bài toán có đại lượng biến thiên và phương pháp giải

26 3.2 Tìm điều kiện của tham số để bất phương trình có nghiệm thỏa mãn một số điều kiện trên D ..... Trên cơ sở những kiến thức đã học và với mong muốn tiếp cận và tìm hiểu những bài to

Qua đây em xin chân thành cảm ơn sự quan tâm, giúp đỡ của các thầy cô trong khoa, các thầy cô giáo trong tổ Đại số trường ĐHSP Hà Nội 2, sự động viên, giúp đỡ, đóng góp ý kiến của bạn bè đã dành cho

em trong quá trình học tập nghiên cứu và hoàn thành khóa luận này

Tuy nhiên, do thời gian nghiên cứu có hạn và chưa có kinh nghiệm trong công tác nghiên cứu khoa học nên khóa luận của em không tránh khỏi những thiếu sót Rất mong nhận được sự đóng góp ý kiến của thầy cô và các bạn để khóa luận của em được hoàn thiện hơn Em xin chân thành cảm ơn !

Em xin chân thành cảm ơn!

Hà Nội, ngày 30 tháng 5 năm 2014

Sinh viên thực hiện

Bùi Thị Mai

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi, do chính sức lực của bản thân tham khảo tài liệu Đề tài của tôi chưa được công bố trong bất cứ công trình khoa học nào khác

Hà Nội, ngày 30 tháng 5 năm 2014

Sinh viên thực hiện

Bùi Thị Mai

MỤC LỤC

LỜI NÓI ĐẦU 1

Chương 1: XÉT TRONG TOÁN SƠ CẤP 2

1 Hàm số chứa tham số 2

1.1 Bài toán tìm các điểm đặc biệt của họ hàm số 2

1.1.1 Tìm điểm cố định của họ hàm số 2

1.1.2 Tìm các điểm mà họ hàm số luôn không đi qua 7

1.2 Bài toán tìm quỹ tích một loại điểm 9

1.3 Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số chứa tham số 13

2 Phương trình chứa tham số 18

2.1 Tìm điều kiện của tham số để phương trình có nghiệm trên D 18

2.2 Tìm điều kiện của tham số để phương trình có nghiệm thỏa mãn 1 số điều kiện nào đó trên D 23

3 Bất phương trình chứa tham số 26

3.1 Tìm điều kiện của tham số để bất phương trình có nghiệm trên D 26

3.2 Tìm điều kiện của tham số để bất phương trình có nghiệm thỏa mãn một số điều kiện trên D 29

4 Hệ chứa tham số 34

Chương 2 XÉT TRONG TOÁN CAO CẤP 43

Xét X[d] : X – vành, d là phần tử 43

1 X cố định, d thay đổi 43

2 X thay đổi, d cố định 47

Chương 3: KẾT LUẬN 49

TÀI LIỆU THAM KHẢO 50

LỜI NÓI ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Toán học là một môn học cơ bản làm nền tảng cho các ngành khoa học khác, là thành phần không thể thiếu của văn hóa phổ thông Môn toán có tiềm năng to lớn trong việc khai thác và phát triển năng lực trí tuệ chung, rèn luyện các thao tác và phẩm chất tư duy con người Nó bắt nguồn từ nhu cầu giải quyết các bài toán có nguồn gốc từ thực tiễn Cùng với thời gian và sự tiến bộ của loài người Toán học ngày càng phát triển

và chia làm hai lĩnh vực: Toán học lý thuyết và toán học ứng dụng Trong đó toán học ứng dụng đóng vai trò quan trọng Đại số, là một phần trọng yếu của Toán học Đã có rất nhiều nhà toán học nghiên cứu chuyên sâu vào lĩnh vực đại số Đặc biệt là những bài toán có đại lượng biến thiên, nó không chỉ gặp ở phổ thông mà còn ở các bậc cao hơn

Trên cơ sở những kiến thức đã học và với mong muốn tiếp cận và

tìm hiểu những bài toán biến thiên, được sự chỉ bảo của Thầy VƯƠNG THÔNG em mạnh dạn chọn đề tài: “Bài toán có đại lượng biến thiên

và phương pháp giải”

