Bài toán khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số ở trường trung học phổ thông việt nam

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Nguyễn Thị Tuyết Lan BÀI TOÁN KHẢO SÁT SỰ BIẾN THIÊN VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ Ở TRƯỜNG TRUNG HỌC PHỔ THÔNG VIỆT NAM LUẬN VĂN THẠC SĨ GIÁO DỤC HỌC Thành phố Hồ Chí Minh – 2013 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Nguyễn Thị Tuyết Lan BÀI TOÁN KHẢO SÁT SỰ BIẾN THIÊN VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ Ở TRƯỜNG TRUNG HỌC PHỔ THÔNG VIỆT NAM Chuyên ngành : Lí luận phương pháp dạy học môn Toán Mã số : 60 14 01 11 LUẬN VĂN THẠC SĨ GIÁO DỤC HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS LÊ THÁI BẢO THIÊN TRUNG Thành phố Hồ Chí Minh – 2013 LỜI CẢM ƠN Trước hết xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến TS Lê Thái Bảo Thiên Trung, giảng viên khoa Toán – Tin trường ĐHSP Tp.Hồ Chí Minh, người bỏ nhiều công sức, giúp đỡ tận tình hướng dẫn hoàn thành luận văn Tôi xin trân trọng cảm ơn quý thầy cô: PGS.TS Lê Văn Tiến, PGS.TS Lê Thị Hoài Châu, TS Trần Lương Công Khanh, TS Nguyễn Thị Nga, TS Vũ Như Thư Hương quý thầy cô tận tình giảng dạy, truyền thụ tri thức quý báu suốt thời gian tham gia lớp cao học chuyên ngành didactic Toán Xin chân thành cảm ơn PGS.TS Claude Comiti có ý kiến đóng góp quý báu cho luận văn Xin chân thành cảm ơn: • Phòng Sau đại học trường ĐHSP Tp.Hồ Chí Minh tạo điều kiện thuận lợi cho suốt khóa học • Ban giám hiệu thầy cô tổ Toán-Tin trường THPT Tân Phước giúp đỡ tạo điều kiện cho hoàn thành luận văn Lời cảm ơn chân thành xin gửi đến bạn học viên lớp didactic Toán khóa 22, người chia sẻ khó khăn, vui buồn với suốt năm tháng cao học Cuối cùng, muốn gửi lời cảm ơn đến người thân yêu gia đình động viên, khích lệ, quan tâm giúp đỡ suốt thời gian thực luận văn Nguyễn Thị Tuyết Lan MỤC LỤC LỜI CẢM ƠN MỤC LỤC DANH MỤC CÁC TỪ VIẾT TẮT MỞ ĐẦU Ghi nhận ban đầu câu hỏi xuất phát .5 Phạm vi lý thuyết tham chiếu Mục đích nghiên cứu phương pháp nghiên cứu Tổ chức luận văn .8 CHƯƠNG 1: BÀI TOÁN KHẢO SÁT SỰ BIẾN THIÊN VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ Ở BẬC ĐẠI HỌC 1.1 Bài toán KSSBT vẽ ĐT hai giáo trình chọn 1.1.1 Bài toán KSSBT vẽ ĐT giáo trình [a] 1.1.2 Bài toán KSSBT vẽ ĐT giáo trình [b] 18 1.2 Kết luận chương 23 CHƯƠNG 2: BÀI TOÁN KHẢO SÁT SỰ BIẾN THIÊN VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ TRONG CHƯƠNG TRÌNH VÀ SÁCH GIÁO KHOA TOÁN VIỆT NAM 25 2.1 Phân tích Chương trình 25 2.2 Phân tích sách giáo khoa 26 2.2.1 Phân tích SGK lớp 10 26 2.2.2 Phân tích SGK lớp 11 31 2.2.3 Phân tích SGK lớp 12 37 2.3 Kết luận chương 55 CHƯƠNG 3: NGHIÊN CỨU THỰC NGHIỆM 60 3.1 Mục đích thực nghiệm .60 3.2 Hình thức – tổ chức thực nghiệm .60 3.2.1 Thực nghiệm 60 3.2.2 Thực nghiệm 60 3.3 Giới thiệu câu hỏi thực nghiệm 60 3.3.1 Giới thiệu thực nghiệm 60 3.3.2 Giới thiệu thực nghiệm 61 3.4 Phân tích thực nghiệm 62 3.4.1 Phân tích thực nghiệm 62 3.4.2 Phân tích thực nghiệm 65 KẾT LUẬN CHUNG 76 TÀI LIỆU THAM KHẢO 77 DANH MỤC CÁC TỪ VIẾT TẮT Kí hiệu SGK KSSBT Từ viết tắt Sách giáo khoa Khảo sát biến thiên BBT Bảng biến thiên KSHS Khảo sát hàm số ĐT THPT Đồ thị Trung học phổ thông SGKCB10 Sách giáo khoa Đại số 10 SGKNC10 Sách giáo khoa Đại số nâng cao 10 SGVCB10 Sách giáo viên Đại số 10 SGVNC10 Sách giáo viên Đại số nâng cao 10 SGKCB11 Sách giáo khoa Đại số Giải tích 11 SGKNC11 Sách giáo khoa Đại số Giải tích nâng cao 11 