bài toán có đại lượng biến thiên và phương pháp giải

TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM HÀ NỘI 2 KHOA TOÁN ***************** BÙI THỊ MAI BÀI TOÁN CÓ ĐẠI LƢỢNG BIẾN THIÊN VÀ PHƢƠNG PHÁP GIẢI KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chuyên ngành: Đại số Ngƣời hƣớng dẫn khoa học GVC. VƢƠNG THÔNG HÀ NỘI – 2014 LỜI CẢM ƠN Sau một thời gian miệt mài nghiên cứu, cùng với sự giúp đỡ của các thầy cô và các bạn sinh viên, khóa luận của em đến nay đã được hoàn thành. Em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc của mình đến Thầy Vƣơng Thông, Thầy đã tận tình giúp đỡ em trong suốt quá trình nghiên cứu và hoàn thành khóa luận với đề tài: “Bài toán có đại lƣợng biến thiên và phƣơng pháp giải”. Qua đây em xin chân thành cảm ơn sự quan tâm, giúp đỡ của các thầy cô trong khoa, các thầy cô giáo trong tổ Đại số trường ĐHSP Hà Nội 2, sự động viên, giúp đỡ, đóng góp ý kiến của bạn bè đã dành cho em trong quá trình học tập nghiên cứu và hoàn thành khóa luận này. Tuy nhiên, do thời gian nghiên cứu có hạn và chưa có kinh nghiệm trong công tác nghiên cứu khoa học nên khóa luận của em không tránh khỏi những thiếu sót. Rất mong nhận được sự đóng góp ý kiến của thầy cô và các bạn để khóa luận của em được hoàn thiện hơn. Em xin chân thành cảm ơn ! Em xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, ngày 30 tháng 5 năm 2014 Sinh viên thực hiện Bùi Thị Mai LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi, do chính sức lực của bản thân tham khảo tài liệu. Đề tài của tôi chưa được công bố trong bất cứ công trình khoa học nào khác. Hà Nội, ngày 30 tháng 5 năm 2014 Sinh viên thực hiện Bùi Thị Mai MỤC LỤC LỜI NÓI ĐẦU 1 Chƣơng 1: XÉT TRONG TOÁN SƠ CẤP 2 1. Hàm số chứa tham số 2 1.1. Bài toán tìm các điểm đặc biệt của họ hàm số 2 1.1.1. Tìm điểm cố định của họ hàm số 2 1.1.2. Tìm các điểm mà họ hàm số luôn không đi qua 7 1.2 Bài toán tìm quỹ tích một loại điểm 9 1.3 Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số chứa tham số 13 2 Phƣơng trình chứa tham số 18 2.1 Tìm điều kiện của tham số để phương trình có nghiệm trên D 18 2.2 Tìm điều kiện của tham số để phương trình có nghiệm thỏa mãn 1 số điều kiện nào đó trên D 23 3. Bất phƣơng trình chứa tham số 26 3.1 Tìm điều kiện của tham số để bất phương trình có nghiệm trên D 26 3.2 Tìm điều kiện của tham số để bất phương trình có nghiệm thỏa mãn một số điều kiện trên D 29 4. Hệ chứa tham số 34 Chƣơng 2 XÉT TRONG TOÁN CAO CẤP 43 Xét X[d] : X – vành, d là phần tử 43 1. X cố định, d thay đổi 43 2. X thay đổi, d cố định 47 Chƣơng 3: KẾT LUẬN 49 TÀI LIỆU THAM KHẢO 50 1 LỜI NÓI ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài Toán học là một môn học cơ bản làm nền tảng cho các ngành khoa học khác, là thành phần không thể thiếu của văn hóa phổ thông. Môn toán có tiềm năng to lớn trong việc khai thác và phát triển năng lực trí tuệ chung, rèn luyện các thao tác và phẩm chất tư duy con người. Nó bắt nguồn từ nhu cầu giải quyết các bài toán có nguồn gốc từ thực tiễn. Cùng với thời gian và sự tiến bộ của loài người. Toán học ngày càng phát triển và chia làm hai lĩnh vực: Toán học lý thuyết và toán học ứng dụng. Trong đó toán học ứng dụng đóng vai trò quan trọng. Đại số, là một phần trọng yếu của Toán học. Đã có rất nhiều nhà toán học nghiên cứu chuyên sâu vào lĩnh vực đại số. Đặc biệt là những bài toán có đại lượng biến thiên, nó không chỉ gặp ở phổ thông mà còn ở các bậc cao hơn. Trên cơ sở những kiến thức đã học và với mong muốn tiếp cận và tìm hiểu những bài toán biến thiên, được sự chỉ bảo của Thầy VƢƠNG THÔNG em mạnh dạn chọn đề tài: “Bài toán có đại lƣợng biến thiên và phƣơng pháp giải” 2. Mục đích nghiên cứu, nhiệm vụ nghiên cứu Tìm hiểu những bài toán có đại lượng biến thiên 3. Đối tƣợng nghiên cứu Bài toán có đại lượng biến thiên và phương pháp giải 4. Phƣơng pháp nghiên cứu Đọc tài liệu, phân tích, so sánh, tổng hợp 2 Chƣơng 1: XÉT TRONG TOÁN SƠ CẤP 1. Hàm số chứa tham số 1.1 Bài toán tìm các điểm đặc biệt của họ hàm số Cho họ hàm số y = (x,m) m  D là tham số, x- đối số. Khi gán cho m các giá trị cụ thể, ta có một hàm số cụ thể và có đồ thị tương ứng. Khi m thay đổi, do đó đồ thị cũng thay đổi theo.Từ đó,các điểm trên mặt phẳng chia làm các loại sau: i. Điểm mà mọi đồ thị đi qua gọi là điểm cố định của họ đồ thị hàm số. ii. Điểm trên mặt phẳng không có đồ thị nào của họ đi qua iii. Điểm trên mặt phẳng có một số đồ thị đi qua. 1.1.1 Tìm điểm cố định của họ hàm số y= (x,m). * Phƣơng pháp giải bằng đa thức - Cơ sở lý luận: Nếu y 0 – (x,m) đưa được về dạng đa thức của tham số m thì từ (x 0 ,m) – y 0 = 0 m D, ta có hệ phương trình ẩn x 0 , y 0 . Giải hệ này ta tìm được (x 0 , y 0 ). - Thuật toán: Bƣớc 1: Đưa (x 0 ,m) – y 0 về đa thức với biến m Giả sử M 0 (x 0, y 0 ) là điểm cố định của hàm số. Khi đó y 0 =  (x 0 ,m)m  D (1) (1) (x 0 , y 0 ) – y 0 = 0 m  D Ta viết vế trái dưới dạng một đa thức ẩn m. Giả sử là: a 0 (x 0 ,y 0 ) + a 1 (x 0 ,y 0 )m + …+ a k (x 0 ,y 0 )m k = 0  m  D Vế trái là đa thức bậc nhỏ hơn hoặc bằng k ẩn m, có số nghiệm nhiều hơn bậc của đa thức khi và chỉ khi vế trái là đa thức không. 3 0 0 0 1 0 0 00 ( , ) 0 ( , ) 0 ( , ) 0 k a x y a x y a x y           Bƣớc 2:Hệ phương trình có bao nhiêu nghiệm (x 0 ,y 0 ) thì họ hàm số có bấy nhiêu điểm cố định. -Ví dụ minh họa: Ví dụ 1: Cho họ hàm số y = x 3 – ( m + 1)x 2 – (2m 2 – 3m + 2)x + 2m(2m – 1) (Cm) m là tham số. Tìm điểm cố định của họ hàm số trên Bài giải: Bƣớc 1: Gọi M 0 (x 0 , y 0 ) là điểm cố định của họ hàm số, khi đó ta có y 0 = x 0 3 – ( m + 1)x 0 2 – ( 2m 2 – 3m + 2)x 0 + 2m( 2m – 1) m ( 4 – 2x 0 )m 2 + ( 3x 0 – x 0 2 – 2 )m + (x 0 3 – x 0 2 -2x 0 – y 0 )= 0(1)m Từ ( 1) suy ra hệ phương trình sau đây: 0 2 00 32 0 0 0 0 4 2 0 (2) 3 2 0 (3) 2 0 (4) x xx x x x y              Bƣớc 2:Từ ( 2 ) ta có: x 0 = 2 thay vào ( 4) có y 0 = 0, thay vào ( 3 ) thấy đúng Vậy hệ (2)(3)(4) có nghiệm duy nhất x 0 = 2, y 0 = 0 Suy ra, với mọi m, ( Cm ) có một điểm cố định là M 0 (2;0) Ví dụ 2: Cho họ hàm số y = mx 3 + ( 1 – m)x (Cm) (m là tham số). Tìm những điểm trên mặt phẳng tọa độ mà họ (Cm) đi qua với mọi m. Bài giải: 4 Bƣớc 1:Gọi ( x 0 , y 0 ) là điểm cần tìm, khi đó ta có: y 0 = mx 0 3 + ( 1 – m)x 0 m  m( x 0 3 – x 0 ) + x 0 – y 0 = 0 (1) m Từ ( 1 ) suy ra hệ phương trình sau đây: 3 00 00 0 (2) 0 (3) xx xy      Bƣớc 2:Từ ( 2) ta có: x 0 = 0; x 0 = 1; x 0 = -1. Thay vào ( 3) suy ra họ hàm số đã cho luôn đi qua ba điểm cố định sau: A(0;0); B(1;1); C(-1;-1). Ví dụ 3: Cho hàm sốy = 3 1 x 3 –mx 2 – x + m + 3 2 (Cm) Tìm điểm cố định của đồ thị hàm số (Cm) Bài giải: Bƣớc 1: Gọi M 0 (x 0 , y 0 ) là điểm cần tìm, khi đó ta có: y 0 = 3 1 x 0 – mx 0 2 – x 0 +m + 3 2  m  m( 1 – x 0 2 ) + 3 1 x 0 3 – x 0 + 3 2 - y 0 = 0 (1) m Từ (1) suy ra hệ phương trình sau đây:        )3(0 3 2 3 1 )2(01 00 3 0 2 0 yxx x Bƣớc 2:Từ (2) ta có x 0 = 1; x 0 = -1 thay vào (3) suy ra họ hàm số đã cho luôn đi qua hai điểm cố định sau: A(1; 0); B(-1; 3 4 ) 5 Bài tập vận dụng Bài 1: Cho hàm số 2 123 2    x mmxmx y (C m ) Chứng minh rằng các tiệm cận xiên của họ (Cm) luôn đi qua một điểm cố địnhvới mọi m? Bài 2: Chứng minh rằng mọi đường thẳng của họ hàm số y = (m + 1)x 2 + (4m – 5)x + 4m + 4 luôn tiếp xúc với nhau tại một điểm cố định Bài 3: Cho họ hàm số 1 )343(2 2 2    m mmmx y , m là tham số Chứng tỏ rằng đồ thị hàm số trên đi qua một điểm cố định * phƣơng pháp dùng đạo hàm - Cơ sở lý luận: Từ y 0 = (x 0 , m) ( m là tham số). Lấy đạo hàm theo m cả hai vế, ta có: 0),( 0   mxf m - Thuật toán: Viết vế trái dưới dạng đa thức ẩn m, giả sử là: a 0 (x 0 ) + a 1 (x 0 )m + + a n (x 0 )m k = 0 Bƣớc 1:Phương trình trên có nghiệm với mọi m khi và chỉ khi vế trái là đa thức không.               0 0)( 0 0 01 00 xa xa xa n Bƣớc 2: Hệ phương trình có bao nhiêu nghiệm thì họ hàm số đã cho có bấy nhiêu điểm cố định. 6 Tìm y 0 : cho m giá trị cụ thể thuộc D, thay y 0 = (x 0 , m), từ đó ta tìm được điểm A 0 (x 0 , y 0 ) - Ví dụ minh họa: Cho họ hàm số y = x 3 – (m + 1)x 2 – (2m 2 – 3m + 2 )x +2m(2m -1), m là tham số (Cm). Tìm điểm cố định của hàm số trên. Bài giải Bƣớc 1: Giả sử M 0 (x 0 , y 0 ) là điểm cố định mà (Cm) luôn đi qua. Khi đó, đặt F(m) = (4 – 2x 0 )m 2 + (3x 0 – x 0 2 – 2)m + (x 0 3 – x 0 2 – 2x 0 ) = y 0 () (m  R) Suy ra 23)24(2),( 2 0000   xxmxxmf m , m  R (1) Từ (1) suy ra   0 2 00 2 4 2 0 (2) 3 2 0 (3) x xx           x 0 = 2 Bƣớc 2: Thay m = 0 vào () thì y 0 = x 0 3 – x 0 2 – 2x 0  x 0 = 2, y 0 = 0 Vậy (Cm) luôn đi qua một điểm cố định M 0 (2; 0) - Bài tập áp dụng Bài 1: Cho hàm số y = (m + 1)x 3 – (2m + 1)x – m + 1 (Cm). Chứng minh rằng đồ thị (Cm) luôn đi qua ba điểm cố định thẳng hàng  m? Bài 2: Cho họ hàm số y = x 3 + ( m + m )x 2 – 4x – 4(m + m ) (Cm) Chứng minh rằng (Cm) luôn đi qua hai điểm cố định với mọi m? [...]...  (t – 6)2 = 27 – m Phương trình này có nghiệm khi m ≤ 27  Với 0 ≤ t ≤ 3 thì t2 = 27 – m có nghiệm khi m ≤ 27 19 (1) Vậy phương trình (1) có nghiệm khi m ≤ 27 Bài tập vận dụng Bài 1 : Tìm m để phương trình sau có nghiệm x  1  3  x  ( x  1)(3  x)  m (1) Bài 2 : Tìm m để phương trình sau có nghiệm (3  5 ) x  m(3  5 ) x  2 x 2 2 2 3 (1) Bài 3 : Tìm m để phương trình sau có nghiệm x4 x4 ... 1 + m  m = -t2 + 2t + 1 Theo u cầu của bài tốn ta có : đường thẳng y = m cắt (C) : y = -t2 + 2t + 1, t ≥ 0 y’= -2t + 2 ; y’ = 0  t = 1 Ta có bảng biến thiên t 0 f ' (t ) 1 + f(t) + 0 - 2 1 - Dựa vào bảng biến thiên ta có m ≤ 2 Bài tập vận dụng Bài 1 : Tìm m để phương trình sau có nghiệm x2  x 1  x2  x 1  m Bài 2 : Tìm m để phương trình sau có nghiệm x 4  13x  m  x  1  0 22 (1) 2.2 Tìm...  x  3  1  x (1) Và phương trình | x – a | - | x + 1| = 2 () là tương đương nhau * Phƣơng pháp đồ thị: - Cơ sở lý luận: Phương pháp dựa trên những yếu tố hình học, đồ thị của hàm số tiềm ẩn, đặc điểm của phương pháp này là khi đã có một cách nhìn hình học thì lời giải của bài tốn sẽ đơn giản và sáng sủa hơn - Thuật tốn: Với các bất phương trình chứa tham số, sử dụng phương pháp đồ thị thường được... t  0  m ≥ Bài tập vận dụng Bài 1 : Tìm m để bất phương trình sau có nghiệm 4x – m2x+1 + 3 – 2m ≤ 0 Bài 2 : Tìm m để bất phương trình sau có nghiệm mx  x  3  m  1 Bài 3 : Tìm m để bất phương trình sau có nghiệm mx  x  3  m  1 28 1 4 + - 3.2 Tìm điều kiện của tham số m để bất phƣơng trình f(x ;m) ≥ 0 có nghiệm thỏa mãn một số điều kiện nào đó trên D * Phƣơng pháp điều kiện cần và đủ - Cơ sở... = 3m có nghiệm với mọi 0 ≤ t ≤ 2 Hay Xét hàm f(t) có f ' (t )  2t  1  0 t  [0 ;2] Từ đó ta có bảng biến thiên t 0 2 f ' (t ) + f(t) 3 -3 Từ bảng biến thiên suy ra -3 ≤3m ≤ 3  -1 ≤ m ≤ 1 là giá trị cần tìm Ví dụ 2 : Xác định m để phương trình sau có nghiệm 2 x 1  x  m Bài giải Đặt t  x 1 , t ≥ 0 Phương trình đã cho tương đương với 