Phương trình sóng phi tuyến với điều kiện biên chứa số hạng memory ở một phần biên trái

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP.HỒ CHÍ MINH Nguyễn Bằng Phong PHƯƠNG TRÌNH SĨNG PHI TUYẾN VỚI ĐIỀU KIỆN BIÊN CHỨA SỐ HẠNG MEMORY Ở MỘT PHẦN BIÊN TRÁI Chun ngành : Tốn Giải tích Mã số : 60.46.01 LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS NGUYỄN THÀNH LONG Thành phố Hồ Chí Minh 2009 LỜI CẢM ƠN Lời đầu tiên, tơi xin kính gởi đến TS Nguyễn Thành Long, lời cám ơn sâu sắc giúp đỡ tận tình Thầy tơi suốt khóa học việc hồn thành luận văn Xin chân thành cám ơn PGS TS Nguyễn Bích Huy TS Lê Thị Phương Ngọc, tất q Thầy Cơ Hội đồng chấm luận văn dành thời gian đọc cho ý kiến q báu lời phê bình bổ ích luận văn tơi Tơi xin cám ơn tất q Thầy Cơ Khoa Tốn Trường Đại học Sư phạm TP Hồ Chí Minh Trường Đại học Khoa học Tự nhiên TP Hồ Chí Minh tận tình giảng dạy truyền đạt kiến thức bổ ích suốt khóa học Trường Đại học Sư phạm Tp Hồ Chí Minh Xin cám ơn q Thầy Cơ cơng tác Phòng Khoa học Cơng nghệ - Sau Đại học, Trường Đại học Sư phạm TP Hồ Chí Minh tạo điều kiện thuận lợi mặt thủ tục hành cho tơi suốt khóa học Xin gởi lời cám ơn đến Ban Giám hiệu đồng nghiệp Trường THPT chun Lê Q Đơn, Ninh Thuận tạo điều kiện khích lệ tơi suốt q trình học Xin chân thành cám ơn bạn nhóm sinh hoạt chun mơn, anh Phạm Thanh Sơn, ThS Nguyễn Văn Ý - người đóng góp cho tơi ý kiến q báu chun mơn, tạo điều kiện thuận lợi để tơi hồn thành luận văn Tơi xin cám ơn bạn học viên Cao học Khóa 17 bạn đồng nghiệp hỗ trợ tơi thời gian học Cuối cùng, tơi xin gởi lời cám ơn sâu sắc đến gia đình tơi, chỗ dựa cho tơi mặt dành điều kiện tốt để tơi học tập hồn thành luận văn Nguyễn Bằng Phong Chương PHẦN MỞ ĐẦU Trong luận văn chúng tơi xét tốn sau: Tìm cặp hàm u, P  thỏa: utt  (t )uxx  ut  F (u )  f (x , t ),  (t )ux (0, t )  P (t ),  (t )ux (1, t )  hu(1, t )  0,  u(x , 0)  u% (x ), ut (x , 0)  u%1(x ),   x  1,  t  T , (1.1) t P (t )  g(t )   k (t  s )u(0, s )ds, (1.2) ,h số cho trước, , u%0 , u%1, g, f , F , k hàm cho trước thỏa điều kiện mà ta sau Trong [5], Nguyen Thanh Long, Le Van Ut Nguyen Thi Thao Truc thiết lập định lý tồn nghiệm cho tốn (1.1)(1), (1.1)(4) với điều kiện biên: u(0, t )  0,   (t )ux (1, t )  Q (t ),  (1.3) t Q(t )  K 1(t )u(1, t )  1(t )ut (1, t )  g(t )   k (t  s )u(1, s )ds, (1.4) g, K 1, 1 hàm cho trước Tổng qt hóa kết [5], Le Thi Phuong Ngoc, Le Nguyen Kim Hang, Nguyen Thanh Long xét dạng khác tốn (1.1)(1), (1.1)(4) với điều kiện biên: t  (0, t )u (0, t )  g (t )  k (t  s )u(0, s )ds, x    t  (1, t )ux (1, t )  g1(t )   k1(t  s )u(1, s )ds,  mà (1.3)- (1.4) xét trường hợp riêng (1.5) Bài tốn (1.1)- (1.2) khảo sát luận văn tổng qt hóa phần kết [5] với F hàm theo u , đồng thời dạng khác tốn khảo sát [9] Trong luận văn này, chúng tơi nghiên cứu tồn nghiệm tồn cục tốn (1.1)-(1.2) Việc chứng minh dựa vào phương pháp xấp xỉ Galerkin, kỹ thuật đánh giá tiên nghiệm với kỹ thuật hội tụ yếu dựa vào tính compact Dựa vào kết này, chúng tơi tiến đến việc khảo sát tính trơn,   tính ổn định nghiệm theo liệu j , j , h j , g j , k j , f j với F , u% 0, u%1 hàm cố định cho trước Cuối kết việc nghiên cứu khai triển tiệm cận theo tham số    0 cho tốn: Lu  u  (t )u  F (u )  u  f (x , t ),  x  1,  t  T , tt xx t   Q%  L0u  (t )ux (0, t )  P(t ), L1u  (t )ux (1, t )  hu(1, t ),  u(x , 0)  u% (x ), ut (x , 0)  u%1(x ),   t P (t )  g(t )   k (t  s )u(0, s )ds Theo kết khai triển tiệm cận tốn Q%  , chúng tơi xấp xỉ nghiệm yếu u(t ) tốn (1.1)-(1.2) dạng đa thức theo  : N u(x , t )  U i (x , t )i U i (x , t ) hàm xác định từ hệ i 0 phương trình vi phân tuyến tính đơn giản Các kết liên quan đến tốn xấp xỉ tiệm cận theo tham số số tác giả quan tâm, chẳng hạn như: Ngoc, Hang, Long [9], Long, Ngoc [7], Long, Ut, Truc [5] Luận văn trình bày theo chương mục sau: Chương 1: Phần mở đầu nêu tổng quan tốn khảo sát luận văn, điểm qua kết có trước đó, đồng thời nêu bố cục luận văn Chương 2: Chúng tơi trình bày số kết chuẩn bị bao gồm việc nhắc lại số khơng gian hàm, số kết phép nhúng compact khơng gian hàm Chương 3: Chúng tơi nghiên cứu tồn nghiệm yếu tốn (1.1)-(1.2) cho trường hợp u%0  H 1, u%1  L2 Chương 4: Chúng tơi khảo sát tính trơn nghiệm u%0  H , u%1  H Chương 5: Chúng tơi nghiên cứu tính ổn định nghiệm tốn (1.1)-(1.2)   theo liệu , , h, g, k, f với F , u% 0, u%1 hàm cố định cho trước Chương 6: Chúng tơi nghiên cứu tốn khai triển tiệm cận nghiệm   0 Kế đến phần kết luận của luận văn sau danh mục tài liệu tham khảo 4 Chương MỘT SỐ CƠNG CỤ CHUẨN BỊ 2.1 Các khơng gian hàm Đặt   (0,1) , QT   (0,T ) , T  Bỏ qua định nghĩa khơng gian hàm thơng dụng C m  , Lp  , W 1,p  (có thể xem [1]), kí hiệu H   H , H   H khơng gian Sobolev thơng dụng Ta định nghĩa L2  khơng gian Hilbert với tích vơ hướng u, v   u(x )v(x )dx ; u, v  L2 (2.1) Kí hiệu ||  || chuẩn sinh tích vơ hướng (1.1), đó: u  u, u   u (x )dx, u  L 2 (2.2) Trên H ta sử dụng chuẩn sau: || v ||2  || v ||2  || vx ||2, v  H H (2.3) Ta có kết sau: Bổ đề 2.1 Phép nhúng H
C  compact v C   v H1 (2.4) 2.2 Khơng gian hàm Lp (0,T ; X ),  p   Cho X khơng gian Banach thực với chuẩn ||  ||X Ta kí hiệu Lp (0,T ; X ),  p   khơng gian lớp tương đương hàm u : 0,T   X đo cho: T  p u(t ) X dt   với  p  , hay M  : u(t ) X  M , t  0,T  với p   Trên Lp (0,T ; X ),  p   , ta trang bị chuẩn xác định (2.5) hay u Lp (0,T ;X ) T  p p    u(t ) X dt  với  p  ,   u Lp (0,T ;X )  essup u(t ) X    inf M  : u(t ) X  M , t  0,T  với p   (2.6) Khi ta có bổ đề sau mà chứng minh chúng tìm thấy Lions[2] Bổ đề 2.2 Lp (0,T ; X ),  p   khơng gian Banach Bổ đề 2.3 Gọi X  khơng gian đối ngẫu X Khi Lp  (0,T ; X ) với 1   1,  p   đối ngẫu Lp (0,T ; X ) Hơn nữa, X phản xạ p p Lp (0,T ; X ) phản xạ Bổ đề 2.4 L1(0,T ; X )  L (0,T ; X ) Hơn nữa, khơng gian L1(0,T ; X ) , L (0,T ; X ) khơng phản xạ Ghi 2.1 Nếu X  Lp ta kí hiệu Lp (0,T ; X )  Lp  0,T  2.3 Phân bố có giá trị vectơ Định nghĩa 2.1 Cho X khơng gian Banach thực Một ánh xạ tuyến tính liên tục từ D 0,T  vào X gọi phân bố (hàm suy rộng) có giá trị X Tập phân bố có giá trị X kí hiệu là:   D  0,T ; X   L(D(0,T ); X )  f : D(0,T )  X f tuyến tính liên tục Ghi 2.2 Ta kí hiệu D 0,T  thay cho C c 0,T  để khơng gian hàm thực khả vi vơ hạn có giá compact 0,T  Định nghĩa 2.2 Cho f  D  0,T ; X  Ta định nghĩa df : D(0,T )  X xác định dt df d ,   f, ,   D(0,T ) dt dt Ta dễ dàng nghiệm lại (2.7) df df gọi đạo hàm f  D  0,T ; X  dt dt theo nghĩa phân bố Các tính chất 1) Cho v  Lp (0,T ; X ) Đặt tương ứng với ánh xạ Tv : D(0,T )  X xác định sau : Tv ,   T  v(t )(t )dt,   D(0,T ) (2.8) Ta nghiệm lại Tv  D  0,T ; X  Thật vậy: i) Ánh xạ Tv : D(0,T )  X hiển nhiên tuyến tính ii) Ta nghiệm lại ánh xạ Tv : D(0,T )  X liên tục Giả sử  j   D(0,T ) thỏa  j  D(0,T ) , ta có : Tv ,  j X  T  v(t ) (t )dt T j X   v(t )j (t ) X dt 1 p T p  T p p  j      v(t ) X dt     j (t ) X dt    0      0  Do đó, Tv ,  j  X j   Vậy Tv  D  0,T ; X  2) Ánh xạ Tv : D(0,T )  X đơn ánh từ Lp (0,T ; X ) vào D  0,T ; X  Do đó, ta đồng Tv  v Khi đó, ta có kết sau Bổ đề 2.5 (Lions[2]) Lp (0,T ; X )  D  0,T ; X  với phép nhúng liên tục 2.4 Đạo hàm Lp 0,T ; X  Do bổ đề 2.5, f  Lp (0,T ; X ) xem phần tử D  0,T ; X  , nghĩa f  D  0,T ; X  Do đó, df phần tử D  0,T ; X  dt Ta có kết sau: Bổ đề 2.6 (Lions[2]) Nếu f  L1(0,T ; X ) f   L1(0,T ; X ) f hầu hết với hàm liên tục từ 0,T   X Bổ đề 2.7 (Lions[2]) Nếu f  Lp (0,T ; X ) f   Lp (0,T ; X ) f hầu hết với hàm liên tục từ 0,T   X 2.5 Bổ đề tính compact Lions[2] Cho ba khơng gian Banach X 0, X1, X với X  X  X1 phép nhúng liên tục cho : i) X 0, X phản xạ ii) Phép nhúng X
X compact (2.9) (2.10) Với  T  ,  pi  , i  0,1 ta đặt W 0,T   v  Lp0 0,T ; X  : v   Lp1 0,T ; X  Ta trang bị W 0,T  chuẩn v W 0,T   v Lp0 0,T ;X  (2.11)  v Lp1 0,T ;X  (2.12) Khi đó, W 0,T  khơng gian Banach Hiển nhiên W 0,T   Lp0 0,T ; X  Ta có kết sau phép nhúng compact Bổ đề 2.8 (Bổ đề tính compact Lions [2]) Với giả thiết (2.10), (2.11)  pi  , i  0, phép nhúng W 0,T 