SGVCB11 Sách giáo viên Đại số Giải tích 11 SGVNC11 Sách giáo viên Đại số Giải tích nâng cao 11 SGKCB12 Sách giáo khoa Giải tích 12 SGKNC12 Sách giáo khoa Giải tích nâng cao 12 SGVCB12 Sách giáo viên Giải tích 12 SGVNC12 Sách giáo viên Giải tích nâng cao 12 MỞ ĐẦU Ghi nhận ban đầu câu hỏi xuất phát Trong tất đề thi Tốt nghiệp Trung học phổ thông (THPT) tuyển sinh Đại học – Cao đẳng Việt Nam, toán khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số (KSSBT vẽ ĐT hàm số) xuất câu hỏi số Chẳng hạn: Đề thi tuyển sinh đại học khối A năm 2009 Câu I (2,0 điểm) Cho hàm số y = x+2 (1) 2x + Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số (1) Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số (1), biết tiếp tuyến cắt trục hoành, trục tung hai điểm phân biệt A, B tam giác OAB cân gốc tọa độ O Đề thi tuyển sinh đại học khối D năm 2010 Câu I(2,0 điểm) Cho hàm số y = −x4 − x2 + Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số cho Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị (C), biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng = y x −1 Qua nhiều lần chỉnh lí Chương trình, sách giáo khoa (SGK) Việt Nam giữ lại toán KSSBT vẽ ĐT hàm số với đầy đủ bước sau: I – SƠ ĐỒ KHẢO SÁT HÀM SỐ Tập xác định Tìm tập xác định hàm số Sự biến thiên • Xét chiều biến thiên hàm số: o Tính đạo hàm y ' ; o Tìm điểm đạo hàm y ' không xác định; o Xét dấu đạo hàm y ' suy chiều biến thiên hàm số • Tìm cực trị • Tìm giới hạn vô cực, giới hạn vô cực tìm tiệm cận (nếu có) • Lập bảng biến thiên (Ghi kết tìm vào bảng biến thiên) Đồ thị Dựa vào bảng biến thiên yếu tố xác định để vẽ đồ thị CHÚ Ý Nếu hàm số tuần hoàn với chu kì T cần khảo sát biến thiên vẽ đồ thị chu kì, sau tịnh tiến đồ thị song song với trục Ox Nên tính thêm tọa độ số điểm, đặc biệt tọa độ giao điểm đồ thị với trục tọa độ Nên lưu ý đến tính chẵn, lẻ hàm số tính đối xứng đồ thị để vẽ cho xác [7, tr.31] Chúng nhận thấy trình tự để khảo sát hàm số tìm tập xác định, khảo sát biến thiên hàm số dựa vào kết khảo sát biến thiên để vẽ đồ thị hàm số Hơn nữa, toán KSSBT vẽ ĐT hàm số toán tổng hợp nhiều kiến thức hàm số như: tập xác định, tính đơn điệu, cực trị, tiệm cận, tính chẵn lẻ, tính tuần hoàn, tính đối xứng hàm số,… Nếu so với đề thi Tú Tài Pháp toán khảo sát hàm với bước chương trình Toán Việt Nam không tồn Bài toán KSSBT vẽ ĐT hàm số chương trình dạy học Toán lớp 12 Việt Nam hạn chế số dạng hàm số quen thuộc như: • Hàm số bậc ba y = ax + bx + cx + d (a ≠ 0) , • Hàm trùng phương y = ax + bx + c (a ≠ 0) , = • Hàm phân thức hữu tỉ y ax + b , (c ≠ 0, ad − bc ≠ 0) , cx + d • Hàm bậc hai bậc y = ax + bx + c (ad ≠ 0) dx + e Như vậy, SGK lớp 12 giới thiệu tối đa dạng hàm số Chúng tự hỏi, gặp toán KSSBT vẽ ĐT hàm số hàm số có dạng khác bốn dạng mà SGK đưa HS ứng xử nào? Từ ghi nhận trên, định chọn đề tài “Bài toán khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số trường Trung học phổ thông Việt Nam” Chúng khởi đầu nghiên cứu với câu hỏi xuất phát sau: Câu hỏi 1: Trong giáo trình giải tích cho năm Đại học, toán KSSBT vẽ ĐT hàm số có xuất hay không? Nếu có tính chất hàm số mà giáo trình yêu cầu khảo sát dạng hàm số yêu cầu khảo sát? Câu hỏi 2: Trong SGK hành bậc THPT, tính chất hàm số yêu cầu khảo sát? Đối với tính chất hàm số yêu cầu khảo sát toán KSSBT vẽ ĐT hàm số dạng hàm số xuất nghiên cứu riêng tính chất trên? Các dạng hàm số không quan tâm toán KSSBT vẽ ĐT hàm số lớp 12? Phạm vi lý thuyết tham chiếu Chúng đặt nghiên cứu phạm vi lý thuyết Didactic toán Cụ thể, sử dụng lý thuyết nhân học, lý thuyết tình để phục vụ cho nghiên cứu Dưới tham chiếu lý thuyết nhân học, đối tượng nghiên cứu – toán KSSBT vẽ ĐT hàm số - xem kiểu nhiệm vụ - kí hiệu TKSSBT-ĐT Như nói phần mở đầu, kiểu nhiệm vụ huy động nhiều đối tượng tri thức giải tích Như vậy, mục tiêu luận văn nghiên cứu điều kiện sinh thái xoay quanh kiểu nhiệm vụ thể chế dạy học Toán bậc THPT Chúng phát biểu câu hỏi ban đầu ngôn ngữ công cụ didactic Q1: Các điều kiện sinh thái toán KSSBT vẽ ĐT hàm số giáo trình giải tích dành cho sinh viên năm Đại học? Những ràng buộc hạn chế xoay quanh tính chất dạng hàm số toán giáo trình Đại học? Q2: Các điều kiện sinh thái toán KSSBT vẽ ĐT hàm số thể chế dạy học toán bậc THPT? Vấn đề khảo sát hàm thông qua việc nghiên cứu tính chất hàm số vẽ đồ thị hàm số tiến triển thể chế dạy học toán bậc THPT? Mục đích nghiên cứu phương pháp nghiên cứu Mục đích nghiên cứu tìm câu trả lời cho câu hỏi Q1, Q2 đặt mục Để đạt mục đích này, đề phương pháp nghiên cứu sau:  Thứ nhất, chọn phân tích hai giáo trình giải tích dùng cho sinh viên năm đầu bậc Đại học để làm rõ vị trí đặc trưng toán KSSBT vẽ ĐT hàm số Điều góp phần trả lời cho câu hỏi Q1 trình bày chương 1: Bài toán khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số bậc Đại học  Thứ hai, tiến hành phân tích Chương trình, SGK tham khảo số luận văn nghiên cứu tính chất hàm số để thấy vị trí toán KSSBT vẽ ĐT hàm số chương trình dạy học toán bậc THPT Qua thấy ảnh hưởng quan hệ thể chế đến ứng xử HS giải toán KSSBT vẽ ĐT hàm số Những việc làm góp phần trả lời cho câu hỏi Q2 Vấn đề trình bày chương 2: Bài toán khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số Chương trình SGK toán Việt Nam Từ kết phân tích giáo trình đại học, chương trình SGK giúp đặt giả thuyết nghiên cứu câu hỏi nghiên cứu  Thứ ba, xây dựng thực nghiệm phân tích tiên nghiệm tình Cuối cùng, tiến hành thực nghiệm phân tích hậu nghiệm, đối chiếu với phân tích tiên nghiệm hợp thức hóa giả thuyết nghiên cứu trả lời câu hỏi nghiên cứu đề Vấn đề trình bày chương 3: Nghiên cứu thực nghiệm Tổ chức luận văn Luận văn gồm phần: phần mở đầu, phần nội dung phần kết luận Phần mở đầu, trình bày ghi nhận ban đầu, câu hỏi xuất phát, khung lý thuyết tham chiếu, câu hỏi nghiên cứu, mục đích phương pháp nghiên cứu, tổ chức luận văn Phần nội dung, gồm có chương:  Chương - Bài toán khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số bậc Đại học Trong chương này, cố gắng làm rõ vị trí toán KSSBT vẽ ĐT hàm số giáo trình Đại học  Chương - Bài toán khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số Chương trình sách giáo khoa Toán Việt Nam Trong chương này, làm rõ vị trí tiến triển toán KSSBT vẽ ĐT hàm số thông qua việc nghiên cứu tính chất vẽ đồ thị SGK hành Từ kết phân tích có đưa giả thuyết nghiên cứu  Chương – Nghiên cứu thực nghiệm Trong chương này, xây dựng thực nghiệm nhằm kiểm chứng giải thuyết nghiên cứu trả lời câu hỏi nghiên cứu đề chương Phần kết luận - Trình bày tóm tắt kết đạt luận văn - Đề cập hướng nghiên cứu mở từ luận văn CHƯƠNG 1: BÀI TOÁN KHẢO SÁT SỰ BIẾN THIÊN VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ Ở BẬC ĐẠI HỌC Trong chương này, tìm câu trả lời cho câu hỏi Q1 sau: Q1: Các điều kiện sinh thái toán KSSBT vẽ ĐT hàm số giáo trình giải tích dành cho sinh viên năm Đại học? Những ràng buộc hạn chế xoay quanh tính chất dạng hàm số toán giáo trình Đại học? Ngoài ra, xem tri thức Giáo trình Đại học gần với tri thức bác học kết phân tích chương chọn làm tham chiếu cho phân tích chương tiếp theo, chương 2: Bài toán khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số Chương trình sách giáo khoa Toán Việt Nam Để đạt mục tiêu trên, tham khảo giáo trình toán dùng bậc đại học Cụ thể, chọn hai giáo trình sau để phân tích: • Nguyễn Đình Trí (chủ biên) (2008), Toán học cao cấp tập 2, Nxb Giáo dục • Ngô Thành Phong (2004), Giải Tích Toán học, Nxb Đại học KHTN Để thuận tiện việc trình bày, kí hiệu hai giáo trình [a] [b] Chúng chọn giáo trình giáo trình sử dụng phổ biến trường Đại học - Cao đẳng Hơn nữa, Bộ giáo trình “Toán học cao cấp” soạn vào chương trình khung ban hành, thực tế giảng dạy hệ cao đẳng số trường đại học kĩ thuật vào chương trình môn Toán trường Trung học Phổ thông, […] [19, tr.3] Với mục tiêu nghiên cứu đề ra, đặc biệt ý đến nội dung liên quan đến toán KSSBT vẽ ĐT cấp độ đại học 1.1 Bài toán KSSBT vẽ ĐT hai giáo trình chọn Từ kiến thức hàm số nghiên cứu tập xác định, miền giá trị, đồ thị hàm số, tính đơn điệu, tính tuần hoàn, tính chẵn lẻ hàm số, giới hạn hàm số, đạo hàm hàm số, … giáo trình đưa định lý giá trị trung bình ứng dụng nó, toán KSSBT vẽ ĐT ứng dụng định lý Trong hai giáo trình, toán KSSBT vẽ ĐT đưa vào cuối chương Sau đây, nghiên cứu toán KSSBT vẽ ĐT giáo trình 1.1.1 Bài toán KSSBT vẽ ĐT giáo trình [a] 1.1.1.1 Khảo sát hàm số y = f(x) Bài toán KSSBT vẽ ĐT hàm số y = f(x) giáo trình [a] cho trình tự sau: Việc khảo sát hàm số thường theo trình tự đây: (1) Miền xác định f (2) Chiều biến thiên: tìm khoảng tăng, giảm hàm số (3) Cực trị (nếu có) (4) Tính lồi, lõm (nếu cần thiết), điểm uốn (nếu có) (5) Tiệm cận (nếu có) (6) Bảng biến thiên (7) Vẽ đồ thị [19, tr 171] Qua trình tự khảo sát hàm số (KSHS) trên, thấy để khảo sát hàm số trải qua bước Đồng thời toán KSSBT vẽ ĐT hàm số y = f(x) huy động nhiều kiến thức hàm số kiến thức đưa vào trình tự KSHS cách tường minh như: miền xác định, tính đơn điệu, cực trị, tính lồi, lõm, điểm uốn, tiệm cận, đồ thị hàm số Các tính chất yêu cầu trình tự KSHS, thấy tính chất cực trị, tính lồi, lõm, điểm uốn, tiệm cận có kèm theo phía sau chữ “nếu có” “nếu cần thiết” Như vậy, tính chất cực trị, tính lồi, lõm, điểm uốn, tiệm cận không bắt buộc khảo sát toán Riêng bước xét tính đơn điệu hàm số không thích thêm điều Điều chứng tỏ tính đơn điệu tính chất yêu cầu khảo sát tất hàm số Để minh họa cho trình tự trên, [a] có đưa ví dụ sau: Sau đây, lấy thí dụ cốt để minh họa bước khảo sát: Xét hàm số f ( x ) = x3 x −1 (1) Hàm số xác định x x3 ≥ , tức x ≤ x > ≥ nghĩa x −1 x −1 Miền xác định D f (−∞,0] ∪ (1, +∞) (2) Muốn xét chiều biến thiên hàm số, phải tính f ' ( x )  3 x Ta có: f ' ( x= ) x−   ( x − 1)3  f ' ( x ) = x = x = f ' ( x ) không xác định < x ≤ Sau bảng dấu đạo hàm f ' ( x ) 10 Từ bảng dấu f’ suy ra: f(x) giảm x < < x < f(x) tăng x > 3 (3) Cực trị: Đạo hàm f ' đổi dấu từ - sang + vượt qua x= 3 x = điểm cực tiểu, 2 3 ; lưu ý: điểm x = điểm cực trị f( )= 2 (4) Muốn xét tính lồi, lõm; ta tính f '' : f '' ( x ) = f '' dấu với x f ( x ) ( x − 1)3 x nên f '' ≥ miền xác định, f(x) hàm số lồi x −1 (5) x = điểm hàm số không xác định, đồ thị có tiệm cận đứng có phương trình x = Muốn tìm tiệm cận xiên ta viết f(x) dạng: f= (x) x3 = x x −1  x 2 = x 1 +  x −1 x −1  Dúng công thức khai triển Taylor (1 + x )α khai triển Taylor có:  2 1 1 − + 1+ o( x ) 1 +  = x −1 2( x − 1) ( x − 1) ( x − 1)2  Do viết: x k x f (x) = x+ − + o( x ) 2( x − 1) ( x − 1) ( x − 1)2 Từ biểu thức suy ra: x → +∞, có f ( x )  x + x x+ 2( x − 1) x → −∞, có f ( x )  x − x  −x − 2( x − 1) Vậy f(x) có hai tiệm cận xiên: 11 x → +∞ y = − x − x → −∞ y= x + • Chú ý: Trong nhiều trường hợp để việc khảo sát đơn giản, người ta ý phát đặc điểm hàm số f, chẳng hạn phát tính chu kì tính chẵn, lẻ hàm số f Một hàm số f(x) xác định khoảng đối xứng [-a,a] gọi hàm chẵn f ( x )= f (− x ) ; x ∈ [− a, a] ; hàm lẻ f ( x ) =−( f (− x )) ; x ∈ [− a, a] Vì đồ thị hàm số chẵn đối xứng qua trục tung đồ thị hàm số lẻ đối xứng qua gốc tọa độ nên khảo sát hàm số cần xét x ≤ x ≥ lấy đối xứng có toàn đồ thị (6) Từ kết có bảng biến thiên sau: Hình 5.7 (7) Đồ thị [19, tr.171-174] Qua ví dụ trên, nhận thấy rằng: - Hàm số yêu cầu khảo sát hàm thức - Các bước khảo sát thực theo trình tự KSHS Trong ví dụ này, đồ thị hàm số điểm uốn tính chất lại khảo sát - Ngoài kiến thức nêu trình tự KSHS, trình tìm tiệm cận hàm số (bước 5) dùng đến kiến thức giới hạn hàm số Cụ thể tính giới hạn hàm số x dần vô cực, kết việc tính giới hạn ghi vào bảng biến thiên bước 12 - Bên cạnh đó, trước đưa bảng biến thiên đồ thị hàm số, [a] đưa ý tính chẵn lẻ tuần hoàn hàm số Nếu biết tính chất hàm số phạm vi khảo sát thu hẹp lại khoảng đóng hay mở lấy đối xứng toàn đồ thị hàm số Tính chẵn lẻ tuần hoàn hàm số mặt trình tự KSHS mà nêu thông qua lời giải ví dụ Như vậy, việc khảo sát tính chẵn lẻ tuần hoàn hàm số toán giáo trình [a] mang tính khuyến khích Như vậy, qua trình tự KSHS ví dụ nhận thấy kiến thức hàm số sử dụng cho toán KSSBT vẽ ĐT hàm số y = f(x) giáo trình [a] là: miền xác định, tính đơn điệu, cực trị, tính lồi, lõm, điểm uốn, tiệm cận hàm số, giới hạn hàm số, tính chẵn lẻ tính tuần hoàn hàm số Trong đó, tính đơn điệu hàm số tính chất yêu cầu khảo sát tất hàm số, riêng tính chất lại không cần thiết khảo sát mà khuyến khích nhằm làm cho việc khảo sát vẽ đồ thị hàm số đơn giản xác 1.1.1.2 Khảo sát đường cho dạng tham số  x = f (t ) Các đường thường cho dạng hệ phương trình  ; t ∈ D, D ⊂  , phương = y g ( t )  trình hàm số theo biến t Trong điều kiện xác định, đường cong cho dạng tham số xác định nhiều hàm ẩn y theo x Việc khảo sát đường cho dạng tham số nói phức tạp toán KSSBT vẽ ĐT hàm số y = f(x) phải khảo sát đồng thời nhiều hàm số lúc Và cho trình tự sau: Có thể khảo sát đường cong cho dạng tham số theo trình tự đây: - Miền xác định, điểm gián đoạn hàm số x = x(t), y = y(t) Nhận xét tính chẵn - lẻ, tuần hoàn (nếu có) - Xét x ' (t ), y ' (t ) để xét chiều biến thiên x, y theo t - Tìm tiệm cận đường cong (nếu có): Nếu lim y(t ) = ±∞ lim x (t ) = a có tiệm cận đứng x = a (t0 ±∞ ) t → t0 t → t0 Nếu lim x (t ) = ±∞ lim y(t ) = b có tiệm cận ngang y = b t → t0 t → t0 Nếu lim x (t ) lim y(t ) vô đường cong có tiệm cận xiên, cụ thể t → t0 t → t0 y đồng thời tồn giới hạn y = , b lim( y − kx ) tiệm cận xiên = k lim = t → t0 x t → t0 13 kx + b - Tìm điểm đặc biệt đường cong (nếu có) tiếp tuyến đường cong điểm đặc ' dy y t biệt, hệ số góc tiếp tuyến tính theo công thức = dx x 't - Bảng biến thiên đồ thị [19, tr.195] Trình tự khảo sát đường cho dạng tham số tiến hành qua bước huy động đến: miền xác định, tính đơn điệu, tính chẵn lẻ, tính tuần hoàn, tiệm cận, giới hạn, đạo hàm đồ thị hàm số Khác với toán KSSBT vẽ ĐT hàm số y = f(x), tính chất chẵn lẻ, tính tuần hoàn yêu cầu khảo sát trình tự khảo sát đường cho dạng tham số Ngược lại, tính chất