Sự tồn tại nghiệm của mô hình hiệu ứng biến đổi pha của chất bị hút bám với điều kiện biên neumann

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN - NGUYỄN VIẾT CHIẾN SỰ TỒN TẠI NGHIỆM CỦA MÔ HÌNH HIỆU ỨNG BIẾN ĐỔI PHA CỦA CHẤT BỊ HÚT BÁM VỚI ĐIỀU KIỆN BIÊN NEUMANN Chuyên ngành: TOÁN GIẢI TÍCH Mã số: 60.46.01.02 LUẬN VĂN THẠC SỸ KHOA HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS LÊ HUY CHUẨN Hà Nội – Năm 2015 Mục lục Mở đầu Kiến thức chuẩn bị 1.1 Những không gian hàm 1.1.1 Các định nghĩa 1.1.2 Định lý nhúng 1.2 Toán tử quạt 1.2.1 Các định nghĩa 1.2.2 Toán tử quạt liên kết với dạng nửa 1.2.3 Toán tử quạt không gian L2 1.3 Phương trình tiến hóa tựa tuyến tính song tuyến tính Sự tồn nghiệm mô hình hiệu ứng biến đổi pha bị hút bám với điều kiện biên Neumann 2.1 Nghiệm địa phương 2.2 Nghiệm toàn cục 2.2.1 Đánh giá tiên nghiệm 2.2.2 Sự tồn nghiệm toàn cục KẾT LUẬN Tài liệu tham khảo 4 8 12 14 16 chất 24 25 35 35 39 41 42 Mở đầu Năm 1990, Jakubith nghiên cứu trình oxy hóa phân tử CO bề mặt nguyên tử Pt(110) Ông khám phá bề mặt nguyên tử Pt, trình phân tử CO hấp thụ nguyên tử O để tạo phân tử khí Cacbonic diễn phức tạp Vì vậy, để hiểu chế tượng trên, Hildebrand - Kuperman - Wio - Mikhailov - Ertl [2] Hildebrand - Ipsen - Mikhailov - Ertl [1] trình bày mô hình động lực học đơn giản phản ứng có tên gọi mô hình hiệu ứng biến đổi pha chất bị hút bám Nội dung luận văn nghiên cứu mô hình với điều kiện biên Neumann Luận văn chia thành hai chương: Chương Kiến thức chuẩn bị Chương trình bày số khái niệm kết bao gồm: Định nghĩa không gian hàm bản; Định nghĩa toán tử quạt tính chất liên quan; Các định lý nhúng; Bài toán Cauchy cho phương trình tiến hóa tựa tuyến tính Chương Sự tồn nghiệm mô hình hiệu ứng biến đổi pha chát bị hút bám với điều kiện biên Neumann Nội dung chương chứng minh tồn nghiệm toàn cục mô hình hiệu ứng biến đổi pha chất bị hút bám với điều kiện biên Neumann, gồm hai bước: Đầu tiên, ta chứng minh tồn nghiệm địa phương cách viết lại mô hình dạng toán Cauchy trừu tượng Sau đó, ta xây dựng đánh giá tiên nghiệm cho nghiệm địa phương, sử dụng đánh giá chứng minh tồn nghiệm toàn cục mô hình cho Các kết luận văn trình bày dựa tài liệu tham khảo [3] [5] Lời cảm ơn Luận văn hoàn thành hướng dẫn nhiệt tình nghiêm khắc TS Lê Huy Chuẩn Thầy dành nhiều thời gian hướng dẫn giải đáp thắc mắc suốt trình làm luận văn Tôi muốn bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy Qua đây, xin gửi tới quý thầy cô Khoa Toán-Cơ-Tin học, Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội, thầy cô tham gia giảng dạy khóa cao học 2012- 2014, lời cảm ơn sâu sắc công lao dạy dỗ suốt trình học tập Nhà trường Tôi xin cảm ơn gia đình, bạn bè bạn đồng nghiệp thân mến quan tâm, tạo điều kiện cổ vũ, động viên để hoàn thành tốt nhiệm vụ Hà Nội, tháng 11 năm 2014 Tác giả luận văn Nguyễn Viết Chiến Chương Kiến thức chuẩn bị Trong chương này, trình bày số khái niệm kết liên quan đến không gian H¨lder, không gian Sobolev, toán tử quạt thường sử o dụng nghiên cứu toán phương trình vi phân đạo hàm riêng Cuối cùng, ta trình bày toán Cauchy cho phương trình tiến hóa tựa tuyến tính Chứng minh chi tiết kết xem [5] 1.1 1.1.1 Những không gian hàm Các định nghĩa Định nghĩa 1.1 Cho X, Y không gian Banach, tập mở Ω ⊂ X Ta có định nghĩa không gian hàm sau Rn = x = (x1 , x2 , , xn ) : xi ∈ R, i = 1, n Rn = x = (x1 , x2 , , xn ) : xi ∈ R, i = 1, n, xi > + C([a, b]; X) = f : [a, b] → X : f liên tục [a, b] C m ([a, b]; X) = f : [a, b] → X : f khả vi liên tục đến cấp m L(X, Y ) = f : X → Y : f tuyến tính liên tục |f (x)|p dx < +∞ , p ≥ f đo Ω : Lp (Ω) = Ω L∞ (Ω) = f đo Ω : ess sup|f | < +∞ , Ω với ess sup|f | = inf {k : µ {x ∈ Ω : f (x) > k} = 0} , µ độ đo Lebesgue Ω Ω Lp (Ω) = f đo Ω : f ∈ Lp (Ω ), ∀Ωcompact ⊂ Ω loc Chương Kiến thức chuẩn bị Định nghĩa 1.2 Cho X không gian Banach a) Kí hiệu B ([a, b] ; X) = u : [a, b] → X : u bị chặn [a, b] Khi B ([a, b] ; X) không gian Banach với chuẩn u = sup B ∀u ∈ B ([a, b] ; X) u(t) , a≤t≤b −η b) Cho η > 0, không gian B{a} ((a, b] ; X) = u : (a, b] → X : (t − a)η u ∈ B ((a, b] ; X) Không gian trang bị chuẩn u = sup (t − a)η u(t) = −η B{a} (t − a)η u a cho |u(x) − u(y)| ≤ C|x − y|γ , x, y ∈ Ω; < γ ≤ Khi γ = 1, hàm số u gọi liên tục Lipschitz ¯ b) Không gian C Ω = u : Ω → R : u bị chặn liên tục Ω với chuẩn u C(Ω) := sup |u(x)| x∈Ω c) Cho m = 0, 1, 2, số mũ σ thỏa < σ < 1, không gian C m,σ ([a, b] , X) = u ∈ C m ([a, b] , X) : u(m) (t) liên tục H¨lder bậc σ o Không gian trang bị chuẩn u C m,σ = u Cm + sup u(m) (t) − u(m) (s) a≤s An toán tử đóng, xác định trù mật X , n < An = (A−1 )−n = (A−n )−1 toán tử bị chặn X , n = A0 = (toán tử đồng X ) Tiếp theo mở rộng định nghĩa cho số mũ thực x ∈ R Ký hiệu ω góc thỏa mãn ωA < ω < π Với số phức z thỏa mãn Rez > 0, ta định nghĩa A−z tích phân Dunford L(X) sau A−z = 2πi λ−z (λ − A)−1 dλ, (1.13) Γ Trong đó, Γ chu tuyến bao quanh σ(A) theo hướng ngược chiều kim đồng hồ C − (∞, 0] ∩ ρ(A) Ở đây, ta lấy Γ = Γ− ∪ Γ0 ∪ Γ+ thỏa mãn Γ± : λ = ρe±iω , δ ≤ ρ < ∞, Γ0 : λ = δeiϕ , 10 −ω ≤ ϕ ≤ ω, Tài liệu tham khảo [1] M Hildebrand, M Ipsen, A S Mikhailov, G Ertl, Localized nonequilibrium nano-structures in surface chemical reactions, New J Phys 5, 61.1-61.28 (2003) [2] M Hildebrand, M Kuperman, H Wio, A S Mikhailov, G Ertl, Selforganized chemical nanoscale microreactors, Phys Rev Lett 83, 1475-1478 (1999) [3] Y Takei, M Efendiev, T Tsujikawa, A Yagi, Exponential attractor for an adsorbate-induced phase transition model in non smooth domains, Osaka J Math 43, 215- 237 (2006) [4] T Tsujikawa, A Yagi, Exponetial attractor for an adsorbate-induced phase transition model, Kyushu J Math 56, 313-336 (2002) [5] A Yagi, Abstract parabolic evolution equations and their applications, Springer, Berlin (2010) 42