bài toán liên quan
3.1.1. Bài toán tựa cân bằng tổng quát loại II Xét bài toán tối ưu sau:
Một tổng công ty sản xuất đồ nội thất văn phòng hoạt động theo mô hình công ty mẹ, công ty con. Xét công ty con A có tập phương án sản xuấtD. Với mỗi phương án sản xuất x ∈ D công ty mẹ A có tập chỉ đạo là P1(x) công ty con có tập chỉ đạo là P2(x). Ánh xạ F được dùng để biểu diễn mục tiêu sản xuất. Trong quá trình sản xuất công ty con phải chịu các loại thuế Q. Mục đích của A là tìm một phương án sản xuất x¯
của chỉ đạo P1(¯x) phù hợp với tiêu chí của lãnh đạo công ty con P2(¯x)
sao cho sau khi trừ các loại thuế Q, sản xuất vẫn có lãi và ổn định. Bài toán trên viết dưới dạng toán học như sau:
Cho X, Y và Z là các không gian vectơ tôpô lồi địa phương Hausdorff,
D ⊂ X, K ⊂ Z là các tập con khác rỗng. Giả sử S : D ×K → 2D, T : D × K → 2K, P1 : D → 2D, P2 : D → 2D, Q : K × D → 2Z và
bài toán: tìm x¯∈ D sao cho
¯
x ∈ P1(¯x)và 0 ∈ F(y,x, t),¯ với mọi t∈ P2(¯x) và y ∈ Q(¯x, t).
Bài toán trên được gọi là bài toán tựa cân bằng tổng quát loại II, kí hiệu là (GQEP)II. Trong đó, S, P1, P2, T và Q là các ánh xạ ràng buộc, F là ánh xạ mục tiêu, nó có thể là hợp hay giao của các ánh xạ đa trị, hoặc là một quan hệ trong không gian nào đó.
Nội dung của chương này được viết dựa trên cơ sở của bài báo [2]. 3.1.2. Các bài toán liên quan
Liên quan tới bài toán tổng quát loại II là các bài toán trong lý thuyết tối ưu, tương tự như trong chương 2. Dưới đây ta chỉ ra hai bài toán. 1. Bao hàm thức tựa biến phân lý tưởng trên loại II
(kí hiệu (U IQV IP)II):
Giả sử D, K, Pi, i = 1,2 và Q xác định như trên. Gọi CK ×D → 2Y là ánh xạ nón, G và H là các ánh xạ đa trị xác định trên K ×D ×D với giá trị trên Y. Bài toán: tìm x¯ ∈ D sao cho x¯ ∈ P1(¯x) và
G(y,x, t)¯ ⊆ H(y,x,¯ x) +¯ C(y,x)¯ với mọi t ∈ P2(¯x), y ∈ Q(¯x, t).
Định nghĩa các ánh xạ M : K ×D →2X, F : K ×D×D → 2X bởi
M(y, x) ={t ∈ D| G(y, x, t) ⊆ H(y, x, x) +C(y, x)} (y, x) ∈ K ×D F(y, x, t) =t−M(y, x), (y, x, t) ∈ K ×D ×D.
Khi đó bài toán trên được đưa về (GQEP)II.
(kí hiệu (LIQV IP)II ):
Giả sử D, K, Pi, i = 1,2 và Q xác định như trên. Gọi C : K ×D → 2Y
là ánh xạ nón, G và H là các ánh xạ đa trị xác định trên K ×D ×D
với giá trị trên Y. Bài toán: tìm x¯ ∈ D sao cho x¯ ∈ P1(¯x) và
H(y,x,¯ x)¯ ⊆ G(y,x, t)¯ −C(y,x),¯ với mọi t∈ P2(¯x), y ∈ Q(¯x, t).
3.2. Định lý tồn tại nghiệm
Trong mục này ta chủ yếu xem xét các điều kiện cho ánh xạP1, P2, Q, F
để bài toán(GQEP)II có nghiệm. Sau đây là định lý về sự tồn tại nghiệm của bài toán tựa cân bằng tổng quát loại II:
Định lý 3.2.1. Các điều kiện đủ cho bài toán (GQEP)II có nghiệm: (i) D là tập con khác rỗng, lồi, compact,
(ii) P1 : D → 2D là ánh xạ đa trị có tập các điểm bất động D0 =
{x ∈ D| x ∈ P1(x)} khác rỗng và đóng,
(iii) P2 :D → 2D là ánh xạ đa trị có giá trị khác rỗng, P2−1(x) mở và bao lồi coP2(x) ⊆ P2(x), với mọi x ∈ D, (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
(iv) Với mỗi điểm t ∈ D cố định, tập
B = x ∈ D| tồn tại y ∈ Q(x, t) sao cho0 ∈/ F(y, x, t)
là tập mở trong D,
(v) F : K ×D ×D → 2Y là ánh xạ Q−KKM.
Chứng minh. Định nghĩa ánh xạ M :D →2D bởi
Ta thấy rằng nếu chỉ ra được điểm x¯ ∈ D, x¯ ∈ P1(¯x) sao cho M(¯x) ∩
P2(¯x) = ∅, thì 0 ∈/ F(y,x, t),¯ với mọi t ∈ P2(¯x) và y ∈ Q(¯x, t).Vì vậy để chứng minh định lý, chỉ cần chứng minh tồn tại điểm x thỏa mãn điều kiện trên.
Giả sử ngược lại, với mỗi điểm x ∈ P1(x), kéo theo M(x)∩P2(x) =∅
Xét ánh xạ H : D →2D xác định bởi H(x) =
(coM)(x)∩(coP2)(x), khi x ∈ P1(x),
P2(x), khi x /∈ P1(x)
Trong đó, (coN)(x) = coN(x). Ta sẽ chứng minh H thỏa mãn các giả thiết của Định lý 1.2.2.3. Với mỗi x∈ P1(x), nếu M(¯x)∩P2(¯x) = ∅, thì
H(x) 6= ∅. Theo các giả thiết (iii) và (iv) và Mệnh đề 1.2.2.2, ta suy ra được với mỗi x ∈ D, (coM)−1(x) và (coP2)−1(x) là các tập mở, điều này dẫn đến
H−1(x) = (coM)−1(x)∩(coP2)−1(x)∪ (P2−1(x)∩D \D0)
là tập mở trong D. Giả sử tồn tại điểm x¯∈ D sao cho
¯
x ∈ H(¯x) = coM(¯x)∩coP2(¯x),
khi đó ta tìm được các điểm t1, ..., tn ∈ M(¯x) thỏa mãn x¯=
n P i=1 αiti, αi ≥ 0, n P 1
αi = 1. Từ định nghĩa của M ta suy ra tồn tại y ∈ Q(x, t)
sao cho 0 ∈/ F(y, x, ti), với mọi i = 1,2, ..., n. Mặt khác, vì F là ánh xạ
Q−KKM, nên tồn tại chỉ số j ∈ {1, ..., n}, sao cho
ta có sự mâu thuẫn. Vậy với mỗi x ∈ D, x /∈ H(x). Áp dụng Định lý 1.2.2.3, tồn tại điểm x¯ ∈ D sao cho H(¯x) = ∅.
Nếu x /¯ ∈ P1(x) thì H(¯x) = P2(¯x) = ∅ điều này không xảy ra. Vậy tồn tại
¯
x ∈ D sao cho M(x)∩ P2(x) =∅. Định lý được chứng minh.
Trong định lý sau, ta chứng minh sự tồn tại nghiệm của (GQEP)II
với điều kiện của ánh xạ P2 là nửa liên tục dưới. Định lý 3.2.2. Bài toán (GQEP)II có nghiệm khi
(i) D là tập con khác rỗng, lồi, compact,
(ii) P1 : D → 2D, là ánh xạ đa trị có tập các điểm bất động D0 = (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
{x ∈ D| x ∈ P1(x)} khác rỗng và đóng,
(iii) P2 nửa liên tục dưới với giá trị khác rỗng và bao lồi coP2(x) ⊆
P1(x) với mỗi x ∈ D,
(iv) Với mỗi điểm t ∈ D cố định, tập
B = x ∈ D| tồn tại y ∈ Q(x, t) sao cho0 ∈/ F(y, x, t)
là tập mở trong D,
(v) F : K ×D ×D → 2Y là ánh xạ Q−KKM.
Chứng minh. Gọi V là cơ sở lân cận lồi đóng của điểm gốc trong không gian X. Với mỗi U ∈ V, định nghĩa ánh xạ P1U, P2U : D → 2D
bởi
PiU(x) = (Pi(x) +U)∩ D, i = 1,2, x ∈ D.
Ta thấy, P2−U1(t) là tập mở trongD, với mỗi t∈ D và coP2U(x) ⊆ P1U(x), với mỗi x ∈ D. Do đó các ánh xạ P1U, P2U, Q và F thỏa mãn các điều
kiện của Định lý 3.2.1 ta suy ra tồn tại điểm x¯U ∈ D sao cho
¯
xU ∈ P1(¯xU)
0∈ F(y,x¯U, t), với mọi t ∈ P2(¯xU) và y ∈ Q(¯xU, t).
Từ tính compact của D không mất tính tổng quát, ta giả sử rằng x¯U
hội tụ đến điểm x¯ khi U thắt dần. Tính đóng của P1 kéo theo x¯ ∈ P(¯x). Lấy điểm bất kì t ∈ P2(¯x), vì tập
B = x ∈ D| tồn tại y ∈ Q(x, t) sao cho 0∈/ F(y, x, t) mở trong D nên tập
A= x ∈ D| 0∈ F(y, x, t), với mọi y ∈ Q(x, t)
đóng trong D. Chú ý rằng, x¯ ∈ A và x¯U hội tụ đến x¯, cho nên x¯ ∈ A. Điều này kéo theo 0 ∈ F(y,x, t),¯ với mọi t ∈ P2(¯x) và y ∈ Q(¯x, t). Định lí được chứng minh.
Dưới đây ta đưa ra một số khái niệm về lồi theo đường chéo của ánh xạ đa trị nhiều biến sau:
Định nghĩa 3.2.1 Giả sử, G : D × D → 2Y, F : K × D × D →
2Y, Q: D×D → 2K là các ánh xạ đa trị, CK×D → 2Y, C : D → 2Y
là ánh xạ nón.
nếu với mỗi tập hữu hạn {x1, ..., xn} ⊆D, x ∈ co{x1, ..., xn}, x = n X j=1 αjxj, αj ≥ 0, n X j=1 αj = 1, sao cho n X j=1 αjG(x, xj) ⊆ G(x, x) +C(x), (tương ứng G(x, x) ⊆ n X j=1 αjG(x, xj)−C(x)).
(ii) G gọi là C- tựa giống như lồi trên (dưới) theo đường chéo đối với biến thứ hai nếu với mỗi tập hữu hạn{x1, ..., xn} ⊆ D, x ∈ co{x1, ..., xn}, tồn tại chỉ số j = {1, ..., n} sao cho
G(x, xj) ⊆ G(y, x, x) + C(y, x), (tương ứng G(x, x) ⊆ G(x, xj)−C(y, x).)
(iii) F gọi là (Q, C)- tựa giống như lồi trên (dưới) theo đường chéo đối với biến thứ ba nếu với mỗi tập hữu hạn {x1, ..., xn} ⊆ D, x ∈
co{x1, ..., xn}, tồn tại chỉ số j = {1, ..., n} sao cho
F(y, x, xj) ⊆ F(y, x, x) +C(y, x), với mọiy ∈ Q(x, xj), (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
(tương ứng, F(y, x, x) ⊆ F(y, x, xj)−C(y, x), với mọi y ∈ Q(x, xj)).
Hệ quả 3.2.1 Cho D, K, P1, P2 và Q xác định như trong Định lí 3.2.2. Giả thiết
(i) Với mỗi điểm cố định t ∈ D, quan hệ <(., ., t) là đóng,
(ii) < là Q − KKM, Q là ánh xạ nửa liên tục dưới theo biến thứ nhất. Khi đó, tồn tại x¯ ∈ D sao cho x¯ ∈ P1(¯x) và <(y,x, t)¯ xảy ra với mọi t∈ P2(¯x), y ∈ Q(¯x, t).
Chứng minh. Ta định nghĩa các ánh xạ M : K × D → 2X, F : K ×D×D → 2D bởi
M(y, x) =t ∈ D| quan hệ <(y, x, t) xảy ra
F(y, x, t) =t−M(y, x), (y, x, t) ∈ K ×D ×D.
Với mỗi điểm cố định t∈ D, đặt
A =x ∈ D|quan hệ <(y, x, t) xảy ra với mọi y ∈ Q(x, t) =x ∈ D|0 ∈ F(y, x, t), với mọi y ∈ Q(x, t) .
Ta sẽ chứng minh tập Alà đóng. Thật vậy, giả sử dãy suy rộng {xα} ⊂ A
và xα →x. Khi đó ta có quan hệ
Re(y, xα, t) xảy ra với mọi y ∈ Q(xα, t). Do Q(., t) là ánh xạ nửa liên tục dưới và xα → x, nên với mọi điểm y ∈ Q(x, t), tồn tại dãy {yα}, yα ∈
Q(xα, t) sao cho yα → y. Do đó quan hệ <(yα, xα, t) xảy ra với mọi
yα ∈ Q(xα, t). Mặt khác, với mỗi t ∈ D cố định, quan hệ < đóng nên
<(y, x, t) xảy ra với mọi y ∈ Q(x, t). Điều này chỉ ra A là tập đóng trong
D và ta suy ra
B = D\A= x ∈ D| tồn tại y ∈ Q(x, t) sao cho 0 ∈/ F(y, x, t)
là mở trong D. Hơn nữa, vì quan hệ < là Q−KKM, nên với mỗi tập hữu hạn {t1, ..., tn} ⊆ D, x ∈ co{t1, ..., tn} tồn tại chỉ số j = {1, ..., n}
sao cho quan hệ <(y, x, tj) xảy ra với mọi y ∈ Q(x, tj). Điều này dẫn đến 0∈ F(y, x, tj), với mọi y ∈ Q(x, tj). Vì vậy F là Q−KKM.
P1 = P2, anh xạ Q được thay bởi T :D → 2K. Ta xét bài toán (P) sau: tìm x¯∈ D sao cho
¯
x ∈ P(¯x); ∃y¯∈ T(¯x) để 0 ∈ F(¯y,x, t),¯ với mọi t ∈ P(¯x).
Sau đây là các điều kiện đủ cho bài toán (P) có nghiệm. Hệ quả 3.2.2 Giả sử các điều kiện sau thỏa mãn
(i) D, K là các tập lồi, compact và khác rỗng,
(ii) P là ánh xạ liên tục với giá trị lồi, đóng khác rỗng, (iii) Với mỗi điểm cố định t∈ D,
tập A = {x ∈ D| ∃y ∈ T(x), 0 ∈ F(y, x, t)} là tập đóng trong D,
(iv) Với mỗi tập con hữu hạn tùy ý {t1, ..., tn} ∈ D và điểm x =
n P i=1 αiti, αi ≥ 0, n P i=1
αi = 1, luôn tồn tại điểm y ∈ T(x) và chỉ số i sao cho 0∈ F(y, x, ti). Khi đó bài toán (P) có nghiệm.
Chứng minh. Định nghĩa các ánh xạ M : D → 2D, F : D ×D → 2X (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
như sau
M(t) ={x ∈ D| ∃y ∈ T(x), 0∈ F(y, x, t)}, t ∈ D,
F(x, t) = x−M(t), (x, t) ∈ D ×D.
với mỗi điểm cố định t ∈ D, do A là tập đóng, cho nên tập
B = {x ∈ D| 0 ∈/ F(x, t)} = D\A
là mở trong D. Từ điều kiện(iv), ta suy ra F là ánh xạ KKM. Áp dụng Định lí 3.2.2 cho D, P1 = P2 và F ta chỉ ra được tồn tại điểm x¯∈ D sao cho x¯∈ P(¯x) và 0∈ F(¯x, t), với mọit∈ P(¯x).Nghĩa là, tồn tại x¯ ∈ P(¯x)
và y¯ ∈ T(¯x) sao cho 0 ∈ F(¯y,x, t),¯ với mọi t ∈ P(x).¯ Vậy hệ quả được chứng minh.
3.3. Sự tồn tại nghiệm của các bài toán liên quan
Dưới đây là hai hệ quả chứng minh sự tồn tại nghiệm của các bài toán liên quan đến bài toán (GQEP)II.
Hệ quả 3.3.1 Giả sử D, K, P1, P2 và Qxác định như trong Định lí 3.2.2. Cho G, H là các ánh xạ có giá trị compact và G(y, x, x) ⊆ H(y, x, x) +
C(y,x),¯ với mỗi (y, x) ∈ K ×D. C : K ×D → 2Y là ánh xạ nón nửa liên tục trên với giá trị lồi, đóng khác rỗng. Giả thiết rằng
(i) Với mỗi điểm cố định t∈ D, ánh xạG(., ., t) : K×D →2Y là −C- liên tục dưới, ánh xạ : K ×D → 2Y định nghĩa bởi C(y, x) =H(y, x, x)
là C-liên tục trên,
(ii) G là (Q,C)-tựa giống như lồi trên theo đường chéo đối với biến thứ ba. Khi đó bài toán (U IQV IP)II có nghiệm.
Chứng minh. Định nghĩa các ánh xạ M :K ×D → 2X, F :K ×D ×
D →2D như sau
M(y, x) ={t∈ D| G(y, x, t) ⊆ H(y, x, x) +C(y, x)}, (y, x) ∈ K ×D F(y, x, t) =t−M(y, x), (y, x, t) ∈ K ×D ×D.
Với mỗi điểm cố định t∈ D,
đặt A = x ∈ D| 0 ∈ F(y, x, t) với mọiy ∈ Q(x, t) . Khi đó
A = x ∈ D| G(y, x, t) ⊆H(y, x, x) + C(y, x), với mọi y ∈ Q(x, t) .
Ta chỉ ra rằng A đóng trong D. Thật vậy, giả sử dãy suy rộng {xα} ⊂ A
và xα →x. Lấy tùy ý điểm y ∈ Q(x, t). Do Q(., t) là ánh xạ nửa liên tục dưới và xα → x, nên tồn tại dãy {yα}, yα ∈ Q(cα, t) sao cho yα → y.
