Phương trình sóng một chiều với hệ số biến thiên liên kết với điều kiện biên chứa tích phân

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Lê Trường Giang PHƯƠNG TRÌNH SÓNG MỘT CHIỀU VỚI HỆ SỐ BIẾN THIÊN LIÊN KẾT VỚI ĐIỀU KIỆN BIÊN CHỨA TÍCH PHÂN LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh - 2008 LỜI CẢM ƠN Lời tơi trân trọng kính gửi tới Thầy hướng dẫn, TS Trần Minh Thuyết, lòng biết ơn chân thành sâu sắc Thầy ân cần tận tình hướng dẫn, giúp cho nắm bước nghiên cứu giải đáp thắc mắc tơi gặp phải Sự tận tình hướng dẫn Thầy giúp tơi hồn thành luận văn Xin trân trọng cảm ơn quý Thầy Cô ngồi khoa Tốn – Tin học trường Đại học Sư phạm Tp Hồ Chí Minh tận tình truyền đạt kiến thức kinh nghiệm quý báu cho suốt thời gian học tập trường Chân thành cảm ơn Ban chủ nhiệm khoa Toán – Tin học, q Thầy Cơ thuộc phịng quản lý Khoa học Công nghệ & Sau Đại học, thư viện trường Đại học Sư phạm Tp.HCM tạo điều kiện thuận lợi để tơi hồn thành chương trình học trình làm thủ tục bảo vệ luận văn tốt nghiệp Tôi vô biết ơn Thầy Kiều Ngọc Tú, hiệu trưởng Trường THPT Trần Hưng Đạo tạo điều kiện thuận lợi để tơi hồn thành khóa học Tôi không quên gửi lời biết ơn đến gia đình tơi, chỗ dựa tinh thần vững tơi Sau cùng, kiến thức thân cịn hạn chế nên luận văn khó tránh khỏi thiếu sót Tơi mong nhận bảo q Thầy Cơ góp ý chân thành bạn bè đồng nghiệp Tôi xin chân thành cảm ơn Thành phố Hồ Chí Minh, tháng 10 năm 2008 Lê Trường Giang MỞ ĐẦU Trong luận văn chúng tơi xét tốn sau: Tìm cặp hàm (u, P) thỏa: u tt − u xx + f (u,u t ) = F(x, t),0 < x < 1,0 < t < T, (1) u x (0, t) = P(t), (2) u(1,t)=0, (3) u(x,0) = u (x),u t (x,0) = u1 (x) (4) f (u,u t ) = K(x, t)u + λ (t)u t (5) K(x,t), λ(t), F(x,t), u , u1 hàm cho trước thỏa điều kiện mà ta sau Hàm chưa biết u(x,t) giá trị biên chưa biết P(t) thỏa phương trình tích phân phi tuyến sau P(t) = g (t) + λ u t (0, t) + K u(0, t) α− u(0, t) t − ∫ k (t − s)u(0,s)ds, (6) α ≥ 2, K ≥ 0, λ >0 số cho trước g (t), k (t) hàm cho trước Trong [2], Đ.Đ.