Sự tồn tại nghiệm của mô hình phản ứng Belousov - Zhabotinskii với điều kiện biên Neumann

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - NGUYỄN THỊ LÝ SỰ TỒN TẠI NGHIỆM CỦA MÔ HÌNH PHẢN ỨNG BELOUSOV-ZHABOTINSKII VỚI ĐIỀU KIỆN BIÊN NEUMANN Chuyên ngành: TOÁN GIẢI TÍCH Mã số: 60.46.01.02 LUẬN VĂN THẠC SỸ KHOA HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS. LÊ HUY CHUẨN Hà Nội – Năm 2014 Mục lục MỞ ĐẦU 2 1 Kiến thức chuẩn bị 6 1.1 Những không gian hàm cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.1.1 Không gian H¨older . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.1.2 Không gian Sobolev . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.1.3 Bộ ba không gian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.2 Toán tử quạt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.2.1 Các định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.2.2 Toán tử tuyến tính liên kết với dạng nửa song tuyến tính . 13 1.2.3 Toán tử quạt liên kết với dạng nửa song tuyến tính . . . . 14 1.2.4 Toán tử quạt trong không gian L 2 . . . . . . . . . . . . . . 15 1.2.5 Toán tử quạt trong không gian tích . . . . . . . . . . . . . 18 1.3 Bài toán Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1.3.1 Phương trình tiến hóa tuyến tính . . . . . . . . . . . . . . . 18 1.3.2 Phương trình tiến hóa nửa tuyến tính . . . . . . . . . . . . 19 2 Mô hình Field-Noyes 28 2.1 Nghiệm địa phương . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 2.1.1 Sự tồn tại nghiệm địa phương . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 2.1.2 Nghiệm địa phương không âm . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 2.2 Nghiệm toàn cục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 2.2.1 Đánh giá tiên nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 2.2.2 Sự tồn tại nghiệm toàn cục . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 3 Mô hình Keener-Tyson 38 3.1 Nghiệm địa phương . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 3.1.1 Sự tồn tại nghiệm địa phương . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 3.1.2 Nghiệm địa phương không âm . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 3.2 Nghiệm toàn cục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 3.2.1 Đánh giá tiên nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 3.2.2 Sự tồn tại nghiệm toàn cục . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 KẾT LUẬN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 1 MỞ ĐẦU Vào năm 1968, lần đầu tiên thế giới được biết một phản ứng hóa học rất kỳ lạ biểu hiện tính tự tổ chức do hai nhà khoa học Nga, Belousov và Zhabotinsky thực hiện. Đây là một thí nghiệm hóa học thú vị, hấp dẫn và đầy thách thức vì nó không dẫn đến bất kì sự cân bằng hóa chất nào. Khi trộn lẫn một số hóa chất bao gồm axit malonic CH 2 (CO 2 H) 2 (công thức cấu tạo là HOOC-CH 2 -COOH), kali bromat KBrO 3 là một chất oxi hóa mạnh, kali bromua KBr (hoặc natri bromat NaBrO 3 , natri bromua NaBr), cerium amonium nitrate (NH 4 ) 2 Ce(NO 3 ) 6 , axit sulfuric H 2 SO 4 là axit vô cơ manh, chất chỉ thị màu Ferroin và nước trong một bình chứa. Lúc nhiệt độ tăng cao tới mức nào đó, đột nhiên xuất hiện một cấu trúc gồm các dao động tuần hoàn di chuyển theo những vòng đồng tâm hay xoắn ốc, tồn tại bền vững mặc dầu phản ứng không ngừng tác động, và còn tiếp tục phát sinh nhiều dao động thêm nữa. Vào năm 1974, Field-Noyes trình bày mô hình toán học mô tả phản ứng Belousov-Zhabotinskii như sau              ∂u ∂t = a∆u + 1 ε (qw − uw + u − u 2 ) trong Ω × (0, ∞), ∂v ∂t = b∆v + u − v trong Ω × (0, ∞), ∂w ∂t = d∆w + 1 δ (−qw − uw + cv) trong Ω × (0, ∞), trong đó u là mật độ của HBrO 2 , v là mật độ của Ce 4+ và w là mật độ của Br − trong một bình được miêu tả bởi Ω. Với a, b, d là các hề số khuếch tán dương. Các hằng số dương δ, ε, q, c là các tham số, đặc biệt δ, ε, q được xét là rất nhỏ. Phát triển từ mô hình của Field-Noyes, Keener-Tyson đã đưa ra mô hình bài toán đơn giản hơn bằng cách giả sử δ đủ nhỏ so với ω và sử dụng một vài tỉ lệ thích hợp. Trong luận văn, ta sẽ nghiên cứu mô hình Field-Noyes và mô hình Keener- Tyson với điều kiện biên Neumann. 2 MỞ ĐẦU Luận văn được chia thành ba chương: Chương 1. Kiến thức chuẩn bị. Chương này cung cấp lý thuyết cơ sở cho hai chương sau. Bao gồm những không gian cơ bản, tiếp theo là định nghĩa về toán tử quạt, cách chuyển dạng nửa song tuyến tính về toán tử quạt, cuối cùng là bài toán Cauchy cho phương trình tiến hóa nửa tuyến tính. Chương 2. Mô hình Field-Noyes. Chương này trình bày mô hình toán học mà Field-Noyes đưa ra để mô tả phản ứng Belousov - Zhabotinskii. Ta sẽ chứng minh sự tồn tại địa phương, xây dựng đánh giá tiên nghiệm và chứng minh sự tồn tại nghiệm toàn cục của bài toán. Chương 3. Mô hình Keener-Tyson. Tương tự như Chương 2, nội dung của Chương 3 là chứng minh sự tồn tại nghiệm toàn cục của mô hình Keener- Tyson. Các kết quả chính trong luận văn được trình bày dựa trên tài liệu tham khảo [5]. Trong đó có dựa trên đóng góp của những tác giả trong các tài liệu [1], [2], [3] và [4]. 3 Lời cảm ơn Luận văn này được hoàn thành dưới sự hướng dẫn tận tình của TS. Lê Huy Chuẩn. Thầy đã dành nhiều thời gian hướng dẫn cũng như giải đáp các thắc mắc của tôi trong suốt quá trình làm luận văn. Tôi muốn bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy. Qua đây, tôi xin gửi tới quý thầy cô Khoa Toán-Cơ-Tin học, Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội, cũng như các thầy cô đã tham gia giảng dạy khóa cao học 2012- 2014, lời cảm ơn sâu sắc nhất đối với công lao dạy dỗ trong suốt quá trình học tập của tôi tại Nhà trường. Tôi xin cảm ơn gia đình, bạn bè và các bạn đồng nghiệp thân mến đã quan tâm, tạo điều kiện và cổ vũ, động viên tôi để tôi hoàn thành tốt nhiệm vụ của mình. Hà Nội, tháng 11 năm 2014 Tác giả luận văn Nguyễn Thị Lý 4 Bảng kí hiệu R n =  x = (x 1 , x 2 , , x n ) : x i ∈ R, i = 1, n  , R n + =  x = (x 1 , x 2 , , x n ) : x i ∈ R, i = 1, n − 1, x n > 0  , C([a, b]; X) =  f : [a, b] → X, f liên tục trên [a, b]  , C m ([a, b]; X) =  f : [a, b] → X, f khả vi liên tục đến cấp m  , L(X, Y ) =  f : X → Y : f tuyến tính liên tục  , L p (Ω) =  f đo được trên Ω :  Ω |f(x)| p dx < +∞  , p ≥ 1, L ∞ (Ω) =  f đo được trên Ω : ess sup Ω |f| < +∞  với ess sup Ω |f| = inf {k : µ {x ∈ Ω : f(x) > k} = 0} , µ là độ đo Lebesgue trên Ω, L p loc (Ω) =  f đo được trên Ω : f ∈ L p (Ω  ), ∀Ω  compact ⊂ Ω  . 5 Chương 1 Kiến thức chuẩn bị 1.1 Những không gian hàm cơ bản 1.1.1 Không gian H¨older Định nghĩa 1.1. Cho tập mở Ω ⊂ R n và 0 < γ ≤ 1. a) Hàm số u : Ω → R được gọi là liên tục H¨older bậc γ nếu tồn tại hằng số C > 0 sao cho |u(x) − u(y)| ≤ C|x − y| γ , x, y ∈ Ω. Khi γ = 1, hàm số u được gọi là liên tục Lipschitz. b) Nếu u : Ω → R là bị chặn và liên tục, ta định nghĩa u C(Ω) = sup x∈Ω |u(x)|. c) Nửa chuẩn H¨older bậc γ của u : Ω → R là [u] C 0,γ (Ω) = sup x=y x,y∈Ω |u(x) − u(y)| |x − y| γ và chuẩn H¨older bậc γ là u C 0,γ (Ω) = u C(Ω) + [u] C 0,γ (Ω) . Định nghĩa 1.2. Không gian H¨older C k,γ (Ω) gồm tất cả các hàm số u ∈ C k (Ω), mà chuẩn u C k,γ (Ω) =  |α|≤k D α u C(Ω) +  |α|=k [D α u] C 0,γ (Ω) là hữu hạn. 6 Chương 1. Kiến thức chuẩn bị Như vậy, không gian C k,γ (Ω) gồm tất cả các hàm số u sao cho các đạo hàm riêng cấp k của nó bị chặn và liên tục H¨older bậc γ. Hơn nữa, không gian H¨older C k,γ (Ω) là không gian Banach với chuẩn . C k,γ (Ω) . Không gian hàm liên tục H¨older có trọng F β,σ ((a, b]; X). Cho X là không gian Banach, với hai số mũ 0 < σ < β ≤ 1, định nghĩa không gian hàm F β,σ ((a, b]; X) gồm các hàm F (t) : (a, b] → X liên tục trên (a, b] (tương ứng [a, b]) khi 0 < β < 1 (tương ứng β = 1) thỏa mãn ba tính chất sau: 1. Khi β < 1, (t − a) 1−β F (t) có giới hạn hữu hạn khi t → a. 2. F là liên tục H¨older với số mũ σ và với trọng (s − a) 1−β+σ , nghĩa là sup a≤s<t≤b (s − a) 1−β+σ F (t) − F (s) (t − s) σ = sup a≤t≤b sup a≤s<t (s − a) 1−β+σ F (t) − F (s) (t − s) σ < ∞. 