(A) = H (0, ) H01 (0, ). Ta bit rng A l phn t sinh ca h hm Cụ-sin liờn tc mnh {C(t)}tR trờn X. C th ta cú (C(t)y)() = n=1 õy {n () = sin n : y() sin nd cos nt sin n. n = 1, 2, .} l c s trc chun ca L2 (0, ) v cỏc phn t ca h l cỏc hm riờng ng vi cỏc giỏ tr riờng {n = n2 : n = 1, 2, .} ca A. Chun L2 (0, ) c xỏc nh 34 35 bi: y = n=1 y() sin nd . Ngoi ra, h hm sin {S(t)}tR ng vi h hm Cụ-sin núi trờn c cho bi (S(t)y)() = n=1 n y() sin nd sin nt sin n. (3.0.5) Chỳ ý rng A l toỏn t xỏc nh dng v t liờn hp, ta cú th xỏc nh toỏn t (bc khụng nguyờn) (A) , R nh sau: n y, n (A) y() = n=1 n2 = n=1 T ú (A) y = n=1 L2 (0,) n y() sin nd sin n. 2n4 y() sin nd . Mt khỏc y H01 (0,) = Ay, y L2 (0,) = (A) y, (A) y Khi ú y H01 (0,) = n=1 L2 (0,) 2n2 = (A) y . y() sin nd v, hn na, ta cú D((A) ) = H01 (0, ). Ký hiu H l khụng gian i ngu ca H01 (0, ). Khi ú ta d dng thy H = D((A) ) v chun H c cho bi y H = n=1 n2 y() sin nd . Chỳ ý rng S(t) l compact. Tht vy, phộp nhỳng H01 (0, ) L2 (0, ) l compact, ta cn ch rng S(t)D l b chn H01 (0, ) 36 vi D l b chn L2 (0, ). T (3.0.5) cú S(t)y H01 (0,) = n=1 y y() sin nd sin2 nt L2 (0,) , y D. Vỡ vy, ta c S(t)D b chn H01 (0, ). Gi s X0 = H01 (0, ) v E0 = H01 (0, ) ì L2 (0, ). Khi ú ta cú th kim tra tớnh (E0 , X0 )-iu khin c vi h tuyn tớnh x(t, ) x(t, ) = + u(t, ), t [0, T ], [0, ], t2 x(t, 0) = x(t, ) = 0, x(0, ) = x0 (), x(0, ) = x1 (). t Tht vy, ta cú T B S (T ã)y L2 (J;X) L2 (J;X) = S (T ã)y S(T s)y = X ds = n=1 = n2 (T n=1 T sin2 n(T s)ds y() sin nd 2n sin 2nT ) n2 y() sin nd biu din ca S(t) (3.0.5). Do ú, nu T > 21 , ta cú th tỡm mt s > cho B S (T s)y L2 (J;X) y H . Nh (3.0.5) ta cú S(t)y H01 (0, ) vi mi y L2 (0, ). Hn na, nu y H01 (0, ) thỡ C(t)y H01 (0, ) . Do ú {C(t)x0 + S(t)x1 : (x0 , x1 ) H01 (0, ) ì L2 (0, )} H01 (0, ) v tớnh cht (SA)(1) c tha món. i vi f L1 (0, T ; L2 (0, )), ta cú S(T s)f (s, ã) H01 (0, ) 37 T vi hu khp s [0, T ]. Vỡ vy S(T s)f (s, ã)ds H01 (0, ) v iu kin (SA)(2) c thc hin. i vi h phi tuyn (3.0.1)-(3.0.4), ta gi s rng (N1) Toỏn t phi tuyn f : [0, T ] ì R2 R l liờn tc. Ngoi ra, tn ti mt hm L1 (0, T ) cho |f (t, , )| à(t)(|| + ||) vi mi , R; (N2) Vi mi k = 1, ., m, gk L2 (0, ) v hk L2 ([0, ]2 ). D dng kim tra rng f tha (F1)-(F3) cú (N1). Do S(t) l compact v X l tỏch c, ta cú th b iu kin (F4) nh ó cp Nhn xột 2.2.1. t m gk ()x(tk , )d, g(x)() = k=1 m k=1 tk hk (, )x(s, )dds, h(x)() = ta thy rng g, h : C([0, T ]; L2 (0, )) L2 (0, ) l cỏc hm Lipschitz. Tht vy, m |gk () x(tk , ) y(tk , )|d |g(x)() g(y)()| k=1 m gk L2 (0,) x(tk , ã) y(tk , ã) L2 (0,) k=1 m gk xy L2 (0,) C. k=1 Do ú g(x) g(y) L2 (0,) m gk k=1 L2 (0,) xy C. (3.0.6) 38 Vi hm h, ta cú m tk |h(x)() h(y)()| |hk (, ) x(s, ) y(s, )|dds k=1 m tk hk (, ã) L2 (0,) x(s, ã) y(s, ã) L2 (0,) ds k=1 m hk (, ã) T L2 (0,) xy C. k=1 Khi ú h(x) h(y) L2 (0,) m hk 2T L2 ([0,]2 ) xy