21 2t = t2 – 1 + m  m = -t2 + 2t + 1 Theo u cầu của bài tốn... trị 0 Do đó hàm số đã cho chỉ có cực tiểu (tại x = 0) và khơng có cực đại ’  0 hay Nếu m 1 7 1 7 hoặc m  3 3 g(x) có hai nghiệm phân biệt x1, x2 Nếu hai nghiệm này khác 0 thì y’= 0 có ba nghiệm phân biêt và y’ đổi dấu từ + sang – khi x đi qua nghiệm thứ hai, như vậy hàm số có cực đại Vì vậy trong trường hợp này để y khơng có cực đại thì trong hai nghiệm của g(x) phải có một nghiệm bằng 0, tức là...  x3  1  12  thỏa mãn () Vậy m = 11 thỏa mãn điều kiện đầu bài Bài tập vận dụng Bài 1 : Tìm m để phương trình sau có nghiệm duy nhất 4 x  x5  m (1) Bài 2 : Cho phương trình 4x + 2 = m2x sinx (1) Tìm giá trị của tham số m để phương trình (1) có nghiệm duy nhất Bài 3 : Xác định m để phương trình x3 + 2x2 + ( m + 1)x + 2(m+1) = 0 có 3 nghiệm phân biệt lập thành cấp số cộng 25 (1) 3 Bất phƣơng... trình có nghiệm tương đương hai đồ thị của hai hàm số y = f(x) và y= g(x) cắt nhau Do đó để giải bài tốn này ta tiến hành theo các bước sau : Bước 1: Lập bảng biến thiên của hàm số y = f(x) Bước 2: Dựa vào bảng biến thiên ta xác định m để đồ thị hàm số y = g(m) cắt đồ thị hàm số y = f(x) Chú ý: Nếu đồ thị hàm số y = f(x) liên tục trên D và m = minxDf(x) M = maxxDf(x) thì phương trình f(x) = k có nghiệm... đổi hệ quả sẽ dẫn đến các phương trình phức tạp hơn phương trình ban đầu Để khắc phục tình trạng đó, chúng ta dùng phương pháp đặt ẩn phụ để chuyển về phương trình dạng quen thuộc mà ta đã biết cách giải - Thuật tốn: Phương pháp này được tiến hành theo 3 bước sau: Bƣớc 1: Đặt ẩn phụ, nêu điền kiện của ẩn phụ Bƣớc 2: Chuyển phương trình đã cho về phương trình chứa ẩn phụ Giải phương trình chứa ẩn phụ,... hợp của phương trình này Bƣớc 3: Tìm nghiệm phương trình ban đầu theo hệ thức khi đặt ẩn phụ - Ví dụ minh họa 2 Ví dụ 1: Tìm m để phương trình x  x  1  2 m có nghiệm x2  x  1 Bài giải Viết lại phương trình dưới dạng:   2 x2  x  1  m x2  x  1 (1) 3 4 Đặt t = x2 + x + 1 , t  , Khi đó: 1  t  2t  1  m  18 2t 2  t  m  0 (2) Phương trình đã cho có nghiệm  phương trình (2) có nghiệm . nhiệm vụ nghiên cứu Tìm hiểu những bài toán có đại lượng biến thiên 3. Đối tƣợng nghiên cứu Bài toán có đại lượng biến thiên và phương pháp giải 4. Phƣơng pháp nghiên cứu Đọc tài liệu, phân. tiếp cận và tìm hiểu những bài toán biến thiên, được sự chỉ bảo của Thầy VƢƠNG THÔNG em mạnh dạn chọn đề tài: Bài toán có đại lƣợng biến thiên và phƣơng pháp giải 2. Mục đích nghiên cứu,. TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM HÀ NỘI 2 KHOA TOÁN ***************** BÙI THỊ MAI BÀI TOÁN CÓ ĐẠI LƢỢNG BIẾN THIÊN VÀ PHƢƠNG PHÁP GIẢI KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC