Qu¡ tr¼nh Itæ

Trong l¾nh vüc t i ch½nh, chóng ta th÷íng g°p c¡c qu¡ tr¼nh Itæ l  c¡c semimartingale li¶n töc.

ành ngh¾a 1.13. ChoW = (W1, ..., Wd)l  chuyºn ëng Brownd−chi·u trong khæng gian x¡c su§t ÷ñc låc (Ω,F,F, P). Qu¡ tr¼nh Itæ l  qu¡ tr¼nh X = (X1, ...Xn) vîi gi¡ trà trong Rn sao cho

Xt = X0 + Z t 0 bsds+ Z t 0 σsdWs, t∈ T, (1.9) tùc l , Xti = X0i + Z t 0 bisds+ d X j=1 Z t 0 σsijdWsj, t ∈ T, 1≤ i ≤ n, vîiX0 l  F0-o ÷ñc, b = (b1, ..., bn) v  σ = (σ1, ..., σn) = (σij)1≤i≤n,1≤j≤d

sao cho bi ∈ LS(dt) v  σi ∈ L2loc(W), i= 1, ..., n, tùc l  Z t 0 |bs|ds+ Z t 0 |σs|2ds < ∞, a.s., ∀t ∈ T. Chóng ta th÷íng vi¸t cæng thùc (1.9) d÷îi d¤ng vi ph¥n: dXt = btdt+σtdWt. 1.3.4 Cæng thùc Itæ

Cho X = (X1, ..., Xd) l  mët semimartingale li¶n töc câ gi¡ trà trong

Rd v  f ∈ C1,2(T ×Rd). Khi â (f(t, Xt))t∈T l  mët semimartingale v  vîi måi t∈ T ta câ

f(t, Xt) =f(0, X0) + Z t 0 ∂f ∂t (u, Xu)du+ d X i=1 Z t 0 ∂f ∂xi (u, Xu)dX i u + 1 2 d X i,j=1 Z t 0 ∂2f ∂xi∂xj (u, Xu)d < X i, Xj >u .

°c bi»t n¸u X câ d¤ng Xi = Mi + Ai, i = 1, ..., d vîi Mi l  c¡c martingale li¶n töc, Ai l  c¡c qu¡ tr¼nh t÷ìng th½ch vîi bi¸n ph¥n húu h¤n th¼ gåi Ai,c l  th nh ph¦n li¶n töc cõa Ai. Khi â vîi måi t ∈ T,

f (t, Xt) =f (0, X0) + Z t 0 ∂f ∂t (u, Xu)du+ d X i=1 Z t 0 ∂f ∂xi (u, Xu)dM i u + 1 2 d X i,j=1 Z t 0 ∂2f ∂xi∂xj (u, Xu)d < M i, Mj >u + d X i=1 Z t 0 ∂f ∂xi (u, Xu)dAi,cu + X 0≤s≤t [f (s, Xs)−f (s, Xs−)].

1.3.5 ành lþ biºu di¹n martingale

ành l½ 1.19 (Biºu di¹n cõa martingale Brown). Gi£ sû F l  låc tü nhi¶n ¦y õ cõa chuyºn ëng Brown d−chi·u W = (W1, ..., Wd), M =

(Mt)t∈T l  mët martingale àa ph÷ìng g¦n li¶n töc. Khi â tçn t¤i α = α1, ..., αd ∈ L2loc(W) sao cho:

Mt = M0 + Z t 0 αu.dWu = M0 + d X i=1 Z t 0 αitdWti, t∈ Ta.s.

Hìn núa, n¸u M bà ch°n trong L2 th¼ α ∈ L2(W), tùc E

h RT¯ 0 |αt|2dt i < ∞.

K¸t qu£ tr¶n cho th§y, måi martingale èi vîi låc Brown ·u li¶n töc. ành l½ 1.20 (Ph¥n t½ch Galtchouk - Kunita - Watanabe). Cho M = (M1, ..., Md) l  mët martingale àa ph÷ìng li¶n töc, câ gi¡ trà trong Rd, N l  martingale àa ph÷ìng g¦n li¶n töc câ gi¡ trà thüc. Khi â tçn t¤i α ∈ L2loc(M) v  mët martingale àa ph÷ìng g¦n li¶n töc R trüc giao vîi M, tùc l  < R, Mi >= 0, i= 1, ..., d tri»t ti¶u t¤i 0 sao cho:

Nt = N0 +

Z t

0

αudMu+Rt, t ∈ T, a.s.

