Sự tồn tại nghiệm của mô hình động học rừng điều chỉnh

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN KHOA TOÁN - CƠ - TIN HỌC HOÀNG HẢI MINH SỰ TỒN TẠI NGHIỆM CỦA MÔ HÌNH ĐỘNG HỌC RỪNG ĐIỀU CHỈNH LUẬN VĂN THẠC SĨ Ngành: Toán Giải tích Mã số: 60460102 Người hướng dẫn: TS Lê Huy Chuẩn Hà Nội - 2015 LỜI CẢM ƠN Trước trình bày nội dung luận văn, em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới Tiến sĩ Lê Huy Chuẩn người tận tình hướng dẫn để em hoàn thành luận văn Em xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới toàn thể thầy cô giáo khoa Toán - Cơ - Tin học, Đại học Khoa Học Tự Nhiên, Đại Học Quốc Gia Hà Nội dạy bảo em tận tình suốt trình học tập khoa Nhân dịp em xin gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè bên em, cổ vũ, động viên, giúp đỡ em suốt trình học tập thực luận văn Hà Nội, ngày 07 tháng 11 năm 2015 Học viên Hoảng Hải Minh Mục lục Chương Một số kiến thức chuẩn bị 1.1 Một số không gian kết liên quan 1.2 Toán tử quạt 1.2.1 Toán tử quạt 1.2.2 Xấp xỉ Yosida 1.3 Phương trình vi phân tuyến tính cấp không gian Banach 10 1.4 Phương trình tiến hóa tuyến tính 10 1.5 Phương trình tiến hóa nửa tuyến tính 20 Chương Sự tồn nghiệm mô hình động học rừng điều chỉnh 33 2.1 Nghiệm địa phương 34 2.1.1 Sự tồn nghiệm địa phương 2.1.2 Nghiệm địa phương không âm 35 36 2.2 Hệ động lực 38 2.2.1 Nghiệm toàn cục 2.2.2 Hàm Lyapunov 38 43 LỜI MỞ ĐẦU Bảo tồn nguồn tài nguyên rừng chủ đề môi trường quan tâm Những vấn đề nghiên cứu bảo tồn nguồn tài nguyên rừng biết tới như: quy luật phát triển cá thể cây, khu vực rừng, rừng hệ thống phức tạp bao gồm hệ thống rừng hệ thống khác đất, nước, thời tiết với tương tác hệ thống nêu trên, Nhiều nhà khoa học giới nghiên cứu vấn đề đạt kết quan trọng Vào năm 1972, D B Botkin [2] đưa mô hình toán học sở phát triển rừng Trong đó, Botkin nghiên cứu khu vực khoảng (100m3 tới 300m3 ) rừng đưa phương trình phát triển cho với tương tác khu vực Tiếp theo vào năm 1983, hai tác giả M.Ya Antonovsky M D Korzukhin [1] đưa mô hình toán học rừng quan tâm tới mối quan hệ phụ thuộc tuổi Mô hình sau vào năm 1994 tác giả Yu A Kuznetsov, M Ya Antonovsky, V N Biktashev A Aponina [4] phát triển thành mô hình mô tả phát triển rừng thông qua mối quan hệ phụ thuộc tuổi trình tái sinh Cụ thể là, miền hai chiều bị chặn Ω, ta xét hệ rừng đơn loài giả sử chia thành hai lớp tuổi non trưởng thành Có ba yếu tố cấu thành hệ rừng: non, trưởng thành hạt giống không khí Chúng tạo thành mô hình động học thể trình phát triển hệ rừng sau:  ∂u   = β δ w − γ(v)u − f u Ω × (0, ∞),   ∂t     ∂v = f u − hv Ω × (0, ∞), ∂t  ∂w   = d∆w − β w + αv Ω × (0, ∞),    ∂t   u(x, 0) = u (x), v(x, 0) = v (x), w(x, 0) = w (x) Ω, 0 (0.1) Ω khu vực rừng phát triển (Ω ⊂ R2 miền hai chiều bị chặn) Các hàm u(x,t) v(x,t) mật độ non mật độ trưởng thành, vị trí x ∈ Ω thời điểm t ∈ [0, ∞) Hàm w(x,t) mật độ hạt không khí x ∈ Ω t ∈ [0, ∞) Phương trình thứ thứ hai mô tả phát triển non trưởng thành Phương trình thứ ba thể động lực hạt không khí; d > số khuếch tán hạt, α > β > tỉ lệ hạt tạo số hạt rơi xuống đất Trong đó, < δ ≤ tỉ lệ hạt nảy mầm, γ(v) > tỉ lệ chết non, phụ thuộc vào tỉ lệ trưởng thành v, f > tỉ lệ non phát triển thành trưởng thành, h > tỉ lệ chết trưởng thành Hàm γ(v) xác định γ(v) = a(v − b)2 + c, với a > 0, b > c > Với w, số điều kiện biên đặt biên ∂ Ω Các hàm giá trị ban đầu không âm u0 (x) ≥ 0, v0 ≥ w0 ≥ lấy Ω Mô hình (0.1) số tác giả nghiên cứu Với điều kiện biên Neuman Dirichlet đặt lên w, tác giả L H Chuan, A Yagi T Shirai [3] [5] chứng minh tồn nghiệm toàn cục, xây dựng hệ động lực tồn hàm Lyapunove cho hệ (0.1) Tuy nhiên, mô hình chưa đầy đủ Các nghiệm dừng u, v toán (0.1) có giá hoàn toàn Ω Tuy nhiên rừng tự nhiên khuếch tán, mật độ hạt bên biên tự nhiên dương Một số kết tính toán số nghiệm dừng hệ (0.1) có mật độ miền bên biên rừng dương Hai tác giả A Yagi M Primicerio vào năm 2014 [7] đưa hình động học rừng điều chỉnh sau:  ∂u   = β δ (w − w∗ )+ − γ(v)u − f u Ω × (0, ∞),   ∂t     ∂v = f u − hv Ω × (0, ∞), ∂t  ∂w   = d∆w − β w + α v˜ R2 × (0, ∞),    ∂t   u(x, 0) = u (x), v(x, 0) = v (x), w(x, 0) = w (x) Ω R2 0 (0.2) Ở đây, w∗ > số cho trước ký hiệu (w − w∗ )+ phần dương w − w∗ , với w ≥ w∗ , (w − w∗ )+ = w − w∗ với w < w∗ , (w − w∗ )+ = Vì thế, w∗ mật độ tối thiểu hạt mặt đất, mật độ tối thiểu cần thiết để mọc lên Giờ hàm w mật độ hạt không khí, xác định toàn R2 Và v˜ ký hiệu hàm mở rộng v từ L∞ (Ω) tới L∞ (R2 ), v(x) ˜ = v(x) với x ∈ Ω v(x) ˜ =0 với x ∈ R \Ω Mô hình động học rừng điều chỉnh (0.2) cải thiện hai khía cạnh Khía cạnh đầu tiên, mở rộng miền xác định w thành toàn không gian R2 w biểu thị mật