Tính (−C)-liên tục dưới của ánh xạ G(., ., t), tính C liên tục trên của H
và tính nửa liên tục trên của C, kéo theo mỗi lân cận V của điểm gốc trong Y tồn tại chỉ số α0 sao cho với mọi α ≤α0 thỏa mãn
G(y, x, t) ⊆ G(yα, xα, t) +V +C(y, x)
⊆ H(yα, xα, xα) +V + C(yα, xα) +C(y, x)
⊆H(y, x, x) + 3V +C(y, x) (3.1) Kết hợp (3.1) với tính compact của H(y, x, x) và tính đóng của C(y, x)
ta suy ra G(y, x, t) ⊆ H(y, x, x) +C(y, x), do đó x ∈ A. Điều này dẫn đến A là tập đóng trong D và tập
B = D\A = x∈ D| tồn tại y ∈ Q(x, t) để 0 ∈/ F(y, x, t)
là tập mở trong D. (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
Hơn nữa, từ G(y, x, x) ⊆H(y, x, x) +C(y, x), với mỗi (y, x) ∈ K×D và
G là (Q,C)- tựa giống như lồi trên theo đường chéo đối với biến thứ ba, ta suy ra với mỗi tập hữu hạn {t1, ..., tn} ⊆ D, x ∈ co{t1, ..., tn} tồn tại chỉ số j = {1, ..., n} sao cho
G(y, x, tj) ⊆ G(y, x, x) +C(y, x) ⊆ H(y, x, x) +C(y, x),
với mọi y ∈ Q(x, tj). Do đó, 0 ∈ F(y, x, tj) và ta có F là ánh xạ Q−
KKM. Áp dụng Định lí 3.2.2, tồn tại điểm x¯ ∈ D sao cho x¯ ∈ P1(¯x) và
0∈ F(y,x, t),¯ với mọi t ∈ P2(¯x), y ∈ Q(¯x, t).
Điều này tương tự với
Vậy hệ quả được chứng minh. Tương tự hệ quả trên ta có sự tồn tại nghiệm của (LIQV IP)II.
Hệ quả 3.3.2 Cho D, K, P1, P2 và Q xác định như trong Định lí 3.2.2. Cho G, H là các ánh xạ có giá trị compact và H(y, x, x) ⊆ G(y, x, x)−
C(y, x), với mỗi (y, x) ∈ K ×D. C : K ×D → 2Y là ánh xạ nón nửa liên tục trên với giá trị lồi, đóng khác rỗng. Giả thiết các điều kiện sau thỏa mãn:
(i) Với mỗi điểm cố định t ∈ D, ánh xạ G(., ., t) : K × D → 2Y là
(−C)- liên tục trên, ánh xạ N : K ×D → 2Y định nghĩa bởi N(y, x) = H(y, x, x) là C-liên tục dưới.
(ii) G là (Q,C)- tựa giống như lồi dưới theo đường chéo đối với biến thứ ba. Khi đó bài toán (LIQV IP)II có nghiệm.
Kết luận
Nội dung chính của luân văn là chỉ ra điều kiện đủ để bài toán tựa cân bằng loại I và loại II có nghiệm, từ đó chỉ ra sự tồn tại nghiệm của một số bài toán liên quan đến ánh xạ đa trị.
Luận văn được chia làm ba chương: Chương 1 của luận văn nêu một số không gian và kến thức cơ bản thường dùng. Chương 2 đưa ra bài toán tựa cân bằng tổng quát loại I và các bài toán liên quan. Phát biểu và chứng minh định lý tồn tại nghiệm của bài toán, sử dụng kết quả để chứng minh một số bài toán liên quan có nghiệm. Chương 3 trình bày bài toán tựa cân bằng tổng quát loại II và định lý điều kiện đủ cho bài toán có nghiệm. Giới thiệu sự tồn tại nghiệm của một số bài toán liên quan.
Tài liệu tham khảo
[1] N.X.Tấn (2004),On the existence of solutions of quasi-variational inclusion problems, Journal of Optimization Theory and Applications, (123), 619-638.
[2] D.T.Luc (1982),On Nash equilibrium I, Acta Mathematical Academiae Scientinarum Hungararicae, (40) (3-4), 267-272.
[3] S. Park (2000), Fixed point and Quasi-Equilibrium problem, No- linear operator Theory. Mathematical and computer Modelling,32, 1297- 1304.
[4] Yannelis, N.C., and Prabhaker, N.D. (1983), Existence of maxi- mal elements and equilibria in linear topological spaces, Jour. of Marth. Eco., 12,233-245.
[5] Fan, K. (1972), Fixed point of compact multifunctions, Journal of Mathematical analysis and Application, 38, 205-207.