bài toán liên quan
2.1.1. Bài toán tựa cân bằng tổng quát loại I Xét bài toán thực tế sau:
Nhà máy sản xuất bia A và đại lý tiêu thụ B có quan hệ hợp tác với nhau. Nhà máy A có tập chiến lược sản xuất D, đại lý tiêu thụ B
có tập chiến lược tiêu thụ K. Sự thành hay bại của nhà máy sản xuất và đại lý tiêu thụ phụ thuộc nhiều vào chiến lược của người lãnh đạo. Với mỗi chiến lược x ∈ D và y ∈ K, lãnh đạo nhà máy A có tập chỉ đạo
S(x, y), đại lý B có tập chỉ đạo T (x, y). Mục đích của nhà máy A và đại lý B là tìm một phương án sản xuất thông qua chỉ đạo của lãnh đạo cơ sở mình và đối tác để việc sản xuất và tiêu thụ luôn được cân bằng hay nói cách khác luôn đạt mục tiêu sản xuất ổn định.
Về toán học, vấn đề trên có thể mô hình hoá như sau:
Cho X,Y,Z là các không gian tuyến tính, các tập conD ⊆X, K ⊆
Z. Cho các ánh xạ đa trị S : D × K → 2D, T : D × K → 2K, F : K ×D×D ×D → 2Y với giá trị khác rỗng.
Bài toán: tìm (x, y) ∈ D ×K sao cho x ∈ S(x, y) ;y ∈ T (x, y) ; 0 ∈
F (y, x, y, z) với mọi z ∈ S(x, y) được gọi là bài toán tựa cân bằng tổng quát loại I, ký hiệu là(GQEP)I. Trong đó,S, T gọi là ánh xạ ràng buộc,
F gọi là ánh xạ mục tiêu, F có thể là đẳng thức, bất đẳng thức, hoặc bao hàm thức hay sự tương giao của các ánh xạ đa trị.
Nội dung của chương này được viết trên cơ sở của bài báo [1]. 2.1.2. Các bài toán liên quan
Sau đây ta đưa ra một số bài toán liên quan với bài toán (GQEP)I
trong lý thuyết tối ưu.
1. Bài toán tựa quan hệ biến phân loại I:
Gọi <(y, x, t, z) là một quan hệ bốn ngôi của y ∈ K;x, t, z ∈ D. Quan hệ <có thể là đẳng thức, bất đẳng thức của một hàm số hoặc hợp, giao của các ánh xạ đa trị. Tìm (x, y) ∈ D×K sao cho x ∈ S(x, y) ;y ∈
T (x, y) ; <(y, x, x, z) xảy ra với mọi z ∈ S(x, y).
Nếu định nghĩa các ánh xạ M : K × D × D → 2X, F : K × D ×
D × D → 2X bởi M (y, x, z) = t ∈ D| tồn tại quan hệ <(y, x, t, z),
(y, x, z) ∈ K ×D ×D,
F (y, x, t, z) = t−M (y, x, z) ; (y, x, t, z) ∈ K ×D ×D×D, thì bài toán tựa quan hệ biến phân loại I trình bày ở trên sẽ trở thành
(GQEP)I.
2. Bài toán bao hàm thức tựa biến phân lý tưởng trên loại I:
Đặt H, G là các ánh xạ đa trị xác định trên K×D×D với giá trị trong không gian Y. Gọi C : K ×D → 2Y là các ánh xạ đa trị với giá trị là
nón lồi khác rỗng. Tìm (x, y) ∈ D ×K sao cho
x ∈ S(x, y) ;y ∈ T (x, y) ;H(y, x, z) ⊆ G(y, x, x) + C(y, x),
với mọi z ∈ S(x, y).
Ta định nghĩa các ánh xạM : K×D×D → 2X, F : K×D×D×D →
2X như sau:
M (y, x, z) ={t ∈ D|H (y, x, z) ⊆ G(y, x, t) + C(y, x)}; (y, x, z) ∈ K×D×D; F (x, y, t, z) =t−M (y, x, z) ; (y, x, t, z) ∈ K ×D ×D ×D.
Khi đó bài toán trên được đưa về (GQEP)I.
2.2. Định lý tồn tại nghiệm
Trong mục 2.2 này, ta giả thiết X, Y và Z là các không gian tôpô tuyến tính lồi địa phương, D ⊆ X, K ⊆ Z là các tập con khác rỗng. Các ánh xạ S, T và F được xác định như mục 2.1. Mục đích chính của chương này là tìm các điều kiện trên các tập D, K và các ánh xạ S, T,
F để bài toán tựa cân bằng tổng quát loại I có nghiệm. Từ đó suy ra sự tồn tại nghiệm của các bài toán liên quan trong lý thuyết tối ưu với sự tham gia của các ánh xạ đa trị.
Định lý dưới đây chứng minh sự tồn tại nghiệm của bài toán tựa cân bằng tổng quát loại I.
Định lý 2.2.1. Cho D ⊆ X, K ⊆ Z là các tập con lồi compact. Giả sử rằng:
(ii) T là ánh xạ nửa liên tục trên với giá trị lồi, đóng khác rỗng;
(iii) Với mỗi (x, y) ∈ D ×K cố định, tồn tại t ∈ S(x, y) sao cho
0∈ F (y, x, t, z), với mọi z ∈ S(x, y).
(iv) Với mỗi (x, y) ∈ D ×K, tập A = {t ∈ S(x, y)|0 ∈ F (y, x, t, z)}
với mọi z ∈ S(x, y) là tập lồi;
(v) F là ánh xạ đóng.
Khi đó bài toán (GQEP)I có nghiệm.
Chứng minh. Ta định nghĩa ánh xạ đa trị M : K × D → 2D như sau:
M (y, x) ={t ∈ S(x, y)|0 ∈ F (y, x, t, z),∀z ∈ S(x, y)},(x, y) ∈ D×K. Từ các điều kiện (iii) và (iv) ta suy ra M (y, x) là tập lồi, khác rỗng với mọi (x, y) ∈ D ×K.
Tiếp theo, ta chứng minh M là ánh xạ đóng. Thật vậy, giả sử xβ →
x, yβ → y, tβ ∈ M (yβ, xβ), tβ → t, ta chỉ ra t ∈ M (y, x). Từ tβ ∈
M (yβ, xβ), ta có tβ ∈ S(xβ, yβ) và 0 ∈ F (yβ.xβ, tβ, z), với mọi z ∈
S(xβ, yβ). Do S nửa liên tục trên với giá trị đóng nên S là ánh xạ đóng, vì vậy với tβ ∈ S(xβ, yβ), tβ → t dẫn đến t ∈ S(x, y). Mặt khác, từ giả thiết S là nửa liên tục dưới và xβ → x, ta suy ra với bất kỳ z ∈ S(x, y)
tồn tại zβ ∈ S(xβ, yβ) sao cho zβ → z. Vì vậy,
0 ∈ F (yβ, xβ, tβ, zβ),∀zβ ∈ S(xβ, yβ) (2.1) Do (yβ, xβ, tβ, zβ) → (y, x, t, z) và F là ánh xạ đóng, kết hợp với (2.1) ta có0 ∈ F (y, x, t, z)với mọiz ∈ S(x, y). Điều này chứng tỏt∈ M (y, x)
Đặt ánh xạ P : D × K → 2D×K bởi P (x, y) = M (y, x) ×
T (x, y),(x, y) ∈ D × K. Ta thấy rằng, vì M là ánh xạ đóng với giá trị lồi, đóng khác rỗng trong tập D compact nên M là ánh xạ compact nửa liên tục trên với giá trị lồi, đóng, khác rỗng. T nhận giá trị đóng trong tập compact K nên nó cũng là ánh xạ compact. Cho nên P là ánh xạ compact nửa liên tục trên với giá trị lồi, đóng, khác rỗng. Theo định lý điểm bất động Himmelberg, tồn tại điểm (x, y) ∈ D ×K sao cho
(x, y) ∈ P (x, y) = M (y, x)×T (x, y)
nghĩa là x ∈ S(x, y) ;y ∈ T (x, y) ; 0 ∈ F (y, x, x, z) với mọi z ∈ S(x, y). Vậy định lý được chứng minh.
Một số hệ quả của Định lý 2.2.1.
Hệ quả 2.2.1. Cho D, K là các tập con lồi, compact, khác rỗng của X,
Z. Cho các ánh xạ đa trị T : D ×K → 2K, G : K ×D ×D → 2X. Giả thiết các điều kiện sau thỏa mãn:
(i) T là ánh xạ nửa liên tục trên với giá trị lồi, đóng khác rỗng;
(ii) Với mỗi điểm (x, y) ∈ D×K cố định, ánh xạ G(y, x, .) : D → 2D
là KKM;
(iii) G là ánh xạ đóng với giá trị khác rỗng, với mỗi điểm (x, y) ∈
D ×K cố định, tập A = {t∈ D|t∈ G(y, x, z)},∀z ∈ D là lồi. Khi đó, tồn tại điểm (x, y) ∈ D ×K thỏa mãn:
y ∈ T (x, y) ;x ∈ G(y, x, z),∀z ∈ D.
Chứng minh. Định nghĩa ánh xạ F : K ×D ×D ×D →2X bởi
Từ G(y, x, .) là ánh xạ KKM, G đóng nênG có giá trị đóng, áp dụng bổ đề Fan-KKM ta cóT
z∈DG(y, x, z) 6= ∅. Vì vậy, tồn tại t∈ G(y, x, z)
với mọi z ∈ D. Do đó 0∈ F (y, x, t, z),∀z ∈ D. Từ điều kiện (iii) ta có tập
t∈ D|0∈ F (y, x, t, z),với mọi z ∈ D =
t∈ D|t∈ G(y, x, z),với mọi z ∈ D = A
là tập lồi.
Do G là ánh xạ đóng kéo theo F là ánh xạ đóng. Theo Định lý 2.2.1, tồn tại điểm (x, y) ∈ D ×K sao cho y ∈ T (x, y) ; 0 ∈ F (y, x, x, z),∀z ∈
D nghĩa là x ∈ G(y, x, z) với mọi z ∈ D. Ta có điều cần chứng minh.
Hệ quả 2.2.2. Cho D, K là các tập con lồi, compact, khác rỗng của X,
Z. Cho các ánh xạ đa trị T : D ×K → 2K, G : K ×D ×D → 2X. Giả thiết các điều kiện sau thỏa mãn:
(i) T là ánh xạ nửa liên tục trên với giá trị lồi, đóng khác rỗng;
(ii) Với mỗi điểm (y, x) ∈ D × K cố định, ta định nghĩa ánh xạ
H : D →2D bởi H (t) =x−G(y, x, t), t ∈ D là KKM;
(iii) G là ánh xạ đóng với giá trị khác rỗng, với mỗi điểm (x, y) ∈
D ×K cố định, tập A = {t∈ D|t∈ x−G(y, x, z) ;∀z ∈ D} là lồi.
Khi đó, tồn tại điểm(x, y) ∈ D×K sao choy ∈ T (x, y) ; 0∈ G(y, x, z),∀z ∈
D.
Chứng minh. Định nghĩa ánh xạ F : K ×D ×D ×D →2X như sau
Do ánh xạ x−G(y, x, .) là KKM cho nên T
z∈D(x−G(y, x, z)) 6= ∅. Vì vậy tồn tại điểm t ∈ D thỏa mãn t ∈ (x−G(y, x, z)), với mọi
z ∈ D. Điều này dẫn đến 0 ∈ t−x+ G(y, x, z) với mọi z ∈ D. Do đó, tồn tại t ∈ D sao cho 0 ∈ F (y, x, t, z) với mọi z ∈ D. Theo giả thiết
(iii) ta có tập
{t ∈ D|0 ∈ F (y, x, t, z),∀z ∈ D} = A là lồi.
Hơn nữa, F là ánh xạ đóng do G là ánh xạ đóng. Theo Định lý 2.2.1, tồn tại điểm(x, y) ∈ D×K thỏa mãn y ∈ T (x, y) ; 0 ∈ F (y, x, x, z),∀z ∈
D, nghĩa là 0∈ G(y, x, z),∀z ∈ D. 2.3. Ứng dụng
Tiếp theo ta xét các hệ quả của Định lý 2.2.1 cho bài toán tựa quan hệ biến phân và bao hàm thức tựa biến phân đã giới thiệu trong mục 2.1.2.
Hệ quả 2.3.1. Cho D, K là các tập con lồi, compact, khác rỗng của X,
Z. Cho các ánh xạ đa trị T : D ×K → 2K. S là ánh xạ liên tục với giá trị lồi, đóng khác rỗng. Giả sử Y = R và hàm số ϕ : K ×D ×D → R
liên tục. Với mỗi điểm (y, x) ∈ K ×D cố định, hàm ϕ(y, x, .) : D → R
là tựa giống như lồi và ϕ(y, x, x) = 0.Khi đó, tồn tại (x, y) ∈ D×K sao cho
x ∈ S(x, y), y ∈ T (x, y) và ϕ(y, x, z) ≥ 0,∀z ∈ S(x, y). Chứng minh. Định nghĩa ánh xạ đa trị
bởi
M (y, x) = {t ∈ S(x, y)|ϕ(y, x, z) ≥ ϕ(y, x, t),∀z ∈ S(x, y)}
F (y, x, t, z) =t−M (y, x),(y, x, t, z) ∈ K ×D ×D ×D
Với mỗi điểm (y, x) ∈ K × D cố định, tập S(x, y) là compact và hàm ϕ(y, x, .) liên tục. Do đó, tồn tại t ∈ S(x, y) sao cho ϕ(y, x, t) ≤
ϕ(y, x, z) với mọi z ∈ S(x, y). Điều này dẫn đến M (y, x) là tập khác rỗng.
Lấy bất kỳ t1, t2 ∈ M (y, x), khi đó t1, t2 ∈ S(y, x) và
ϕ(y, x, z) ≥ ϕ(y, x, t1) (2.2)
ϕ(y, x, z) ≥ ϕ(y, x, t2) (2.3)
Do S(x, y) là tập lồi nên αt1 + (1−α)t2 ∈ S(x, y). Từ ϕ(y, x, .) là tựa giống như lồi ta suy ra
ϕ(y, x, αt1 + (1−α)t2) ≤ ϕ(y, x, t1), (2.4) hay
ϕ(y, x, αt1 + (1−α)t2) ≤ ϕ(y, x, t2), (2.5) Kết hợp (2.4) với (2.2) hoặc (2.5) với (2.3) ta có
ϕ(y, x, z) ≥ ϕ(y, x, αt1 + (1−α)t2).
Từ đây suy ra αt1 + (1−α)t2 ∈ M (y, x). Vậy M (y, x) là tập lồi. Suy ra tập A = {t ∈ D|0∈ F (y, x, t, z),∀z ∈ S(x, y)}= M (y, x) là lồi.
nên t ∈ S(x, y). Từ tính nửa liên tục dưới của S và xβ → x, yβ → y
ta suy ra được với bất kỳ z ∈ S(x, y) tồn tại zβ ∈ S(xβ, yβ) sao cho
zβ →z. Do đó ϕ(yβ, xβ, zβ) ≥ ϕ(yβ, xβ, tβ),∀zβ ∈ S(xβ, yβ). Mặt khác, từ tính liên tục của ϕ kéo theo ϕ(y, x, z) ≥ ϕ(y, x, t),∀z ∈ S(x, y). Vì vậy t∈ M (y, x), nghĩa là M là ánh xạ đóng và F cũng là ánh xạ đóng. Theo Định lý 2.2.1, tồn tại điểm (x, y) ∈ D ×K với
x ∈ S(x, y) ;y ∈ T (x, y) ; 0 ∈ F (y, x, x, z),∀z ∈ S(x, y).
hay ϕ(y, x, z) ≥ 0, với mọi z ∈ S(x, y).
Ta đi chứng minh sự tồn tại nghiệm của bài toán tựa quan hệ biến phân loại I.
Hệ quả 2.3.2. Cho D ⊆ X, K ⊆ Z là các tập con lồi, compact, khác rỗng. Bài toán tựa quan hệ biến phân loại I có nghiệm nếu thỏa mãn các điều kiện sau:
(i) S là ánh xạ liên tục với giá trị lồi, đóng, khác rỗng;
(ii) T là ánh xạ nửa liên tục trên với giá trị lồi, đóng, khác rỗng;
(iii) Với mỗi (x, y) ∈ D ×K cố định, tồn tại t ∈ S(x, y) sao cho có quan hệ <(y, x, t, z),∀z ∈ S(x, y);
(iv) Với mỗi (y, x) ∈ K ×D tập
A = t∈ S(x, y)|quan hệ<(y, x, t, z)xảy ra với mọi z ∈ S(x, y) là lồi;
(v) < là một quan hệ đóng.
Chứng minh. Định nghĩa các ánh xạ đa trị M : K ×D → 2X, F : K ×D ×D ×D → 2X bởi M (y, x) =t ∈ S(x, y)| quan hệ <(y, x, t, z)
xảy ra với mọi z ∈ S(x, y)
Theo điều kiện (iii) tồn tại t ∈ M (y, x), với mọi z ∈ S(x, y). Điều này kéo theo 0 ∈ F (y, x, t, z), với mọi z ∈ S(x, y). Hơn nữa tập
A= {t ∈ S(x, y)|0∈ F (y, x, t, z),∀z ∈ S(x, y)}
= t ∈ S(x, y)|quan hệ <(y, x, t, z)xảy ra với mọi z ∈ S(x, y)
là tập lồi. Ta chứng minh M là ánh xạ đóng để chứng minh F là ánh xạ đóng. Thật vậy, giả sử rằng xβ →x, yβ → y, tβ ∈ M (yβ, xβ), tβ →t, ta chỉ ra t ∈ M (y, x). Từ tβ ∈ S(xβ, yβ) và tính nửa liên tục trên của
S với giá trị đóng kéo theo t ∈ S(x, y). Vì tβ ∈ M (yβ, xβ) cho nên quan hệ <(yβ, xβ, tβ, z) xảy ra với mọi z ∈ S(xβ, yβ). Vì S là nửa liên tục dưới và xβ → x, yβ → y, ta suy ra với bất kỳ z ∈ S(x, y) tồn tại
zβ ∈ S(xβ, yβ) sao cho zβ → z. Vì vậy, quan hệ <(yβ, xβ, tβ, zβ) xảy ra với mọi zβ ∈ S(xβ, yβ). Do (yβ, xβ, tβ, zβ) → (y, x, t, z) và quan hệ <
đóng, ta suy được quan hệ <(y, x, t, z) cũng xảy ra với mọi z ∈ S(x, y)
nghĩa là t∈ M (y, x). Vậy M là ánh xạ đóng.
Theo Định lý 2.2.1 và theo cách xác định của ánh xạ M, F tồn tại điểm
(x, y) ∈ D ×K sao cho
x ∈ S(x, y) ;y ∈ T (x, y); quan hệ <(y, x, x, z) xảy ra với mọi
z ∈ S(x, y).
Ta có điều cần chứng minh.
Mệnh đề 2.3.1. Cho B ⊆ D là tập con khác rỗng, lồi, compact, C là nón lồi, đóng trong Y. Ánh xạ G : B →2Y là C- tựa giống như lồi trên và (−C)- liên tục dưới với giá trị compact khác rỗng. Khi đó, tồn tại điểm z ∈ B sao cho
Mệnh đề 2.3.2. Cho B ⊆ D là tập con khác rỗng, lồi, compact, C là nón lồi, đóng trong Y. Ánh xạ G :B → 2Y là C- tựa giống như lồi dưới và C- liên tục trên với giá trị compact khác rỗng. Khi đó, tồn tại điểm
z ∈ B sao cho
G(z) ⊆ G(z)−C,với mọi z ∈ B.
Áp dụng Định lý 2.2.1 và các Mệnh đề 2.3.1, 2.3.2, ta thu được các hệ quả sau về sự tồn tại nghiệm của bài toán bao hàm thức biến phân lý tưởng trên loại I.
Mệnh đề 2.3.3. Cho D, K là các tập con lồi, compact, khác rỗng của không gian X, Z tương ứng. Cho các ánh xạ đa trị
S : D ×K → 2D, T : D ×K → 2K, H, G : K ×D ×D →2Y, C :K ×D → 2Y
Giả thiết các điều kiện sau thỏa mãn:
(i) S là ánh xạ liên tục với giá trị lồi, đóng, khác rỗng;
(ii) T là ánh xạ nửa liên tục trên với giá trị lồi, đóng, khác rỗng;
(iii) C là ánh xạ nửa liên tục trên với giá trị là nón lồi đóng (nghĩa là C (y, x) là một nón);
(iv) H là (−C)- liên tục dưới với giá trị lồi, đóng, khác rỗng; G là C
liên tục trên với giá trị lồi, compact khác rỗng;
(v) Với mỗi (x, y) ∈ D×K cố định, ánh xạ G(y, x, .) là C(y, x) tựa giống như lồi trên;
(vi) Với mọi (y, x, z) ∈ K ×D ×D, H(y, x, z) ⊆ G(y, x, z). Khi đó tồn tại (x, y) ∈ D ×K sao cho
H (y, x, z) ⊆ G(y, x, x) +C(y, x)với mọiz ∈ S(x, y).
Chứng minh. Định nghĩa các ánh xạ đa trị M : K × D → 2X, F : K ×D×D ×D → 2X như sau
M (y, x) ={t ∈ S(x, y)|H (y, x, z) ⊆ G(y, x, t) + C(y, x), ∀z ∈ S(x, y)}; F (y, x, t, z) =t−M (y, x),(y, x, t, z) ∈ K ×D ×D ×D.
Với mỗi điểm (x, y) ∈ D ×K cố định, áp dụng Mệnh đề 2.3.1 với B = S(x, y), C = C (y, x) và G(z) = G(y, x, z) ta suy ra tồn tại điểm t ∈
S(x, y) sao cho G(y, x, z) ∈ G(y, x, t) + C(y, x) với mọi z ∈ S(x, y). Theo (vi), ta có H (y, x, z) ⊆ G(y, x, t) +C(y, x), với mọi z ∈ S(x, y)
nghĩa là tồn tại t∈ S(x, y) sao cho 0∈ F (y, x, t, z) với mọi z ∈ S(x, y). Đặt A = {t ∈ D|0 ∈ F (y, x, t, z), z ∈ S(x, y)}. Lấy bất kỳ t1, t2 ∈ A
khi đó
H(y, x, z) ⊆ G(y, x, t1) +C (y, x) ; (2.6)
H(y, x, z) ⊆ G(y, x, t2) +C (y, x) ; (2.7) Từ G là C(y, x)- giống như tựa lồi trên kéo theo với bất kỳ λ ∈ [0,1], ta có
G(y, x, t1) ⊆ G(y, x, λt1 + (1−λ)t2) +C (y, x), (2.8) hoặc
G(y, x, t2) ⊆ G(y, x, λt1 + (1−λ)t2) +C (y, x), (2.9) Kết hợp (2.6),(2.7),(2.8) và (2.9) ta suy ra được
nghĩa là λt1 + (1−λ)t2 ∈ A. Vậy A là tập lồi.
Tiếp theo, giả thiết xβ → x, yβ → y, tβ ∈ M (yβ, xβ), tβ → t. Do tβ ∈
S(xβ, yβ) và tính nửa liên tục trên của S với giá trị đóng dẫn đến t ∈
S(x, y). Vì tβ ∈ M (yβ, xβ) nên
H (yβ, xβ, zβ) ⊆ G(yβ, xβ, tβ) +C(yβ, xβ) (2.10) Mặt khác, H là (−C)- liên tục dưới tại (y, x, z), (yβ, xβ, zβ) → (y, x, z)
cho nên với bất kỳ lân cận V của điểm gốc trong Y, tồn tại β1 sao cho
H(y, x, z) ⊆H(yβ, xβ, zβ) +V + C(y, x), với mọi β ≥β1. (2.11) Vì (yβ, xβ, tβ) →(y, x, t) và G là C- liên tục trên tại (y, x, t), nên tồn tại
β2 sao cho
G(yβ, xβ, tβ) ⊆ G(y, x, t) +V +C(y, x)),với mọi β ≥ β2. (2.12) Lấy β0 = max{β1, β2}. Kết hợp với (2.10),(2.11) và (2.12) ta có
H(y, x, z) ⊆ G(y, x, t) + 2V +C(yβ, xβ) +C(y, x),với mọiβ ≥β0
Mặt khác, C là nửa liên tục trên với giá trị là nón lồi đóng, kéo theo với bất kỳ lân cận V của gốc trong Y, C(yβ, xβ) ⊆ C(y, x) +V.. Vậy
H(y, x, z) ⊆ G(y, x, t) + 3V +C(y, x).
Từ tính đóng của C(y, x) và tính compact G(y, x, t) ta có
H(y, x, z) ⊆ G(y, x, t) +C(y, x).
Vì vậy, t ∈ M(y, x) và M là ánh xạ đóng, suy ra F cũng là ánh xạ đóng. Theo định lí 2.2.1, tồn tại điểm (x, y) ∈ D ×K thỏa mãn
0∈ F (y, x, x, z) với mọi z ∈ S(x, y).
Chương 3
Bài toán tựa cân bằng tổng quát loại II
3.1. Bài toán tựa cân bằng tổng quát loại II và cácbài toán liên quan bài toán liên quan
3.1.1. Bài toán tựa cân bằng tổng quát loại II Xét bài toán tối ưu sau:
Một tổng công ty sản xuất đồ nội thất văn phòng hoạt động theo mô hình công ty mẹ, công ty con. Xét công ty con A có tập phương án sản xuấtD. Với mỗi phương án sản xuất x ∈ D công ty mẹ A có tập chỉ đạo là P1(x) công ty con có tập chỉ đạo là P2(x). Ánh xạ F được dùng để biểu diễn mục tiêu sản xuất. Trong quá trình sản xuất công ty con phải chịu các loại thuế Q. Mục đích của A là tìm một phương án sản xuất x¯
của chỉ đạo P1(¯x) phù hợp với tiêu chí của lãnh đạo công ty con P2(¯x)
sao cho sau khi trừ các loại thuế Q, sản xuất vẫn có lãi và ổn định. Bài toán trên viết dưới dạng toán học như sau:
Cho X, Y và Z là các không gian vectơ tôpô lồi địa phương Hausdorff,
D ⊂ X, K ⊂ Z là các tập con khác rỗng. Giả sử S : D ×K → 2D, T : D × K → 2K, P1 : D → 2D, P2 : D → 2D, Q : K × D → 2Z và
bài toán: tìm x¯∈ D sao cho
¯
x ∈ P1(¯x)và 0 ∈ F(y,x, t),¯ với mọi t∈ P2(¯x) và y ∈ Q(¯x, t).
Bài toán trên được gọi là bài toán tựa cân bằng tổng quát loại II, kí hiệu là (GQEP)II. Trong đó, S, P1, P2, T và Q là các ánh xạ ràng buộc, F là ánh xạ mục tiêu, nó có thể là hợp hay giao của các ánh xạ đa trị, hoặc là một quan hệ trong không gian nào đó.
Nội dung của chương này được viết dựa trên cơ sở của bài báo [2]. 3.1.2. Các bài toán liên quan
Liên quan tới bài toán tổng quát loại II là các bài toán trong lý thuyết tối ưu, tương tự như trong chương 2. Dưới đây ta chỉ ra hai bài toán. 1. Bao hàm thức tựa biến phân lý tưởng trên loại II
(kí hiệu (U IQV IP)II):
Giả sử D, K, Pi, i = 1,2 và Q xác định như trên. Gọi CK ×D → 2Y là ánh xạ nón, G và H là các ánh xạ đa trị xác định trên K ×D ×D với giá trị trên Y. Bài toán: tìm x¯ ∈ D sao cho x¯ ∈ P1(¯x) và
G(y,x, t)¯ ⊆ H(y,x,¯ x) +¯ C(y,x)¯ với mọi t ∈ P2(¯x), y ∈ Q(¯x, t).
Định nghĩa các ánh xạ M : K ×D →2X, F : K ×D×D → 2X bởi