độ hạt không khí hạt phân tán xa so với biên Ω Một cách tự nhiên, ta không cần phải quan tâm tới điều kiện biên w Khía cạnh thứ hai, ta có ngưỡng w∗ Nếu w ≤ w∗ non mọc, tất nhiên trưởng thành Điều khiến cho giá nghiệm dừng u, v compact Nội dung luận văn trình bày lại số kết nghiên cứu mô hình động học rừng điều chỉnh (0.2) Bố cục luận văn bao gồm chương: • Chương luận văn trình bày tóm tắt số kết biết không gian hàm, toán tử quạt, phương trình vi phân tuyến tính cấp không gian Banach, phương trình tiến hóa tuyến tính, phương trình tiến hóa nửa tuyến tính, định lý kết liên quan tới luận văn Chương trình bày dựa tài liệu [6] • Chương luận văn trước tiên trình bày tồn nghiệm địa phương (0.2), sau tồn nghiệm toàn cục (0.2) Cuối chương phần trình bày hàm Lyapunov hệ động lực sinh (0.2) Chương trình bày dựa tài liệu [7] Do thời gian thực luận văn không nhiều, kiến thức hạn chế nên làm luận văn không tránh khỏi hạn chế sai sót Tác giả mong nhận góp ý ý kiến phản biện quý thầy cô bạn đọc Xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, ngày 07 tháng 11 năm 2015 Học viên Hoàng Hải Minh Chương Một số kiến thức chuẩn bị Trong chương này, ta xây dựng sở lý thuyết nhằm tiếp cận toán mô hình động học rừng điều chỉnh (0.2) Cụ thể, ta hệ thống lại kiến thức số không gian hàm, toán tử quạt, đồng thời nhắc lại kết phương trình vi phân tuyến tính cấp không gian Banach, phương trình tiến hóa tuyến tính Phần cuối chương ta chứng minh tồn nghiệm địa phương, nghiệm toàn cục đánh giá nghiệm phương trình tiến hóa nửa tuyến tính 1.1 Một số không gian kết liên quan Cho X không gian Banach với chuẩn , [a, b] ⊂ R, với hai số mũ < σ < β ≤ 1, ta định nghĩa không gian hàm Holder liên tục có trọng Fβ ,σ ((a, b]; X), < σ < β ≤ 1, sau: Định nghĩa 1.1 Không gian Fβ ,σ ((a, b]; X) bao gồm hàm liên tục (a, b] (hay [a, b] ) < β < (khi β = 1) thỏa mãn điều kiện sau: (1) Với β < 1, (t − a)1−β F(t) có giới hạn t → a (2) F hàm liên tục Holder với số mũ σ với trọng (s − a)1−β +σ , cụ thể (s − a)1−β +σ F(t) − F(s) sup (t − s)σ a≤s 0, ta định nghĩa A−z = 2πi λ −z (λ − A)−1 dλ , Γ Γ đường cong bao quanh σ (A) theo chiều kim đồng hồ nằm C\(∞, 0] ∩ ρ(A) Khi A−z hàm giải tích với Rez > hàm nhận giá trị L(X) Định nghĩa At với t ∈ R sau: Khi t = 0, A0 ≡ I Khi −∞ < t ≤ 0, At ∈ L(X) Khi t > 0, At = (A−t )−1 D(At ) trù mật X Hơn nữa, với < t1 ≤ t2 D(At2 ) ⊂ D(At1 ) Ta có tính chất sau toán tử lũy thừa toán tử mũ: Với < φ < π2 , z → với z ∈ Σφ − {0}, A−z hội tụ mạnh tới X, (Xem [6], định lý 2.21) Chú ý A−z < ∞ (1.11) sup |arg z| tỉ lệ hạt tạo số hạt rơi xuống đất Trong đó, < δ ≤ tỉ lệ hạt nảy mầm, γ(v) > tỉ lệ chết non, phụ thuộc vào tỉ lệ trưởng thành v, f > tỉ lệ non R2 33 phát triển thành trưởng thành, h > tỉ lệ chết trưởng thành Hàm γ(v) xác định γ(v) = a(v − b)2 + c, với a > 0, b > c > Ở đây, w∗ > số cho trước ký hiệu (w − w∗ )+ phần dương w − w∗ , với w ≥ w∗ , (w − w∗ )+ = w − w∗ với w < w∗ , (w − w∗ )+ = Vì thế, w∗ mật độ tối thiểu hạt mặt đất, mật độ tối thiểu cần thiết để mọc lên Hàm w mật độ hạt không khí, xác định toàn R2 Và v˜ ký hiệu hàm mở rộng v từ L∞ (Ω) tới L∞ (R2 ), v(x) ˜ = v(x) với x ∈ Ω v(x) ˜ = với x ∈ R2 \Ω Các hàm giá trị ban đầu không âm u0 (x) ≥ 0, v0 ≥ w0 ≥ lấy Ω Ta chứng minh (2.1) có nghiệm địa phương 2.1 Nghiệm địa phương Trước tiên, ta thiết lập không gian toán (2.1) Đặt X= t (u, v, w) : u ∈ L∞ (Ω), v ∈ L∞ (Ω) w ∈ L2 (R2 ) (2.2) không gian sở Ta viết lại toán (2.1) thành toán Cauchy với phương trình tiến hóa   dU + AU = F(U), 0 0 Khi hàm ψ1 (t) = ≤ t ≤ T0 H(w(t))dx, R Rõ ràng, ψ1 (t) hàm không âm với ψ1 (t) = H (w(t))w (t)dx R =d H (w(t)) −β w + α χ Rev H (w(t))∆wdx + R dx R Ta có H (w(t))∆wdx = − R H (w)|∇w|2 dx ∇H (w)∇wdx = − R R Do đó, H (w).|∇w|2 dx − β ψ1 (t) = −d H (w)wdx + α R R H (w)χ Rev dx R Ta thấy, ψ1 (t) ≤ với ≤ t ≤ T0 , nghĩa là, ψ1 (t) ≤ ψ1 (0) với t ∈ [0, T0 ] Như vậy, ψ1 (t) = với t ∈ [0, T0 ] hay w(t) ≥ [0, T0 ] Mặt khác, từ (2.5) (2.6) ta có − 0t [γ(v(s))+ f ]ds u(t) = e t u0 + β δ e− t s [γ(v(τ))+ f ]dτ w(s)ds Do w(t) ≥ [0, T0 ] nên u(t) ≥ [0, T0 ] Tương tự, v(t) = e−ht v0 + f t e−h(t−s) u(s)ds, v(t) ≥ [0, T0 ] Chú ý rằng, v(t) ≥ χ(Rev(t)) = v(t) Như U nghiệm địa phương (2.1) Do tính nghiệm nên U(t) ≡ U(t) với t ∈ [0, min{T0 , T0 }] Dẫn tới, u(t) ≥ 0, v(t) ≥ 0, w(t) ≥ [0, T0 ] Nếu T0 ≥ T0 ta suy điều phải chứng minh Nếu T0 < T0 , ta giả sử T1 = sup {0 < T ≤ T0 : u(t) ≥ 0, v(t) ≥ 0, w(t) ≥ 37 với < t ≤ T } Vì, H(u(T1 ))dx = lim t→T1 Ω Ω H(u(t))dx = 0, nên u(T1 ) ≥ Tương tự ta có, v(T1 ) ≥ 0, w(T1 ) ≥ Nếu T1 = T0 , ta suy điều phải chứng minh Nếu T1 < T0 , ta lặp lại toán (2.7) với thời gian đầu T1 U(T1 ) Lập lại