cực trị, tính lồi, lõm, điểm uốn trước xuất trình tự KSHS hàm số y = f(x) lại không yêu cầu khảo sát trình tự Riêng tính đơn điệu hàm số giữ lại Ngoài ra, để việc vẽ đồ thị đường xác cần xác định vài điểm đặc biệt tiếp tuyến đường điểm đặc biệt Để minh họa cho trình tự khảo sát giáo trình đưa ví dụ sau: Ví dụ 1: Khảo sát vẽ đường cong cho hệ phương trình tham số:  x = a cos t   y = a sin t ; t ∈ (−∞, ∞); a > (9) Rõ ràng x y xác định với t x y không vượt khoảng [-a, a], đường cong tiệm cận, x y hàm số tuần hoàn với chu kì 2π , ta cần khảo sát đường cong cho khoảng [0, 2π ] Ta có π 3π −3a cos2 t sin t = x 't = t = 0; ; π ; ;2π 2 π π = y 't 3a sin t= cos t 0= t 0; ; π ; ;2π 2 Từ tính toán trên, ta có bảng biến thiên sau: Đồ thị đường cong gọi đường axtrôit 14 Hình 5.10 Nếu khảo sát tỉ mỉ hơn, ta nhận thấy rằng, với đường cong ta có: ' dy y t 3a sin t cos t = ' = = −tgt dx x t −3a cos2 t sin t Do dy = t = 0; π ; 2π điểm tiếp tuyến thẳng đứng dx Ngoài ra, từ hệ phương trình (9) ta khử t cách để ý 2 2 2 = x a= cos2 t ; y a sin t x + y = a (9' ) Phương trình (9’) phương trình axtrôit viết hệ tọa độ Đềcác; thấy đường axtrôit dạng (9’) nằm đường tròn tâm O bán kính a [19, tr.179 - 180] Qua ví dụ nhận thấy: - Lời giải ví dụ khảo sát tính chất theo trình tự bước đưa Đường cho dạng tham số thí dụ tiệm cận, hàm số hệ phương trình tham số hàm lượng giác sin cos, tuần hoàn với chu kì 2π nên phạm vi khảo sát thu hẹp lại khoảng [0, 2π ] Do không xét đến cực trị, tính lồi, lõm, điểm uốn hàm số nên dựa vào bảng biến thiên xác định khoảng đơn điệu hàm số vẽ đồ thị - Việc tìm điểm đặc biệt tiếp tuyến điểm đặc biệt không thiết có trình tự khảo sát đồ thị đưa trước tìm điểm đặc biệt tiếp tuyến điểm Hơn nữa, công việc cần thiết khảo sát tỉ mỉ Như vậy, toán khảo sát đường cho dạng tham số thực qua bước yêu cầu khảo sát nhiều kiến thức hàm số toán KSSBT vẽ ĐT hàm số y = f(x) tính chất yêu cầu toán có thay đổi so với toán KSSBT vẽ ĐT hàm số y = f(x) Cụ thể, trình tự khảo sát đường cho dạng tham số tính đơn điệu hàm số giữ lại tính chất tính chẵn lẻ tuần hoàn thay cho tính lồi, lõm, cực trị, điểm uốn hàm số Điều chứng tỏ, toán KSSBT vẽ ĐT hàm số y = f(x) dù trình tự khảo sát huy động đến nhiều kiến thức hàm số 15 có tính đơn điệu hàm số có mặt tính chất tính chẵn lẻ, tuần hoàn, tiệm cận, tính lồi, lõm, cực trị, điểm uốn không cần thiết khảo sát 1.1.1.3 Khảo sát đường hệ tọa độ cực Các bước khảo sát hàm số f = f (ϕ ) : - Miền xác định f( ϕ ); - Xác định số điểm đặc biệt đồ thị; - Bảng biến thiên (xét biến thiên f( ϕ ) theo ϕ ) [19, tr 196] Bên cạnh đó, Để vẽ đồ thị xác hơn, ta thường xác định tiếp tuyến với đường cong điểm M [19, tr.185] Bài toán KSSBT vẽ ĐT đường dạng f = f (ϕ ) tiến hành qua bước không huy động nhiều kiến thức hàm số mà liên quan đến: miền xác định, tính đơn điệu hàm số Như vậy, dạng toán KSSBT vẽ ĐT khảo sát tính đơn điệu hàm số tính chất khác không xuất trình tự khảo sát Chúng trích dẫn ví dụ minh họa bước Ví dụ: Vẽ đường hoa hồng ba cánh có phương trình r a sin3ϕ , a > = Ở r hàm số tuần hoàn với chu kì 2π , cần khảo sát hàm số  π π khoảng có độ dài chu kì, chẳng hạn, khoảng  − ,  ; r hàm số lẻ,  3  π cần khảo sát khoảng  0,   3 Ta có r ' = 3a cos3ϕ r ' 0= ϕ = tgV= π r = tg3ϕ r' Dưới cho bảng biến thiên r theo ϕ : 16  π π  π Đồ thị ứng với khoảng  0,  gồm cánh, ứng với chu kì  − ,  gồm hai cánh đối xứng  3  3 nhau, cho đồ thị quay góc 2π quanh cực có toàn đồ thị Hình 5.15 [19, tr 186 - 187] Qua ví dụ trên, đường yêu cầu khảo sát hàm f (ϕ ) = a sin 3ϕ Trước thực bước trình tự khảo sát, giáo trình khảo sát tính tuần hoàn tính chẵn lẻ hàm số để thu hẹp phạm vi khảo sát Bài toán dựa vào tính đơn điệu hàm số để vẽ đồ thị mà không khảo sát tính chất lồi, lõm, điểm uốn, cực trị hay tiệm cận đồ thị hàm số Như vậy, toán khảo sát đường hệ tọa độ cực tính đơn điệu hàm số, tính chất tính chẵn lẻ tuần hoàn yêu cầu khảo sát dù không đưa vào trình tự khảo sát 1.1.1.4 Phân tích tập toán KSSBT vẽ ĐT Bài tập toán KSSBT vẽ ĐT [a] sau: Bài 18: Khảo sát vẽ đồ thị hàm số: y = − x2 , + x4 y= y = x4 + x3 + y = x3 − x2 − x + x −2 x2 + y = 1+ x y =1 − x + x Bài 19: Khảo sát vẽ đồ thị hàm số: r = a + b cosϕ = r a cos3ϕ (0 < a ≤ b) (a > 0) [19, tr 199- 200] 17 x3 x+3 Trong [a] đưa hai tập toán KSSBT vẽ ĐT: hàm số y = f(x), đường tọa độ cực Riêng toán khảo sát đường cho dạng tham số có lí thuyết không cho tập để thực hành Các dạng hàm số yêu cầu khảo sát chủ yếu hàm phân thức (hữu tỉ hay chứa căn), hàm thức, hàm lượng giác (chủ yếu hàm sin cos) hàm tạo thành từ tổng, hiệu, tích, thương hai hay nhiều hàm số (trị tuyệt đối thức, đa thức thức,…) Nhìn chung, toán KSSBT vẽ ĐT toán chứa đựng nhiều kiến thức hàm số đưa vào cuối chương ứng dụng hay phục vụ cho tri thức sau (tất nhiên sau đó, việc khảo sát hàm phục vụ cho việc tính diện tích thể tích hình phẳng tích phân) Mặt khác, với phát triển công nghệ thông tin ngày việc sử dụng phần mềm để nghiên cứu đồ thị hàm số nhanh chóng nên hạn chế kiểu nhiệm vụ Do đó, toán KSSBT vẽ ĐT dù có giáo trình chưa thật trọng 1.1.1.5 Một số kết từ giáo trình [a] Bài toán KSSBT vẽ ĐT giáo trình [a] gồm có KSSBT vẽ ĐT hàm số dạng y = f(x), khảo sát đường cho dạng tham số đường hệ tọa độ cực Bài toán KSSBT vẽ ĐT nói chung huy động đến nhiều kiến thức hàm số như: miền xác định, tính đơn điệu, tính chẵn lẻ, tính tuần hoàn, cực trị, tính lồi, lõm, điểm uốn, giới hạn hàm số, đạo hàm, tiệm cận đồ thị hàm số Trong đó, tính đơn điệu hàm số tính chất yêu cầu khảo sát trình tự KSHS kĩ thuật xét chiều biến thiên dùng công cụ giải tích đạo hàm Đối với tính chất: tính chẵn lẻ, tính tuần hoàn, cực trị, tiệm cận, tính lồi, lõm, điểm uốn đồ thị hàm số không bắt buộc khảo sát Các hàm số yêu cầu khảo sát gồm hàm phân thức, thức, hàm lượng giác hàm tạo thành từ tổng, hiệu, tích, thương hai hay nhiều hàm số Bài toán KSSBT vẽ ĐT không phục vụ cho tri thức sau chưa thật trọng giáo trình 1.1.2 Bài toán KSSBT vẽ ĐT giáo trình [b] Bài toán KSSBT vẽ ĐT hàm số y = f(x) giáo trình [b] cho trình tự sau: Các bước vẽ đồ thị hàm số y = f(x) Bước 1: Tìm xét dấu đạo hàm bậc f ' ( x ) , xác định khoảng đồng biến, nghịch biến cực trị địa phương hàm f(x) ( f ' ( x ) = đổi dấu) 18 [...]... của hàm số, các tính chất như tính chẵn lẻ và tuần hoàn cũng được yêu cầu khảo sát dù không được đưa vào trình tự khảo sát 1.1.1.4 Phân tích bài tập về bài toán KSSBT và vẽ ĐT Bài tập về bài toán KSSBT và vẽ ĐT trong [a] như sau: Bài 18: Khảo sát và vẽ đồ thị các hàm số: 1 y = 2 − x2 , 1 + x4 2 y= 3 y = x4 + 8 x3 + 1 4 y = 3 x3 − x2 − x + 1 x −2 x2 + 1 3 5 y = 1+ x 2 6 y =1 − x + x Bài 19: Khảo sát và. .. được yêu cầu khảo sát là hàm f (ϕ ) = a sin 3ϕ Trước khi thực hiện các bước trong trình tự khảo sát, giáo trình này đã khảo sát tính tuần hoàn và tính chẵn lẻ của hàm số trên để thu hẹp phạm vi khảo sát Bài toán này chỉ dựa vào tính đơn điệu của hàm số để vẽ đồ thị mà không khảo sát các