Hìn núa, n¸u N bà ch°n trong L2 th¼ α ∈ L2(M) v  R công bà ch°n trong L2.

ành l½ 1.21. Cho M l  mët martingale àa ph÷ìng li¶n töc, α(n)n≥1 l  mët d¢y c¡c qu¡ tr¼nh trong L(M) sao cho vîi måi n,R α(n)dM kh£ t½ch ·u v  d¢y RT¯

0 α(tn)dMt

n≥1 hëi tö trong L1 v· mët bi¸n ng¨u nhi¶n ξ ∈ L1. Khi â tçn t¤i α ∈ L(M) sao cho R

αdMl  mët martingale kh£ t½ch ·u v  ξ = R0T¯ α(tn)dMt.

1.4 Ph÷ìng tr¼nh vi ph¥n ng¨u nhi¶n

1.4.1 Nghi»m m¤nh cõa ph÷ìng tr¼nh vi ph¥n ng¨u nhi¶nCho khæng gian x¡c su§t ÷ñc låc ν = Ω,F,F = (Ft)t∈T , P v  Cho khæng gian x¡c su§t ÷ñc låc ν = Ω,F,F = (Ft)t∈T , P v  chuyºn ëng Brown d−chi·u W = W1, W2, ...Wd èi vîi F. C¡c h m

f (t, x, ω) = (fi(t, x, ω))1≤i≤d, σ(t, x, ω) = (σij(t, x, ω))1≤i≤n,1≤j≤d x¡c ành tr¶n T×Rn×Ω v  câ gi¡ trà t÷ìng ùng trong Rn v  Rn×d. Gi£ thi¸t r¬ng, vîi måi ω, c¡c h m f (., ., ω), σ(., ., ω) l  c¡c h m Borel tr¶n

T ×Rn v  vîi måi x ∈ Rn, c¡c qu¡ tr¼nh f (., x, .), σ(., x, .) ÷ñc vi¸t gån l  f (., x) v  σ(., x) o ÷ñc lôy ti¸n.

X²t ph÷ìng tr¼nh vi ph¥n ng¨u nhi¶n gi¡ trà trong Rn :

dXt = f (t, Xt)dt+ σ(t, Xt)dWt (1.10) Ph÷ìng tr¼nh n y câ thº vi¸t d÷îi d¤ng tøng th nh ph¦n

dXti = fi(t, Xt)dt+

d

X

j=1

σij (t, Xt)dWtj,1≤ i ≤ d. (1.11) Ta chõ y¸u xem x²t hai t¼nh huèng sau:

(1) f(t, x) v  σ(t, x) l  c¡c h m Borel t§t ành cõa t v  x. Khi â ph÷ìng tr¼nh vi ph¥n ng¨u nhi¶n (1.10) ÷ñc gåi l  ph÷ìng tr¼nh khu¸ch t¡n.

(2) C¡c h» sè ng¨u nhi¶nf (t, x, ω)v σ(t, x, ω)câ d¤ngf˜(t, x, ut(ω)), ˜

σ(t, x, ut(ω)) trong â f˜v  σ˜ l  c¡c h m Borel t§t ành tr¶n T×Rn×U, trong â U ⊂ Rm v  u = (ut)t∈

T l  qu¡ tr¼nh o ÷ñc lôy ti¸n vîi gi¡ trà trong U. Khi â ph÷ìng tr¼nh vi ph¥n ng¨u nhi¶n (1.10) ÷ñc gåi l  ph÷ìng tr¼nh khu¸ch t¡n câ i·u khiºn bði u.