Áng Alain Phạm thiết lập định lý tồn nghiệm cho toán (1) – (5) với u0, u1, P hàm cho trước, với α f (u,u t ) = u t sign(u t ),(0 < α < 1) (7) Tổng quát hóa kết [2], N.T.Long Alain Phạm [3 –5, 8, 10, 11 xét toán (1), (3), (4) liên kết với điều kiện biên không x = sau có dạng t u x (0, t) = g (t) + H(u(0, t)) − ∫ k (t − s)u(0,s)ds, (8) mà (7) xét trường hợp riêng Chẳng hạn toán (1), (3), (4) (8) nghiên cứu ứng với trường hợp k ≡ 0, H(s) = hs, với h > [10]; k ≡ [11]; H(s) = hs, với h > [5] Trong trường hợp H(s) = h.s, với h > 0, toán (1), (2), (3), (4), (8), ẩn hàm u(x,t) giá trị biên chưa biết P(t) thỏa tốn Cauchy cho phương trình vi phân thường sau P"(t) + ω2 P(t) = hu tt , < t < T, (9) P(0) = P0 , P '(0) = P1 , (10) ω > 0, h ≥ 0, P0 , P1 số cho trước ([1], [11]) Trong [1], N.T An N.D Triều nghiên cứu trường hợp đặc biệt toán (1)–(4), (7), (9), (10) với u = u1 = P0 = K(x, t) ≡ K, λ (t) ≡ λ K, λ, số dương cho trước Trong trường hợp toán (1) – (4), (9), (10) mơ hình tốn học mơ tả va chạm vật rắn đàn hồi nhớt tuyến tính tựa cứng Trong trường hợp (7), tốn (1) – (4), (9), (10) mơ tả va chạm vật rắn đàn hồi nhớt tuyến tính với ràng buộc đàn hồi phi tuyến bề mặt, ràng buộc liên hệ với lực cản ma sát nhớt Từ (9), (10) ta biểu diễn P(t) theo P0, P1, ω, h, u tt (0, t) sau tích phân phần, ta t P(t) = g (t) + hu(0, t) − ∫ k (t − s)u(0,s)ds, (11) g (t) = (P0 − hu (0))cos ωt + (P1 − hu1 (0))sin ωt, ω k (t) = hω sin ωt Bằng việc khử ẩn hàm P(t), ta thay điều kiện biên (2) (12) (13) t u x (0, t) = g (t) + hu(0, t) − ∫ k (t − s)u(0,s)ds (14) Khi ta đưa tốn (1) – (4), (9), (10) toán (1) – (4), (11) – (13) hay (1), (3), (4), (12) – (14) Các tác giả Bergounioux, Long, Alain [3], Long, Alain, Diễm [8] nghiên cứu toán (1), (2), (4), (8) ux (1,t)+K1u(1, t) + λ1u t (1, t) = 0, (3’) f (u,u t ) = Ku + λu t , (15) K, λ, K1 , λ1 số không âm cho trước Bài tốn (1), (2), (4), (8), (3’), (15) mơ tả va chạm vật rắn đàn hồi nhớt tuyến tính tựa đàn hồi nhớt với ràng buộc đàn hồi tuyến tính bề mặt, ràng buộc liên kết với lực cản ma sát nhớt Luận văn trình bày theo chương mục sau: Phần mở đầu tổng quan toán khảo sát luận văn, điểm qua kết có trước đó, đồng thời nêu bố cục luận văn Chương 1, chúng tơi trình bày số công cụ chuẩn bị, bao gồm việc nhắc lại số không gian hàm, số kết phép nhúng compact không gian hàm Chương 2, chúng tơi trình bày tồn nghiệm yếu toán (1) – (6) hai trường hợp (u ,u1 ) ∈ H1 (0,1) × L2 (0,1), u (1) = (u ,u1 ) ∈ H (0,1) × H1 (0,1), u (1) = 0, u1 (1) = Chứng minh dựa vào phương pháp Galerkin liên kết với đánh giá tiên nghiệm phương pháp compact yếu Trong phần này, định lý Schauder sử dụng việc chứng minh tồn nghiệm xấp xỉ Galerkin Chương 3, chúng