2 Mục đích nghiên cứu, nhiệm vụ nghiên cứu

Tìm hiểu những bài toán có đại lượng biến thiên

3 Đối tượng nghiên cứu

Bài toán có đại lượng biến thiên và phương pháp giải

4 Phương pháp nghiên cứu

Đọc tài liệu, phân tích, so sánh, tổng hợp

Chương 1: XÉT TRONG TOÁN SƠ CẤP

1 Hàm số chứa tham số

1.1 Bài toán tìm các điểm đặc biệt của họ hàm số

Cho họ hàm số y = (x,m) m  D là tham số, x- đối số Khi gán cho

m các giá trị cụ thể, ta có một hàm số cụ thể và có đồ thị tương ứng Khi m thay đổi, do đó đồ thị cũng thay đổi theo.Từ đó,các điểm trên mặt phẳng chia làm các loại sau:

i Điểm mà mọi đồ thị đi qua gọi là điểm cố định của họ đồ thị hàm số

ii Điểm trên mặt phẳng không có đồ thị nào của họ đi qua

iii Điểm trên mặt phẳng có một số đồ thị đi qua

1.1.1 Tìm điểm cố định của họ hàm số y= (x,m)

* Phương pháp giải bằng đa thức

- Cơ sở lý luận:

Nếu y0 – (x,m) đưa được về dạng đa thức của tham số m thì từ

(x0,m) – y0 = 0 m D, ta có hệ phương trình ẩn x0, y0 Giải hệ này ta tìm được (x0, y0)

- Thuật toán:

Bước 1: Đưa (x0,m) – y0 về đa thức với biến m

Giả sử M0(x0, y0) là điểm cố định của hàm số Khi đó

0 0 0

1 0 0

0 0

( , ) 0( , ) 0

Vậy hệ (2)(3)(4) có nghiệm duy nhất x0 = 2, y0 = 0

Suy ra, với mọi m, ( Cm ) có một điểm cố định là M0 (2;0)

Bước 1:Gọi ( x0, y0) là điểm cần tìm, khi đó ta có:

Bước 2:Từ ( 2) ta có: x0 = 0; x0 = 1; x0 = -1 Thay vào ( 3) suy ra họ hàm

số đã cho luôn đi qua ba điểm cố định sau: A(0;0); B(1;1); C(-1;-1)

23

1

)2(0

1

0 0

3 0

2 0

y x

x x

Bước 2:Từ (2) ta có x0 = 1; x0 = -1 thay vào (3) suy ra họ hàm số đã cho luôn đi qua hai điểm cố định sau: A(1; 0); B(-1;

3 4

)

Bài tập vận dụng

Bài 1: Cho hàm số

2

123

(2

0

0 1

0 0

x a

x a

x a

n

Bước 2: Hệ phương trình có bao nhiêu nghiệm thì họ hàm số đã cho có

bấy nhiêu điểm cố định

Tìm y0: cho m giá trị cụ thể thuộc D, thay y0 = (x0, m), từ đó ta tìm được điểm A0(x0, y0)

3 – x 0 2 – 2x 0 ) = y 0 () (m  R)

1.1.2 Tìm các điểm mà họ hàm số không đi qua

- Cơ sở lý luận:

Giả sử A0(x0, y0) là điểm trong mặt phẳng mà không có đồ thị nào của họ hàm số y =(x, m) đi qua Suy ra phương trình y0 = (x0, m) vô nghiệm đối với ẩn m Khi đó ta có được mối liên hệ x0, y0 Từ đó, ta tìm được A0(x0, y0) mà họ hàm số không đi qua

- Thuật toán:

Bài toán đưa về xét phương trình: y0 - (x0,m) = 0 (ẩn m) là vô

nghiệm Đây là bài toán khó, chỉ xét được một số dạng đơn giản sau:

mx x

mx x

2 0 0

2 ( x0 ≠ m )

 (x0 + y0)m + (x0

2

– x0y0 – 2 ) = 0

Để (x0, y0) là điểm mà đồ thị không thể đi qua, điều kiện cần và đủ

là phương trình của ẩn số m không có nghiệm, tức là

0 0 0 2 0

0 0

y x x

y x

Tức là x0 ≠- y0 ≠ 1

Vậy các điểm thỏa mãn nằm trên đường thẳng y = -x, bỏ đi hai điểm (1;-1) và (-1 ;1)

Ví dụ 2

Cho hàm số

y = (m – 2)x2 – 2(m +1)x + m + 1 (Cm) Tìm những điểm trên mặt phẳng tọa độ sao cho không có đường nào của

1 2 2

0 1 2

0 0 0

0 2 0 0 2 0

y

x y

x x

x x

Vậy các điểm thỏa mãn nằm trên đường thẳng x = 1, bỏ đi điểm

M (1; -3)

Bài tập vận dụng

Bài 1: Cho họ hàm số

m x

mx x

m x m y







 ( 1) 2 2 ,m là tham số Tìm những điểm mà họ tiệm cận xiên của họ hàm số trên không đi qua

Bài 3 : Cho họ đường thẳng

y = (m + 1)x + m2 + m (Cm) Tìm các điểm mà họ đó không đi qua với mọi m?

1.2 Bài toán tìm quỹ tích một loại điểm

* Phương pháp hàm số

- Cơ sở lý luận

Với dạng toán này trước hết ta đi khảo sát và lập bảng biến thiên của hàm số (x, m) trên D rồi biện luận để tìm được giá trị của tham số

m để tìm quỹ tích cực đại, cực tiểu

Dựa vào quy tắc thứ hai tìm cực đại, cực tiểu

7

1    

m

Thì y’ đổi dấu từ - sang + khi x chạy qua giá trị 0

Do đó hàm số đã cho chỉ có cực tiểu (tại x = 0) và không có cực đại Nếu ’  0 hay

g(x) có hai nghiệm phân biệt x1, x2 Nếu hai nghiệm này khác 0 thì y’= 0

có ba nghiệm phân biêt và y’ đổi dấu từ + sang – khi x đi qua nghiệm thứ hai, như vậy hàm số có cực đại

Vì vậy trong trường hợp này để y không có cực đại thì trong hai nghiệm của g(x) phải có một nghiệm bằng 0, tức là g(0) = 0 Điều này chỉ xảy ra khi m = -1

Vậy các giá trị của m là

1 3

7 1 3

7 1

Ví dụ 2 : Cho hàm số

1

)1)(

2(

mx y

Trong đó m là tham số Tìm quỹ tích điểm cực đại của đồ thị khi m thay đổi

Bài giải

Ta có:

2 '

)1(

)2(2

Đồ thị hàm số chỉ có cực đại, cực tiểu khi m ≠ 0 Khi đó, ta có bảng biến thiên

Vậy điểm I chạy trên trục tung qua tất cả các điểm có tung độ lớn hơn -1 b) Khi m  0 điểm cực đại I có toạ độ

x = 2, y = m2 + 6m = (m + 3)2 – 9 Nếu m thay đổi từ 0 đến - thì (m + 3)2 – 9 thay đổi từ -9 đến +

Vậy điểm I chạy trên đường thẳng x = 2, qua tất cả các điểm có tung độ lớn hơn -9

Như vậy quỹ tích điểm I là

Nửa trục tung, gồm các điểm có tung độ y  -1

Nửa đường thẳng x = 2, gồm các điểm có tung độ y  -9

Bài tập áp dụng Bài 1 : Cho họ hàm số y = x3 +mx2, m là tham số

Tìm quỹ tích các điểm cực đại của đồ thị

Bài 2 : Cho hàm số

m x

m x m x

 2 2 ( 1) , với giá trị nào của m thì hàm

số có cực đại,cực tiểu Tìm quỹ tích các điểm cực tiểu của đồ thị

1.3 Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số chứa tham số

- Cơ sở lý luận:

Cho hàm số (x) xác định trên miền D Ta nói rằng M là giá trị lớn nhất của (x) trên D, nếu đồng thời thỏa mãn hai điều kiện sau đây: a) (x) ≤ M, x  D

b)  x0 D : (x0) = M

Khi đó ta kí hiệu M = maxx  D(x)

Mặt khác, số m gọi là giá trị bé nhất của (x) trên D, nếu đồng thời thỏa mãn hai điều kiện sau đây:

a) (x) ≥ m, x  D

b)  x0 D : (x0) = m

Ta kí hiệu m = minx D(x)

- Thuật toán :

Bài toán tìm GTLN, GTNN của hàm số khá đa dạng, phong phú và

có thể nói là khó không những đối với học sinh phổ thông mà còn đối với sinh viên các trường đại học đặc biệt là các hàm số chứa tham số Rất nhiều trường hợp, việc tìm GTLN, GTNN của hàm số gặp không ít khó khăn, thậm chí không tìm được Tuy nhiên, chúng ta mong muốn biết được một số tính chất nào đó của GTLN, GTNN

Vì vậy, với dạng GTLN, GTNN của hàm số mang tính định tính thông qua các giá trị của hàm số tại một số điểm đặc biệt của hàm số

- Ví dụ minh họa

Ví dụ 1 : Cho hàm số

m x

x m

x

x x

tan1)1(2sin1

sin1)(

x x

D Tìm GTNN của hàm số trên D

Bài giải

Ta có

2

2 2

2

)tan1(

)tan1()cos(sin

)cos(sin

2sin1

2sin1

x

x x

x

x x

t - 1

2 1

M = x2 +y2 - xy = ( x2 + y2 + xy ) – 2xy = 3 – 2[( 2- a)2 – 3] = -2a2 + 8a + 1 Xét f(a) = -2a2 + 8a + 1

f’(a) = -4a + 8 ; f’(a) = 0  a = 2 f(2) = 9 ; f(0) = 1 ;f(4) = 1

Do đó GTNN của M là 1, đạt được khi a = 0 hoặc a = 4 GTLN của M là 9, đạt được khi a = 2

Ví dụ 3

Cho hàm số

2 2

120071

2)

Trong đó a là tham số thực tùy ý

Gọi M = maxx  [-1;1]f(x) ; m = minx  [-1 ;1]f(x)

1

m M

Bài giải

Ta có

(1) 1( 1) 1

) 2

1 (

2

2007 2

) 2

1 (

a f

m

a f

m

2

1()2

1([2

Bài tập vận dụng Bài 1: Cho hàm số f(x) = |4ax3 + 2bx2 + ( 1-3a )x – b |

Trong đó a; b là các số thực tùy ý Gọi M =maxx [-1;1]f(x)

Bài 2: Giả sử M là giá trị lớn nhất của |b| sao cho

4bx3 + (a – 3b )x ≤ 1, với mọi giá trị x  [-1;1] và với mọi số thực a CMR M ≤ 1

Bài 3: Giả sử (x;y) là nghiệm của hệ

xy y

x

a y

x

Tìm a để biểu thức M =x2

+ y2 + xy đạt GTLN, GTNN

2 Phương trình chứa tham số

2.1 Tìm điều kiện của tham số m để phương trình f(x; m) = 0 có nghiệm trên D

* Phương pháp đặt ẩn phụ

- Cơ sở lý luận:

Nhiều khi để giải một phương trình tham số, nếu sử dụng biến đổi tương đương hoặc biến đổi hệ quả sẽ dẫn đến các phương trình phức tạp hơn phương trình ban đầu Để khắc phục tình trạng đó, chúng ta dùng phương pháp đặt ẩn phụ để chuyển về phương trình dạng quen thuộc mà

ta đã biết cách giải

- Thuật toán:

Phương pháp này được tiến hành theo 3 bước sau:

Bước 1: Đặt ẩn phụ, nêu điền kiện của ẩn phụ

Bước 2: Chuyển phương trình đã cho về phương trình chứa ẩn phụ

Giải phương trình chứa ẩn phụ, đối chiếu với điều kiện ẩn phụ đã nêu để tìm nghiệm thích hợp của phương trình này

Bước 3: Tìm nghiệm phương trình ban đầu theo hệ thức khi đặt ẩn

m x

m x

Phương trình đã cho cĩ nghiệm  phương trình (2) cĩ nghiệm  3

43(2) có hai nghiệm lớn hơn bằng

4

4

32

0)4

3(0

0)4

3(

3phương trình đã cho cĩ nghiệm

Ví dụ 2 : Tìm m để phương trình sau cĩ nghiệm

m t

t

t 3)  ( 3) ) 9(

( 0

27

) 3 ( 0

9 12 2 2

t m

t

t m

t t

 Với t ≥ 3 thì t2

– 12t + 9 + m = 0  (t – 6)2 = 27 – m Phương trình này cĩ nghiệm khi m ≤ 27

 Với 0 ≤ t ≤ 3 thì t2

= 27 – m cĩ nghiệm khi m ≤ 27

Vậy phương trình (1) có nghiệm khi m ≤ 27

Bài tập vận dụng Bài 1 : Tìm m để phương trình sau có nghiệm

m x

x x

x  1  3   (  1 )( 3  )  (1)

Bài 2 : Tìm m để phương trình sau có nghiệm

3

2 2

2

2 )

5 3 ( )

5 3

Bài 3 : Tìm m để phương trình sau có nghiệm

m x

x x

* Phương pháp hàm số

-Cơ sở lý luận

Sử dụng các tính chất của hàm số để giải phương trình là dạng toán

rất quen thuộc trong chương trình phổ thông Ta có thể sử dụng tính chất

đơn điệu của hàm số,giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số…để

giải phương trình chứa tham số

- Thuật toán:

Trước khi thực hiện ta biến đổi phương trình f(x ;m) = 0 về dạng

tổng quát f(x) = g(x)

Khi đó dựa vào tính chất phương trình có nghiệm tương đương hai

đồ thị của hai hàm số y = f(x) và y= g(x) cắt nhau Do đó để giải bài toán

này ta tiến hành theo các bước sau :

Bước 1: Lập bảng biến thiên của hàm số y = f(x)

Bước 2: Dựa vào bảng biến thiên ta xác định m để đồ thị hàm số

y = g(m) cắt đồ thị hàm số y = f(x)

Chú ý: Nếu đồ thị hàm số y = f(x) liên tục trên D và m = min  f(x)

- Ví dụ minh họa

Ví dụ 1 : Xác định tất cả các giá trị của m để phương trình sau có

nghiệm

m x x

Vậy bài toán trở thành tìm m sao cho phương trình

t = -t2 + 3 + 3m có nghiệm thỏa mãn điều kiện 0 ≤ t ≤ 2

Hay f(t) = t2 + t – 3 = 3m có nghiệm với mọi 0 ≤ t ≤ 2

Từ bảng biến thiên suy ra -3 ≤3m ≤ 3  -1 ≤ m ≤ 1 là giá trị cần tìm

Ví dụ 2 : Xác định m để phương trình sau có nghiệm

m x

2t = t2 – 1 + m  m = -t2 + 2t + 1 Theo yêu cầu của bài toán ta có : đường thẳng y = m cắt

m x

x x

Bài 2 : Tìm m để phương trình sau có nghiệm

0 1 13

4  x  m  x  

2.2 Tìm điều kiện của tham số m để phương trình f(x,m) = 0 thỏa mãn một số điều kiện nào đó trên D

- Cơ sở lý luận

Trong các bài toán về phương trình ta gặp khá nhiều bài toán chứa

tham số với yêu cầu: "Tìm điều kiện đối với tham số để phương trình đã cho thỏa mãn một số điều kiện ràng buộc nào đó"

Trong số các cách giải bài toán trên việc tìm điều kiện cần cho tham

số thỏa mãn điều kiện ràng buộc là rất cần thiết Thông thường các biểu thức giải tích có trong phương trình ẩn dấu một tính chất nào đó Ta cần phát hiện, và khai thác tính chất ấy để tìm ra mối quan hệ đặc biệt, hoặc một ràng buộc đối với tham số Từ đó tìm ra điều kiện cần, đây là chìa

khóa để giải quyết bài toán

- Thuật toán:

Để giải bài toán dạng này ta thực hiện các bước sau:

Bước 1: (Điều kiện cần) Nhận xét về tính chất nghiệm của phương trình, từ nhận xét đó và điều kiện ràng buộc suy ra các giá trị của tham

số

Bước 2: (Điều kiện đủ) Với giá trị tìm được của tham số cần chứng

tỏ rằng phương trình thỏa mãn điều kiện ràng buộc

Bước 3: Kết luận

-Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1 :Tìm a, b, c để phương trình sau có nghiệm duy nhất

|x – a | + |x – b | = c (1) Bài giải

2

0

b a

 Nếu a ≠ b ( ta giả sử khi đó a  b ), khi đó

(2)  a ≤ x ≤ b,tức là (2) không có nghiệm duy nhất

11 – m = 0  m = 11

Đó là điều kiện cần để (1) có 3 nghiệm lập thành cấp số cộng

121

3

1

x x

x

thỏa mãn ()

Vậy m = 11 thỏa mãn điều kiện đầu bài

Bài tập vận dụng Bài 1 : Tìm m để phương trình sau có nghiệm duy nhất

m x

3 Bất phương trình chứa tham số

3.1 Tìm điều kiện của tham số m để bất phương trình f(x ;m) ≥ 0 có nghiệm trên D

* Phương pháp hàm số

- Cơ sở lý luận:

Với dạng toán này trước hết ta đi khảo sát và lập bảng biến thiên của hàm số f(x ;m) trên D rồi dựa vào các tính chất sau để chúng ta tìm được giá trị của tham số m

Miền xác định D = (0 ;+)

2 '

)2(

22

= 0 -X2 -2X + 2 = 0

X   1 3, X   1 3