bước chứng minh ta có ∃τ > cho u(t) ≥ 0, v(t) ≥ 0, w(t) ≥ với T0 ≤ t ≤ T0 + τ Điều mâu thuẫn với giả sử Vậy T1 = T0 suy điều phải chứng minh Phần tiếp theo, ta xây dựng nghiệm toàn cục toán (2.1), từ xây dựng nên hệ động lực (2.1) 2.2 Hệ động lực 2.2.1 Nghiệm toàn cục Trước hết, ta thiết lập ước lượng tiên nghiệm cho nghiệm địa phương Mệnh đề 2.1 ([7], p.111) Cho ≤ u0 , v0 ∈ L∞ (Ω) ≤ w0 ∈ L2 (R2 ) Giả sử (u, v, w) nghiệm địa phương (2.1) [0, Tu,v,w ) cho ≤ u, v ∈ C ([0, Tu,v,w ) ; L∞ (Ω)) ∩ C1 ((0, Tu,v,w ) ; L∞ (Ω)) , ≤ w ∈ C [0, Tu,v,w ) ; L2 (R2 ) ∩ C1 (0, Tu,v,w ) ; L2 (R2 ) ∩ C (0, Tu,v,w ) ; H (R2 ) Khi ta có ước lượng ut L∞ + vt L∞ + wt ≤ C e−ρt u0 L2 L∞ + v0 L∞ + w0 L2 +1 , ≤ t < Tu,v,w , với c > ρ > không phụ thuộc vào (u, v, w) Chứng minh Trong chứng minh đây, ta sử dụng ký hiệu C1 ,C2 , C, ρ, ρ số dương số mũ dương, xác định số cho trước a, b, c, d, f , h, α, β δ , Ω C, ρ, ρ thay đổi lần xuất Bước Đánh giá u L2 , v L2 , w L2 Nhân phương trình thứ (2.1) với u ta u ∂u = β δ (w − w∗ )+ u − γ(v)u2 − f u2 , ∂t 38 suy d (u ) = β δ (w − w∗ )+ u − γ(v)u2 − f u2 dt Lấy tích phân hai vế đẳng thức Ω ta d dt u2 dx + f Ω u2 dx = Ω Ω ≤ f γ(v)u2 dx β δ (w − w∗ )+ udx − u2 dx +C1 Ω Ω w2 dx − γ(v)u2 dx (2.8) Ω R Nhân phương trình thứ ba (2.1) với w lấy tích phân hai vế kết ta d dt w2 dx + β w2 dx = d R R w2 dx + β w2 dx + d w∆wdx + α R vwdx, R suy d dt R R |∇w|2 dx = α R vwdx R ≤ β w2 dx +C2 R v2 dx (2.9) R Lấy C3 > cho C1C3 ≤ β4 Nhân (2.8) với C3 ta C3 d dt u2 dx +C3 f Ω u2 dx ≤ Ω C3 f u2 dx +C1 C3 Ω w2 dx −C3 γ(v)u2 dx Ω R (2.10) Cộng vế 2.9 (2.10) ta C3 d dt u2 dx + Ω C3 f u2 dx+ Ω d dt β + w2 dx R v2 dx −C3 w2 dx ≤ C2 Ω R R γ(v)u2 dx (2.11) Tiếp theo, ta nhân phương trình thứ hai (2.1) với v sau lấy tích phân Ω ta d v2 dx + h v2 dx = f uvdx dt Ω Ω Ω Lấy C4 > cho C4 h ≥ 2C2 sau nhân đẳng thức với C4 ta có C4 d dt v2 dx + 2C2 Ω v2 dx = C4 f Ω 39 uvdx Ω Cộng vế bất đẳng thức với vế bất đẳng thức (2.11) C3 d dt u2 dx + Ω C3 f u2 dx + Ω d dt R v2 dx ≤ C2 + 2C2 β w2 dx + w2 dx + R v2 dx −C3 Ω C4 d dt v2 dx Ω γ(v)u2 dx +C4 f Ω R uvdx Ω Vì v(x) = v(x), ∀x ∈ Ω v(x) ≡ 0, ∀x ∈ R\Ω suy C3 d dt u2 dx + Ω C4 d dt v2 dx + Ω v2 dx + +C2 Ω β d dt w2 dx + R C3 f w2 dx ≤ C4 f u2 dx Ω γ(v)u2 dx uvdx −C3 Ω R Ω Chú ý C4 f C4 f uv −C3 γ(v)u = − C3 a(v − b) u −C4 f (v − b)u + 4C3 a 2 − C3Cu2 −C4 f bu + C4 f b2 4C3 c + C4 f b2 4C3 b2 + a c Nhận xét thấy C3 a(v − b)2 u2 −C4 f (v − b)u + C3Cu2 −C4 f bu + C4 f ≥0 , 4C3 a C4 f b2 ≥ 0, 4C3 c Do đó, C4 f uv −C3 γ(v)u2 ≤ C4 f b2 4C3 b2 + a c Vì nên d dt C3 u2 dx +C4 v2 dx+ Ω d dt w2 dx+ρ C3 u2 dx +C2 v2 dx + Ω R w2 dx ≤ C R Suy C3 u(t) L2 +C4 v(t) L2 + w(t) L2 ≤ Ce−ρt C3 u0 L2 +C4 v0 L2 + w0 L2 +C Từ suy u(t) L2 + v(t) L2 + w(t) L2 ≤ C e−ρt u0 L∞ + v0 L∞ + w0 H 2η +1 , với ≤ t < Tu,v,w (2.12) 40 Bước Đánh giá w(t) H 2η Sử dụng kết nửa nhóm, ta có Λη w(t) = e−tΛ {Λη w0 } + t −t−τ Λ Λη e e −t−τ Λ αv(τ)dτ, với e−tΛ ≤ e−tβ , (t ≥ 0) Từ suy w(t) H 2η η ≤ C Λ w(t) L2 ≤ Ce t −βt w0 H 2η β (t − τ)−η e− (t−τ) v(τ) +C L2 dτ Hơn nữa, từ (2.12) ta có v(τ) L2 ≤ u(τ) L2 −ρτ ≤C e + v(τ) u0 L∞ + w(τ) L2 + v0 L∞ L2 + w0 H 2η +1 Do t β (t − τ)−η e− (t−τ) v(τ) t L2 dτ ≤ C β (t − τ)−η e− (t−τ) dτ t +C β (t − τ)−η e− (t−τ) e−ρτ dτ × Lấy < ρ < t β ,ρ u0 L∞ + v0 L∞ + w0 H 2η , t β (t − τ)−η e− (t−τ) v(τ) L2 dτ ≤ C β (t − τ)−η e− (t−τ) dτ t +Ce−ρ τ β (t − τ)−η e−( −ρ )(t−τ) e−(ρ−ρ )τ dτ × u0 ≤ C e−ρ τ L∞ u0 + v0 L∞ L∞ + v0 + w0 L∞ H 2η + w0 H 2η +1 Từ suy w(t) L∞ ≤ C w(t) H 2η Bước 3: Đánh giá u(t) u(t) = e− ≤ C e−ρτ L∞ , t [γ(v(s))+ f ]ds v(t) L∞ t u0 + β δ u0 L∞ + v0 L∞ + w0 H 2η +1 (2.13) Từ (2.5), ta có e− t τ [γ(v(s))+ f ]ds 41 w(τ)dτ, ≤ t < Tu,v,w Vì nên u(t) L∞ = e− f t u0 t L∞ +C e− f (t−τ) w(τ) L∞ dτ Từ (2.13) ta có t e− f (t−τ) w(τ) t L∞ dτ ≤ C e− f (t−τ) dτ t +C e− f (t−τ) e−ρτ u0 L∞ + v0 L∞ + w0 H 2η dτ Lấy < ρ < { f , ρ} t − f (t−τ) e t w(τ) L∞ dτ ≤C e− f (t−τ) dτ t +Ce−ρ τ e−( f −ρ )(t−τ) e−(ρ−ρ )τ dτ × u0 L∞ + v0 L∞ + w0 H 2η ≤ Ce−ρ τ u0 L∞ + v0 L∞ + w0 H 2η +C Như u(t) L∞ ≤ C e−ρt u0 L∞ + v0 L∞ + w0 H 2η +1 , ≤ t < Tu,v,w (2.14) Tương tự, từ (2.6) (2.14) ta có v(t) L∞ ≤ C e−ρt u0 L∞ + v0 L∞ + w0 H 2η +1 , ≤ t < Tu,v,w (2.15) Liên kết (2.12), (2.13), (2.14) (2.15) ta có ut L∞ + vt L∞ + wt ≤ C e−ρt u0 L2 L∞ + v0 L∞ + w0 L2 +1 , ≤ t < Tu,v,w , Hệ trực tiếp Mệnh đề (2.1), ta chứng minh tồn nghiệm toàn cục (2.1) Định lý 2.2 ([7], p.112) Cho u0 , v0 ∈ L∞ (Ω) w0 ∈ L2 (R2 ) với u0 ≥ 0, v0 ≥ w0 ≥ Khi đó, (2.1) có nghiệm toàn cục cho ≤ u, v ∈ C ([0, ∞) ; L∞ (Ω)) ∩ C1 ((0, ∞) ; L∞ (Ω)) ≤ w ∈ C [0, ∞) ; L2 (R2 ) ∩ C1 (0, ∞) ; L2 (R2 ) ∩ C (0, ∞) , H (R2 ) 42 Nghiệm toàn cục thỏa mãn ước lượng u(t) L∞ + v(t) L∞ ≤ C e−ρt + w(t) u0 L∞ L2 + v0 L∞ + w0 L2 ≤ t < ∞ +1 , (2.16) Ta chứng minh Định lý 2.2 tương tự chứng minh Bổ đề 1.1 Theo Định lý 2.1, toán (2.1) có nghiệm địa phương U [0, T0 ] Theo Định lý 2.1, ta có U (T0 ) xác định U0 Do nghiệm U thác triển thành nghiệm địa phương [0, T0 + τ] với τ > xác định U (T0 ) , tức phụ thuộc vào U0 Tiếp tục trình thác triển ta thu nghiệm toàn cục toán Hơn nữa, từ ta xây dựng hệ động lực sinh toán (2.1) Đặt K = t (u, v, w) ∈ X; u0 ≥ 0, v0 ≥ w0 ≥ không gian giá trị ban đầu Như Định lí 2.2, với U0 ∈ K, (2.1) tồn nghiệm toàn cục U (t,U0 ) = t (u(t), v(t), w(t)) Vì thế, ta xác định nửa nhóm phi tuyến {S(t)}t≥0 tác động K S(t)U0 = U(t;U0 ) Ta thấy, S(t) liên tục với chuẩn X Vậy, (S(t), K, X) xác định hệ dộng lực không gian X, K không gian pha (S(t), K, X) gọi hệ động lực sinh (2.1) Giống trường hợp mô hình (0.1), ta xây dựng hàm Lyapunov cho hệ động lực (S(t), K, X) 2.2.2 Hàm Lyapunov Đặt ϕ = f u − hv, ∂u ∂v ∂ϕ =f −h ∂t ∂t ∂t = f β δ (w − w∗ )+ − γ(v)u − f u − hϕ = f β δ (w − w∗ )+ − f ( f u − hv) − f hv − γ(v)( f u − hv) − γ(v)hv − hϕ = f β δ (w − w∗ )+ − [γ(v) + f + h] ϕ − h [γ(v) + f ] v Nhân hai vế đẳng thức với ϕ ta (lưu ý: ϕ = ∂v ∂t ) ∂ϕ ϕ = f β δ (w − w∗ )+ ϕ − [γ(v) + f + h] ϕ − h [γ(v) + f ] vϕ, ∂t 43 suy d ϕ = f β δ (w − w∗ )+ dt ∂v ∂v − [γ(v) + f + h] ∂t ∂t 2 = f β δ (w − w∗ )+ ∂v ∂v − [γ(v) + f + h] ∂t ∂t Đặt Γ(v) = v [γ(v) + d dt − h [γ(v) + f ] v −h d dt v [γ(v) + f ] dv f ] dv lấy tích phân Ω ta ϕ dx + h Ω d dt Γ(v)dx − f β δ Ω Ω (w − w∗ )+ ∂v dx ∂t ∂v = − [γ(v) + f + h] ∂t Ω (2.17) dx Bên cạnh đó, nhân hai vế phương trình thứ ba (2.1) với lấy tích phân R2 ta R2 ∂v ∂t ∂ ∂t (w − w∗ )+ ∂ ∂ ∂ (w − w∗ ) (w − w∗ )+ dx = d ∆ (w − w∗ ) (w − w∗ )+ dx ∂t ∂t ∂t R2 ∂ ∂ −β (w − w∗ ) (w − w∗ )+ dx − β w∗ (w − w∗ )+ dx ∂t R2 R2 ∂t ∂ +α v (w − w∗ )+ dx R2 ∂t Vì nên d d dt R2 ∇(w − w∗ )+ dx + β d dt R2 (w − w∗ )+ dx + β w∗ ∂ −α v (w − w∗ )+ dx = − R2 ∂t d dt R2 R2 (w − w∗ )+ dx ∂ (w − w∗ )+ dx ∂t (2.18) Nhân (2.17) với α (2.18) với f β δ cộng kết lại ta d dt + Ω R2 α ϕ + hαΓ(v) − (α f β δ ) v(w − w∗ )+ dx d fβδ f β 2δ ∇(w − w∗ )+ + (w − w∗ )+ 2 = −α [γ(v) + f + h] Ω ∂v ∂t dx − f β δ 44 R2 + ( f β δ w∗ )(w − w∗ )+ dx ∂ (w − w∗ )+ dx ≤ ∂t Điều có nghĩa hàm α ϕ + hαΓ(v) − (α f β δ ) v(w − w∗ )+ dx Ω f β 2δ d fβδ 2 ∇(w − w∗ )+ + (w − w∗ )+ + ( f β δ w∗ )(w − w∗ )+ dx 2 ψ(U) = + R2 xác định với U ∈ D(A ) trở thành hàm Lyapunov (S(t), K, X) Nhận xét: Sau xây dựng hàm Lyapunov cho hệ, ta chứng minh tồn tập hút toàn cục 45 KẾT LUẬN Nội dung luận văn trình bày lại số kết nghiên cứu mô hình động học rừng điều chỉnh (0.2) mô tả phát triển rừng thông qua mối quan hệ phụ thuộc tuổi trình tái sinh Nội dung luận văn bao gồm: Trình bày số kiến thức không gian hàm có trọng, không gian Sobolev, kết số định lý liên quan tới phương trình vi phân tuyến tính cấp không gian Banach, phương trình tiến hóa tuyến tính phương trình tiến hóa nửa tuyến tính Chứng minh tồn nghiệm địa phương, nghiệm toàn cục mô hình động học rừng điều chỉnh Xây dựng hàm Lyapunov hệ động lực sinh (0.2) Tuy nhiên thời gian thực luận văn không nhiều có sai sót em mong nhận góp ý quý thầy cô bạn đọc 46 Tài liệu tham khảo [1] M Ya Antonovsky, M D Korzukhin, Mathematical modeling of economic and process ecological-economic, Proc International Symp "Intergrated Global Monitoring of Environmental Pollution", Tbilisi 1981, Leningrad: Hydromet, 1983, 353-358 [2] D B Botkin, J F Janak, Some ecological consequences of a computer model of forest growth, J Ecol 60 (1972), 849-872 [3] L H Chuan, A Yagi, Dynamical system for forest kinetic model, Adv Math Sci Appl 16 (2006), 393-409 [4] Yu A Kuznetsov, M Ya Antonovsky, V N Biktashev and A Aponina, A cross-diffusion model of forest boundary dynamics, J.Math Biol 32 (1994), 219-232 [5] T Shirai, L H Chuan, A Yagi, Dynamical system for forest kinematic model under Dirichlet conditions, Sci Math Jpn, 66 (2007), 289-301 [6] A Yagi, Abtract Parabolic Evolution Equations and their Applications, Springer, (2010) [7] A Yagi, M Primicerio, A modified forest kinematic model, Vietnam journal of Math Appl 12 (2014), 107-118 47 ... 20 Chương Sự tồn nghiệm mô hình động học rừng điều chỉnh 33 2.1 Nghiệm địa phương 34 2.1.1 Sự tồn nghiệm địa phương ... [1] đưa mô hình toán học rừng quan tâm tới mối quan hệ phụ thuộc tuổi Mô hình sau vào năm 1994 tác giả Yu A Kuznetsov, M Ya Antonovsky, V N Biktashev A Aponina [4] phát triển thành mô hình mô tả... [5] chứng minh tồn nghiệm toàn cục, xây dựng hệ động lực tồn hàm Lyapunove cho hệ (0.1) Tuy nhiên, mô hình chưa đầy đủ Các nghiệm dừng u, v toán (0.1) có giá hoàn toàn Ω Tuy nhiên rừng tự nhiên