tơi nghiên cứu ổn định tính trơn nghiệm toán (1) – (6) trường hợp α = 4 Chương 4, xét trường hợp cụ thể để minh họa phương pháp tìm nghiệm toán Kế đến phần kết luận danh mục tài liệu tham khảo 5 Chương CÁC CƠNG CỤ CHUẨN BỊ 1.1 Các khơng gian hàm thông dụng Chúng ta bỏ qua định nghĩa khơng gian hàm thơng dụng kí hiệu gọn lại sau: Lp = Lp (Ω), H m = H m (Ω), Ω = (0,1) H 0m =H 0m (Ω), QT = Ω × (0,T) = (0,1) × (0,T), T > Ta dùng ký hiệu ⋅, ⋅ để tích vơ hướng chuẩn sinh tích vơ hướng tương ứng L2 Kí hiệu ⋅, ⋅ dùng để cặp tích đối ngẫu phiếm hàm tuyến tính liên tục với phần tử không gian hàm Ký hiệu ⋅ X để chuẩn không gian Banach X Ta gọi X’ không gian đối ngẫu X Các ký hiệu Lp (0,T;X), ≤ p ≤ ∞ , không gian Banach hàm đo u : (0,T) → X , cho u ⎛ T p ⎞p = ⎜⎜ ∫ u(t) X dt ⎟⎟ < +∞ L (0,T;X) p ⎝0 ⎠ ≤ p < ∞ u L∞ (0,T;X) = esssup u(t) 0< t < T p = ∞ X i ii Ta kí hiệu u(t), u '(t) = u t (t) = u(t), u ''(t) = u tt (t) = u(t), u x (t), để lần ∂u ∂2u ∂u (x, t), (x, t), lượt u(x, t), (x, t) theo thứ tự ∂x ∂t ∂t 1.2 Các bổ đề quan trọng 6 Cho ba không gian Banach B0 ,B,B1 với B0 ⊂ B ⊂ B1 với phép nhúng liên tục cho B0, B1 phản xạ, (1.1) B0 1B với phép nhúng compact (1.2) Ta định nghĩa: W = {v ∈ Lp0 (0,T;B0 ) : dv = v ' ∈ Lp1 (0,T;B1 )}, dt < T < ∞, ≤ pi ≤ ∞, i = 0,1 Trang bị W chuẩn sau: v W = v Lp0 (0,T;B0 ) + v ' Lp1 (0,T;B ) Khi W khơng gian Banach Hiển nhiên W ⊂ Lp0 (0,T;B) Ta có kết sau: Bổ đề 1.1 ([6], p.57) Dưới giả thiết (1.1), (1.2) < pi < ∞, i = 0,1 phép nhúng W1Lp0 (0,T;B) compact Bổ đề 1.2 ([6], p.12) Cho Q mở bị chặn RN, g, gm ∈ Lq (Q),1 < q < ∞ thỏa (i) g m Lq (Q) ≤ C, với m, (ii) g m → g hầu hết Q Khi đó: g m → g Lq (Q) yếu Sau cùng, chúng tơi trình bày kết lý thuyết phổ áp dụng nhiều toán biên Trước hết ta làm số giả thiết sau: Cho V H hai không gian Hilbert thực thỏa điều kiện (1.3) (i) Phép nhúng V1H compact (ii) V trù mật H Cho a : V × V → R dạng song tuyến tính đối xứng, liên tục VxV cưỡng V Chính xác hơn, ta gọi a dạng song tuyến tính: (j) Nếu u → a(u, v) tuyến tính từ V vào R với v ∈ V v → a(u, v) tuyến tính từ V vào R với u ∈ V (jj) Đối xứng a(u, v) = a(v, u) , ∀u, v ∈ V (jjj) Liên tục ∃M > : a(u, v) ≤ M u V v V, (4j) Cưỡng ∃α > : a(v, v) ≥ α v V , ∀u, v ∈ V ∀v ∈ V Khi ta có kết sau: Bổ đề 1.3 ([12], Định lý 6.2.1, p.137) Dưới giả thiết (1.3), (1.4) Khi đó, tồn sở trực chuẩn Hilbert {wj} H gồm hàm riêng wj tương ứng với giá trị riêng λ j cho < λ1 ≤ λ ≤ ≤ λ j ≤ , lim λ j = +∞ j→∞ a(w j , v) = λ j w j , v , ∀v ∈ V, ∀j = 1,2 Hơn nữa, dãy { wj } sở trực chuẩn Hilbert V đối λj với tích vơ hướng a(.,.) Chứng minh bổ đề 1.3 tìm thấy [12, Định lý 6.2.1, p 127] 8 Chương SỰ TỒN TẠI VÀ DUY NHẤT NGHIỆM 2.1 Giới thiệu Trong chương II chúng tơi xét tốn sau: Tìm cặp hàm (u, P) thỏa: u tt − u xx + K(x, t)u + λ (t)u t = F(x, t),0 < x < 1,0 < t < T, (1) u x (0, t) = P(t), (2) u(1,t)=0, (3) u(x,0) = u (x), u t (x,0) = u1 (x) (4) K(x,t), λ(t), F(x,t), u , u1 hàm cho trước thỏa điều kiện mà ta sau Hàm chưa biết u(x,t) giá trị biên chưa biết P(t) thỏa phương trình tích phân phi tuyến sau P(t) = g (t) + λ u t (0, t) + K u(0, t) α− t u(0, t) − ∫ k (t − s)u(0,s)ds, (5) α ≥ 2, K ≥ 0, λ >0 số cho trước g (t), k (t) hàm cho trước Trong chương này, ta thiết lập định lý tồn nghiệm yếu toán (1) – (5) Chứng minh dựa vào phương pháp Galerkin liên hệ với đánh giá tiên nghiệm, từ rút dãy hội tụ yếu khơng gian thích hợp nhờ số phép nhúng compact Trong phần định lý Schauder điểm bất động sử dụng việc chứng minh tồn nghiệm xấp xỉ Galerkin Trước hết đặt: V = {v ∈ H1 (0,1) : v(1) = 0} (2.1.1) dạng song tuyến tính V × V a(u, v) = ∫ u '(x)v'(x)dx (2.1.2) V khơng gian đóng H1, khơng gian Hilbert tích vơ hướng H1 Khi ta có bổ đề sau: Bổ đề 2.1.1 Phép nhúng V1C0 ([0,1]) compact v C0 ([0,1]) v H1 ≤ v' ≤ v V , ≤ v' ≤ v V ≤ v H1 , ∀v ∈ V (2.1.3) Bổ đề 2.1.2 Dạng song tuyến tính đối xứng a(.,.) xác định (7), liên tục VxV cưỡng V Các bổ đề 2.1.1 2.1.2 kết quen thuộc mà chứng minh tìm thấy nhiều tài liệu liên quan đến lý thuyết khơng gian Sobolev, chẳng hạn [6] Chú thích 2.1.1 Ta suy từ (2.1.3) rằng, V ba chuẩn v v V = a(v, v) tương đương 2.2 Định lý tồn nghiệm Ta thiết lập giả thiết sau (F): F ∈ L1 (Q T ) ( g ): g ∈ H1 ([0,T]) (K): K ∈ L∞ (QT ) ( λ ): λ ∈ L∞ ([0,T]) ( k ): k ∈ H1 (0,T) (1’): α ≥ 2,K ≥ 0,λ >0 H1 , v' 10 (2’): u ∈ V, u1 ∈ L2 Khi đó, ta có định lý sau: Định lý 2.2.1 Với giả thiết (F), ( g ), (K), ( λ ), ( k ), (1’), (2’) thỏa Khi tồn nghiệm yếu (u, P) toán (1) – (5) thỏa ⎧⎪u ∈ L∞ (0, T ;V ), ut ∈ L∞ (0, T ; L2 ), u (0,.) ∈ H (0, T ) ⎨ ⎪⎩ P ∈ L (0, T ) (2.2.1) (2.2.2) Hơn nữa, α = α ≥ nghiệm (u, P) Chứng minh Việc chứng minh chia làm nhiều bước Bước Xấp xỉ Galerkin Xét sở trực chuẩn {w j} V gồm vectơ riêng w