Trong c¡c b i to¡n ¢ x²t ta luæn gi£ thi¸t tr¤ng th¡i kh£ vi theo thíi gian s.Tuy nhi¶n i·u n y khæng ph£i lóc n o công câ ÷ñc. Khi xs
thªm ch½ khæng li¶n töc theo s th¼ ta câ b i to¡n i·u khiºn ng¨u nhi¶n k¼ dà. Tr÷îc h¸t ta th£o luªn v§n · n y mët c¡ch h¼nh thùc.
X²t tr÷íng hñpU ⊂ Rn l mët nân âng trongRn, tùc l :u ∈ U, λ ≥
0 ⇒ λu ∈ U. Gi£ sû r¬ng câ f ,ˆ σˆ ∈ C1(Rn) vîi c¡c ¤o h m ri¶ng c§p mët bà ch°n v ˆc,Lˆ ∈ C(Rn) thäa m¢n:
f(x, u) =u+ ˆf (x), σ(x, u) = ˆσ(x),
L(x, u) = ˆL(x) + ˆc(u), cˆ(λu) =λˆc(u), ∀λ ≥0, u ∈ U èi vîi t§t c£ x ∈ Rn, u ∈ U. º ìn gi£n x²t dú ki»n bi¶n g ≡ 0 v
ˆ
L,ˆc ≥0.
L÷u þ r¬ng tªp i·u khiºn U l khæng bà ch°n v hìn núa i·u ki»n bùc cê iºn l khæng ÷ñc thäa m¢n bði f v L.
supu∈U {−Auϕ(x)−L(x, u)} = −1 2trace ˆ a(x)D2ϕ(x)−fˆ(x).∇ϕ(x)−Lˆ(x) + ˆH(∇ϕ(x)), ð ¥y ˆa(x) = ˆσ(x) ˆσ0(x) v vîi p∈ Rn, ˆ H(p) = sup u∈U {−p.u −ˆc(u)} (2.14) N¸u −p.u−cˆ(u) > 0 vîi méi u ∈ U th¼ theo t½nh thu¦n nh§t cõa U v c,ˆ Hˆ(p) = +∞. Bði vªy: ˆ H(p) = +∞ khi H (p) > 0, 0 khi H (p) ≤0, ð ¥y H(p) = sup v∈Kˆ {−p.v−c(v)ˆ }, Kˆ = {u ∈ U,|u| = 1}. ˆ
K l tªp hñp t§t c£ c¡c h÷îng ch§p nhªn ÷ñc m i·u khiºn câ thº t¡c ëng. C¡c t½nh to¡n tr¶n ch¿ ra r¬ng ph÷ìng tr¼nh quy ho¤ch ëng (2.5) ph£i ÷ñc hiºu theo mët c¡ch ri¶ng. Tuy nhi¶n, chóng ta hy vång r¬ng h m gi¡ trà V thäa m¢n:
H(DV(x)) ≤ 0, x ∈ O, (2.15)
LV(x) := βV(x)− 1
2tr ˆa(x)D
2V(x)−fˆ(x).DV(x) ≤ L(x), xˆ ∈ O. B¥y gií gi£ sû H(DV(x)) < 0 èi vîi méi x ∈ O. Khi â trong mët l¥n cªn cõa x, cüc ¤i duy nh§t trong (2.12) l 0. Do â, ½t nh§t l v· m°t h¼nh thùc i·u khiºn d¤ng ph£n hçi tèi ÷u công ph£i b¬ng 0 trong mët l¥n cªn cõa x.
V¼ c¡c qu¡ tr¼nh khu¸ch t¡n khæng câ i·u khiºn li¶n quan tîi c¡c ph÷ìng tr¼nh tuy¸n t½nh n¶n ta hy vång r¬ng: