Sự tồn tại nghiệm của bài toán tựa cân bằng liên quan đến ánh xạ đa trị Sự tồn tại nghiệm của bài toán tựa cân bằng liên quan đến ánh xạ đa trị Sự tồn tại nghiệm của bài toán tựa cân bằng liên quan đến ánh xạ đa trị Sự tồn tại nghiệm của bài toán tựa cân bằng liên quan đến ánh xạ đa trị Sự tồn tại nghiệm của bài toán tựa cân bằng liên quan đến ánh xạ đa trị Sự tồn tại nghiệm của bài toán tựa cân bằng liên quan đến ánh xạ đa trị Sự tồn tại nghiệm của bài toán tựa cân bằng liên quan đến ánh xạ đa trị Sự tồn tại nghiệm của bài toán tựa cân bằng liên quan đến ánh xạ đa trị Sự tồn tại nghiệm của bài toán tựa cân bằng liên quan đến ánh xạ đa trị Sự tồn tại nghiệm của bài toán tựa cân bằng liên quan đến ánh xạ đa trị Sự tồn tại nghiệm của bài toán tựa cân bằng liên quan đến ánh xạ đa trị Sự tồn tại nghiệm của bài toán tựa cân bằng liên quan đến ánh xạ đa trị Sự tồn tại nghiệm của bài toán tựa cân bằng liên quan đến ánh xạ đa trị Sự tồn tại nghiệm của bài toán tựa cân bằng liên quan đến ánh xạ đa trị Sự tồn tại nghiệm của bài toán tựa cân bằng liên quan đến ánh xạ đa trị Sự tồn tại nghiệm của bài toán tựa cân bằng liên quan đến ánh xạ đa trị Sự tồn tại nghiệm của bài toán tựa cân bằng liên quan đến ánh xạ đa trị Sự tồn tại nghiệm của bài toán tựa cân bằng liên quan đến ánh xạ đa trị Sự tồn tại nghiệm của bài toán tựa cân bằng liên quan đến ánh xạ đa trị Sự tồn tại nghiệm của bài toán tựa cân bằng liên quan đến ánh xạ đa trị Sự tồn tại nghiệm của bài toán tựa cân bằng liên quan đến ánh xạ đa trị Sự tồn tại nghiệm của bài toán tựa cân bằng liên quan đến ánh xạ đa trị Sự tồn tại nghiệm của bài toán tựa cân bằng liên quan đến ánh xạ đa trị Sự tồn tại nghiệm của bài toán tựa cân bằng liên quan đến ánh xạ đa trị Sự tồn tại nghiệm của bài toán tựa cân bằng liên quan đến ánh xạ đa trị Sự tồn tại nghiệm của bài toán tựa cân bằng liên quan đến ánh xạ đa trị Sự tồn tại nghiệm của bài toán tựa cân bằng liên quan đến ánh xạ đa trị Sự tồn tại nghiệm của bài toán tựa cân bằng liên quan đến ánh xạ đa trị Sự tồn tại nghiệm của bài toán tựa cân bằng liên quan đến ánh xạ đa trị Sự tồn tại nghiệm của bài toán tựa cân bằng liên quan đến ánh xạ đa trị Sự tồn tại nghiệm của bài toán tựa cân bằng liên quan đến ánh xạ đa trị Sự tồn tại nghiệm của bài toán tựa cân bằng liên quan đến ánh xạ đa trị Sự tồn tại nghiệm của bài toán tựa cân bằng liên quan đến ánh xạ đa trị Sự tồn tại nghiệm của bài toán tựa cân bằng liên quan đến ánh xạ đa trị Sự tồn tại nghiệm của bài toán tựa cân bằng liên quan đến ánh xạ đa trị
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI ——————————————— LÊ NGỌC HÀ SỰ TỒN TẠI NGHIỆM CỦA BÀI TOÁN TỰA CÂN BẰNG LIÊN QUAN ĐẾN ÁNH XẠ ĐA TRỊ LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Hà Nội, 2014 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI ——————————————— LÊ NGỌC HÀ SỰ TỒN TẠI NGHIỆM CỦA BÀI TOÁN TỰA CÂN BẰNG LIÊN QUAN ĐẾN ÁNH XẠ ĐA TRỊ Chuyên ngành: Toán giải tích Mã số: 60 46 01 02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: GS.TSKH. Nguyễn Xuân Tấn Hà Nội, 2014 Lời cảm ơn Luận văn hoàn thành Trường Đại học Sư phạm Hà Nội hướng dẫn GS.TSKH Nguyễn Xuân Tấn. Tác giả xin gửi lời cảm ơn chân thành sâu sắc tới GS.TSKH Nguyễn Xuân Tấn, người quan tâm, động viên tận tình hướng dẫn tác giả trình thực luận văn. Tác giả xin gửi lời cảm ơn chân thành tới Ban Giám hiệu Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2, Phòng Sau Đại học, thầy cô giáo nhà trường thầy cô giáo dạy cao học chuyên ngành Toán giải tích tạo điều kiện thuận lợi trình tác giả học tập nghiên cứu. Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn tới gia đình, người thân động viên tạo điều kiện để tác giả hoàn thành luận văn này. Hà Nội, tháng 12 năm 2014 Lê Ngọc Hà Lời cam đoan Tôi xin cam đoan Luận văn công trình nghiên cứu riêng hướng dẫn trực tiếp GS.TSKH Nguyễn Xuân Tấn. Trong trình nghiên cứu, kế thừa thành khoa học nhà khoa học với trân trọng biết ơn. Hà Nội, tháng 12 năm 2014 Lê Ngọc Hà Mục lục Mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Nội dung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Chương 1. Kiến thức chuẩn bị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1. Không gian tôpô tuyến tính lồi địa phương Haussdorff . . . . . . . 1.2. Nón ánh xạ đa trị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.1. Nón . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.2. Ánh xạ đa trị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Chương 2. Bài toán tựa cân tổng quát loại I . . . . . . . 19 2.1. Bài toán tựa cân tổng quát loại I toán liên quan 19 2.1.1. Bài toán tựa cân tổng quát loại I. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2.1.2. Các toán liên quan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 2.2. Định lý tồn nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2.3. Ứng dụng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 Chương 3. Bài toán tựa cân tổng quát loại II . . . . . . 33 3.1. Bài toán tựa cân tổng quát loại II toán liên quan 33 3.1.1. Bài toán tựa cân tổng quát loại II . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 3.1.2. Các toán liên quan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 3.2. Định lý tồn nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 v 3.3. Sự tồn toán liên quan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 Mở đầu 1. Lý chọn đề tài Tối ưu véctơ phận quan trọng lý thuyết tối ưu. Các toán lý thuyết tối ưu véctơ bao gồm: toán tối ưu, toán cân Nash, toán bù, toán bất đẳng thức biến phân, toán điểm yên ngựa. Bài toán điểm cân biết đến từ lâu công trình Arrow-Debreu, Nash sau nhiều nhà toán học sử dụng để xây dựng mô hình kinh tế từ nửa sau kỷ 20. Ky Fan (1972) Browder-Minty (1978) phát biểu chứng minh tồn nghiệm toán cân dựa định lý điểm bất động. Năm 1994, Blum Oettli phát biểu toán cân cách tổng quát tìm cách liên kết toán Ky Fan Browder-Minty với thành dạng chung. Các toán tựa cân toán giải tích phi tuyến. Do đó, gợi ý thầy giảng dạy chuyên ngành Toán giải tích với giúp đỡ thầy Nguyễn Xuân Tấn, chọn đề tài: “Sự tồn nghiệm toán tựa cân liên quan tới ánh xạ đa trị”. Nội dung luận văn gồm ba chương: Chương 1: Nêu số không gian kến thức thường dùng như: không gian tôpô, không gian tuyến tính lồi địa phương Haussdorf; nón ánh xạ đa trị; tính KKM. Chương 2: Đưa toán tựa cân tổng quát loại I toán liên quan. Phát biểu chứng minh định lý tồn nghiệm toán, sử dụng kết để chứng minh số toán liên quan có nghiệm. Chương 3: Trình bày toán tựa cân tổng quát loại II định lý điều kiện đủ cho toán có nghiệm. Giới thiệu tồn nghiệm số toán liên quan. 2. Mục đích nghiên cứu Chỉ tồn nghiệm số toán tựa cân bằng. Chỉ mối liên hệ toán tựa cân toán khác lý thuyết tối ưu. 3. Nhiệm vụ nghiên cứu Tìm hiểu số tài liệu toán cân ứng dụng chúng công bố tạp chí quốc tế tìm ứng dụng cho toán liên quan. 4. Đối tượng phạm vi nghiên cứu Tìm hiểu môn giải tích đa trị để thấy tính chất ánh xạ đa trị sử dụng chúng để điều kiện đủ cho tồn nghiệm số toán lý thuyết tối ưu đa trị. 5. Phương pháp nghiên cứu Sử dụng tính chất ánh xạ đa trị để tìm điều kiện đủ cho tồn nghiệm toán cân bằng. 6. Đóng góp đề tài Góp phần làm phong phú thêm kết nghiên cứu toán cân toán khác lý thuyết tối ưu. Đồng thời cho ta thấy rõ mối liên kết toán lý thuyết tối ưu, mối liên hệ nghiệm toán tựa cân với ổn định số mô hình kinh tế. Chương Kiến thức chuẩn bị Việc mở rộng từ ánh xạ đơn trị sang ánh xạ đa trị nhu cầu thực tiễn nảy sinh có toán liên quan đến phép chuyển điểm tập thành tập tập kia. Môn giải tích đa trị hình thành trở thành công cụ đắc lực việc nghiên cứu toán liên quan đến ánh xạ đa trị. Để nghiên cứu toán liên quan đến ánh xạ đa trị, trước hết ta nhắc lại số kiến thức giải tích hàm. 1.1. Không gian tôpô tuyến tính lồi địa phương Haussdorff Định nghĩa 1.1.1. Cho tập hợp X, gọi τ tập X, T tập bất kỳ. Khi X gọi không gian tôpô điều kiện sau thỏa mãn: (i) (ii) (iii) ∅ ∈ τ, X ∈ τ ; Với Ut ∈ τ, ∀t ∈ T t∈T Ut ∈ τ ; Với ∀U1 , U2 ∈ τ U1 ∩ U2 ∈ τ . Định nghĩa 1.1.2. Tập X khác rỗng gọi không gian tuyến tính trường K, phần tử x, y ∈ X gọi véctơ X xác định hai phép toán nghĩa λt1 + (1 − λ) t2 ∈ A. Vậy A tập lồi. Tiếp theo, giả thiết xβ → x, yβ → y, tβ ∈ M (yβ , xβ ) , tβ → t. Do tβ ∈ S (xβ , yβ ) tính nửa liên tục S với giá trị đóng dẫn đến t ∈ S (x, y). Vì tβ ∈ M (yβ , xβ ) nên H (yβ , xβ , zβ ) ⊆ G (yβ , xβ , tβ ) + C (yβ , xβ ) (2.10) Mặt khác, H (−C)- liên tục (y, x, z) , (yβ , xβ , zβ ) → (y, x, z) với lân cận V điểm gốc Y , tồn β1 cho H(y, x, z) ⊆ H(yβ , xβ , zβ ) + V + C (y, x) , với β ≥ β1 . (2.11) Vì (yβ , xβ , tβ ) → (y, x, t) G C- liên tục (y, x, t), nên tồn β2 cho G(yβ , xβ , tβ ) ⊆ G(y, x, t) + V + C(y, x)), với β ≥ β2 . (2.12) Lấy β0 = max {β1 , β2 }. Kết hợp với (2.10),(2.11) (2.12) ta có H(y, x, z) ⊆ G(y, x, t) + 2V + C(yβ , xβ ) + C(y, x), với β ≥ β0 Mặt khác, C nửa liên tục với giá trị nón lồi đóng, kéo theo với lân cận V gốc Y, C (yβ , xβ ) ⊆ C(y, x) + V Vậy H(y, x, z) ⊆ G(y, x, t) + 3V + C(y, x). Từ tính đóng C(y, x) tính compact G(y, x, t) ta có H(y, x, z) ⊆ G(y, x, t) + C(y, x). Vì vậy, t ∈ M (y, x) M ánh xạ đóng, suy F ánh xạ đóng. Theo định lí 2.2.1, tồn điểm (x, y) ∈ D × K thỏa mãn x ∈ S (x, y) ; y ∈ T (x, y) ; 31 ∈ F (y, x, x, z) với z ∈ S (x, y) . Tức H (y, x, z) ⊆ G (y, x, x) + C (y, x) với z ∈ S (x, y). 32 Chương Bài toán tựa cân tổng quát loại II 3.1. Bài toán tựa cân tổng quát loại II toán liên quan 3.1.1. Bài toán tựa cân tổng quát loại II Xét toán tối ưu sau: Một tổng công ty sản xuất đồ nội thất văn phòng hoạt động theo mô hình công ty mẹ, công ty con. Xét công ty A có tập phương án sản xuất D. Với phương án sản xuất x ∈ D công ty mẹ A có tập đạo P1 (x) công ty có tập đạo P2 (x). Ánh xạ F dùng để biểu diễn mục tiêu sản xuất. Trong trình sản xuất công ty phải chịu loại thuế Q. Mục đích A tìm phương án sản xuất x¯ đạo P1 (¯ x) phù hợp với tiêu chí lãnh đạo công ty P2 (¯ x) cho sau trừ loại thuế Q, sản xuất có lãi ổn định. Bài toán viết dạng toán học sau: Cho X, Y Z không gian vectơ tôpô lồi địa phương Hausdorff, D ⊂ X, K ⊂ Z tập khác rỗng. Giả sử S : D × K → 2D , T : D × K → 2K , P1 : D → 2D , P2 : D → 2D , Q : K × D → 2Z F : K × D × D → 2Y ánh xạ đa trị với giá trị khác rỗng. Ta xét 33 toán: tìm x¯ ∈ D cho x¯ ∈ P1 (¯ x)và ∈ F (y, x¯, t), với t ∈ P2 (¯ x) y ∈ Q(¯ x, t). Bài toán gọi toán tựa cân tổng quát loại II, kí hiệu (GQEP )II . Trong đó, S, P1 , P2 , T Q ánh xạ ràng buộc, F ánh xạ mục tiêu, hợp hay giao ánh xạ đa trị, quan hệ không gian đó. Nội dung chương viết dựa sở báo [2]. 3.1.2. Các toán liên quan Liên quan tới toán tổng quát loại II toán lý thuyết tối ưu, tương tự chương 2. Dưới ta hai toán. 1. Bao hàm thức tựa biến phân lý tưởng loại II (kí hiệu (U IQV IP )II ): Giả sử D, K, Pi , i = 1, Q xác định trên. Gọi CK × D → 2Y ánh xạ nón, G H ánh xạ đa trị xác định K × D × D với giá trị Y . Bài toán: tìm x¯ ∈ D cho x¯ ∈ P1 (¯ x) G(y, x¯, t) ⊆ H(y, x¯, x¯) + C(y, x¯) với t ∈ P2 (¯ x), y ∈ Q(¯ x, t). Định nghĩa ánh xạ M : K × D → 2X , F : K × D × D → 2X M (y, x) = {t ∈ D| G(y, x, t) ⊆ H(y, x, x) + C(y, x)} (y, x) ∈ K × D F (y, x, t) = t − M (y, x), (y, x, t) ∈ K × D × D. Khi toán đưa (GQEP )II . 2. Bao hàm thức tựa biến phân lý tưởng loại II 34 (kí hiệu (LIQV IP )II ): Giả sử D, K, Pi , i = 1, Q xác định trên. Gọi C : K × D → 2Y ánh xạ nón, G H ánh xạ đa trị xác định K × D × D với giá trị Y . Bài toán: tìm x¯ ∈ D cho x¯ ∈ P1 (¯ x) H(y, x¯, x¯) ⊆ G(y, x¯, t) − C(y, x¯), với t ∈ P2 (¯ x), y ∈ Q(¯ x, t). 3.2. Định lý tồn nghiệm Trong mục ta chủ yếu xem xét điều kiện cho ánh xạ P1 , P2 , Q, F để toán (GQEP )II có nghiệm. Sau định lý tồn nghiệm toán tựa cân tổng quát loại II: Định lý 3.2.1. Các điều kiện đủ cho toán (GQEP )II có nghiệm: (i) D tập khác rỗng, lồi, compact, (ii) P1 : D → 2D ánh xạ đa trị có tập điểm bất động D0 = {x ∈ D| x ∈ P1 (x)} khác rỗng đóng, (iii) P2 : D → 2D ánh xạ đa trị có giá trị khác rỗng, P2−1 (x) mở bao lồi coP2 (x) ⊆ P2 (x), với x ∈ D, (iv) Với điểm t ∈ D cố định, tập B = x ∈ D| tồn y ∈ Q(x, t) cho ∈ / F (y, x, t) tập mở D, (v) F : K × D × D → 2Y ánh xạ Q − KKM. Chứng minh. Định nghĩa ánh xạ M : D → 2D M (x) = t ∈ D| tồn y ∈ Q(x, t)sao cho ∈ / F (y, x, t) . 35 Ta thấy điểm x¯ ∈ D, x¯ ∈ P1 (¯ x) cho M (¯ x) ∩ P2 (¯ x) = ∅, ∈ / F (y, x¯, t), với t ∈ P2 (¯ x) y ∈ Q(¯ x, t).Vì để chứng minh định lý, cần chứng minh tồn điểm x thỏa mãn điều kiện trên. Giả sử ngược lại, với điểm x ∈ P1 (x), kéo theo M (x) ∩ P2 (x) = ∅ Xét ánh xạ H : D → 2D xác định (coM )(x) ∩ (coP2 )(x), x ∈ P1 (x), H(x) = P (x), x ∈ / P1 (x) Trong đó, (coN )(x) = coN (x). Ta chứng minh H thỏa mãn giả thiết Định lý 1.2.2.3. Với x ∈ P1 (x), M (¯ x) ∩ P2 (¯ x) = ∅, H(x) = ∅. Theo giả thiết (iii) (iv) Mệnh đề 1.2.2.2, ta suy với x ∈ D, (coM )−1 (x) (coP2 )−1 (x) tập mở, điều dẫn đến H −1 (x) = (coM )−1 (x) ∩ (coP2 )−1 (x) ∪ (P2−1 (x) ∩ D \ D0 ) tập mở D. Giả sử tồn điểm x¯ ∈ D cho x¯ ∈ H(¯ x) = coM (¯ x) ∩ coP2 (¯ x), n ta tìm điểm t1 , ., tn ∈ M (¯ x) thỏa mãn x¯ = n αi ≥ 0, αi ti , i=1 αi = 1. Từ định nghĩa M ta suy tồn y ∈ Q(x, t) cho ∈ / F (y, x, ti ), với i = 1, 2, ., n. Mặt khác, F ánh xạ Q − KKM , nên tồn số j ∈ {1, ., n} , cho ∈ F (y, x, ti ), với y ∈ Q(x, tj ) 36 ta có mâu thuẫn. Vậy với x ∈ D, x ∈ / H(x). Áp dụng Định lý 1.2.2.3, tồn điểm x¯ ∈ D cho H(¯ x) = ∅. Nếu x¯ ∈ / P1 (x) H(¯ x) = P2 (¯ x) = ∅ điều không xảy ra. Vậy tồn x¯ ∈ D cho M (x) ∩ P2 (x) = ∅. Định lý chứng minh. Trong định lý sau, ta chứng minh tồn nghiệm (GQEP )II với điều kiện ánh xạ P2 nửa liên tục dưới. Định lý 3.2.2. Bài toán (GQEP )II có nghiệm (i) D tập khác rỗng, lồi, compact, (ii) P1 : D → 2D , ánh xạ đa trị có tập điểm bất động D0 = {x ∈ D| x ∈ P1 (x)} khác rỗng đóng, (iii) P2 nửa liên tục với giá trị khác rỗng bao lồi coP2 (x) ⊆ P1 (x) với x ∈ D, (iv) Với điểm t ∈ D cố định, tập B = x ∈ D| tồn y ∈ Q(x, t) cho ∈ / F (y, x, t) tập mở D, (v) F : K × D × D → 2Y ánh xạ Q − KKM. Chứng minh. Gọi V sở lân cận lồi đóng điểm gốc không gian X. Với U ∈ V , định nghĩa ánh xạ P1U , P2U : D → 2D PiU (x) = (Pi (x) + U ) ∩ D, i = 1, 2, x ∈ D. −1 Ta thấy, P2U (t) tập mở D, với t ∈ D coP2U (x) ⊆ P1U (x), với x ∈ D. Do ánh xạ P1U , P2U , Q F thỏa mãn điều 37 kiện Định lý 3.2.1 ta suy tồn điểm x¯U ∈ D cho x¯U ∈ P1 (¯ xU ) ∈ F (y, x¯U , t), với t ∈ P2 (¯ xU ) y ∈ Q(¯ xU , t). Từ tính compact D không tính tổng quát, ta giả sử x¯U hội tụ đến điểm x¯ U thắt dần. Tính đóng P1 kéo theo x¯ ∈ P (¯ x). Lấy điểm t ∈ P2 (¯ x), tập B = x ∈ D| tồn y ∈ Q(x, t) cho ∈ / F (y, x, t) mở D nên tập A = x ∈ D| ∈ F (y, x, t), với y ∈ Q(x, t) đóng D. Chú ý rằng, x¯ ∈ A x¯U hội tụ đến x¯, x¯ ∈ A. Điều kéo theo ∈ F (y, x¯, t), với t ∈ P2 (¯ x) y ∈ Q(¯ x, t). Định lí chứng minh. Dưới ta đưa số khái niệm lồi theo đường chéo ánh xạ đa trị nhiều biến sau: Định nghĩa 3.2.1 Giả sử, G : D × D → 2Y , 2Y , F : K×D×D → Q : D × D → 2K ánh xạ đa trị, CK × D → 2Y , C : D → 2Y ánh xạ nón. (i) G gọi C- lồi (dưới) theo đường chéo biến thứ hai 38 với tập hữu hạn n {x1 , ., xn } ⊆D, x ∈ co {x1 , ., xn } , x = n αj xj , αj ≥ 0, j=1 αj = 1, j=1 n αj G(x, xj ) ⊆ G(x, x) + C(x), cho j=1 n (tương ứng G(x, x) ⊆ αj G(x, xj ) − C(x)). j=1 (ii) G gọi C- tựa giống lồi (dưới) theo đường chéo biến thứ hai với tập hữu hạn {x1 , ., xn } ⊆ D, x ∈ co {x1 , ., xn }, tồn số j = {1, ., n} cho G(x, xj ) ⊆ G(y, x, x) + C(y, x), (tương ứng G(x, x) ⊆ G(x, xj ) − C(y, x).) (iii) F gọi (Q, C)- tựa giống lồi (dưới) theo đường chéo biến thứ ba với tập hữu hạn {x1 , ., xn } ⊆ D, x ∈ co {x1 , ., xn } , tồn số j = {1, ., n} cho F (y, x, xj ) ⊆ F (y, x, x) + C(y, x), với y ∈ Q(x, xj ), (tương ứng, F (y, x, x) ⊆ F (y, x, xj ) − C(y, x), với y ∈ Q(x, xj )). Hệ 3.2.1 Cho D, K, P1 , P2 Q xác định Định lí 3.2.2. Giả thiết (i) Với điểm cố định t ∈ D, quan hệ (ii) (., ., t) đóng, Q − KKM, Q ánh xạ nửa liên tục theo biến thứ nhất. Khi đó, tồn x¯ ∈ D cho x¯ ∈ P1 (¯ x) t ∈ P2 (¯ x), y ∈ Q(¯ x, t). 39 (y, x¯, t) xảy với Chứng minh. Ta định nghĩa ánh xạ M : K × D → 2X , F : K × D × D → 2D M (y, x) = t ∈ D| quan hệ (y, x, t) xảy F (y, x, t) = t − M (y, x), (y, x, t) ∈ K × D × D. Với điểm cố định t ∈ D, đặt A = x ∈ D| quan hệ (y, x, t) xảy với y ∈ Q(x, t) = x ∈ D| ∈ F (y, x, t), với y ∈ Q(x, t) . Ta chứng minh tập A đóng. Thật vậy, giả sử dãy suy rộng {xα } ⊂ A xα → x. Khi ta có quan hệ Re(y, xα , t) xảy với y ∈ Q(xα , t). Do Q(., t) ánh xạ nửa liên tục xα → x, nên với điểm y ∈ Q(x, t), tồn dãy {yα } , yα ∈ Q(xα , t) cho yα → y. Do quan hệ (yα , xα , t) xảy với yα ∈ Q(xα , t). Mặt khác, với t ∈ D cố định, quan hệ đóng nên (y, x, t) xảy với y ∈ Q(x, t). Điều A tập đóng D ta suy B = D\A = x ∈ D| tồn y ∈ Q(x, t) cho ∈ / F (y, x, t) mở D. Hơn nữa, quan