ành ngh¾a 1.14 (Nghi»m m¤nh cõa ph÷ìng tr¼nh vi ph¥n ng¨u nhi¶n). Nghi»m m¤nh cõa ph÷ìng tr¼nh vi ph¥n ng¨u nhi¶n (1.10) b­t ¦u t¤i

thíi iºm t l  mët qu¡ tr¼nh o ÷ñc lôy ti¸n X = X1, X2, ...Xn sao cho Z s t |f (u, Xu)|du+ Z s t |σ(u, Xu)|2du < ∞ a.s., vîi måi t≤ s trong T v  ÷ñc x¡c ành bði cæng thùc

Xs = Xt + Z s t b(u, Xu)du+ Z s t σ(u, Xu)dWu, t ≤ s ∈ T, (1.12) tùc l  Xsi = Xti + Z s t fi(u, Xu)du+ d X j=1 Z s t σij (u, Xu)dWuj,

vîi måi t≤ s trong T v  vîi måi 1≤ i ≤ d h¦u ch­c ch­n.

Chó þ r¬ng nghi»m m¤nh cõa ph÷ìng tr¼nh vi ph¥n ng¨u nhi¶n (1.10) l  mët qu¡ tr¼nh li¶n töc.

Sü tçn t¤i v  t½nh duy nh§t cõa nghi»m m¤nh cõa (1.10) ÷ñc £m b£o bði c¡c i·u ki»n sau: tçn t¤i mët h¬ng t§t ành K v  c¡c qu¡ tr¼nh gi¡ trà thüc κ sao cho vîi måi t ∈ T, ω ∈ Ω, x, y ∈ Rn,

|f (t, x, ω)−f (t, y, ω)|+|σ(t, x, ω)−σ(t, y, ω)| ≤ K|x−y|, (1.13) |f (t, x, ω)|+|σ(t, x, ω)| ≤κt(ω) +K|x|, (1.14) vîi E Z t 0 |κu|2du < ∞,∀t ∈ T. (1.15) Vîi i·u ki»n (1.13) th¼ ta câ thº chån κt = |f(t,0)|+|σ(t,0)|. Cö thº: ành l½ 1.22. D÷îi c¡c i·u ki»n (1.13), (1.14), (1.15), vîi måi t ∈ T, tçn t¤i nghi»m m¤nh cõa ph÷ìng tr¼nh vi ph¥n ng¨u nhi¶n (1.10) b­t ¦u t¤i thíi iºm t x¡c ành bði cæn thùc (1.12). Hìn núa, vîi méi bi¸n ng¨u nhi¶n Ft−o ÷ñc ξ câ gi¡ trà trong Rn sao cho E[|ξ|p] < ∞, (p > 1), ·u tçn t¤i duy nh§t nghi»m m¤nh X b­t ¦u tø ξ t¤i thíi iºm t, tùc l 

Xt = ξ. T½nh duy nh§t ÷ñc hiºu theo tøng quÿ ¤o, câ ngh¾a l  n¸u X v  Y l  hai nghi»m m¤nh nh÷ ¢ nâi, ta câ P [Xs = Ys,∀t ≤ s ∈ T] = 1. Nghi»m n y l  b¼nh ph÷ìng kh£ t½ch v  vîi måi T > t, tçn t¤i h¬ng sè CT sao cho E sup t≤s≤T |Xs|p ≤CT (1 +E[|ξ|p]).

Chóng ta th÷íng kþ hi»u nghi»m m¤nh cõa (1.10) b­t ¦u tø ξ t¤i thíi iºm t l  Xt,ξ = Xst,ξ, t ≤ s ∈ T . Khi t = 0, ta ch¿ ìn gi£n vi¸t Xξ = X0,ξ. Düa tr¶n t½nh duy nh§t theo quÿ ¤o cõa nghi»m m¤nh, chó þ r¬ng vîi måi t ≤ θ trong T, x ∈ Rn, ta câ Xst,x = Xθ,X

t,x θ

s , ∀θ ≤ s ∈ T

h¦u ch­c ch­n.

Khi f v  σ l  c¡c h m t§t ành cõa t v  x, nghi»m m¤nh cõa ph÷ìng tr¼nh vi ph¥n ng¨u nhi¶n (1.10) t÷ìng th½ch èi vîi låc tü nhi¶n cõa W. Nghi»m â câ thuëc t½nh Markov (cán gåi l  nghi»m Markov), tùc l : vîi b§t ký h m Borel g bà ch°n tr¶n Rd, vîi måi t≤ θ trong T, ta câ:

E[g(Xθ) | Ft] = Eg Xθt,x.

