Ứng dụng của nghiệm nhớt đối với toán tài chính

[...]... rng mồi thới gian ngău nhiản bơng mởt hơng số dữỡng t l mởt thới im dứng Hỡn nỳa, náu v l hai thới im dứng thẳ , v + l cĂc thới im dứng Vợi mởt thới im dứng , ta cõ: F = {B FT : B { t} Ft , t T} l - trữớng con cừa F v l F - o ữủc Hỡn nỳa, náu hai thới im dứng = thẳ F = F Mằnh ã 1.3 Cho v l hai thới im dứng v l mởt bián ngău nhiản Khi õ, (1) Vợi mồi B F , ta cõ B {... X gƯn liản tửc v tữỡng thẵch thẳ nõ o ữủc lụy tián Mằnh ã 1.2 1.2.2 Thới im dứng nh nghắa 1.5 (Thới im dứng) (1) Bián ngău nhiản : [0, ] (hay mởt thới gian ngău nhiản)l mởt thới im dứng (ối vợi lồc F) náu vợi mồi t T, { t} := { : () t} Ft (2) Thới im dứng l tiãn nh náu tỗn tÔi mởt dÂy cừa thới im dứng (n )n1 sao cho hƯu chưc chưn ta cõ: (i) limn n = (ii) n < , n trản { > 0} Khi... ữủc Vợi mởt quĂ trẳnh (Xt )tT v mởt thới im dứng , ta nh nghắa bián ngău nhiản X trản { T} bi: X () = X () () Khi õ, náu X o ữủc thẳ X cụng o ữủc trản { T} Do õ ta cõ khĂi niằm quĂ trẳnh dứng (tÔi ) X nh nghắa bi: Xt = X t , t T Cho (Xt)tT l mởt quĂ trẳnh o ữủc lụy tián, v l mởt thới im dứng Khi õ X 1 T l F - o ữủc v quĂ trẳnh dứng X l o ữủc lụy tián Mằnh ã 1.5 Cho X l mởt... martingale gƯn liản tửc v , l hai thới im dứng b chn, cõ giĂ tr trong T v Khi õ, nh lẵ 1.9 E [M | F ] = M , a.s Hằ quÊ 1.1 õ, GiÊ sỷ (Xt)tT l mởt quĂ trẳnh tữỡng thẵch gƯn liản tửc.Khi (1) X l mởt martingale náu v ch náu vợi bĐt ký thới im dứng b chn , cõ giĂ tr trong T, ta cõ X L1 v E [X ] = X0 (2) Náu X l mởt martingale v l mởt thới im dứng, thẳ quĂ trẳnh dứng X l mởt martingale Chúng ta s... Khi õ, Mằnh ã 1.4 11 (1) Thới im chÔm O xĂc nh bi: O = inf {t 0 : Xt O} (quy ữợc inf = ) l mởt thới im dứng (2) Náu X liản tửc thẳ thới im thoĂt khọi O xĂc nh bi: O = inf {t 0 : Xt O} l mởt thới im dứng tiãn nh Cho (Xt)tT v (Yt)tT l hai quĂ trẳnh lỹa chồn Náu vợi mồi thới im dứng , ta cõ: X = Y hƯu chưc chưn trản { < } thẳ hai quĂ trẳnh X v Y l khổng th phƠn biằt nh lẵ 1.6 1.2.3 (nh... a phữỡng loc hõa cĂc thới im dứng cừa martingale a phữỡng dM l t n = inf t T : u d < M >u u n , 0 v tẵch phƠn ngău nhiản dứng L2 vợi E < n n dM >T n dM l mởt martingale b chn trong 25 Khi M l mởt chuyn ởng Brown dchiãu W v l mởt quĂ trẳnh liản tửc thẳ cõ mởt dÂy a phữỡng hõa khĂc cừa martingale a phữỡng .dW l n = inf {t T : |t | n} n v tẵch phƠn ngău nhiản dứng tữỡng ựng .dW l mởt martingale... F, F, P ) nh nghắa 1.9 (Martingale a phữỡng) GiÊ sỷ X l mởt quĂ trẳnh tữỡng thẵch, gƯn liản tửc Ta nõi X l mởt martingale a phữỡng náu 15 tỗn tÔi mởt dÂy cĂc thới im dứng (n )n1 sao cho limn n = hƯu chưc chưn v cĂc quĂ trẳnh dứng X n l martingale vợi mồi n Tứ nh nghắa ta thĐy, mội martingale gƯn liản tửc l mởt martingale a phữỡng những chiãu ngữủc lÔi khổng úng: nõi chung martingale a phữỡng... martingale a phữỡng v sup |Ms | < , t T E 0st (1.2) thẳ M l mởt martingale (ii) iãu kiằn cƯn v ừ  mởt martingale a phữỡng M tr thnh mởt martingale l hồ (M ) vợi chÔy trản têp tĐt cÊ cĂc thới im dứng cõ giĂ tr trong T l khÊ tẵch ãu (iii) Náu M l mởt martingale a phữỡng khổng Ơm sao cho M0 L1 thẳ M l mởt supermartingale nh nghắa 1.10 (i) QuĂ trẳnh A = (At )tT ữủc gồi l cõ bián phƠn hỳu hÔn... chưc chưn ở o dĐu d < M, N > liản tửc tuyằt ối ối vợi ở o tẵch d < M > Vợi mồi p > 0, tỗn tÔi cĂc hơng số dữỡng cp v Cp sao cho vợi mồi martingale a phữỡng liản tửc M = (Mt)tT v vợi mồi thới im dứng cõ giĂ tr trong T, ta cõ nh lẵ 1.16 (BĐt ng thực Burkholder - Davis - Gundy) p cp E < M >p/2 E sup |Mt | 0t< Cp E < M >p/2 18 BĐt ng thực ny v iãu kiằn (1.2) cho thĐy: khi p = 1 náu martin... semimartingale liản tửc giĂ tr thỹc vợi phƠn tẵch (1.4) Khi õ tẵch phƠn cừa X ữủc nh nghắa l tờng cừa hai tẵch phƠn: cừa A v cừa M Do A cõ bián phƠn hỳu hÔn nản tẵch phƠn cừa A ữủc nh nghắa theo tứng qu Ôo v l tẵch phƠn Stieltjes Cỏn M l mởt martingale a phữỡng nản nõi chung nõ khổng cõ bián phƠn hỳu hÔn vẳ thá khổng th hiu theo nghắa Stieltjes Tẵch phƠn cừa nõ ữủc nh nghắa dỹa trản sỹ tỗn