tính chất lồi, lõm, điểm uốn, cực trị hay tiệm cận của đồ thị hàm số Như vậy, trong bài toán khảo sát đường trong...CHƯƠNG 1: BÀI TOÁN KHẢO SÁT SỰ BIẾN THIÊN VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ Ở BẬC ĐẠI HỌC Trong chương này, chúng tôi đi tìm câu trả lời cho câu hỏi Q1 như sau: Q1: Các điều kiện sinh thái của bài toán KSSBT và vẽ ĐT hàm số trong các giáo trình giải tích dành cho sinh viên những năm nhất Đại học? Những ràng buộc và hạn chế nào xoay quanh các tính chất và dạng hàm số của bài toán này trong các giáo trình Đại học? Ngoài... hàm số như bài toán KSSBT và vẽ ĐT hàm số y = f(x) nhưng các tính chất yêu cầu trong bài toán này có thay đổi so với bài toán KSSBT và vẽ ĐT hàm số y = f(x) Cụ thể, trong trình tự khảo sát đường cho dưới dạng tham số tính đơn điệu của hàm số được giữ lại và các tính chất như tính chẵn lẻ và tuần hoàn thay thế cho tính lồi, lõm, cực trị, điểm uốn của hàm số Điều này chứng tỏ, bài toán KSSBT và vẽ ĐT hàm. .. Bảng biến thiên (7) Vẽ đồ thị [19, tr 171] Qua trình tự khảo sát hàm số (KSHS) trên, chúng tôi thấy rằng để khảo sát một hàm số trải qua 7 bước Đồng thời bài toán KSSBT và vẽ ĐT hàm số y = f(x) đã huy động nhiều kiến thức về hàm số và những kiến thức này đã được đưa vào trình tự KSHS một cách tường minh như: miền xác định, tính đơn điệu, cực trị, tính lồi, lõm, điểm uốn, tiệm cận, đồ thị của hàm số Các... trị, đồ thị hàm số, tính đơn điệu, tính tuần hoàn, tính chẵn lẻ của hàm số, giới hạn hàm số, đạo hàm của hàm số, … các giáo trình trên đưa ra các định lý về giá trị trung bình và ứng dụng của nó, bài toán KSSBT và vẽ ĐT là một trong những ứng dụng của các định lý này Trong hai giáo trình, bài toán KSSBT và vẽ ĐT đều được đưa vào bài cuối của mỗi chương Sau đây, chúng tôi sẽ nghiên cứu bài toán KSSBT và. .. và vẽ ĐT hàm số dạng y = f(x), khảo sát đường cho dưới dạng tham số và đường trong hệ tọa độ cực Bài toán KSSBT và vẽ ĐT nói chung huy động đến nhiều kiến thức về hàm số như: miền xác định, tính đơn điệu, tính chẵn lẻ, tính tuần hoàn, cực trị, tính lồi, lõm, điểm uốn, giới hạn của hàm số, đạo hàm, tiệm cận và đồ thị của hàm số Trong đó, tính đơn điệu của hàm số là tính chất luôn được yêu cầu khảo sát. .. ngay sau đó và chưa thật sự được chú trọng trong giáo trình này 1.1.2 Bài toán KSSBT và vẽ ĐT trong giáo trình [b] Bài toán KSSBT và vẽ ĐT hàm số y = f(x) trong giáo trình [b] được cho bởi trình tự sau: Các bước cơ bản vẽ đồ thị hàm số y = f(x) Bước 1: Tìm và xét dấu đạo hàm bậc nhất f ' ( x ) , xác định các khoảng đồng biến, nghịch biến và cực trị địa phương của hàm f(x) ( f ' ( x ) = 0 và đổi dấu)... ban hành, và thực tế giảng dạy của hệ cao đẳng của một số trường đại học kĩ thuật và căn cứ vào chương trình môn Toán hiện nay của các trường Trung học Phổ thông, […] [19, tr.3] Với mục tiêu nghiên cứu đề ra, chúng tôi chỉ đặc biệt chú ý đến các nội dung liên quan đến bài toán KSSBT và vẽ ĐT ở cấp độ đại học 1.1 Bài toán KSSBT và vẽ ĐT trong hai giáo trình đã chọn Từ các kiến thức của hàm số đã nghiên... tri thức trong Giáo trình Đại học gần với tri thức bác học thì những kết quả phân tích của chương này sẽ được chúng tôi chọn làm tham chiếu cho phân tích ở chương tiếp theo, chương 2: Bài toán khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số trong Chương trình và sách giáo khoa Toán Việt Nam Để đạt được mục tiêu trên, chúng tôi sẽ tham khảo các giáo trình toán dùng ở bậc đại học Cụ thể, chúng tôi chọn hai