hệ Q − KKM, nên với tập hữu hạn {t1 , ., tn } ⊆ D, x ∈ co {t1 , ., tn } tồn số j = {1, ., n} cho quan hệ (y, x, tj ) xảy với y ∈ Q(x, tj ). Điều dẫn đến ∈ F (y, x, tj ), với y ∈ Q(x, tj ). Vì F Q − KKM . Theo Định lí 3.2.2, tồn điểm x¯ ∈ D cho x¯ ∈ P1 (¯ x) quan hệ (y, x¯, t) xảy với t ∈ P2 (¯ x), y ∈ Q(¯ x, t). Trường hợp hai ánh xạ 40 P1 = P2 , anh xạ Q thay T : D → 2K . Ta xét toán (P ) sau: tìm x¯ ∈ D cho x¯ ∈ P (¯ x); ∃¯ y ∈ T (¯ x) để ∈ F (¯ y , x¯, t), với t ∈ P (¯ x). Sau điều kiện đủ cho toán (P ) có nghiệm. Hệ 3.2.2 Giả sử điều kiện sau thỏa mãn (i) D, K tập lồi, compact khác rỗng, (ii) P ánh xạ liên tục với giá trị lồi, đóng khác rỗng, (iii) Với điểm cố định t ∈ D, tập A = {x ∈ D| ∃y ∈ T (x), ∈ F (y, x, t)} tập đóng D, (iv) Với tập hữu hạn tùy ý {t1 , ., tn } ∈ D điểm x = n n αi ti , αi ≥ 0, i=1 αi = 1, tồn điểm y ∈ T (x) số i i=1 cho ∈ F (y, x, ti ). Khi toán (P ) có nghiệm. Chứng minh. Định nghĩa ánh xạ M : D → 2D , F : D × D → 2X sau M (t) = {x ∈ D| ∃y ∈ T (x), ∈ F (y, x, t)} , t ∈ D, F(x, t) = x − M (t), (x, t) ∈ D × D. với điểm cố định t ∈ D, A tập đóng, tập B = {x ∈ D| ∈ / F(x, t)} = D\A mở D. Từ điều kiện (iv), ta suy F ánh xạ KKM . Áp dụng Định lí 3.2.2 cho D, P1 = P2 F ta tồn điểm x¯ ∈ D cho x¯ ∈ P (¯ x) ∈ F(¯ x, t), với t ∈ P (¯ x). Nghĩa là, tồn x¯ ∈ P (¯ x) y¯ ∈ T (¯ x) cho ∈ F (¯ y , x¯, t), với t ∈ P( x¯). Vậy hệ chứng minh. 41 3.3. Sự tồn nghiệm toán liên quan Dưới hai hệ chứng minh tồn nghiệm toán liên quan đến toán (GQEP )II . Hệ 3.3.1 Giả sử D, K, P1 , P2 Q xác định Định lí 3.2.2. Cho G, H ánh xạ có giá trị compact G(y, x, x) ⊆ H(y, x, x) + C(y, x¯), với (y, x) ∈ K × D. C : K × D → 2Y ánh xạ nón nửa liên tục với giá trị lồi, đóng khác rỗng. Giả thiết (i) Với điểm cố định t ∈ D, ánh xạ G(., ., t) : K ×D → 2Y −Cliên tục dưới, ánh xạ : K × D → 2Y định nghĩa C(y, x) = H(y, x, x) C-liên tục trên, (ii) G (Q, C)-tựa giống lồi theo đường chéo biến thứ ba. Khi toán (U IQV IP )II có nghiệm. Chứng minh. Định nghĩa ánh xạ M : K × D → 2X , F : K × D × D → 2D sau M (y, x) = {t ∈ D| G(y, x, t) ⊆ H(y, x, x) + C(y, x)} , (y, x) ∈ K × D F (y, x, t) = t − M (y, x), (y, x, t) ∈ K × D × D. Với điểm cố định t ∈ D, đặt A = x ∈ D| ∈ F (y, x, t) với y ∈ Q(x, t) . Khi A = x ∈ D| G(y, x, t) ⊆ H(y, x, x) + C(y, x), với y ∈ Q(x, t) . Ta A đóng D. Thật vậy, giả sử dãy suy rộng {xα } ⊂ A xα → x. Lấy tùy ý điểm y ∈ Q(x, t). Do Q(., t) ánh xạ nửa liên tục xα → x, nên tồn dãy {yα } , yα ∈ Q(cα , t) cho yα → y. 42 Tính (−C)-liên tục ánh xạ G(., ., t), tính C liên tục H tính nửa liên tục C, kéo theo lân cận V điểm gốc Y tồn số α0 cho với α ≤ α0 thỏa mãn G(y, x, t) ⊆ G(yα , xα , t) + V + C(y, x) ⊆ H(yα , xα , xα ) + V + C(yα , xα ) + C(y, x) ⊆ H(y, x, x) + 3V + C(y, x) (3.1) Kết hợp (3.1) với tính compact H(y, x, x) tính đóng C(y, x) ta suy G(y, x, t) ⊆ H(y, x, x) + C(y, x), x ∈ A. Điều dẫn đến A tập đóng D tập B = D\A = x ∈ D| tồn y ∈ Q(x, t) để ∈ / F (y, x, t) tập mở D. Hơn nữa, từ G(y, x, x) ⊆ H(y, x, x) + C(y, x), với (y, x) ∈ K × D G (Q, C)- tựa giống lồi theo đường chéo biến thứ ba, ta suy với tập hữu hạn {t1 , ., tn } ⊆ D, x ∈ co {t1 , ., tn } tồn số j = {1, ., n} cho G(y, x, tj ) ⊆ G(y, x, x) + C(y, x) ⊆ H(y, x, x) + C(y, x), với y ∈ Q(x, tj ). Do đó, ∈ F (y, x, tj ) ta có F ánh xạ Q − KKM. Áp dụng Định lí 3.2.2, tồn điểm x¯ ∈ D cho x¯ ∈ P1 (¯ x) ∈ F (y, x¯, t), với t ∈ P2 (¯ x), y ∈ Q(¯ x, t). Điều tương tự với G(y, x¯, t) ⊆ H(y, x¯, x¯) + C(y, x¯), với t ∈ P2 (¯ x), y ∈ Q(¯ x, t). 