C. (3.0.7) k=1 Nh Nhn xột 2.1.2, ta thy g v h tha (GH2)-(GH3). Rừ rng g(x) H01 (0, ) vi mi x L2 (0, ), nh ngha ca g. Vỡ vy (g(x), h(x)) E0 = H01 (0, ) ì L2 (0, ) vi mi x L2 (0, ) v (GH1) c kim chng. Ký hiu Cg = m gk L2 (0,) , Ch = m 2T k=1 M = sup hk L2 ([0,]2 ) , k=1 S (T t)(T0 )1 X , t[0,T ] mg = N0 Cg , mh = M0 Ch , k0 = mg + mh . Ta cú kt qu iu khin cho h (3.0.1)-(3.0.4) nh sau. nh lý 3.0.3. Gi s cú (N1)-(N2) v cỏc bt ng thc 2k0 (1 + 2M0 M T ) < 1, T N0 Cg + M0 Ch + M0 à(s)ds < . + M (1 + M0 T ) 39 c tha món. Khi ú h phi tuyn (3.0.1)-(3.0.4) l (H01 ì L2 , H01 )-iu khin c. Kt lun Lun nghiờn cu bi toỏn iu khin ng vi mt lp phng trỡnh vi phõn cp hai phi tuyn khụng gian Hilbert. C th: 1. Nghiờn cu tớnh iu khin c cc b ca lp bi toỏn iu khin núi trờn; 2. Trỡnh by mt ng dng cho bi toỏn iu khin i vi phng trỡnh truyn súng phi tuyn tng quỏt. Trong thi gian nghiờn cu v thc hin lun vn, chỳng tụi ó c gng chng minh chi tit cỏc kt qu bi bỏo [20] lm ni dung chớnh ca lun vn. Tuy nhiờn, lun khụng th trỏnh nhng thiu sút, chỳng tụi rt mong nhn c nhng ý kin úng gúp ca cỏc thy cụ v cỏc bn lun c hon thin hn. Xin chõn thnh cm n ! 40 Ti liu tham kho [1] R.R. Akhmerov, M.I. Kamenskii, A.S. Potapov, A.E. Rodkina, B.N. Sadovskii, Measures of Noncompactness and Condensing Operators, Birkhăauser, Boston-Basel-Berlin, 1992. [2] M. Bahaj, Remarks on the existence results for second-order differential inclusions with nonlocal conditions, J. Dyn. Cont. Syst. 15 (2009), no.1, 27-43. [3] K. Balachandran, J.P. Dauer, Controllability of nonlinear systems in Banach spaces: a survey, J. Optim. Theory Appl. 115(2002), no.1, 7-28. [4] K. Balachandran, J.Y. Park, Existence of solutions of second order nonlinear differential equations with nonlocal conditions in Banach spaces, Indian J. Pure Appl. Math. 32(2001), no.12, 1883-1891. [5] K. Balachandran, J.Y. Park, S. Marshal Anthoni, Controllability of second order semilinear Volterra integrodifferential systems in Banach spaces, Bull. Korean Math. Soc. 36 (1999), no.1, 1-13. [6] A.E. Bashirov, N.I. Mahmudov, On concepts of contronllability for deterministric and stochastic systems, SIAM J. Control Optim. 37 (1999), no.6, 1808-1821. [7] M. Benchohra, S.K. Ntouyas, Controllability of second order differential inclusion in Banach spaces with nonlocal conditions, J. Optim. Theory Appl. 107 (2000), no.3, 559-571. 41 42 [8] I. Benedetti, V. Obukhovskii, P. Zecca, Controllability for impulsive semilinear functional differential inclusions with a non-compact evolution operator, Discussiones Math. Differential Inclusions, Control and Optimiz. 