3. Khi t → a có ω F (t) = sup a≤s<t (s − a) 1−β+σ F (t) − F (s) (t − s) σ → 0. Không gian F β,σ ((a, b]; X) được trang bị với chuẩn F  β,σ F = sup a≤t≤b (t − a) 1−β F (t) + sup a≤s<t≤b (s − a) 1−β+σ F (t) − F (s) (t − s) σ (1.1) Với chuẩn này, không gian F β,σ ((a, b]; X) trở thành không gian Banach. 1.1.2 Không gian Sobolev Định nghĩa 1.3. Với một hàm u ∈ L 1 loc (Ω), ta nói rằng v ∈ L 1 loc (Ω) là đạo hàm yếu của u ứng với biến x j , ký hiệu v = D j u nếu  Ω vφ dx = −  Ω u ∂φ ∂x j dx, với mọi φ ∈ C ∞ 0 (Ω). Bằng cách quy nạp, chúng ta cũng có thể định nghĩa đạo hàm yếu cấp cao như sau: nếu u, v ∈ L 1 loc (Ω) thì v được gọi là đạo hàm yếu cấp α của u, viết là v = D α u, nếu  Ω D α uφ dx = (−1) |α|  Ω uD α φ dx, với mọi φ ∈ C ∞ 0 (Ω). 7 Chương 1. Kiến thức chuẩn bị Định nghĩa 1.4. Cho Ω là một miền trong R, với 1 ≤ p ≤ ∞ và k = 0, 1, 2, ta kí hiệu H k p (Ω) =  u ∈ L p (Ω) : D α u ∈ L p (Ω), với mọi 0 ≤ |α| ≤ k  . Khi đó H k p (Ω) trở thành không gian Banach với chuẩn u H k p =    0≤|α|≤k D α u p L p   1/p . Trường hợp p = 2, ký hiệu H k (Ω) = H k 2 (Ω). Khi đó H k (Ω) là một không gian Hilbert với tích vô hướng được trang bị như sau (u, v) H k =  0≤|α|≤k (D α u, D α v) L 2 , u, v ∈ H k (Ω). Và chuẩn của H k (Ω) tương ứng với tích vô hướng được xác định bởi công thức u H k =    0≤|α|≤k D α u 2 L 2   1/2 , u ∈ H k (Ω). Ta định nghĩa không gian H s p (Ω) với s là một số không âm. Khi Ω = R n H s p (R n ) =  u ∈ S(R n )  : F −1 [(1 + |ξ| 2 ) s/2 Fu] ∈ L p (R n )  , ở đây S(R n )  là không gian các hàm suy rộng, F và F −1 lần lượt là biến đổi Fourier và biến đổi ngược Fourier trên S(R n )  . Không gian H s p (R n ) là không gian Banach với chuẩn u H s p = F −1 [(1 + |ξ| 2 ) s/2 Fu L p , u ∈ H s p (R n ). Hơn nữa, khi s = k thì H k p (R n ) = H s p (R n ). Khi Ω = R n + hoặc Ω là một miền bị chặn trong R n với biên Lipschitz H s p (Ω) =  u ∈ L p (Ω) : ∃U ∈ H s p (R n ), U |Ω = u  . Không gian H s p (Ω) là không gian Banach với chuẩn u H s p (Ω) = inf U∈H s p (R n ),U |Ω =u U H s p (R n ) . Định lý 1.1 (Định lí nhúng). Giả sử Ω là R n , R n + hoặc một miền bị chặn với biên Lipschitz. Giả sử 1 < p < ∞ và 0 ≤ s < ∞. 8 Chương 1. Kiến thức chuẩn bị 1. Nếu 0 ≤ s < n p thì H s p (Ω) ⊂ L r (Ω) với phép nhúng liên tục, (1.2) ở đây p ≤ r ≤ pn n − ps . 2. Nếu s = n p thì H s p (Ω) ⊂ L r (Ω) với phép nhúng liên tục, (1.3) ở đây p ≤ r < ∞. 3. Nếu s > n p thì H s p (Ω) ⊂    C(R n )(tương ứng C(R n + )) khi Ω = R n (tương ứng R n + ), C(Ω) khi Ω bị chặn . (1.4) Khi Ω bị chặn, phép nhúng là liên tục. 1.1.3 Bộ ba không gian Cho X, Y là hai không gian Banach với chuẩn tương ứng là . X và . Y . Một hàm giá trị phức ., . xác định trên không gian tích X × Y được gọi là một dạng nửa song tuyến tính trên X × Y nếu thỏa mãn  αF + β ˜ F , G  = α F, G + β  ˜ F , G  , α, β ∈ C, F, ˜ F ∈ X, G ∈ Y,  F, αG + β ˜ G  = α F, G + β  ˜ F , G  , α, β ∈ C, F ∈ X, G, ˜ G ∈ Y. Hơn nữa, một dạng nửa song tuyến tính trên X × Y được gọi là tích đối ngẫu nếu thỏa mãn | F, G | ≤ F  X G Y , F ∈ X, G ∈ Y, F  X = sup G Y ≤1 | F, G |, F ∈ X, G X = sup F  X ≤1 | F, G |, G ∈ Y. Khi đó Y được gọi là một không gian liên hợp của X với tích đối ngẫu ., .. Nếu Y là liên hợp của X với tích đối ngẫu ., . X×Y thì X là liên hợp của Y với tích 9 [...]... toán tử không tuyến tính F thỏa mãn điều kiện Lipschitz Khi đó ta chứng minh sự tồn tại nghiệm địa phương trên (0, T ] bằng việc sử dụng Định lý 1.9 trong Chương 1 và ta có thể chỉ ra được nghiệm địa phương là không âm Cuối cùng ta chứng minh sự tồn tại nghiệm toàn cục của bài toán và đưa ra đánh giá về chuẩn của nghiệm toàn cục đó 2.1 2.1.1 Nghiệm địa phương Sự tồn tại nghiệm địa phương Viết lại hệ (2.1)... phần không âm của U (t) suy ra F (U (t)) = F (U (t)) với 0 ≤ t ≤ TU0 ˜ Điều này nghĩa là U (t) cũng là nghiệm địa phương của bài toán (2.2) Bởi tính ˜ duy nhất nghiệm ta suy ra U (t) = U (t) với 0 ≤ t ≤ TU0 Do đó U (t) ≥ 0 với 0 ≤ t ≤ TU0 34 Chương 2 Mô hình Field-Noyes 2.2 Nghiệm toàn cục 2.2.1 Đánh giá tiên nghiệm   u   Định lý 2.2 Giả sử U0 ∈ K và U =  v  là nghiệm địa phương của bài toán... kết với dạng (1.20) thỏa π và M được xác định bởi aij L∞ , c L∞ , δ, c0 , tức là A 2 π là toán tử quạt của H 1 (Ω)∗ , L2 (Ω), H 1 (Ω) tương ứng, với góc nhỏ hơn 2 n 2 được gọi là toán tử Chú ý Khi aij (x) ≡ δij , toán tử vi phân ∆ = i=1 Di ∂u n Laplace và điều kiện biên ≡ i=1 νi (x)Di u = 0 trên ∂Ω được gọi là điều kiện ∂ν mãn (1.5), (1.6) với ω = biên Neumann Hệ quả ([5], Hệ quả 2.1) Giả sử các điều. .. (t) của U (t) cũng là một nghiệm địa phương của (2.3) với cùng giá trị ban đầu Theo tính duy nhất nghiệm thì ˜ ˜ ˜ U (t) = U (t) trên [0, TU0 ] ˜ Tiếp theo ta sẽ chứng minh: u(t) ≥ 0, v (t) ≥ 0, w(t) ≥ 0 với 0 < t ≤ TU0 Thứ ˜ ˜ ˜ nhất ta đi chứng minh v (t) ≥ 0 bằng phương pháp chặt cụt Xét hàm cắt H(˜) ˜ v thuộc C 1,1   1 v 2 với − ∞ < v < 0, ˜ ˜ 2 H(˜) = v 0 với 0 ≤ v < ∞ ˜ 32 Chương 2 Mô hình. .. một bài toán Cauchy trong X với phương trình   dU + AU = F (U ), 0 < t < ∞, dt  U (0) = U0 (2.2) Định lý 2.1 (Tồn tại nghiệm địa phương) Với giá trị ban đầu U0 ∈ K , bài toán (2.2) tồn tại duy nhất nghiệm địa phương U trong không gian U ∈ C((0, TU0 ]; D(A)) ∩ C([0, TU0 ]; X) ∩ C 1 ((0, TU0 ]; X), trong đó TU0 > 0 phụ thuộc vào U0 X 30 Chương 2 Mô hình Field-Noyes Chứng minh Ta đã có A là toán tử... tử ma trận đường chéo trong X là  A 0  1 A =  0 A2  0 0 0   0   A3 1 ε 1 δ với A1 , A2 , A3 lần lượt là toán tử liên kết với −a∆ + , −b∆ + 1, −d∆ + q trong L2 (Ω) thỏa mãn điều kiện biên Neumann trên ∂Ω Khi đó A1 , A2 , A3 là các toán 29 Chương 2 Mô hình Field-Noyes tử quạt tự liên hợp xác định dương của L2 (Ω) với miền xác định 2 D(A1 ) = D(A2 ) = D(A3 ) = HN (Ω) Hơn nữa, theo Định lý 1.6 có... mọi t > 0 đủ nhỏ Do đó, U (t) = U (t) với 0 < t ≤ TG,U0 27 Chương 2 Mô hình Field-Noyes Năm 1974, Field-Noyes đưa ra mô hình toán học đơn giản để mô tả cơ cấu phức tạp về sự phát sinh phản ứng hóa học của các hóa chất cơ bản xảy ra cùng một lúc và không dẫn đến bất kì sự cân bằng hóa chất nào Mô hình khuếch tán này được cho bởi   ∂u  = a∆u + 1 (qw − uw + u − u2 ) trong Ω × (0, ∞),   ∂t ε   ∂v... w(x, 0) = w0 (x) trong Ω, (2.1) trong miền Ω bị chặn, ba chiều biên thuộc lớp C 2 hoặc lồi Ở đây δ, ε, q, c là các 28 Chương 2 Mô hình Field-Noyes hằng số dương và a, b, d là các hề số khuếch tán dương Ba hàm chưa biết u, v, w thỏa mãn điều kiện biên Neumann trên ∂Ω Để tìm nghiệm của bài toán (2.1), đầu tiên ta sẽ đưa bài toán này về dạng của bài toán Cauchy đã biết gồm hai toán tử: một toán tử tuyến... TG,U0 ˜ ˜ Điều này nghĩa là với S đủ nhỏ thì U (t) = U (t) với 0 ≤ t ≤ S Giả sử S = ˜ ˜ ˜ sup S; U (t) = U (t) với 0 ≤ t ≤ TG,U0 và giả sử S < TG,u0 Khi đó ta có U (S) = ˜ ˜ ˜ U (S) Lặp lại cách chứng minh với thời gian ban đầu S và giá trị ban đầu ˜ ˜ ˜ ˜ ˜ ˜ ˜ U (S) = U (S), suy ra U (S + t) = U (S + t) với mọi t > 0 đủ nhỏ Do đó, U (t) = U (t) với 0 < t ≤ TG,U0 27 Chương 2 Mô hình Field-Noyes Năm... thức chuẩn bị Như vậy, với mỗi số thực −∞ < x < ∞ thì toán tử mũ Ax của A đã được định nghĩa và thỏa mãn các tính chất sau 1 Ax là toán tử bị chặn trên X với −∞ < x < 0, A0 = 1 và Ax là toán tử tuyến tính, đóng, xác định trù mật của X với 0 < x < ∞ 2 D(Ax2 ) ⊂ D(Ax1 ) với 0 ≤ x1 < x2 < ∞ 3 Ax Ax = Ax Ax = Ax+x với −∞ < x, x < ∞ Đặc biệt, với 0 < θ < 1, Aθ là một toán tử quạt của X với góc nhỏ hơn hoặc . ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - NGUYỄN THỊ LÝ SỰ TỒN TẠI NGHIỆM CỦA MÔ HÌNH PHẢN ỨNG BELOUSOV- ZHABOTINSKII VỚI ĐIỀU KIỆN BIÊN NEUMANN Chuyên ngành: TOÁN. chứng minh sự tồn tại nghiệm toàn cục của bài toán. Chương 3. Mô hình Keener-Tyson. Tương tự như Chương 2, nội dung của Chương 3 là chứng minh sự tồn tại nghiệm toàn cục của mô hình Keener- Tyson. Các. 2. Mô hình Field-Noyes. Chương này trình bày mô hình toán học mà Field-Noyes đưa ra để mô tả phản ứng Belousov - Zhabotinskii. Ta sẽ chứng minh sự tồn tại địa phương, xây dựng đánh giá tiên nghiệm