43 Vậy hệ chứng minh. Tương tự hệ ta có tồn nghiệm (LIQV IP )II . Hệ 3.3.2 Cho D, K, P1 , P2 Q xác định Định lí 3.2.2. Cho G, H ánh xạ có giá trị compact H(y, x, x) ⊆ G(y, x, x) − C(y, x), với (y, x) ∈ K × D. C : K × D → 2Y ánh xạ nón nửa liên tục với giá trị lồi, đóng khác rỗng. Giả thiết điều kiện sau thỏa mãn: (i) Với điểm cố định t ∈ D, ánh xạ G(., ., t) : K × D → 2Y (−C)- liên tục trên, ánh xạ N : K × D → 2Y định nghĩa N (y, x) = H(y, x, x) C-liên tục dưới. (ii) G (Q, C)- tựa giống lồi theo đường chéo biến thứ ba. Khi toán (LIQV IP )II có nghiệm. 44 Kết luận Nội dung luân văn điều kiện đủ để toán tựa cân loại I loại II có nghiệm, từ tồn nghiệm số toán liên quan đến ánh xạ đa trị. Luận văn chia làm ba chương: Chương luận văn nêu số không gian kến thức thường dùng. Chương đưa toán tựa cân tổng quát loại I toán liên quan. Phát biểu chứng minh định lý tồn nghiệm toán, sử dụng kết để chứng minh số toán liên quan có nghiệm. Chương trình bày toán tựa cân tổng quát loại II định lý điều kiện đủ cho toán có nghiệm. Giới thiệu tồn nghiệm số toán liên quan. 45 Tài liệu tham khảo [1] N.X.Tấn (2004), On the existence of solutions of quasi-variational inclusion problems, Journal of Optimization Theory and Applications, (123), 619-638. [2] D.T.Luc (1982), On Nash equilibrium I, Acta Mathematical Academiae Scientinarum Hungararicae, (40) (3-4), 267-272. [3] S. Park (2000), Fixed point and Quasi-Equilibrium problem, No- linear operator Theory. Mathematical and computer Modelling, 32, 12971304. [4] Yannelis, N.C., and Prabhaker, N.D. (1983), Existence of maxi- mal elements and equilibria in linear topological spaces, Jour. of Marth. Eco., 12,233-245. [5] Fan, K. (1972), Fixed point of compact multifunctions, Journal of Mathematical analysis and Application, 38, 205-207. 46 [...]... nghiệm Từ đó suy ra sự tồn tại nghiệm của các bài toán liên quan trong lý thuyết tối ưu với sự tham gia của các ánh xạ đa trị Định lý dưới đây chứng minh sự tồn tại nghiệm của bài toán tựa cân bằng tổng quát loại I Định lý 2.2.1 Cho D ⊆ X, K ⊆ Z là các tập con lồi compact Giả sử rằng: (i) S là ánh xạ liên tục với giá trị lồi, đóng; 21 (ii) T là ánh xạ nửa liên tục trên với giá trị lồi, đóng khác rỗng;... hay sự tương giao của các ánh xạ đa trị Nội dung của chương này được viết trên cơ sở của bài báo [1] 2.1.2 Các bài toán liên quan Sau đây ta đưa ra một số bài toán liên quan với bài toán (GQEP )I trong lý thuyết tối ưu 1 Bài toán tựa quan hệ biến phân loại I: Gọi (y, x, t, z) là một quan hệ bốn ngôi của y ∈ K; x, t, z ∈ D Quan hệ có thể là đẳng thức, bất đẳng thức của một hàm số hoặc hợp, giao của. .. khi x = 0 ; khi đó F là ánh xạ đa trị Cho F : X → 2Y , ánh xạ F −1 : Y → 2X được xác định bởi F −1 (Y ) = {x ∈ X : y ∈ F (x)} được gọi là ánh xạ ngược của F Như vậy, khác với ánh xạ đơn trị, ánh xạ đa trị luôn tồn tại ánh xạ ngược Nếu tập F −1 (Y ) = {x ∈ X : y ∈ F (x)} mở thì F được gọi là có nghịch ảnh mở Tương tự ánh xạ đơn trị, ta cũng có các phép toán sau đối với ánh xạ đa trị Định nghĩa 1.2.2.2... gọi là ánh xạ có giá trị đóng Các mệnh đề sau cho ta điều kiện cần và đủ để một ánh xạ đa trị là nửa liên tục trên và nửa liên tục dưới Mệnh đề 1.2.2.1 Cho F : D → 2Y là ánh xạ đa trị Nếu F là nửa liên tục trên với giá trị đóng thì F là ánh xạ đóng Ngược lại, nếu F là ánh xạ đóng và Y compact thì F là nửa liên tục trên Mệnh đề 1.2.2.2 a) Cho F : D → 2Y là ánh xạ đa trị F là nửa liên tục dưới tại x ∈... : Y → 2Z là các ánh xạ đa trị a) Ánh xạ hợp, giao của hai ánh xạ F1 , F2 và ánh xạ bù của F là các ánh xạ đa trị từ X vào Y được xác định lần lượt bởi (F1 ∪ F2 ) (x) = F1 (x) ∪ F2 (x) ; (F1 ∩ F2 ) (x) = F1 (x) ∩ F2 (x) ; F 0 (x) = Y \ F (x) 9 Hợp của ánh xạ F và G là ánh xạ G ◦ F (x) : X → 2Z cho bởi công thức G ◦ F (x) = G (F (x)) x∈X Tích Decarde của F : X → Y và G : W → Z là ánh xạ G × F : X ×... 18 F (x) = ∅ Chương 2 Bài toán tựa cân bằng tổng quát loại I 2.1 Bài toán tựa cân bằng tổng quát loại I và các bài toán liên quan 2.1.1 Bài toán tựa cân bằng tổng quát loại I Xét bài toán thực tế sau: Nhà máy sản xuất bia A và đại lý tiêu thụ B có quan hệ hợp tác với nhau Nhà máy A có tập chiến lược sản xuất D, đại lý tiêu thụ B có tập chiến lược tiêu thụ K Sự thành hay bại của nhà máy sản xuất và... 2.2.1, tồn tại điểm (x, y) ∈ D × K với x ∈ S (x, y) ; y ∈ T (x, y) ; 0 ∈ F (y, x, x, z) , ∀z ∈ S (x, y) hay ϕ (y, x, z) ≥ 0, với mọi z ∈ S (x, y) Ta đi chứng minh sự tồn tại nghiệm của bài toán tựa quan hệ biến phân loại I Hệ quả 2.3.2 Cho D ⊆ X, K ⊆ Z là các tập con lồi, compact, khác rỗng Bài toán tựa quan hệ biến phân loại I có nghiệm nếu thỏa mãn các điều kiện sau: (i) S là ánh xạ liên tục với giá trị. .. quả sau về sự tồn tại nghiệm của bài toán bao hàm thức biến phân lý tưởng trên loại I Mệnh đề 2.3.3 Cho D, K là các tập con lồi, compact, khác rỗng của không gian X, Z tương ứng Cho các ánh xạ đa trị S : D × K → 2D , T : D × K → 2K , H, G : K × D × D → 2Y , C : K × D → 2Y Giả thiết các điều kiện sau thỏa mãn: (i) S là ánh xạ liên tục với giá trị lồi, đóng, khác rỗng; (ii) T là ánh xạ nửa liên tục trên... bài toán trên được đưa về (GQEP )I 2.2 Định lý tồn tại nghiệm Trong mục 2.2 này, ta giả thiết X, Y và Z là các không gian tôpô tuyến tính lồi địa phương, D ⊆ X, K ⊆ Z là các tập con khác rỗng Các ánh xạ S, T và F được xác định như mục 2.1 Mục đích chính của chương này là tìm các điều kiện trên các tập D, K và các ánh xạ S, T , F để bài toán tựa cân bằng tổng quát loại I có nghiệm Từ đó suy ra sự tồn. .. hệ quả của Định lý 2.2.1 cho bài toán tựa quan hệ biến phân và bao hàm thức tựa biến phân đã giới thiệu trong mục 2.1.2 Hệ quả 2.3.1 Cho D, K là các tập con lồi, compact, khác rỗng của X, Z Cho các ánh xạ đa trị T : D × K → 2K S là ánh xạ liên tục với giá trị lồi, đóng khác rỗng Giả sử Y = R và hàm số ϕ : K × D × D → R liên tục Với mỗi điểm (y, x) ∈ K × D cố định, hàm ϕ (y, x, ) : D → R là tựa giống . số bài toán liên quan có nghiệm. Chương 3: Trình bày bài toán tựa cân bằng tổng quát loại II và định lý điều kiện đủ cho bài toán có nghiệm. Giới thiệu sự tồn tại nghiệm của một số bài toán liên. Toán giải tích cùng với sự giúp đỡ của thầy Nguyễn Xuân Tấn, tôi chọn đề tài: Sự tồn tại nghiệm của bài toán tựa cân bằng liên quan tới ánh xạ đa trị . Nội dung chính của luận văn gồm ba chương:. Haussdorf; nón và ánh xạ đa trị; 1 tính KKM. Chương 2: Đưa ra bài toán tựa cân bằng tổng quát loại I và các bài toán liên quan. Phát biểu và chứng minh định lý tồn tại nghiệm của bài toán, sử dụng