Sự tồn tại nghiệm của mô hình chất bán dẫn với điều kiện biên hỗn hợp

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN PHẠM THỊ LIỄU SỰ TỒN TẠI NGHIỆM CỦA MÔ HÌNH CHẤT BÁN DẪN VỚI ĐIỀU KIỆN BIÊN HỖN HỢP LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Chuyên ngành : TOÁN GIẢI TÍCH Mã số : 60 46 01 02 NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS. LÊ HUY CHUẨN HÀ NỘI, 2015 Mục lục Mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1 Kiến thức chuẩn bị 6 1.1 Những không gian hàm cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.1.1 Không gian H¨older . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.1.2 Không gian Sobolev . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.2 Toán tử quạt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.2.1 Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.2.2 Toán tử liên kết với dạng nửa song tuyến tính . . . . . . . 12 1.2.3 Toán tử quạt trong không gian L 2 . . . . . . . . . . . . . . 16 1.2.4 Toán tử quạt trong không gian tích . . . . . . . . . . . . . 20 1.3 Phương trình tiến hóa nửa tuyến tính . . . . . . . . . . . . . . . . 20 2 Mô hình chất bán dẫn 30 2.1 Nghiệm địa phương . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 2.1.1 Sự tồn tại nghiệm địa phương . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 2.1.2 Tính không âm của nghiệm địa phương . . . . . . . . . . . 34 2.2 Nghiệm toàn cục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 2.2.1 Đánh giá tiên nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 2.2.2 Nghiệm toàn cục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 2.3 Tập hút mũ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 Kết Luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 Mở đầu Trong luận văn này, chúng ta sẽ nghiên cứu mô hình chất bán dẫn được nhà Vật lý Shockley đưa ra vào năm 1950 để mô tả các dòng electron và lỗ trống trong chất bán dẫn (xem [10]). Ý nghĩa Vật lý và chi tiết của mô hình này có thể xem thêm trong tài liệu [6]. Cụ thể, mô hình của Shockley có dạng sau:          ∂u ∂t = a∆u − µ∇.[u∇χ] + f(1 − uv) + g(x) trong Ω ×(0, ∞), ∂v ∂t = b∆v + ν∇.[v∇χ] + f (1 − uv) + g(x) trong Ω × (0, ∞), 0 = c∆χ − u + v + h(x), trong Ω × (0, ∞). (1) Trong đó, các hàm chưa biết u(x, t), v(x, t) là mật độ electron và mật độ lỗ trống trong thiết bị chất bán dẫn Ω, tại thời điểm t ≥ 0. Số hạng a∆u, b∆v ký hiệu sự tự khuếch tán của các electron và lỗ trống, trong đó a và b là hệ số khuếch tán dương. Hàm χ đặc trưng cho điện thế tĩnh điện và được xác định bởi phương trình Poisson, trong đó c > 0 là hằng số điện môi. Số hạng −µ∇.{u∇χ} và ν∇.{v∇χ} ký hiệu sự khuếch tán của electron và lỗ trống phụ thuộc vào điện thế χ, trong đó µ và ν là hệ số khuếch tán của electron và lỗ trống. Với các điều kiện thích hợp thì các electron và lỗ trống được hình thành với tốc độ f ≥ 0 và được kết hợp với tốc độ fuv. Các hàm g ≥ 0 và h là các hàm ngoại lực đã biết. Luận văn bao gồm: phần mở đầu, hai chương, kết luận và danh mục tài liệu tham khảo. Chương 1 gồm những khái niệm và kết quả trong Giải tích hàm liên quan đến không gian H¨older, không gian Sobolev, toán tử quạt. Cuối cùng, chúng ta trình bày chi tiết định lý tồn tại và duy nhất nghiệm của bài toán tiến hóa nửa tuyến tính để phục vụ cho nghiên cứu ở chương tiếp theo. Chương 2 là nội dung chính của luận văn, ở chương này chúng ta sẽ nghiên cứu bài toán (1) với điều kiện biên hỗn hợp. Cụ thể, trong Mục 2.1 chúng ta sẽ chứng minh sự tồn tại, duy nhất và tính không âm của nghiệm địa phương. Sự tồn tại của nghiệm toàn cục sẽ được trình bày trong Mục 2.2 dựa trên một đánh giá tiên nghiệm. Cuối cùng, chúng ta sẽ nghiên cứu dáng điệu tiệm cận nghiệm của phương trình này. Cụ thể, ở Mục 2.3 chúng ta sẽ xây dựng tập hút mũ cho hệ động lực được xác định bởi phương trình (2.1). Tập hút mũ là khái niệm được đưa ra bởi các nhà Toán học Eden, Foias, Nicolaenko, Temam - đó 3 Mở Đầu là một tập bất biến dương chứa tập hút toàn cục, có số chiều fractal hữu hạn và hút mọi quỹ đạo với tốc độ mũ. Những nghiên cứu chi tiết về tập hút mũ có thể xem trong [2]. Các nội dung chính của luận văn được trình bày dựa trên tài liệu tham khảo [11], [5]. Trong luận văn chắc chắn không thể tránh khỏi những hạn chế và sai sót, tác giả rất mong nhận được những ý kiến đóng góp của Thầy Cô và bạn đọc. Qua đây tác giả bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc tới TS. Lê Huy Chuẩn, người đã tận tình chỉ bảo, hướng dẫn và giúp đỡ để tác giả có thể hoàn thành luận văn này. Hà Nội, 02 tháng 01 năm 2015 Tác giả Phạm Thị Liễu 4 Bảng ký hiệu R n =  x = (x 1 , x 2 , , x n ) : x i ∈ R, i = 1, n  R n + =  x = (x 1 , x 2 , , x n ) : x i ∈ R, i = 1, n − 1, x n > 0  C([a, b]) := {f : [a, b] → R liên tục trong [a, b]} C m ([a, b]) =  f : [a, b] → R : D α f ∈ C 0 (Ω), ∀α : |α| ≤ m  C m 0 ([a, b]) := {f ∈ C m ([a, b]) : giá của f compact trong [a, b]} C m,1 (Ω) := không gian các hàm khả vi liên tục m lần và đạo hàm cấp m liên tục Lipschitz trên Ω L(X, Y ) =  f : X → Y : f tuyến tính liên tục  L p (Ω) =  f : Ω → C :  Ω |f(x)| p dx < +∞  , p ≥ 1 L ∞ (Ω) =  f đo được trên Ω : ess sup Ω |f| < +∞  với ess sup Ω |f| = inf {k : µ {x ∈ Ω : f(x) > k} = 0}, µ là độ đo Lebesgue trên Ω L p loc (Ω) =  f đo được trên Ω : f ∈ L p (Ω ′ ), ∀Ω ′ compact ⊂ Ω  . 