j toán tử Laplace −∂ / ∂x , π w j (x) = /(1 + λ 2j ) cos(λ jx), λ j = (2 j − 1) , j = 1,2, (2.2.3) Đặt m u m (t) = ∑ cmj (t)w j , (2.2.4) j=1 c mj (t) thỏa hệ phương trình vi phân phi tuyến u"m (t), w j + u mx , w jx + Pm (t)w j (0) + K(x, t)u m (t) + λ(t)u 'm (t), w j = F(x, t), w j , Pm (t) = g (t) + λ 0u 'm (t) + K u m (0, t) t − ∫ k (t − s)u m (0,s)ds, với α− (2.2.5) u m (0, t) (2.2.6) 11 m ⎧ ⎪u m (0) = u 0m = ∑ α mjw j → u ma⋅ nh H j=1 ⎪ ⎨ m ⎪u ' (0) = u = β w → u ma nh L2 ∑ 1m mj j ⋅ ⎪ m j = ⎩ (2.2.7) Hệ phương trình viết lại dạng c"mj (t) + λ 2j cmj (t) = −1 ⎡ ⎣ Pm (t)w j (0) wj + K(x, t)u m (t) + λ (t)u 'm (t), w j (2.2.8) − F(x, t), w j ⎤ ⎦ Pm (t) = g (t) + λ 0u 'm (t) + K u m (0, t) α− u m (0, t) (2.2.9) t − ∫ k (t − s)u m (0,s)ds, c mj (0) = α mj , c'mj (0) = βmj , ≤ j ≤ m (2.2.10) Hệ phương trình tương đương với hệ phương trình vi tích phân t cmj (t) = G mj (t) − wj ∫0 N j (t − τ) ⎡⎣λ0u m (τ)w j (0) ' + K u m (0, τ) α− u m (0, τ)w j (0) (2.2.11) + K(x, τ)u m (τ) + λ(τ)u (τ), w j ⎤ dτ ' m + w j (0) t wj ⎦ τ ∫0 N j (t − τ)dτ∫0 k (τ − s)u m (0,s)ds, ≤ j ≤ m, N j (t) = sin(λ jt) λj , (2.2.12) 12 G mj (t) = α mj N (t) + βmj N j (t) − ' j w j (0) t wj wj ∫0 N j (t − τ)g0 (τ)dτ t + 2 ∫0 N j (t − τ) (2.2.13) F(x, τ), w j dτ Khi ta có bổ đề sau Bổ đề 2.2.1 Giả sử giả thiết (F), ( g ), (K), ( λ ), ( k ), (1’), (2’) thỏa Khi với T > cố định, hệ phương trình (2.2.11) – (2.2.13) có nghiệm cm = (cm1, , cmm ) [0,Tm ] ⊂ [0,T ] Chứng minh Ta bỏ qua số m, hệ (2.2.11) – (2.2.13) viết lại dạng c = Uc , (2.2.14) c = (c1, ,cm ), Uc = ((Uc)1, ,(Uc)m ), t (Uc) j (t) = G j (t) + ∫ N j (t − τ)(Vc) j (τ)dτ, (2.2.15) t (Vc) j (t) = f1j (c(t),c'(t)) + ∫ f j (t − s,c(s))ds, (2.2.16) G j (t) = α mj N (t) + βmj N j (t) − ' j + Các hàm f1j : 2m t wj ∫0 w j (0) t wj ∫0 N j (t − τ)g0 (τ)dτ F(x, τ), w j dτ → , f j :[0,T] × m → cho (2.2.17) 13 ⎡ ⎢ f1j (c,d) = − K0 w j ⎢⎣ m ci w i (0) ∑ i =1 α− ⎛ m ⎞ ⎜ ∑ ci w i (0) ⎟ w j (0) ⎝ i=1 ⎠ m ⎞ ⎛ m ⎞ ⎛ m ⎞ ⎤ ⎝ i=1 ⎠ ⎝ i=1 ⎠ ⎝ i=1 ⎠ ⎥⎦ ⎛ (2.2.18) + λ ⎜ ∑ di w i (0) ⎟ w j (0) + K ⎜ ∑ ci w i ⎟ + λ ⎜ ∑ d i w i ⎟ , w j ⎥ f j (t,c) = w j (0) wj m k (t)∑ ci w i (0) (2.2.19) i =1 Với Tm > 0, M > , ta đặt { S = c ∈ C1 ([0,Tm ]; m ): c } ≤M , m c = c + c' với c = sup c(t) , c(t) = ∑ ci (t) 0≤ t ≤Tm (2.2.20) i =1 Dễ nhận thấy S tập lồi đóng bị chặn Y = C1 ([0,Tm ]; m ) Áp dụng định lý