Cho ν = (Ω,F,F, P) l khæng gian x¡c su§t ÷ñc låc. Trong möc n y, ta s³ ph¡c th£o c§u tróc cì b£n cõa b i to¡n tèi ÷u hâa ng¨u nhi¶n vîi thíi gian li¶n töc v s³ minh håa b i to¡n n y thæng qua mët sè v½ dö trong l¾nh vüc to¡n t i ch½nh. Theo thuªt ngú chung, b i to¡n tèi ÷u hâa ng¨u nhi¶n ÷ñc thi¸t lªp qua c¡c °c tr÷ng sau ¥y:
Tr¤ng th¡i cõa h» thèng: Chóng ta x²t mët h» thèng ëng ÷ñc °c tr÷ng bði tr¤ng th¡i cõa nâ t¤i mët thíi iºm b§t k¼ v bi¸n êi trong mët mæi tr÷íng m t½nh khæng chc chn cõa tr¤ng th¡i ÷ñc x¡c ành bði khæng gian x¡c su§t (Ω,F, P). Tr¤ng th¡i cõa h» l mët bë c¡c bi¸n ành l÷ñng c¦n thi¸t º mæ t£ b i to¡n. Ta k½ hi»u Xt(ω) l tr¤ng th¡i cõa h» t¤i thíi iºm tùng vîi mët sü ki»n ω ∈ Ω n o â. Bi¸t tr¤ng th¡i ban ¦u X0 = x, chóng ta s³ mæ t£ t½nh ch§t ëng (theo thíi gian li¶n töc) cõa h» tr¤ng th¡i, tùc l ¡nh x¤ t → Xt(ω) cho måi ω thæng qua mët ph÷ìng tr¼nh ¤o h m ri¶ng ng¨u nhi¶n.
i·u khiºn: T½nh ch§t ëng t → Xt cõa h» thèng th÷íng chàu £nh h÷ðng bði nh¥n tè i·u khiºn ÷ñc mæ h¼nh hâa nh÷ l mët qu¡ tr¼nh u = (ut)t m gi¡ trà cõa nâ ÷ñc quy¸t ành t¤i mët thíi iºm t b§t k¼ bði mët h m cõa c¡c thæng tin ¢ bi¸t. i·u khiºn u c¦n thäa m¢n mët sè r ng buëc v ÷ñc gåi l i·u khiºn ch§p nhªn ÷ñc. Kþ hi»u Uν l tªp t§t c£ c¡c i·u khiºn ch§p nhªn ÷ñc.
Ti¶u chu©n v· lñi nhuªn (chi ph½): Möc ti¶u l cüc ¤i ho°c cüc tiºu hâa phi¸m h m lñi nhuªn (ch½ ph½) J(x, u) tr¶n t§t c£ c¡c i·u khiºn ch§p nhªn ÷ñc Uν. Chóng ta x²t hai phi¸m h m möc ti¶u têng qu¡t câ d¤ng: E Z T 0 L(Xt, ω, ut)dt+g(Xt, ω)
vîi T <∞ (trong b i to¡n vîi thíi gian húu h¤n) v E Z ∞ 0 e−βtL(Xt, ω, ut)dt
(trong b i to¡n vîi thíi gian væ h¤n) trong â: h m L l h m lñi nhuªn (ho°c chi ph½) bi¸n ëng v g l h m lñi nhuªn (ho°c chi ph½) t¤i thíi iºm cuèi t= T, β > 0 l nh¥n tû chi¸t kh§u. Trong mët sè t¼nh huèng kh¡c, bi¸n i·u khiºn câ thº t¡c ëng trüc ti¸p v o thíi iºm cuèi T công nh÷ lñi nhuªn (ho°c chi ph½) cuèi g(., T). Khi â b i to¡n tèi ÷u hâa t÷ìng ùng ÷ñc gåi l b i to¡n v· thíi iºm døng tèi ÷u.
Trong cæng thùc têng qu¡t, bi¸n i·u khiºn câ thº l mët c°p bao gçm tham sè i·u khiºn v thíi iºm døng (u, τ). Lóc â, h m möc ti¶u s³ câ d¤ng: J(x, u, τ) = E Z τ 0 f (Xt, ut)dt+g(Xτ) . H m gi¡ trà lóc â cho bði
V(x) = sup
u,τ
J(x, u, τ) ho°c V(x) = inf
u,τ J (x, u, τ).
Möc ½ch ch½nh cõa b i to¡n tèi ÷u hâa ng¨u nhi¶n l t¼m qu¡ tr¼nh i·u khiºn v thíi iºm døng º h m gi¡ trà l x¡c ành. i·u khiºn v thíi iºm døng â ÷ñc gåi l i·u khiºn tèi ÷u v thíi iºm døng tèi ÷u. V½ dö 1.24 (i·u khiºn ng¨u nhi¶n tuy¸n t½nh). X²t ph÷ìng tr¼nh vi ph¥n ng¨u nhi¶n cõa Xs :
dXs = [A(s)Xs +B(s)us]ds+σ(s)dWs, vîi c¡c ma trªn A(s), B(s) v σ(s) ¢ cho. H m möc ti¶u J(x, t;u.) := E Z T t [M (s)Xs.Xs+ N(s)us.us]ds+DXT.XT | Xt = x , trong â M(s), N(s) v D l c¡c ma trªn èi xùng, nûa x¡c ành d÷ìng.
V½ dö 1.25 (B i to¡n lüa chån danh möc ¦u t÷ Merton). X²t mæ h¼nh ìn gi£n v· ¦u t÷ chùng kho¡n, trong â danh möc ¦u t÷ bao gçm lo¤i hai t i s£n: lo¤i ¦u t÷ ên ành (ð ¥y gåi l tr¡i phi¸u) v lo¤i ¦u t÷ "m¤o hiºm" (ð ¥y gåi l cê phi¸u). Gi¡ bs cõa mët tr¡i phi¸u thay êi theo cæng thùc db = abds, trong khi gi¡ ps cõa mët cê phi¸u thay êi theo cæng thùc dp = p(αds +σdW s), trong â a, α, σ l c¡c h¬ng sè vîi a < α, σ > 0 v Ws l mët chuyºn ëng Brown mët chi·u. T i s£n cõa nh ¦u t÷ t¤i thíi iºm s l ωs thay êi theo ph÷ìng tr¼nh vi ph¥n ng¨u nhi¶n:
dωs = (1−πs)ωsads+πsωs(αds+ σdWs)−csds, s > 0, (1.25) trong â πs l t l» t i s£n ¢ ¦u t÷ v o cê phi¸u t¤i thíi iºm s v cs ≥0 l t l» ti¶u dòng.
Chóng ta gi£ sû r¬ng nh ¦u t÷ câ thº thay êi sè t l» vèn ¦u t÷ v cê phi¸u mët c¡ch tùc thíi m khæng ph£i chi b§t cù chi ph½ êi danh möc n o (v· mæ h¼nh câ chi ph½ êi danh möc câ thº xem trong [8]).
Trong b i to¡n n y, i·u khiºn ch½nh l c°p (πs, cs) l§y gi¡ trà trong U = R1 × [0,∞). L÷u þ r¬ng πs ÷ñc ph²p câ gi¡ trà ngo i o¤n [0,1] (x£y ra khi nh ¦u t÷ vay vèn). Khi ti¶u dòng vîi t l» cs nh ¦u t÷ s³ câ lñi ½ch x¡c ành bði h m l(cs). B i to¡n tèi ÷u l cüc ¤i hâa ký vång cõa lñi ½ch do ti¶u dòng câ chi¸t kh§u:
ˆ J(x;u.) := E Z ∞ 0 e−βsl(cs)ds|ω0 = x ,
ð ¥y β > 0 l h» sè tri¸t kh§u. Mët v½ dö phê bi¸n cõa h m lñi ½ch l : l(c) = 1
p(c)
Ùng döng cõa nghi»m nhît èi vîi to¡n t i ch½nh
Cho ν = (Ω,F,F, P) l khæng gian x¡c su§t ÷ñc låc v chuyºn ëng Brownd−chi·uW èi vîiFli¶n töc ph£i, õ. C¡c h mf (t, x, ω), σ(t, x, ω) x¡c ành tr¶n T×Rn×Ω v câ gi¡ trà t÷ìng ùng trong Rn v Rn×d v l c¡c h m Borel theo bi¸n (t, x) vîi méi ω cè ành, l c¡c qu¡ tr¼nh o ÷ñc lôy ti¸n theo (t, ω) èi vîi méi x cè ành. Trong ch÷ìng n y qu¡ tr¼nh ng¨u nhi¶n th÷íng ÷ñc k½ hi»u bði chú th÷íng (x.) thay v¼ chú hoa (X.) nh÷ trong Ch÷ìng 1 º ti»n cho vi»c tr¼nh b y trong c¡c cæng thùc to¡n.
Gi£ sû ph÷ìng tr¼nh vi ph¥n ng¨u nhi¶n gi¡ trà trong Rn :
dxt = f (t, xt)dt+σ(t, xt)dWt. (2.1) câ nghi»m m¤nh (xt)t∈T.