Sự tồn tại nghiệm của mô hình động học rừng với điều kiện biên dirichlet

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN —————– PHẠM THỊ MAI SỰ TỒN TẠI NGHIỆM CỦA MƠ HÌNH ĐỘNG HỌC RỪNG VỚI ĐIỀU KIỆN BIÊN DIRICHLET LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Hà Nội - 2017 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN —————– PHẠM THỊ MAI SỰ TỒN TẠI NGHIỆM CỦA MƠ HÌNH ĐỘNG HỌC RỪNG VỚI ĐIỀU KIỆN BIÊN DIRICHLET Chun ngành: Tốn giải tích Mã số: 60460102 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Người hướng dẫn khoa học: TS Lê Huy Chuẩn Hà Nội - 2017 LỜI CẢM ƠN Trước trình bày nội dung luận văn, em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới Tiến sĩ Lê Huy Chuẩn người tận tình hướng dẫn để em hồn thành luận văn Em xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới tồn thể thầy giáo khoa Toán - Cơ - Tin học, Đại học Khoa Học Tự Nhiên, Đại Học Quốc Gia Hà Nội dạy bảo em tận tình suốt trình học tập khoa Nhân dịp em xin gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè ln bên em, cổ vũ, động viên, giúp đỡ em suốt trình học tập thực luận văn Hà Nội, ngày tháng 10 năm 2017 Học viên Phạm Thị Mai Mục lục Chương Một số kiến thức chuẩn bị 1.1 Một số không gian hàm kết liên quan 1.2 Toán tử quạt 1.3 Toán tử Laplace kết hợp với điều kiện biên Dirichlet 1.4 Phương trình tiến hóa tuyến tính 11 1.5 Phương trình tiến hóa nửa tuyến tính 12 Chương Mơ hình động học rừng với điều kiện biên Dirichlet 22 2.1 Sự tồn nghiệm địa phương 23 2.2 Tính khơng âm nghiệm địa phương 26 2.3 Nghiệm toàn cục 28 2.3.1 Ước lượng tiên nghiệm 28 2.3.2 Sự tồn nghiệm toàn cục 34 2.3.3 Một số đánh giá cho nghiệm toàn cục 35 2.4 Hệ động lực 38 2.4.1 Hàm Lyapunov 39 2.4.2 Các tập ω-limit 42 2.4.3 Tập L2 -ω-limit 43 Tài liệu tham khảo 46 LỜI MỞ ĐẦU Bảo tồn nguồn tài nguyên rừng chủ đề môi trường quan tâm Những vấn đề nghiên cứu bảo tồn nguồn tài nguyên rừng biết tới như: quy luật phát triển cá thể cây, khu vực rừng, rừng hệ thống phức tạp bao gồm hệ thống rừng hệ thống khác đất, nước, thời tiết với tương tác hệ thống nêu trên, Nhiều nhà khoa học giới nghiên cứu vấn đề đạt kết quan trọng Vào năm 1972, D B Botkin [2] đưa mơ hình tốn học sở phát triển rừng Trong đó, Botkin nghiên cứu khu vực khoảng (100m3 tới 300m3 ) rừng đưa phương trình phát triển cho với tương tác khu vực Tiếp theo vào năm 1983, hai tác giả M.Ya Antonovsky M D Korzukhin [1] đưa mơ hình tốn học rừng quan tâm tới mối quan hệ phụ thuộc tuổi Mơ hình sau vào năm 1994 tác giả Yu A Kuznetsov, M Ya Antonovsky, V N Biktashev A Aponina [4] phát triển thành mơ hình mơ tả phát triển rừng thông qua mối quan hệ phụ thuộc tuổi trình tái sinh Cụ thể là, miền hai chiều bị chặn Ω, ta xét hệ rừng đơn loài giả sử chia thành hai lớp tuổi non trưởng thành Có ba yếu tố cấu thành hệ rừng: non, trưởng thành hạt giống khơng khí Chúng tạo thành mơ hình động học thể trình phát triển hệ rừng sau:  ∂u   = βδw − γ(v)u − f u   ∂t      ∂v = f u − hv ∂t ∂w    = d∆w − βw + αv   ∂t    u(x, 0) = u (x), v(x, 0) = v (x), w(x, 0) = w (x) 0 Ω × (0, ∞), Ω × (0, ∞), (1) Ω × (0, ∞), Ω, Ω miền bị chặn có biên C2 R2 Các hàm u(x, t) v(x, t) mật độ non mật độ trưởng thành, vị trí x ∈ Ω thời điểm t ∈ [0, ∞) Hàm w(x, t) mật độ hạt khơng khí x ∈ Ω t ∈ [0, ∞) Phương trình thứ thứ hai mơ tả phát triển non trưởng thành Phương trình thứ ba thể động lực hạt khơng khí; d > số khuếch tán hạt, α > β > tỉ lệ hạt tạo số hạt rơi xuống đất Trong đó, < δ ≤ tỉ lệ hạt nảy mầm, γ(v) > tỉ lệ chết non, phụ thuộc vào tỉ lệ trưởng thành v, f > tỉ lệ non phát triển thành trưởng thành, h > tỉ lệ chết trưởng thành Hàm γ(v) xác định γ(v) = a(v − b)2 + c, với a > 0, b > c > Với w, số điều kiện biên đặt biên ∂Ω Các hàm giá trị ban đầu không âm u0 (x) ≥ 0, v0 (x) ≥ w0 (x) ≥ lấy Ω Mơ hình (1) số tác giả nghiên cứu Với điều kiện biên Dirichlet đặt lên w, tức w = ∂Ω × (0, ∞), tác giả chứng minh tồn nghiệm địa phương, nghiệm toàn cục, xây dựng hệ động lực tồn hàm Lyapunov cho hệ (1) Nội dung luận văn trình bày lại số kết nghiên cứu mơ hình động học rừng với điều kiện biên Dirichlet Bố cục luận văn bao gồm chương: • Chương luận văn trình bày tóm tắt số kết biết không gian hàm, toán tử quạt, toán tử Laplace kết hợp với điều kiện biên, phương trình tiến hóa tuyến tính, phương trình tiến hóa nửa tuyến tính, định lý kết liên quan tới luận văn • Chương luận văn trước tiên trình bày tồn nghiệm địa phương sau tồn nghiệm tồn cục mơ hình động học rừng với điều kiện biên Dirichlet số đánh giá cho nghiệm toàn cục Cuối chương phần trình bày hệ động lực sinh toán, hàm Lyapunov tập ω− limit Do thời gian thực luận văn không nhiều, kiến thức hạn chế nên làm luận văn khơng tránh khỏi hạn chế sai sót Tác giả mong nhận góp ý ý kiến phản biện quý thầy cô bạn đọc Xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, ngày tháng 10 năm 2017 Học viên Phạm Thị Mai Chương Một số kiến thức chuẩn bị Trong chương này, ta xây dựng sở lý thuyết nhằm tiếp cận tốn mơ hình động học rừng với điều kiện biên Dirichlet Cụ thể, ta hệ thống lại kiến thức số khơng gian hàm, tốn tử quạt, toán tử Laplace kết hợp với điều kiện biên, đồng thời nhắc lại kết phương trình tiến hóa tuyến tính Phần cuối chương ta chứng minh tồn nghiệm địa phương phương trình tiến hóa nửa tuyến tính 1.1 Một số khơng gian hàm kết liên quan Cho X không gian Banach với chuẩn , [a, b] ⊂ R, với hai số mũ < σ < β ≤ 1, ta định nghĩa không gian hàm Holder liên tục có trọng Fβ,σ ((a, b]; X), < σ < β ≤ 1, sau: Định nghĩa 1.1.1 Không gian Fβ,σ ((a, b]; X) bao gồm hàm liên tục (a, b] (hay [a, b] ) < β < (khi β = 1) thỏa mãn điều kiện sau: (1) Với β < 1, (t − a)1−β F (t) có giới hạn t → a (2) F hàm liên tục Holder với số mũ σ với trọng (s − a)1−β+σ , cụ thể (s − a) sup 1−β+σ F (t) − F (s) σ (t − s) a≤s 0, ∃ C > cho hαΓ(v) + f β δw2 − f αβδvw ≥ −C 40 Thật ta có v Γ(v) = v av1 − 2abv1 + (ab2 + f )v1 dv1 [γ(v1 )v1 + f v1 ] dv1 = 0 = ab + f a v − abv + v Khi ta cần tìm C thỏa mãn hαa hα(ab2 + f ) f β δ v − abhαv + v + w − (f αβδ)vw ≥ −C 2 Tổng quát, với a1 = hαa ; a2 = abhα; a3 = hα(ab2 +f ) ; a4 = f β2 δ ; a5 = f αβδ ta cần chứng minh a1 v − a2 v + a3 v + a4 w2 − a5 vw ≥ −C ⇔ C + a1 v + a3 v + a4 w2 ≥ a2 v + a5 vw Giả sử C = C1 + C2 , ta cần chứng minh a1 v a1 v a1 v + + + C1 ≥ a2 v , 4 4 a4 w a4 w2 a1 v + + + C2 ≥ a2 v 2 Thật ta có a1 v a1 v a1 v 4 a1 C1 + + + C1 ≥ v3 4 64 Do a1 64 C1 = a2 hay C1 = 64a2 a2 = 44 a1 4a1 Vậy tồn C1 để điều xảy Ta có a1 v a4 w2 a4 w2 a1 a4 C2 + + + C2 ≥ vw 2 16 với C2 = a5 16a1 a4 Như vậy, tồn C = C1 + C2 thỏa mãn yêu cầu toán 41 Vậy hàm Ψ(U ) xác định Ψ(U ) = Ω df βδ f β δw2 α (f u − hv)2 + |∇w| + hαΓ(v) + − (f αβδ) vw dx, 2 hàm Lyapunov với hệ động lực (S(t), K, X) 2.4.2 Các tập ω-limit Với U0 ∈ K, tập ω-limit quỹ đạo S(t)U0 định nghĩa {S(τ )U0 ; t ≤ τ < ∞} (bao đóng X) ω(U0 ) = t≥0 Tiếp theo, ta định nghĩa vài tập ω-limit theo tô pô yếu Ta định nghĩa tô pô L2 X sau Một dãy Un = (un , , wn )t X hội tụ L2 đến U = (u, v, w)t ∈ X n → ∞ un → u L2 (Ω), → v L2 (Ω), wn → w L2 (Ω) Sử dụng tô pô trên, ta định nghĩa tập L2 -ω limit S(t)U0 , U0 ∈ K L2 -ω(U0 ) = t≥0 {S(τ )U0 ; t ≤ τ < ∞} (bao đóng tơ pơ L2 X) Hơn nữa, ta trang bị cho X tô pô yếu * Một dãy Un = (un , , wn )t X gọi hội tụ yếu * đến U = (u, v, w)t ∈ X w∗ w∗ n → ∞ un −−→ u L∞ (Ω), −−→ v L∞ (Ω), wn → w L2 (Ω) Với tô pô này, ta định nghĩa tập w*-ω(U0 )-limit S(t)U0 , U0 ∈ K w*-ω(U0 ) = t≥0 {S(τ )U0 ; t ≤ τ < ∞} (bao đóng tô pô yếu * X) Định lý 2.4.1 Với U0 ∈ K, ω(U0 ) ⊂ L2 -ω(U0 ) ⊂ w*-ω(U0 ) Chứng minh Từ định nghĩa ta suy ω(U0 ) ⊂ L2 -ω(U0 ) Ta cần chứng minh L2 -ω(U0 ) ⊂ w*-ω(U0 ) Lấy U ∈ L2 -ω(U0 ), tồn dãy {tn } → ∞ cho S(tn )U0 = Un (t) → U tô pô L2 X Lấy ϕ ∈ L1 (Ω), với f ∈ L2 (Ω) ta có ϕ [u(tn ) − u] dx ≤ ϕ − f L1 u(tn ) − u Ω L∞ f [u(tn ) − u] dx + Ω 42 Do L2 (Ω) trù mật L1 (Ω) từ (2.12), ta suy với tn → ∞, | Ω ϕ [u(tn ) − u] dx| → Do đó, u(tn ) → u theo tơ pơ yếu * L∞ (Ω) Tương tự, ta chứng minh v(tn ) → v theo tô pô yếu * L∞ (Ω) Vậy U ∈ w*-ω(U0 ) 2.4.3 Tập L2 -ω-limit Từ tồn hàm Lyapunov, ta chứng minh tập ω-limit có chứa điểm cân hệ động lực Tuy nhiên, trường hợp ta khơng biết S(t) có liên tục với tơpơ yếu * X hay khơng Chúng ta đơn chứng minh khẳng định với tập L2 -ω-limit Định lý 2.4.2 Tập L2 - ω(U0 ) bao gồm điểm cân hệ (S(t), K, X) với U0 ∈ K Chứng minh Trước tiên ta ý hàm S(t) : K → X liên tục ứng với tôpô L2 X Thật vậy, tương tự bước phần chứng minh Mệnh đề 2.3.1, ta thiết lập bất đẳng thức S(t)U0 − S(t)U˜0 L2 ≤ CT,R U0 − U˜0 với < t < τ ; U0 , U˜0 ∈ K thỏa mãn U0 L2 + U˜0 L2 ≤ R Lấy U ∈ L2 L2 − w(U0 ) Khi đó, tồn dãy {tn } → +∞ cho S(tn )U0 = U (tn ) → U L2 Vì AU (t, U0 ) ≤ (1 + t−1 )p0 ( U0 ) nên ta lấy dãy {w(tn )} ⊂ {w(tn )} cho w(tn ) → w H (Ω) Vậy w = w Khi ta có : u(tn ) → u, v(tn ) → v Lp với ≤ p < ∞ Do Ψ(U (tn )) → Ψ(U ) (tn → ∞), tức Ψ(U (tn )) → Ψ(U ) (tn → ∞), Ψ(U ) = lim Ψ(U (tn )) = n→∞ inf 0≤t