điểm bất động Schauder, chứng minh toán tử U :S → Y xác định (2.2.15) – (2.2.19) có điểm bất động Điểm bất động nghiệm hệ (2.2.11) a) Trước hết, ta chứng minh U ánh xạ từ S vào Trước hết, ta chứng minh U: Y → Y Lấy c ∈ Y , để chứng minh Uc ∈ Y cần bổ đề sau Bổ đề 2.2.3: Với hàm F:[0,T] → , F ∈ L1 (0,T) hàm t H(t) = ∫ N j (t − τ)F(τ)dτ ∈ C1 ([0,T]) Chứng minh bổ đề 2.2.3: 14 H(t + h) − H(t) sin λ j (t + h − τ) − sin λ j (t − τ) = ∫ F(τ)dτ h λj h t + λj t +h ∫t sin λ j (t + h − τ) F(τ)dτ h Từ sin λ j (t + h − τ) − sin λ j (t − τ) F(τ) ≤ F(τ) h sin λ j (t + h − τ) − sin λ j (t − τ) F(τ) → λ j cos λ j (t − τ)F(τ) h → h Theo định lý Lebesgue sin λ j (t + h − τ) − sin λ j (t − τ) F(τ)dτ → ∫ cos λ j (t − τ)F(τ)dτ λ j ∫0 h t t h → Tương tự, ta có: sin λ j (t + h − τ) F(τ) ≤ F(τ) h t +h ∫t sin λ j (t + h − τ) F(τ)dτ → h → h Do t H'(t) = ∫ cos λ j (t − τ)F(τ)dτ Lại sử dụng định lý hội tụ Lesbegue, ta chứng minh H'(t n ) → H'(t) với dãy t n → t trong[0,T] Do H ∈ C1 ([0,T]) Bổ đề chứng minh xong 15 Sử dụng bổ đề 2.2.3 giả thiết (F), ( g ), (K), ( λ ), ( k ), (1’), (2’), suy G j ∈ C1 ([0,T]; ) (Vc) j ∈ C0 ([0,Tm ]; c ∈ C1 ([0,Tm ]; m ) với ) , từ (2.2.15) suy t (Uc)' j (t) = G ' j (t) + ∫ N' j (t − τ)(Vc) j (τ)dτ (2.2.21) U : Y → Y Lấy c ∈ S , ta suy từ (2.2.15) – (2.2.21) (Uc)(t) ≤ G(t) + mT Vc λ1 m (2.2.22) (Uc)'(t) ≤ G '(t) + mTm Vc (2.2.23) Mặt khác, ta suy từ (F), ( g ), (K), ( λ ), ( k ), (1’), (2’) (2.2.16), (2.2.18), (2.2.19) m Vc ≤ m∑ ⎡⎣ N1 (f1j ,M) + TN (f j ,M,T) ⎤⎦ (2.2.24) j=1 ≡ β(M,T) ∀c ∈ S { } ⎧ N (f ,M) = sup f (y,z) : y m ≤ M, z m ≤ M 1j ⎪ 1j ⎨ ⎪ N (f j ,M,T) = sup f j (t, y) : ≤ t ≤ T, y m ≤ M ⎩ { } (2.2.25) Do từ (2.2.22) – (2.2.25) ta thu Uc ≤ G 1T + (1 + )T β(M,T), λ1 m (2.2.26) G 1T = G 0T + G ' 0T = sup G(t) + sup G '(t) 0≤ t ≤ T 0≤ t ≤T (2.2.27) Chọn M > Tm > cho M ≥ G 1T m(1 + M )Tmβ(M,T) ≤ λ1 (2.2.28) 16 Do đó, Uc ≤ M ∀c ∈ S , có nghĩa U ánh xạ từ S vào b) Bây ta chứng minh toán tử U liên tục S Lấy c,d ∈ S , ta có t (Uc) j (t) − (Ud) j (t) = ∫ N j (t − τ) ⎡⎣(Vc) j (τ) − (Vd) j (τ) ⎤⎦ dτ (2.2.29) Vì Uc − Ud ≤ T Vc − Vd λ1 m (2.2.30) Tương tự, từ đẳng thức t (Uc)' j (t) − (Ud)' j (t) = ∫ N' j (t − τ) ⎡⎣(Vc) j (τ) − (Vd) j (τ) ⎤⎦ dτ (2.2.31) Ta thu (Uc)'− (Ud)' ≤ Tm Vc − Vd (2.2.32) Nhờ đánh giá (2.2.30), (2.2.32), ta cần chứng minh toán tử V : Y → C0 ([0,Tm ]; m ) liên tục S Ta có (Vc) j (t) − (Vd) j (t) = f1j (c(t),c'(t)) − f1j (d(t),d'(t)) t + ∫ ( f j (t − s,c(s)) − f j (t − s,d(s)) ) ds (2.2.33) Từ giả thiết (F), ( g ), (K), ( λ ), ( k ), (1’), (2’) ta suy tồn số K M > cho sup m ∑ f1j (c(t),c'(t)) − f1j (d(t),d '(t)) 0≤ t ≤Tm j=1 ( ≤ K M c − d + c'− d ' ) (2.2.34) ∀c,d ∈ S Ta có bổ đề sau Bổ đề 2.2.4 Giả sử f j :[0,Tm ] × m → hàm liên tục đặt 17 t c ∈ C ([0,Tm ]; (W j c)(t ) = ∫ f j (t − s, c( s))ds, m ) (2.2.35) ( Khi tốn tử W j : C [0,Tm ]; m ) → C ([0,T m ]; ) liên tục S Chứng minh Bổ đề suy cách dễ dàng nhờ vào tính liên tục hàm f j [0,Tm ] × [−M,M]m Từ (1.2.34), (1.2.35), (1.2.36) ta suy Vc − Vd = sup m ∑ (Vc) j (τ) − (Vd) j (τ) 0≤τ≤Tm j=1 ( ≤ K M c − d + c'− d ' ) m ∑ (Wjc)(t) − (Wjd)(t) , + sup 0≤ t ≤Tm j=1 (2.2.36) ∀c,d ∈ S Sử dụng bổ đề 2.2.2 bất đẳng thức (2.2.36) chứng tỏ V : Y → C0 ([0,Tm ]; m ) liên tục S c) Bây ta chứng minh tập US tập compact Y Lấy c ∈ S, t, t ' ∈[0,Tm ] Từ (2.2.15) ta viết lại (Uc) j (t) − (Uc) j (t ') = G j (t) − G j (t ') t t' + ∫ N j (t − τ)(Vc) j (τ)dτ − ∫ N j (t '− τ)(Vc) j (τ)dτ 0 t = G j (t) − G j (t ') + ∫ ⎡⎣ N j (t − τ) − N j (t '− τ) ⎤⎦ (Vc) j (τ)dτ (2.2.37) t' − ∫ N j (t '− τ)(Vc) j (τ)dτ t Do bất đẳng thức N j (t) − N j (s) ≤ t − s , ∀t,s ∈[0,Tm ] từ (2.2.24), (2.2.37), ta thu (2.2.38) 18 m (Uc)(t) − (Uc)(t ') = ∑ (Uc) j (t) − (Uc) j (t ') j=1 (2.2.39) ) t − t ' Vc λ1 ≤ G(t) − G(t ') + β(M,T)(Tm + ) t − t ' λ1 ≤ G(t) − G(t ') + (Tm + Tương tự, từ (2.2.21) – (2.2.24), ta thu (Uc)'(t) − (Uc)'(t ') ≤ G '(t) − G '(t ') + β(M,T)(λ mTm + 1) t − t ' (2.2.40) Do US ⊂ S từ đánh giá (2.2.39), (2.2.40), ta suy họ hàm US = {Uc,c ∈ S} bị chặn đẳng liên tục chuẩn không gian Y Áp dụng định lý Arzela-Ascoli không gian Y, ta suy US compact Y Do định lý điểm bất động Schauder nên U có điểm bất động c ∈ S , nghiệm hệ (2.2.11) Bổ đề 2.2.1 chứng minh hồn tất Dùng bổ đề 2.2.1, hệ phương trình (2.2.5) – (2.2.7) có nghiệm (u m (t),Pm (t)) khoảng [0,Tm ] Các đánh giá tiên nghiệm cho phép lấy Tm = T với m Bước 2: Đánh giá tiên nghiệm Thế (2.2.6) vào (2.2.5), sau nhân phương trình thứ j hệ (2.2.5) cho c mj '(t) cộng phương trình theo số j, ta có u"m (t),u 'm (t) + u mx ,u 'mx + g (t)u 'm (0, t) + λ u 'm (0, t) + K u m (0, t) α− u m (0, t)u 'm (0, t) t −u (0, t) ∫ k (t − s)u m (0,s)ds ' m + K(x, t)u m (t) + λ(t)u 'm (t), w j = F(x, t), w j (2.2.41)