Cho mët nghi»m m¤nh cõa ph÷ìng tr¼nh vi ph¥n ng¨u nhi¶n (1.10) b­t ¦u t¤i thíi iºm t v  mët h m ϕ ∈ C1,2(T×Rn), cæng thùc Itæ cho ϕ(s, Xs) vîi t ≤s trong T ÷ñc vi¸t nh÷ sau:

ϕ(s, Xs) = ϕ(t, Xt) + Z s t ∂ϕ ∂t (u, Xu) +Auϕ(u, Xu)du + Z s t Dxϕ(u, Xu)0σ(u, Xu)dWu, (1.16) trong â: At(ω)ϕ(t, x) = f (t, x, ω).Dxϕ(t, x) + 1 2tr σ(t, x, ω)σ 0(t, x, ω)Dx2ϕ(t, x) = n X i=1 fi(t, x, ω) ∂ϕ ∂xi (t, x) + n X i,k=1 γi,k(t, x, ω) ∂ 2ϕ ∂xi∂xk (t, x), (1.17)

vîi γ(t, x) =σ(t, x)σ0(t, x) l  ma trªn c§p n×n vîi c¡c th nh ph¦n: γik(t, x) = d X j=1 σij(t, x)σkj (t, x).

1.4.2 ¡nh gi¡ moment nghi»m cõa ph÷ìng tr¼nh vi ph¥n ng¨u nhi¶n

Tø (1.13), tçn t¤i h¬ng sè d÷ìng β0 sao cho vîi måi t ∈ T, ω ∈

Ω, x, y ∈ Rn,

(f(t, x, ω)−f(t, y, ω)).(x−y) + 1

2|σ(t, x, ω)−σ(t, y, ω)|2 ≤β0|x−y|2. Bê · 1.1 (Bê · Gronwall). Gi£ sû g l  mët h m sè li¶n töc d÷ìng tr¶n R+ sao cho g(t) ≤ h(t) +C Z t 0 g(s)ds, 0 ≤ t≤ T, trong â C l  mët h¬ng sè d÷ìng v  h l  mët h m kh£ t½ch tr¶n o¤n [0, T], vîi T > 0. Khi â:

g(t) ≤h(t) +C

Z t

0

h(s)eC(t−s)ds, 0≤ t ≤T.

ành l½ 1.23. Gi£ sû c¡c i·u ki»n (1.13), (1.14), (1.15) v  ÷ñc thäa m¢n. Khi â ta câ

1) Tçn t¤i h¬ng sè C (phö thuëc v o K) sao cho vîi måi t≤ θ trong

T v  x ∈ Rn E sup t≤s≤θ Xst,x 2 ≤C|x|2 + CeC(θ−t)E Z θ t |x|2 +|κu|2du , (1.18) E sup t≤s≤θ Xst,x−x 2 ≤CeC(θ−t)E Z θ t |x|2 + |κu|2du . (1.19) 2) Vîi måi 0≤ t ≤s trong T v  x, y ∈ Rn, ta câ:

E sup t≤u≤s Xut,x −Xut,y 2 ≤ e2β0(s−t)|x−y|2. (1.20)

1.4.3 Cæng thùc Feynman - Kac

Cho O ⊂ Rn l  mët tªp mð, τO l  thíi iºm døng x¡c ành bði thíi gian tho¡t khäi tªp O,

τO(ω) := inf{s ≥t|Xs(ω) 6∈ O},

trong â Xs l  nghi»m m¤nh cõa (1.10) vîi c¡c h» sè f(t, x), σ(t, x) t§t ành. Chó þ r¬ng, thíi iºm tho¡t τO phö thuëc c£ v o i·u ki»n ban ¦u Xt, tuy nhi¶n trong c¡c ph¦n ti¸p theo ta s³ khæng vi¸t rã sü phö thuëc n y.

Cho T > 0 cè ành, ψ(x), g(x, t) l  c¡c h m trìn, O ⊂ Rn l  mët tªp mð, bà ch°n. Gåi τO l  thíi iºm tho¡t khäi tªp O v 

φ(x, t) := E(ψ(XT) 1T <τO + g(XτO, τO) 1T≥τO|Xt = x), (1.21) vîi x ∈ Rn, s ∈ [0, T] v  E(...|Xt = x) l  ký vång câ i·u ki»n èi vîi i·u ki»n ban ¦u Xt = x.