5 Chương 1 Kiến thức chuẩn bị Trong chương này, chúng ta sẽ trình bày một số khái niệm và kết quả liên quan đến không gian H¨older, không gian Sobolev, toán tử quạt thường được sử dụng khi nghiên cứu các bài toán của phương trình vi phân đạo hàm riêng. Chứng minh chi tiết các kết quả này có thể xem trong [11, 9]. Và chúng ta sẽ trình bày một số kết quả liên quan đến phương trình tiến hóa tuyến tính và nửa tuyến tính được sử dụng trong chương sau của luận văn. Chúng ta sẽ đưa ra định lý tồn tại nghiệm của hệ phương trính tiến hóa nửa tuyến tính và trình bày chi tiết chứng minh của định lý. Những vấn đề khác liên quan đến phương trình nửa tuyến tính này có thể xem trong [11, Chương 4]. 1.1 Những không gian hàm cơ bản 1.1.1 Không gian H¨older Cho Ω ⊂ R n là một tập mở và 0 < γ ≤ 1. Định nghĩa 1.1. a) Hàm số u : Ω → R được gọi là liên tục H¨older bậc γ nếu tồn tại hằng số C > 0 sao cho |u(x) − u(y)| ≤ C|x − y| γ , x, y ∈ Ω. Khi γ = 1, hàm số u được gọi là liên tục Lipschitz. b) Cho u : Ω → R bị chặn và liên tục. Ta định nghĩa ∥u∥ C(Ω) := sup x∈Ω |u(x)|. c) Nửa chuẩn H¨older bậc γ của u : Ω → R là [u] C 0,γ (Ω) := sup x̸=y x,y∈Ω |u(x) − u(y)| |x − y| γ 6 Chương 1. Kiến thức chuẩn bị và chuẩn H¨older bậc γ là ∥u∥ C 0,γ (Ω) := ∥u∥ C(Ω) + [u] C 0,γ (Ω) . Định nghĩa 1.2. Không gian H¨older C k,γ (Ω) gồm tất cả các hàm số u ∈ C k (Ω), mà chuẩn ∥u∥ C k,γ (Ω) :=  |α|≤k ∥D α u∥ C(Ω) +  |α|=k [D α u] C 0,γ (Ω) là hữu hạn. Như vậy, không gian C k ,γ (Ω) gồm tất cả các hàm số u sao cho các đạo hàm riêng cấp k của nó bị chặn và liên tục H¨older bậc γ. Nhận xét: Không gian H¨older C k,γ (Ω) là không gian Banach với chuẩn ∥.∥ C k,γ (Ω) . Không gian hàm liên tục H¨older có trọng F β,σ ((a, b]; X). Cho (X, ∥.∥) là không gian Banach, với hai số mũ 0 < σ < β < 1 . Không gian F β,σ ((a, b]; X) gồm các hàm liên tục F (t) : (a, b] → X thỏa mãn ba tính chất sau: (1) (t − a) 1−β F (t) có giới hạn khi t → a. (2) F là hàm liên tục H¨older với số mũ σ và trọng (s − a) 1−β+σ , nghĩa là sup a≤s<t≤b (s − a) 1−β+σ ∥F (t) − F (s)∥ (t − s) σ = sup a≤t≤b sup a≤s<t (s − a) 1−β+σ ∥F (t) − F (s)∥ (t − s) σ < ∞. (3) Khi t → a thì ω F (t) = sup a≤s<t (s − a) 1−β+σ ∥F (t) − F (s)∥ (t − s) σ → 0 Không gian F β,σ ((a, b]; X) cùng với chuẩn ∥F ∥ F β,σ = sup a≤t≤b (t − a) 1−β ∥F (t)∥ + sup a≤s<t≤b (s − a) 1−β+σ ∥F (t) − F (s)∥ (t − s) σ là một không gian Banach. 1.1.2 Không gian Sobolev Không gian Sobolev là một lớp không gian được dùng rất nhiều trong quá trình nghiên cứu các phương trình đạo hàm riêng. Để định nghĩa lớp không gian này, trước tiên chúng ta tìm hiểu khái niệm "đạo hàm yếu" của một phần tử thuộc không gian L 1 loc (Ω). 7 Chương 1. Kiến thức chuẩn bị Định nghĩa 1.3. Với một hàm u ∈ L 1 loc (Ω), ta nói rằng v ∈ L 1 loc (Ω) là đạo hàm yếu của u ứng với biến x j , ký hiệu v = D j u, nếu  Ω vϕ dx = −  Ω u ∂ϕ ∂x j dx, với mọi ϕ ∈ C ∞ 0 (Ω). Bằng cách quy nạp, chúng ta cũng có thể định nghĩa đạo hàm yếu cấp cao như sau: nếu u, v ∈ L 1 loc (Ω) thì v được gọi là đạo hàm yếu cấp α của u, viết là v = D α u, nếu  Ω D α uϕ dx = (−1) |α|  Ω uD α ϕ dx, với mọi ϕ ∈ C ∞ 0 (Ω). Định nghĩa 1.4. Không gian Sobolev được định nghĩa như sau W k,p (Ω) =  u : D α u ∈ L p (Ω), với mọi 0 ≤ | α| ≤ k  , với chuẩn ∥u∥ W k,p =    0≤|α|≤k ∥D α u∥ p L p   1/p . Không gian Sobolev W k,p (Ω) được định nghĩa như trên là không gian Banach khả ly. Trường hợp p = 2, khi đó, H k (Ω) = W k,2 (Ω) là không gian Hilbert với tích vô hướng được trang bị như sau ⟨u, v⟩ H k =  0≤|α|≤k (D α u, D α v) L 2 . Khi đó, chuẩn của H k (Ω) tương ứng với tích vô hướng được xác định bởi công thức ∥u∥ H k =    0≤|α|≤k ∥D α u∥ 2 L 2   1/2 . Định nghĩa 1.5. Không gian o H k (Ω) là bao đóng của không gian C ∞ 0 (Ω) trong H k (Ω), ở đây C ∞ 0 (Ω) là không gian các hàm khả vi vô hạn lần có giá compact trong Ω. Chuẩn của không gian o H 1 (Ω) là ∥u∥ o H 1 =   Ω  |u| 2 + |∇u| 2  dx  1/2 Định lý 1.1 (Định lý nhúng Sobolev). Cho Ω là một miền bị chặn có biên thuộc lớp C k trong R m và giả sử u ∈ H k (Ω). 8 Chương 1. Kiến thức chuẩn bị (i) Nếu k < m/2 thì u ∈ L 2m/(m−2k) (Ω) và tồn tại một hằng số C sao cho ∥u∥ L 2m/(m−2k) (Ω) ≤ C∥u∥ H k (Ω) . (ii) Nếu k = m/2 thì u ∈ L p (Ω) với 1 ≤ p < ∞ và với mỗi p tồn tại một hằng số C = C(p) sao cho ∥u∥ L p (Ω) ≤ C∥u∥ H k (Ω) . (iii) Nếu k > j + (m/2) thì u ∈ C j (Ω) và tồn tại một hằng số C sao cho ∥u∥ C j (Ω) ≤ C∥u∥ H k (Ω) . Định lý 1.2 (Định lý compact Rellich-Kondrachov). Cho Ω là một miền bị chặn có biên thuộc lớp C 1 . Khi đó H 1 (Ω) nhúng compact trong không gian L 2 (Ω). 1.2 Toán tử quạt 1.2.1 Định nghĩa Định nghĩa 1.6. Cho X, Y là hai không gian Banach, A : D(A) ⊂ X → Y . D(A) được gọi là miền xác định của toán tử A. • Nếu D(A) = X thì ta nói A xác định trù mật trong X. • Nếu đồ thị của A là tập con đóng trong X × Y thì A được gọi là toán tử đóng, tức là G A = {(x, y) : x ∈ D(A), y = Ax} là tập đóng. Định nghĩa 1.7. Cho A là toán tử tuyến tính, đóng, xác định trù mật trong không gian Banach X. Kí hiệu • Tập giải ρ(A) =  λ ∈ C : (λ − A) −1 ∈ L(X)  . • Nếu λ ∈ ρ(A) thì R(λ) = (λ − A) −1 được gọi là giải thức. • Tập phổ của A là σ(A) = C\ρ(A). Định nghĩa 1.8. Cho X là không gian Banach, A : X → X là toán tử tuyến tính, đóng, xác định trù mật trên X. Giả sử rằng phổ của A nằm trong miền hình quạt mở Σ ω := {λ ∈ C : |arg λ| < ω}, 0 < ω ≤ π, (1.1) và giải thức thỏa mãn đánh giá ∥(λ − A) −1 ∥ ≤ M |λ| , λ ̸∈ Σ ω , (1.2) trong đó hằng số M ≥ 1. Khi đó toán tử A được gọi là toán tử quạt trong X. 9 Chương 1. Kiến thức chuẩn bị Điều kiện (1.1) suy ra gốc O không thuộc σ(A), nghĩa là, A có nghịch đảo bị chặn A −1 trên X. Nếu |λ| < ∥A −1 ∥ thì λ ∈ ρ(A) và ta có ∥(λ − A) −1 ∥ ≤ ∥A −1 ∥ 1 − ∥A −1 ∥|λ| , |λ| < ∥A −1 ∥. (1.3) Với mỗi λ 0 = r 0 e ±iω , r 0 > 0 thì  λ ∈ C : |λ − λ 0 | < r 0 M  ⊂ ρ(A) với ước lượng ∥(λ − A) −1 ∥ ≤ M r 0 − M|λ − λ 0 | , |λ − λ 0 | < r 0 M . Do inf{arg λ : |λ −λ 0 | < r 0 M } = sin −1 1 M nên với mỗi góc ω ′ thỏa mãn ω−sin −1 1 M < ω ′ < ω, ta có bao hàm thức sau là đúng σ(A) ⊂ Σ ω ′ := {λ ∈ C : |arg λ| < ω ′ } (1.4) và giải thức thỏa mãn ∥(λ − A) −1 ∥ ≤ M ω ′ |λ| , λ ̸∈ Σ ω ′ (1.5) với hằng số M ω ′ ≥ M. Ví dụ có thể chọn M ω ′ = M cos(ω − ω ′ ) 1 − M sin(ω − ω ′ ) . Vậy nếu σ(A) ⊂ Σ ω thì tồn tại ω ′ < ω sao cho σ(A) ∈ Σ ω ′ . Định nghĩa 1.9. Cho A là toán tử quạt trong không gian Banach X. Kí hiệu ω A = inf ω {σ(A) ⊂ Σ ω } được gọi là góc của toán tử quạt A. Khi đó, với mọi góc ω thỏa mãn ω A < ω ≤ π thì tồn tại M ω > 1 sao cho (λ − A) −1 ≤ M ω |λ| , ∀λ /∈ Σ ω . Hàm mũ của toán tử quạt Cho A là toán tử quạt trong không gian Banach X với góc 0 ≤ ω A < π 2 và thỏa mãn các điều kiện σ(A) ⊂ Σ ω = {λ ∈ C : |arg λ| < ω}, ω A < ω < π 2 , (1.6) và ∥(λ − A) −1 ∥ ≤ M ω |λ| , λ /∈ Σ ω , ω A < ω < π 2 . (1.7) 10 [...]... tương tự với thời gian đầu S và giá trị ban đầu U (S) = U (S) Suy ra U ((S) + t) = U (S + t) với mỗi t > 0 đủ nhỏ (mâu thuẫn với định nghĩa S ) Vậy U (t) = U (t), 0 < t ≤ TG,U0 29 Chương 2 Mô hình chất bán dẫn Trong chương này, chúng ta sẽ nghiên cứu mô hình chất bán dẫn do Shockley [10] đặt ra vào năm 1950 Cụ thể, chúng ta sẽ nghiên cứu bài toán giá trị biên ban đầu cho mô hình chất bán dẫn như sau... (Ω, R) 30 (2.3) Chương 2 Mô hình chất bán dẫn Trong bài toán (2.1), biên ∂Ω được chia thành hai phần ΓD và ΓN thỏa mãn ∂Ω = ΓD ∪ ΓN , ΓD ∩ ΓN = ∅, ΓD mở, ΓD ̸= ∅ và thỏa mãn điều kiện (1.27), (1.28) Trước tiên, chúng ta sẽ chứng minh sự tồn tại nghiệm địa phương và nghiệm toàn cục cho phương trình chất bán dẫn (2.1) Sau đó, chúng ta sẽ nghiên cứu dáng điệu tiệm cận nghiệm của phương trình này Ở mục... ≤ T là một họ các toán tử quạt của X thỏa mãn các điều kiện sau Với 0 ≤ t ≤ T , phổ của A(t) được xác định trong miền quạt mở Σω = {λ ∈ C : | arg λ| < ω}, 0≤t≤T (2.10) với góc cố định 0 < ω < π , và thỏa mãn ước lượng 2 ∥(λ − A(t))−1 ∥ ≤ M , |λ| 35 λ ∈ Σω , 0 ≤ t ≤ T, / (2.11) Chương 2 Mô hình chất bán dẫn với hằng số M ≥ 1 Miền D(A(t)) có thể thay đổi theo t nhưng tồn tại một số mũ cố định 0 < ν ≤... hữu hạn và hút mọi quỹ đạo với tốc độ mũ (xem, [2]) 2.1 2.1.1 Nghiệm địa phương Sự tồn tại nghiệm địa phương Để chỉ ra sự tồn tại nghiệm địa phương của bài toán (2.1) ta sẽ viết lại dưới dạng bài toán Cauchy cho phương trình tiến hóa nửa tuyến tính trong không gian nền X như sau {( ) } φ −1 −1 X= : φ ∈ HD (Ω) và ψ ∈ HD (Ω) (2.4) ψ Ma trận A trong X có dạng ( AU = aΛ 0 0 bΛ { với miền xác định D(A) =... chặn với biên Lipschitz Khi Z kiện bức (1.15) có được nhờ sử dụng tính dương của hàm c(x) Từ bất đẳng thức o 1 Poincare ta có ∥u∥L2 ≤ C∥∇u∥L2 với mọi u ∈HD (Ω) Do đó từ (1.19) và điều kiện c(x) ≥ 0 ta thu được điều kiện (1.15) Ngoài ra, ta có kết quả sau Định lý 1.9 ([11], Định lý 2.10) Cho Ω là miền bị chặn với biên Lipschitz được tách như sau ∂Ω = ΓD ∪ ΓN , ΓD ∩ ΓN = ∅ và ΓD là tập mở khác rỗng của. .. ∞),  ∂n = ∂n = ∂n = 0     u(x, 0) = u0 (x), v(x, 0) = v0 (x) trong Ω Trong đó, chất bán dẫn Ω là miền bị chặn hai chiều với biên Lipschitz ∂Ω Các hàm chưa biết u(x, t), v(x, t) là mật độ electron và mật độ lỗ trống trong một thiết bị chất bán dẫn Ω, tại thời điểm t ≥ 0 Số hạng a∆u, b∆v ký hiệu sự tự khuếch tán của các electron và lỗ trống, trong đó a và b là hệ số khuếch tán dương Hàm χ đặc trưng... trong X Như vậy, với mỗi số thực −∞ < x < ∞ thì toán tử mũ Ax của A đã được định nghĩa và thỏa mãn các tính chất sau (1) Ax là toán tử bị chặn trên X với −∞ < x < 0, A0 = 1 và Ax là toán tử tuyến tính, đóng, xác định trù mật của X với 0 < x < ∞ (2) D(Ax2 ) ⊂ D(Ax1 ) với 0 ≤ x1 < x2 < ∞ ′ ′ ′ (3) Ax Ax = Ax Ax = Ax+x với −∞ < x, x′ < ∞ Đặc biệt, với 0 < θ < 1, Aθ là một toán tử quạt của X với góc ≤ θωA... hàm xác định bởi (1.45), thỏa mãn điều kiện (1.46) và là nghiệm của bài toán (1.38) Bước 4: Chứng minh sự duy nhất nghiệm Giả sử U là một nghiệm khác của (1.38) trên khoảng [0, TG,U0 ] trong không gian nghiệm (1.45) Do (1.47), (1.48) với η = 1 ta có t1−β ∥AU (t)∥ + ∥Aβ U (t)∥ ≤ CU , 0 < t ≤ TG,U0 Áp dụng bất đẳng thức năng lượng (1.2.1) cho lũy thừa A1−β được áp dụng với θ= η−β , ta được 1−β η−β 1−η... i,j=1 v ∈ H 1 (Ω) c(x)uvdx, Ω trong đó ν(x) = (ν1 (x), , νn (x)) là vector trực giao ngoài tại x ∈ ∂Ω Do a(u, v) liên tục tại v với tôpô trong L2 (Ω) nên tích phân trên ∂Ω bị triệt tiêu Tức là, u phải thỏa mãn điều kiện biên n ∑ ∂u ≡ νj (x)aij (x)Di u = 0 trên ∂(Ω) (1.23) ∂νA i,j=1 Điều kiện này được gọi là điều kiện biên Newmann trên ∂Ω Khi đó, ta thu được ( n ) ∑ − (Au, v)L2 = Dj [aij (x)Di u] + c(x)u,... (Ω), H 1 (Ω) với các góc phổ nhỏ hơn π 2 o 1 =HD Trường hợp Z (Ω) Cho Ω là miền bị chặn với biên Lipschitz Ta tách biên ∂Ω thành ΓD và ΓN , nghĩa là, ∂Ω = ΓD ∪ ΓN , ΓD ∩ ΓN = ∅ và ΓD là tập mở khác rỗng của ∂Ω Ta đặt Z o 1 =HD (Ω) = {u ∈ H 1 (Ω) : u = 0 trên ΓD } Toán tử A liên kết với dạng (1.17) và các hạn chế A|L2 (Ω) , A| o 1 HD (Ω) (1.25) là toán tử đạo hàm (1.21) dưới điều kiện biên tách như . NHIÊN PHẠM THỊ LIỄU SỰ TỒN TẠI NGHIỆM CỦA MÔ HÌNH CHẤT BÁN DẪN VỚI ĐIỀU KIỆN BIÊN HỖN HỢP LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Chuyên ngành : TOÁN GIẢI TÍCH Mã số : 60 46 01 02 NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS nghiên cứu bài toán (1) với điều kiện biên hỗn hợp. Cụ thể, trong Mục 2.1 chúng ta sẽ chứng minh sự tồn tại, duy nhất và tính không âm của nghiệm địa phương. Sự tồn tại của nghiệm toàn cục sẽ được. nghiên cứu mô hình chất bán dẫn được nhà Vật lý Shockley đưa ra vào năm 1950 để mô tả các dòng electron và lỗ trống trong chất bán dẫn (xem [10]). Ý nghĩa Vật lý và chi tiết của mô hình này có thể