Lp0 0,T ; X  compact Bổ đề 2.9 (Bổ đề hội tụ yếu Lp (Q ) [1]) Cho Q  ¡ N tập mở, bị chặn, Fm ,   Lp (Q ),  p   cho Fm Lp (Q )  C Fm   hầu khắp nơi Q , C số độc lập với m Khi đó: Fm   yếu Lp (Q ) 2.6 Định lý Schauder Cho K tập lồi, đóng, khác rỗng khơng gian Banach E T : K  K ánh xạ liên tục cho bao đóng T K  T K  tập compact Khi T có điểm bất động 2.8 Định lý Arzela-Ascoli Cho T  , ký hiệu X  C  0,T ; ¡m  khơng gian Banach hàm liên tục f : 0,T   ¡m chuẩn f X  sup m f 0t T j 1 j t  , f   f1, , fm   X Giả sử Y  X thỏa: i) Y bị chặn đều, tức M  : f X  M , f  Y ii) Y liên tục đồng bậc (đẳng liên tục), tức m   0,   : t, t   0,T , t  t    sup  f j t   fj t    f Y j 1 Khi Y compact tương đối X 2.9 Bất đẳng thức Gronwall Giả sử f : 0,T   ¡ hàm khả tích, khơng âm t 0,T  thỏa f t   C  C  f   d , a.e t  0,T , với C 1, C số khơng âm Khi f t   C exp C 2t , a.e t   0,T  2.10 Các kí hiệu Ta dùng kí hiệu u (t )  ut (t ), u (t )  utt (t ), ux  u(t ), uxx  u(t ) để u 2u u  2u (x , t ), (x , t ), (x , t ), (x , t ) t t x x Chương 3: SỰ TỒN TẠI VÀ DUY NHẤT NGHIỆM Trong chương này, chúng tơi trình bày định lý tồn nghiệm yếu tồn cục cho tốn: Tìm cặp hàm u(x , t ), P (t ) thỏa : utt  (t )uxx  ut  F (u )  f (x , t ),  (t )u (0, t )  P (t ), x   (t )ux (1, t )  hu(1, t )  0,  u(x , 0)  u% (x ), ut (x , 0)  u%1(x ),   x  1,  t  T , (3.1) t P (t )  g(t )   k (t  s )u(0, s )ds, (3.2) u%0, u%1, F , f , g, k ,  hàm cho trước thỏa điều kiện mà ta sau Trước tiên ta thành lập giả thiết: H  u%0  H 1(0,1), u%1  L2 0,1, H    ¡, h  ¡ , H  f  L2 QT , H  k  H 1(0,T ), g  H 0,T , H    C  ¡  , (t )  0  0, F1  F  C ¡  thỏa mãn điều kiện sau: tồn số C 1, C 1  cho : z  F (s)ds  C z  C 1 , với z  ¡ F2  Với M  , tồn K M  cho : F (u )  F (v )  K M u  v , u, v  M , M  10 Khi ta có định lý : Định lý 3.1 Giả sử H   H  , F1   F2  Khi đó, với T  , tồn   nghiệm yếu u, P tốn (3.1)-(3.2) cho : u  L 0,T ; H , ut  L 0,T ; L2  ,   u(0, ), P  H 1(0,T ), u(1, )  L 0,T   Chứng minh Bước : Xấp xỉ Galerkin Xét dãy w j  sở đếm H , trực chuẩn L2 Ta tìm nghiệm xấp xỉ tốn (3.1)-(3.2) dạng: m um (t )   cmj (t )w j , (3.3) j 1 đó, hàm hệ số cmj (t ) thỏa mãn hệ phương trình vi phân : um (t ), wi  (t ) umx (t ), wix  Pm (t )wi (0)  hum (1, t )wi (1)   um (t ), wi  F (um (t )), wi  f (t ), wi ,  i  m, (3.4) t Pm (t )  g(t )   k(t - s)um(0,s)ds, (3.5) m  um (0)  u% 0m   mj w j  u% mạnh H 1,  j 1  m   % u (0) u   mj w j  u%1 mạnh L2   m 1m  j 1  (3.6) Hệ (3.4)-(3.6) viết lại dạng :   (t )  cmi  (t )   (t ) wix , w jx  hwi (1)w j (1)cmj (t ) cmi    j 1   F%i [cm ](t )  P[cm ](t )wi (0)  f (t ), wi ,1  i  m,    (0)  mi cmi (0)  mi , cmi   m (3.7) 11 t m j 1 P cm (t )  g(t )   k (t  s ) cmj (s )w j (0)ds, (3.8) m F%i [cm ](t )  F ( cmj (t )w j ), wi (3.9) j 1 Khi đó, ta có bổ đề sau: Bổ đề 3.1 Giả sử H   H  Với T  cố định, hệ (3.7)-(3.9) có nghiệm um , Pm  0,Tm   0,T  Chứng minh Lấy tích phân (3.7) theo biến thời gian từ đến t , nhân vào hai vế cho e t , ta được: etcmi (t )  Ami [cm ](t )  mi (t ),  i  m (3.10) t t m t   % Ami [cm ](t )  e    % ij (s )cmj (s )ds  wi (0) P[cm ](s )ds  Fi [cm (s )]ds  ,  j 1  0 t t    mi (t )  e mi  mi   f (s ), wi ds  ,   t % ij (t )  (t ) wix , w jx  hwi (1)w j (1) (3.11) (3.12) (3.13) Tiếp tục lấy tích phân hai vế (3.10) theo biến thời gian từ đến t , ta được: cmi (t )  e t t A mi [cm ](s )ds  %mi (t ),  i  m, (3.14) t  t  % mi (t )  e   mi (s )ds  mi    Đặt (3.15) 12 cm (t )  cm 1(t ), cm (t ), , cmm (t ), Dm cm (t )  Dm cm (t ), Dm cm (t ), , Dmm cm (t ), Dmi cm (t )  e t t  Ami [cm ](s )ds, (3.16) %m (t )  %m 1(t ), %m (t ), , %mm (t ) Hệ (3.14) viết lại là: cm (t )  Dm cm (t )  %m (t )  Ucm m (t ) (3.17) Để đơn giản, ta bỏ qua số m, hệ (3.17) viết lại sau: c  Uc (3.18) Chú ý với i,  i  m    % (Uc)i (t )  Di c (t )  i (t ),  t  t Di c (t )  e  Ai [c ](s )ds,   t t m t   t  Ai [c ](t )  e   %ij (s )c j (s )ds  wi (0) P[c ](s )ds   F%i [c(s )]ds  (3.19)  0  j 1   t    %i (t )  e t  i (s )ds  i  ,     0  t     (t )  e t     i  fi (s ), wi ds   i  i   Với Tm  0, M  mà ta chọn sau Đặt: S  c  C 0,Tm ; ¡m  : c  M c m  sup c(t ) , c(t )   ci (t ) 0t Tm (3.20) i 1 Dễ thấy S tập lồi, đóng, bị chặn khơng gian Banach Y  C  0,Tm ; ¡m  13 (a) Trước tiên ta tìm cách chọn Tm  0, M  để ánh xạ U từ S vào Do (t )  C 0,Tm ; ¡m  , % (t )  Y , nên từ (3.14), ta suy A c (t )  A1 c (t ), A2 c (t ), , Am c (t )  Y , c  Y Từ suy D c (t )  Y , c  Y Do đó: U :Y  Y Lấy c  S Từ (3.19)(1,2) , ta có:    (Uc )(t )  D c (t )  % (t ) ,  1  t   D c (t )  A[c ](s ) ds  T A[c ]  m  1   (3.21) Mặt khác, từ (3.19)(3), ta có: t m m  t    % % [ ( )] ( ) ( ) ( ) A c t  e  c s ds  w g s ds  T N M  T N  i m 1i m 2i  ,    i 1 i 1 i 1   m t   m   ij  max ij (t ),  t  Tm , %  max   ,   i m  ij ,    j 1      m w%   wi (0), i 1 m   (0) N 1i (M )  k L1 (0,T ) sup  w  i  y j w j (0) , y  j 1   N 2i   w i H1  ¡n     M ,  i  m    (3.22) ,   max F (z ) , z  ¡ ,  i  m Từ suy ra: A[c ]  e Tm  % MTm  w% g   Tme Tm   T  T N ( M )  T N   m m i m i L (0,T )  i 1 i 1 m m   % M  w% g L (0,T )   N 1i (M )   N 2i    i 1 i 1  Tme Tm (M ,T ) m m  (3.23) 14 Kết hợp (3.21), (3.23) ta có : Uc % 0*  Tm2e Tm (M ,T )  %  0* , (3.24)  (3.25)  sup % (t ) ,  t  T Chọn M  0, sau chọnTm  cho  % M    ,  0*  Tm M Tme (M ,T )   Từ suy Uc (3.26)  M với c  S Điều có nghĩa U (S )  S (b) Tiếp theo, ta U : S  Y ánh xạ liên tục Lấy c, d  S , ta có: (Uc)i (t )  (Ud )i (t )   Di [c ](t )  Di [d ](t ),  i  m, Di c (t )  D i d (t )  e Ai [c ](t )  Ai [d ](t )  e t t t  A [c ](s )  A [d ](s)ds,  i  m, i m i t   % (s ) c j 1 ij j t t   wi (0)e   P[c ]  P[d ](s )ds   F%i [c ]  F%i [d ] (s )ds  ,   t m j 1 (3.28)  d j  (s ) ds  t P c (t )  P d (t ) (3.27)   k (t  s ) c j  d j  (s )w j (0)ds, m  m  F%i [c ](t )  F%i [d ](t )  F  c j (t )w j   F  d j (t )w j  , wi  j 1   j 1  (3.29) (3.30) (3.31) Từ (3.30), (3.22)(2), tồn số   (k, w% )  cho sup P c (t )  P d (t )    c  d 0t Tm Từ (3.31) giả thiết (F2 ) , suy  (3.32) 15 m  F% [c ](t )  F% [d ](t )  sup i 0t Tm i 1 i c d (3.33) Do A[c ]  A[d ]  e TmTm % c  d  e TmTm w%   1 c  d (3.34) Suy Uc Ud  e TmTm2 % B 1 c  d  e TmTm2w% B 1   1 c  d (3.35) Từ đánh giá (3.34) (3.35) ta suy U : S  Y liên tục (c) Ta U (S ) compact tương đối Y Lấy c  S , t, t    0,Tm  Từ (3.19) ta có: (Uc)i (t )  (Uc)i (t )   Di c (t )  Di c   (t )  %i (t )  %i (t ) ,  i  m Di c (t )  Di c (t )  e  e t0 t e t  t (3.36) t   A [c ](s )ds  e  A [c ](s )ds t t  i t i t t  t   Ai [c ](s )ds  e  Ai [c ](s)ds,  i  m t  (3.37) t t %i (t )  %i (t )  e t0  t  t  i  e t0  t  t   i (s )ds e t  t   (s)ds,  i  m, t (3.38) i t  t, t  t  t , t  Suy ra: Di c (t )  Di c (t )  Tm  1 A c  t  t  %i (t )  %i (t )   t  t   0*  m  i 1 i  Tm  1    sup % (t ) ,  t  T (3.39) 0* t t , (3.40) 16 Từ (3.36), (3.39), (3.40) ta suy tồn số 1 độc lập với c, t, t  cho: Uc(t ) Uc(t )  1 t  t  (3.41) Từ kết U (S )  S đánh giá (3.41), ta suy tập hợp U (S ) bị chặn liên tục theo chuẩn || ||0 khơng gian Banach Y Áp dụng định lý Azela-Ascoli ta có U (S ) tập compact tương đối Theo định lý điểm bất động Schauder, U có điểm bất động c  (c1, c2, , cm )  S Từ ta suy hệ (3.4)-(3.6) có nghiệm um (t ), Pm (t ) m với um (t )   cmj (t )w j đoạn 0,Tm  j 1 Các đánh giá tiên nghiệm sau cho phép ta lấy Tm  T , với m Bước 2: Đánh giá tiên nghiệm:  (t ), lấy Thay (3.5) vào (3.4) Nhân vào phương trình thứ j (3.4) với cmj tổng theo j, ta được: t   2     S m (t )   (t ) umx (t )  2 um (t )  g(t )   k (t  s )um (0, s )ds  um (0, t )   2 F (um (t )), um (t )  f (t ), um (t ) , S m (t )  um (t )  (t ) umx (t )  hum2 (1, t ) (3.42) Lấy tích phân theo biến thời gian từ đến t , ta t S m (t )  S m (0)   t 2 2  t t (s ) umx (s ) ds  2  um (s ) ds  2 g(s )um (0, s )ds 0  0 um (0, s )ds  k (s   )um (0,  )d    Fˆ(um (x , t ))dx t Fˆ(u 0m (x ))dx   f (s ), um (s ) ds , (3.43) 17 Fˆ(z )  z  F (s)ds (3.44) Sử dụng giả thiết H , lấy tích phân phần theo biến thời gian cho số t hạng t  g(s )u  (0, s )ds m s  u  (0, s )ds  k(s   )u S m (t )  S m (0)   m m (0,  )d , ta được: t t 0 2 Fˆ(u 0m (x ))dx   (s ) umx (s ) ds  2  um (s ) ds t t 0 2um (0, t ) k (t   )um (0,  )d  2k (0) um2 (0, s )ds t 2g(0)u 0m (0)  2g (t )um (0, t )   t t g (s )um (0, s )ds   f (s ), um (s ) ds s 2  um (0, s )ds  k (s   )um (0,  )d    Fˆ(um (x , t ))dx (3.45) 0 Từ (3.42) giả thiết H  , ta có bất đẳng thức: S m (t )  um (t )  0 umx (t ) (3.46) Từ bổ đề 2.1, (3.46), (3.6)(1) ta có: t  2  um (t )   um (0)   um (s ) ds   u 0m   2 t  2t  S m (s )ds t  C  2t  S m (s )ds (3.47) 2  um (0, t )  um (t ) C 0  um (t ) H  umx (t )  um (t ) t   S m (t )   C   2t  S m (s )ds   0  Áp dụng bất đẳng thức  (3.48) 18 2ab  a  b,  a, b  ¡,   (3.49) Ta có đánh giá sau: t   (s ) umx (s ) ds  0  t S m (s )ds , (3.50) || || || ||L t t k (0) u (0, s )ds  k (0)  um (s ) H ds m (3.51) t 2um (0, t ) k (t   )um (0,  )d   u (0, t )   m  2 um (t ) H g(t )um (0, t )  um2 (0, t )  t t 0  k  L2 (0,T ) t t  k ()d . u t  m (0,  )d  um (s ) H ds (3.52) 2 g (t )  2 um (t ) H  g (t )   (3.53) t  g (s )um (0, s )ds   u (s ) H ds   g (s ) ds m t   um (s ) H ds  g  2 L2 0,T  (3.54) Áp dụng bất đẳng thức (3.49) kết hợp với bất đẳng thức Cauchy-Schwartz, ta có đánh giá sau: t s 0  um (0, s )ds  k (s   )um (0,  )d  t t s 0 s   um (0, s ) ds   ( k (s   ) d   um (0,  ) d  )ds t   um (s ) H ds  2T k  2 L2 t  0 um (s ) H ds [...]... thỏa các điều kiện nào đó mà ta sẽ chỉ ra sau Trước tiên ta thành lập các giả thiết: H 1  u%0  H 1(0,1), u%1  L2 0,1, H 2    ¡, h  ¡ , H 3  f  L2 QT , H 4  k  H 1(0,T ), g  H 1 0,T , H 5    C 1  ¡  , (t )  0  0, F1  F  C 0 ¡  và thỏa mãn điều kiện sau: tồn tại các hằng số C 1, C 1  0 sao cho : z  F (s)ds  C z 0 1 2  C 1 , với mọi z  ¡ F2  Với mỗi M... định lý : Định lý 3.1 Giả sử H 1   H 5  , F1   F2  đúng Khi đó, với mỗi T  0 , tồn tại duy nhất   một nghiệm yếu u, P của bài toán (3.1)-(3.2) sao cho : u  L 0,T ; H 1 , ut  L 0,T ; L2  ,   u(0, ), P  H 1(0,T ), u(1, )  L 0,T   Chứng minh Bước 1 : Xấp xỉ Galerkin Xét một dãy w j  là một cơ sở đếm được của H 1 , trực chuẩn trong L2 Ta tìm nghiệm xấp xỉ của bài toán...  (c1, c2, , cm )  S Từ đó ta suy ra rằng hệ (3.4)-(3.6) có nghiệm um (t ), Pm (t ) m với um (t )   cmj (t )w j trên đoạn 0,Tm  j 1 Các đánh giá tiên nghiệm sau đây cho phép ta lấy Tm  T , với mọi m Bước 2: Đánh giá tiên nghiệm:  (t ), lấy Thay (3.5) vào (3.4) Nhân vào phương trình thứ j của (3.4) với cmj tổng theo j, ta được: t   2 2     S m (t )   (t ) umx (t )  2 um (t ) ... (3.39), (3.40) ta suy ra rằng tồn tại một hằng số 1 độc lập với c, t, t  sao cho: Uc(t ) Uc(t )  1 t  t  (3.41) Từ kết quả U (S )  S và đánh giá (3.41), ta suy ra tập hợp U (S ) bị chặn đều và liên tục đều theo chuẩn || ||0 trong không gian Banach Y Áp dụng định lý Azela-Ascoli ta có U (S ) là tập compact tương đối Theo định lý điểm bất động Schauder, U có một điểm bất động c  (c1, c2, , cm... một dãy w j  là một cơ sở đếm được của H 1 , trực chuẩn trong L2 Ta tìm nghiệm xấp xỉ của bài toán (3.1)-(3.2) dưới dạng: m um (t )   cmj (t )w j , (3.3) j 1 trong đó, các hàm hệ số cmj (t ) thỏa mãn hệ phương trình vi phân : um (t ), wi  (t ) umx (t ), wix  Pm (t )wi (0)  hum (1, t )wi (1)   um (t ), wi  F (um (t )), wi  f (t ), wi , 1  i  m, (3.4) t Pm (t )  g(t )   k(t - s)um(0,s)ds,... )um (0,  )d   2  Fˆ(um (x , t ))dx t Fˆ(u 0m (x ))dx  2  f (s ), um (s ) ds , 0 (3.43) 17 trong đó Fˆ(z )  z  F (s)ds (3.44) 0 Sử dụng giả thiết H 4 , lấy tích phân từng phần theo biến thời gian cho các số t hạng t  g(s )u  (0, s )ds 0 và m s  u  (0, s )ds  k(s   )u 0 1 S m (t )  S m (0)  2  0 m m (0,  )d , ta được: 0 t t 0 0 2 2 Fˆ(u 0m (x ))dx   (s ) umx (s ) ds  2 ...9 Chương 3: SỰ TỒN TẠI VÀ DUY NHẤT NGHIỆM Trong chương này, chúng tôi trình bày định lý về sự tồn tại và duy nhất nghiệm yếu toàn cục cho bài toán: Tìm một cặp hàm u(x , t ), P (t ) thỏa : utt  (t )uxx  ut  F (u )  f (x , t ),  (t )u (0, t )  P (t ), x   (t )ux (1, t )  hu(1, t )  0,  u(x... (3.16) %m (t )  %m 1(t ), %m 2 (t ), , %mm (t ) Hệ (3.14) được viết lại là: cm (t )  Dm cm (t )  %m (t )  Ucm m (t ) (3.17) Để đơn giản, ta bỏ qua chỉ số m, khi đó hệ (3.17) được viết lại như sau: c  Uc (3.18) Chú ý rằng với mỗi i, 1  i  m thì    % (Uc)i (t )  Di c (t )  i (t ),  t  t Di c (t )  e  Ai [c ](s )ds,  0  t t m t   t  Ai [c ](t )  e... Tm (M ,T )  %  0* , (3.24)  (3.25)  sup % (t ) , 0  t  T 1 Chọn M  0, sau đó chọnTm  0 sao cho  % M    , 2  0*  2 Tm M Tme (M ,T )  2  Từ đó suy ra Uc 0 (3.26)  M với mọi c  S Điều này có nghĩa là U (S )  S (b) Tiếp theo, ta sẽ chỉ ra rằng U : S  Y là ánh xạ liên tục Lấy c, d  S , ta có: (Uc)i (t )  (Ud )i (t )   Di [c ](t )  Di [d ](t ), 1  i  m, Di c (t... )ds   F%i [c(s )]ds  (3.19)  0 0  j 1 0   t    %i (t )  e t  i (s )ds  i  ,     0  t     (t )  e t     i  fi (s ), wi ds   i  i  0  Với Tm  0, M  0 mà ta sẽ chọn sau Đặt: S  c  C 0 0,Tm ; ¡m  : c 0  M trong đó c m 0  sup c(t ) 1 , c(t ) 1   ci (t ) 0t Tm (3.20) i 1 Dễ thấy S là tập con lồi, đóng, bị chặn trong không