31(2011), no. 1, 39-69. [9] T. Cardinali, P. Rubbioni, Impulsive semilinear differential inclusions: Topological structure of the solution set and solutions on noncompact domains, Nonlinear Anal. 69 (2008), no.1, 73-84. [10] Y.K. Chang, W.T. Li, Controllability of second order differential and integrodifferential inclusions in Banach spaces, J. Optim. Theory Appl. 129 (2006), no.1, 77-87. [11] R.F. Curtain, A.J. Pritchard, Infinite Dimensional Linear Systems Theory, Lecture Notes in Control and Inform. Sci. 8, SpringerVerlag, New York, 1978. [12] Q. Dong, Z. Fan, G. Li, Existence of solutions to nonlocal neutral functional differential and integrodifferential equations, Int. J. Nonlinear Science 5(2008), no.2, 140-151. [13] K.-J. Engel, R. Nagel, One-Parameter Semigroups for Linear Evolution Equations. Graduate Texts in Mathematics, 194. SpringerVerlag, New York, 2000. [14] H.O. Fattorini, Second Order Linear Differential Equations in Banach Spaces, North Holland Mathematics Studies, 108, Elsevier Science, North Holland, 1985. [15] L. Gúrniewicz, Topological Fixed Point Theory of Multivalued Mappings.2nd edition. Topological Fixed Point Theory and Its Applications, 4.Springer, Dordrecht, 2006. 43 [16] L. G orniewicz, S.K. Ntouyas, D. ORegan, Existence and controllability results for first- and second-order functional semilinear differential inclusions with nonlocal conditions, Numerical Functional Analysis and Optimization 28 (2007), no. 1-2, 53-82. [17] E.M. Hernỏndez, Existence of solutions for an abstract second-order differential equation with nonlocal conditions. Electron. J. Differential Equations 2009, no. 96, 10 pp. [18] E.M. Hernỏndez, H.R. Henrớquez, Existence results for second order differential equations with nonlocal conditions in Banach spaces, Funkcialaj Ekvacioj 52 (2009), no. 1, 113-137. [19] M. Kamenskii, V. Obukhovskii, P. Zecca, Condensing Multivalued Maps and Semilinear Differential Inclusions in Banach Spaces, de Gruyter Series in Nonlinear Analysis and Applications, 7, Walter de Gruyter, BerlinNew York, 2001. [20] T. D. Ke, V. Obukhovskii, Controllability for systems governed by second-order differential inclusions with nonlocal conditions, Topol. Methods Nonlinear Anal. 42:2 (2013), 377-403. [21] V. Obukhovskii, J.C. Yao, On impulsive functional differential inclusions with Hille-Yosida operators in Banach spaces, Nonlinear Anal. 73 (2010), no.6, 1715-1728. [22] V. Obukhovskii, P. Zecca, Controllability for systems governed by semilinear differential inclusions in a Banach space with a noncompact semigroup, Nonlinear Anal. 70 (2009), no. 9, 3424-3436. 