Vîi c¡c k½ hi»u tr¶n ¥y v  to¡n tû At cho bði cæng thùc (1.17) ta câ Bê · 1.2 (Feynman-Kac). Gi£ sû φ cho bði cæng thùc (1.21) thuëc C1,2(O ×(0, T))∩C O ׯ [0, T]. Khi â h m φ thäa m¢n b i to¡n bi¶n cuèi èi vîi ph÷ìng tr¼nh ¤o h m ri¶ng sau

− ∂

∂tφ(x, t)− Atφ(x, t) = 0 trong O ×(0, T), (1.22) φ(x, t) =g(x, t) tr¶n ∂O ×(0, T), (1.23) φ(x, T) = ψ tr¶n O.¯ (1.24) Ng÷ñc l¤i, n¸u ϕ ∈ C1,2(O × (0, T)) ∩C O ׯ [0, T] l  mët nghi»m cõa (1.22), (1.23) v  (1.24) th¼ ϕ= φ.

1.5 B i to¡n tèi ÷u hâa ng¨u nhi¶n

Cho ν = (Ω,F,F, P) l  khæng gian x¡c su§t ÷ñc låc. Trong möc n y, ta s³ ph¡c th£o c§u tróc cì b£n cõa b i to¡n tèi ÷u hâa ng¨u nhi¶n vîi thíi gian li¶n töc v  s³ minh håa b i to¡n n y thæng qua mët sè v½ dö trong l¾nh vüc to¡n t i ch½nh. Theo thuªt ngú chung, b i to¡n tèi ÷u hâa ng¨u nhi¶n ÷ñc thi¸t lªp qua c¡c °c tr÷ng sau ¥y:

Tr¤ng th¡i cõa h» thèng: Chóng ta x²t mët h» thèng ëng ÷ñc °c tr÷ng bði tr¤ng th¡i cõa nâ t¤i mët thíi iºm b§t k¼ v  bi¸n êi trong mët mæi tr÷íng m  t½nh khæng ch­c ch­n cõa tr¤ng th¡i ÷ñc x¡c ành bði khæng gian x¡c su§t (Ω,F, P). Tr¤ng th¡i cõa h» l  mët bë c¡c bi¸n ành l÷ñng c¦n thi¸t º mæ t£ b i to¡n. Ta k½ hi»u Xt(ω) l  tr¤ng th¡i cõa h» t¤i thíi iºm tùng vîi mët sü ki»n ω ∈ Ω n o â. Bi¸t tr¤ng th¡i ban ¦u X0 = x, chóng ta s³ mæ t£ t½nh ch§t ëng (theo thíi gian li¶n töc) cõa h» tr¤ng th¡i, tùc l  ¡nh x¤ t → Xt(ω) cho måi ω thæng qua mët ph÷ìng tr¼nh ¤o h m ri¶ng ng¨u nhi¶n.

i·u khiºn: T½nh ch§t ëng t → Xt cõa h» thèng th÷íng chàu £nh h÷ðng bði nh¥n tè i·u khiºn ÷ñc mæ h¼nh hâa nh÷ l  mët qu¡ tr¼nh u = (ut)t m  gi¡ trà cõa nâ ÷ñc quy¸t ành t¤i mët thíi iºm t b§t k¼ bði mët h m cõa c¡c thæng tin ¢ bi¸t. i·u khiºn u c¦n thäa m¢n mët sè r ng buëc v  ÷ñc gåi l  i·u khiºn ch§p nhªn ÷ñc. Kþ hi»u Uν l  tªp t§t c£ c¡c i·u khiºn ch§p nhªn ÷ñc.