44 [23] J.Y. Park, Y.C. Kwun, H.J. Lee, Controllability of second-order neutral functional differential inclusions in Banach spaces, J. Math. Anal. Appl. 285 (2003), no. 1, 37-49. [24] J.Y. Park, S.H. Park, Y.H. Kang, Controllability of second-order impulsiveneutral functional differential inclusions in Banach spaces, Math. Methods Appl. Sci. 33 (2010), no. 3, 249262. [25] A. Pazy, Semigroups of Linear Operators and Applications to Partial Differential Equations. Springer- Verlag, New York, 1983. [26] R. Sakthivel, N.I. Mahmudov, J.H. Kim, On controllability of second order nonlinear impulsivedifferential systems, Nonlinear Anal. 71 (2009), no. 1-2, 45-52. [27] C. Travis, G. Webb, Cosine families and abstract nonlinear second order differential equations, Acta Math. Acad. Sci. Hungar. 32 (1978), no. 1-2, 7596. [28] R. Triggiani, A note on the lack of exact controllability for mild solutions in Banach spaces, SIAM J. Control Optim. 15 (1977), no. 3, 407411. [29] R. Triggiani, Addendum: "A note on the lack of exact controllability for mild solutions in Banach spaces". SIAM J. Control Optim. 18 (1980), no. 1, 9899. [30] T.-J. Xiao, J. Liang, The Cauchy Problem for Higher-Order Abstract Differential Equations. Lecture Notes in Mathematics, 1701. Springer-Verlag, Berlin, 1998. [...]... hệ tuyến tính là (E0 , X0 ) -điều khiển được, cho trước xT ∈ X0 , ta có thể tìm được điều khiển phản hồi qua công thức sau u(t) = B ∗ S ∗ (T − t)(ΓT )−1 [xT − C(T )x0 − S(T )x1 ] 0 Chương 2 Tính điều khiển được của hệ phi tuyến 2.1 Thiết lập các giả thiết Trong mục này chúng tôi đưa ra một số giả thiết dùng để nghiên cứu bài toán (0.0.1)-(0.0.2) (SA) Hệ tuyến tính (0.0.3)-(0.0.4) là (E0 , X0 ) -điều khiển. .. 2.2.1 Một hàm x ∈ C(J; X) được gọi là một nghiệm tích 1 phân của hệ phi tuyến (0.0.1)-(0.0.2) nếu tồn tại f ∈ SF (x, u) sao cho t x(t) = C(t) x0 − g(x) + S(t) x1 − h(x) + S(t − s) Bu(s) + f (s) ds 0 Để chứng minh tính điều khiển được cho hệ (0.0.1)-(0.0.2), ta chia vi c chứng minh thành các bước Bước thứ nhất, ta định nghĩa nghiệm 20 toán tử đa trị, có các điểm bất động là các nghiệm của bài toán điều khiển. .. (2.2.29) và khi đó điều kiện (2.2.29) trở thành 2k0 (1 + 2M0 M ∗ T B χX ,χV ) < 1 Chú ý rằng, tình huống S(t) compact xuất hiện trong nhiều bài toán điều khiển đối với phương trình đạo hàm riêng, bao gồm phương trình parabolic Theo đó tính điều khiển được chính xác cho những mô hình này không thể thực hiện được Bước cuối cùng ta chứng minh định lí chính Đó là kết quả về tính điều khiển được cho hệ (0.0.1)-(0.0.2)... hàm Cô-sin và tính điều khiển được của phương trình cấp hai tuyến tính Họ các toán tử tuyến tính bị chặn {C(t)}t∈R trên X được gọi là họ hàm Cô-sin nếu 1 C(0) = I; 2 C(t + s) + C(t − s) = 2C(t)C(s), với mọi t, s ∈ R; 3 với mỗi x ∈ X, ánh xạ t → C(t)x là liên tục mạnh Họ hàm Sin {S(t)}t∈R , ứng với họ hàm Cô-sin {C(t)}t∈R , được định nghĩa như sau t C(s)xds, x ∈ X, t ∈ R S(t)x = 0 Toán tử A : D(A) ⊂... Do đó, dễ dàng kiểm tra rằng hàm u∗ là hàm điều khiển đưa (x0 , x1 ) tới xT = x∗ (T ) Bây giờ ta đi tìm điểm bất động của F thỏa mãn (2.2.10)-(2.2.11) Dễ thấy toán tử đa trị F có thể hạn chế trên C(J; X) × C(J; V ) Chúng ta gọi F là toán tử nghiệm Bước thứ hai, chúng ta sẽ chứng minh một số tính chất của toán tử F Mệnh đề sau sẽ được sử dụng: Mệnh đề 2.2.1 Toán tử L xác định bởi (2.2.1)-(2.2.2) thỏa... < 1 + M ∗ (1 + M0 T B ) T µ(s)ds 0 được thực hiện thì hệ phi tuyến (0.0.1)-(0.0.2) là (E0 , X0 ) -điều khiển được Chứng minh Ta áp dụng Định lý 1.1.1 để chỉ ra rằng toán tử đa trị F có một điểm bất động Ta đã chứng minh trong Bổ đề 2.2.4 và Định 31 lý 2.2.1 rằng F là nửa liên tục trên và κC -nén Phần còn lại ta chỉ ra sự tồn tại số R > 0 sao cho F(BR ) ⊂ BR , ở đây BR = {(x, u) ∈ C(J; X) × C(J; V )... (2.2.23)- (2.2.24) cho ta (y ∗ , z ∗ ) ∈ F(x∗ , u∗ ) Ta có điều phải chứng minh Để đơn giản trong trình bày, ta đặt N0 = sup C(t) , (2.2.25) t∈J M ∗ = sup B ∗ S ∗ (T − t)(ΓT )−1 0 χX ,χV , (2.2.26) t∈J T k0 = mg + mh + 2M0 k(s)ds, (2.2.27) 0 T q0 = 2M0 q(s)ds (2.2.28) 0 Ta có kết quả sau Định lý 2.2.1 Giả sử hàm phi tuyến F thỏa mãn (F1)-(F2) và (F4), g và h thỏa mãn (GH1),(GH3) Khi đó toán tử F là κC... 11 Xét toán tử tuyến tính L : L1 (J; E) → C(J; E) thỏa mãn các điều kiện sau: (L1) tồn tại hằng số C > 0 sao cho t L(f )(t) − L(g)(t) E ≤C f (s) − g(s) E ds, 0 với mọi f, g ∈ L1 (J; E), t ∈ J; (L2) với mỗi tập compact K ⊂ E và dãy {fn } ⊂ L1 (J; E) sao cho {fn (t)} ⊂ K với hầu khắp t ∈ J, nếu fn f0 (hội tụ yếu) thì L(fn ) → L(f0 ) trong C(J; E) (hội tụ mạnh) Như đã nói trong [19, Chú ý 4.2.3], toán tử... một ánh xạ đóng, tựa compact với giá trị compact Khi đó G là nửa liên tục trên Ta đưa ra tính chất thứ nhất cho toán tử nghiệm Bổ đề 2.2.3 Giả sử có (F1)-(F3) và (GH1)-(GH2) Khi đó toán tử đa trị F cho bởi (2.2.4)-(2.2.6) là một ánh xạ đa trị tựa compact Chứng minh Giả sử K ⊂ C(J; X) × C(J; V ) là một tập compact và D = π1 (K), C = π2 (K) Từ (2.2.6) ta có 1 χV π2 F(K)(t) = χV B ∗ S ∗ (T − t)(ΓT )−1 xT... động là các nghiệm của bài toán điều khiển (0.0.1)-(0.0.2) Xét toán tử Q : C(J; X) → X được xác định bởi Qy = y(T ) và toán tử tích phân L được xác định như sau: L : L1 (J; X) → C(J; X) (2.2.1) t L(f )(t) = S(t − s)f (s)ds (2.2.2) 0 Ngoài ra, ta định nghĩa toán tử G trên C(J; X): G(x)(t) = C(t) x0 − g(x) + S(t) x1 − h(x) (2.2.3) Ta xây dựng toán tử đa trị F : C(J; X) × L2 (J; V ) → P(C(J; X) × C(J; V . tính điều khiển được cho phương trình vi tích phân bậc hai phi tuyến đã được thiết lập với điều kiện hàm phi tuyến thỏa mãn điều kiện Lipschitz. Bài toán điều khiển đối với bao hàm thức vi phân. tính điều khiển được cục bộ của một lớp bài toán với phương trình cấp hai phi tuyến. 4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu • Đối tượng nghiên cứu là bài toán điều khiển liên quan đến phương trình vi. 2.2.2) cho hệ phi tuyến (0.0.1)- (0.0.2). Chương cuối trình bày một ứng dụng cho bài toán điều khiển đối với phương trình truyền sóng phi tuyến. 2. Mục đích nghiên cứu Nghiên cứu bài toán điều khiển