Ti¶u chu©n v· lñi nhuªn (chi ph½): Möc ti¶u l  cüc ¤i ho°c cüc tiºu hâa phi¸m h m lñi nhuªn (ch½ ph½) J(x, u) tr¶n t§t c£ c¡c i·u khiºn ch§p nhªn ÷ñc Uν. Chóng ta x²t hai phi¸m h m möc ti¶u têng qu¡t câ d¤ng: E Z T 0 L(Xt, ω, ut)dt+g(Xt, ω)

vîi T <∞ (trong b i to¡n vîi thíi gian húu h¤n) v  E Z ∞ 0 e−βtL(Xt, ω, ut)dt

(trong b i to¡n vîi thíi gian væ h¤n) trong â: h m L l  h m lñi nhuªn (ho°c chi ph½) bi¸n ëng v  g l  h m lñi nhuªn (ho°c chi ph½) t¤i thíi iºm cuèi t= T, β > 0 l  nh¥n tû chi¸t kh§u. Trong mët sè t¼nh huèng kh¡c, bi¸n i·u khiºn câ thº t¡c ëng trüc ti¸p v o thíi iºm cuèi T công nh÷ lñi nhuªn (ho°c chi ph½) cuèi g(., T). Khi â b i to¡n tèi ÷u hâa t÷ìng ùng ÷ñc gåi l  b i to¡n v· thíi iºm døng tèi ÷u.

Trong cæng thùc têng qu¡t, bi¸n i·u khiºn câ thº l  mët c°p bao gçm tham sè i·u khiºn v  thíi iºm døng (u, τ). Lóc â, h m möc ti¶u s³ câ d¤ng: J(x, u, τ) = E Z τ 0 f (Xt, ut)dt+g(Xτ) . H m gi¡ trà lóc â cho bði

V(x) = sup

u,τ

J(x, u, τ) ho°c V(x) = inf

u,τ J (x, u, τ).

Möc ½ch ch½nh cõa b i to¡n tèi ÷u hâa ng¨u nhi¶n l  t¼m qu¡ tr¼nh i·u khiºn v  thíi iºm døng º h m gi¡ trà l  x¡c ành. i·u khiºn v  thíi iºm døng â ÷ñc gåi l  i·u khiºn tèi ÷u v  thíi iºm døng tèi ÷u. V½ dö 1.24 (i·u khiºn ng¨u nhi¶n tuy¸n t½nh). X²t ph÷ìng tr¼nh vi ph¥n ng¨u nhi¶n cõa Xs :

dXs = [A(s)Xs +B(s)us]ds+σ(s)dWs, vîi c¡c ma trªn A(s), B(s) v  σ(s) ¢ cho. H m möc ti¶u J(x, t;u.) := E Z T t [M (s)Xs.Xs+ N(s)us.us]ds+DXT.XT | Xt = x , trong â M(s), N(s) v  D l  c¡c ma trªn èi xùng, nûa x¡c ành d÷ìng.

V½ dö 1.25 (B i to¡n lüa chån danh möc ¦u t÷ Merton). X²t mæ h¼nh ìn gi£n v· ¦u t÷ chùng kho¡n, trong â danh möc ¦u t÷ bao gçm lo¤i hai t i s£n: lo¤i ¦u t÷ ên ành (ð ¥y gåi l  tr¡i phi¸u) v  lo¤i ¦u t÷ "m¤o hiºm" (ð ¥y gåi l  cê phi¸u). Gi¡ bs cõa mët tr¡i phi¸u thay êi theo cæng thùc db = abds, trong khi gi¡ ps cõa mët cê phi¸u thay êi theo cæng thùc dp = p(αds +σdW s), trong â a, α, σ l  c¡c h¬ng sè vîi a < α, σ > 0 v  Ws l  mët chuyºn ëng Brown mët chi·u. T i s£n cõa nh  ¦u t÷ t¤i thíi iºm s l  ωs thay êi theo ph÷ìng tr¼nh vi ph¥n ng¨u nhi¶n:

dωs = (1−πs)ωsads+πsωs(αds+ σdWs)−csds, s > 0, (1.25) trong â πs l  t l» t i s£n ¢ ¦u t÷ v o cê phi¸u t¤i thíi iºm s v  cs ≥0 l  t l» ti¶u dòng.

Chóng ta gi£ sû r¬ng nh  ¦u t÷ câ thº thay êi sè t l» vèn ¦u t÷ v  cê phi¸u mët c¡ch tùc thíi m  khæng ph£i chi b§t cù chi ph½ êi danh möc n o (v· mæ h¼nh câ chi ph½ êi danh möc câ thº xem trong [8]).

Trong b i to¡n n y, i·u khiºn ch½nh l  c°p (πs, cs) l§y gi¡ trà trong U = R1 × [0,∞). L÷u þ r¬ng πs ÷ñc ph²p câ gi¡ trà ngo i o¤n [0,1] (x£y ra khi nh  ¦u t÷ vay vèn). Khi ti¶u dòng vîi t l» cs nh  ¦u t÷ s³ câ lñi ½ch x¡c ành bði h m l(cs). B i to¡n tèi ÷u l  cüc ¤i hâa ký vång cõa lñi ½ch do ti¶u dòng câ chi¸t kh§u:

ˆ J(x;u.) := E Z ∞ 0 e−βsl(cs)ds|ω0 = x ,

ð ¥y β > 0 l  h» sè tri¸t kh§u. Mët v½ dö phê bi¸n cõa h m lñi ½ch l : l(c) = 1

p(c)

Ùng döng cõa nghi»m nhît èi vîi to¡n t i ch½nh

Cho ν = (Ω,F,F, P) l  khæng gian x¡c su§t ÷ñc låc v  chuyºn ëng Brownd−chi·uW èi vîiFli¶n töc ph£i, õ. C¡c h mf (t, x, ω), σ(t, x, ω) x¡c ành tr¶n T×Rn×Ω v  câ gi¡ trà t÷ìng ùng trong Rn v  Rn×d v  l  c¡c h m Borel theo bi¸n (t, x) vîi méi ω cè ành, l  c¡c qu¡ tr¼nh o ÷ñc lôy ti¸n theo (t, ω) èi vîi méi x cè ành. Trong ch÷ìng n y qu¡ tr¼nh ng¨u nhi¶n th÷íng ÷ñc k½ hi»u bði chú th÷íng (x.) thay v¼ chú hoa (X.) nh÷ trong Ch÷ìng 1 º ti»n cho vi»c tr¼nh b y trong c¡c cæng thùc to¡n.

Gi£ sû ph÷ìng tr¼nh vi ph¥n ng¨u nhi¶n gi¡ trà trong Rn :

dxt = f (t, xt)dt+σ(t, xt)dWt. (2.1) câ nghi»m m¤nh (xt)t∈T.

2.1 Nguy¶n lþ quy ho¤ch ëng

2.1.1 Mæ t£ h¼nh thùc cõa nguy¶n lþ quy ho¤ch ëng

Trong möc n y ta s³ mæ t£ mët c¡ch h¼nh thùc v· nguy¶n lþ quy ho¤ch ëng cõa Bellman. Vi»c mæ t£ h¼nh thùc ÷ñc thüc hi»n èi vîi

b i to¡n i·u khiºn cüc tiºu hâa vîi thíi gian húu h¤n. C¡c b i to¡n kh¡c v· cì b£n công t÷ìng tü nh÷ vªy.

Cho O ⊂ Rn l  mët tªp mð. X²t b i to¡n i·u khiºn tèi ÷u vîi thíi gian húu h¤n v  h m gi¡ trà V(x, t) x¡c ành tr¶n O ×[0, T] bði:

V (x, t) := inf Uν E Z T t L(xs, us, s)ds+ψ(xT)|xt = x (2.2) trong â Uν l  tªp t§t c£ c¡c i·u khiºn ch§p nhªn ÷ñc vîi gi¡ trà trong U.

Nguy¶n lþ quy ho¤ch ëng cõa Bellman kh¯ng ành r¬ng: vîi b§t ký h ∈ [0, T −t], V (x, t) = inf Uν E Z t+h t L(xs, us, s)ds+V (xt+h, t+h)|xt = x . (2.3) Biºu thùc trong d§u ngo°c ìn l  têng chi ph½ bi¸n ëng tr¶n o¤n [t, t+h] v  cüc tiºu ký vång chi ph½ tèi ÷u sau thíi iºm t+ h vîi dú ki»n ban ¦u l  (xt+h, t+h).

Ph÷ìng tr¼nh quy ho¤ch ëng l  mæ h¼nh vi ph¥n cõa nguy¶n lþ quy ho¤ch ëng v  nhªn ÷ñc tø (2.3) theo c¡ch sau ¥y:

L§y i·u khiºn h¬ng sè: us = ¯u, s ∈ [t, t+h] trong (2.3) ta câ: V (x, t) ≤E