Tính chính quy của nghiệm nhớt đối với bài toán cauchy cho phương trình hamilton jacobi

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI TRẦN THỊ PHƯƠNG TÍNH CHÍNH QUY CỦA NGHIỆM NHỚT ĐỐI VỚI BÀI TOÁN CAUCHY CHO PHƯƠNG TRÌNH HAMILTON-JACOBI LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC HÀ NỘI, 2015 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI TRẦN THỊ PHƯƠNG TÍNH CHÍNH QUY CỦA NGHIỆM NHỚT ĐỐI VỚI BÀI TOÁN CAUCHY CHO PHƯƠNG TRÌNH HAMILTON-JACOBI Chuyên ngành: Toán giải tích Mã số: 60 46 01 02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS NGUYỄN HỮU THỌ HÀ NỘI, 2015 i Lời cảm ơn Luận văn hoàn thành trường Đại học Sư phạm Hà Nội hướng dẫn thầy giáo TS Nguyễn Hữu Thọ Sự giúp đỡ hướng dẫn tận tình, nghiêm túc thầy suốt trình thực luận văn giúp tác giả trưởng thành nhiều cách tiếp cận vấn đề Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn, lòng kính trọng sâu sắc thầy Tác giả xin trân trọng cảm ơn Ban giám hiệu trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2, phòng Sau đại học, thầy cô giáo nhà trường bạn học viên giúp đỡ, tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả suốt trình học tập hoàn thành luận văn này! Hà Nội, ngày 05 tháng năm 2015 Tác giả Trần Thị Phương ii Lời cam đoan Luận văn hoàn thành trường Đại học Sư phạm Hà Nội Tôi xin cam đoan luận văn công trình nghiên cứu riêng hướng dẫn TS Nguyễn Hữu Thọ Trong trình nghiên cứu hoàn thành luận văn kế thừa thành khoa học nhà khoa học đồng nghiệp với trân trọng biết ơn Tôi xin cam đoan thông tin trích dẫn luận văn rõ nguồn gốc Hà Nội, ngày 05 tháng năm 2015 Tác giả Trần Thị Phương iii Mục lục Lời cảm ơn i Lời cam đoan ii Lời mở đầu 1 Kiến thức chuẩn bị 1.1 Tập đóng, tập mở 1.2 Hàm lồi 1.3 Hàm liên tục Lipchitz 1.4 Liên hợp Fenchel 1.5 Vi phân suy rộng 1.6 Hàm nửa lõm 10 1.7 Đặc trưng phương trình đạo hàm riêng phi tuyến cấp 11 1.7.1 Phương trình vi phân thường đặc trưng 11 1.7.2 Điều kiện biên 13 1.7.3 Nghiệm địa phương 19 Nghiệm nhớt phương trình đạo hàm riêng cấp 2.1 Khái niệm số tính chất chung nghiệm nhớt 21 22 iv 2.2 Tính nghiệm nhớt 29 Cấu trúc tính quy nghiệm nhớt cho phương trình Hamilton – Jacobi 36 3.1 Công thức dạng Hopf – Lax đặc trưng 36 3.2 Tính quy nghiệm cho công thức Hopf-Lax 55 Kết luận 60 Tài liệu tham khảo 61 Lời mở đầu Lý chọn đề tài Việc nghiên cứu phương trình phi tuyến nói chung phương trình vi phân đạo hàm riêng phi tuyến nói riếng vấn đề cần thiết giải tích đại: lĩnh vực Phương trình đạo hàm riêng phi tuyến cấp thấy hàng loạt công trình nhiều nhà toán học giới, Phương trình HamiltonJacobi quan tâm nhiều Phương trình Hamilton-Jacobi phương trình đạo hàm riêng phi tuyến cấp có dạng sau: ∂u + H(t, x, u, Du) = 0, t > 0, x ∈ Rn ∂t H gọi Hamiltonian Những nghiên cứu phương trình Hamilton-Jacobi xuất từ lâu, có lẽ từ việc khảo sát toán biến phân với đầu mút động Có nhiều phương pháp cổ điển nghiên cứu nghiệm trơn, địa phương phương trình Định lý Cauchy-Kovalevskays định lý nói tồn tại, nghiệm địa phương với kiện đặt hàm giải tích Các phương pháp tách biến, biến đổi Legendre, tích phân toàn phần, lý thuyết đặc trưng Cauchy, đồng dạng góp phần làm phong phú lĩnh vực nghiên cứu phương trình Hamilton-Jacobi Tuy nhiên, nhiều toán vật lý ứng dụng, nghiệm cổ điển, địa phương phương trình Hamilton-Jacobi chưa đáp ứng yêu cầu thực tế mong muốn nhận thông tin tổng thể đầy đủ Nhìn chung, nghiên cứu cổ điển trước chưa quan tâm tới tính toàn cục nghiệm, chưa có cách hiểu nghiệm cách mềm dẻo (do chất phi tuyến phương trình Hamilton-Jacobi, nghiệm cổ điển toàn cục tồn số lớp đặc biệt), từ nghiệm suy rộng đời Có nhiều loại nghiệm suy rộng đề xuất : Nghiệm toàn cục Lipschitz, nghiệm tích phân, nghiệm nhớt Bài báo M.G Crandall L.C Lions năm 1983 đặt móng cho nghiên cứu nghiệm nhớt, sau có nhiều kết kinh điển nghiệm nhớt đời tạo định hướng quan trọng Với mong muốn tiếp cận tới lý thuyết nghiệm nhớt phương trình Hamilton-Jacobi, hướng dẫn Thầy Nguyễn Hữu Thọ, chọn đề tài cho luận văn : Tính quy nghiệm nhớt toán Cauchy cho phương trình Hamilton-Jacobi Mục đích nghiên cứu Mô tả cấu trúc nghiệm nhớt toán Cauchy cho phương trình Hamilton – Jacobi thông qua đặc trưng xét tính quy nghiệm nhớt Nhiệm vụ nghiên cứu - Tổng quan phương pháp đặc trưng phương trình đạo hàm riêng phi tuyến cấp - Mô tả nghiệm nhớt cho toán Cauchy cho phương trình Hamilton–Jacobi thông qua nghiệm phương trình vi phân đặc trưng - Khảo sát tính quy nghiệm nhớt toán Cauchy cho phương trình Hamilton–Jacobi Đối tượng phạm vi nghiên cứu Bài toán Cauchy cho phương trình Hamilton – Jacobi, phương trình vi phân đặc trưng, công thức dạng Hopf–Lax cho nghiệm nhớt Phương pháp nghiên cứu Nghiên cứu lý thuyết, thu thập tài liệu, đọc phân tích, tổng hợp để nhận nghiên cứu tính quy nghiệm nhớt toán Cauchy cho phương trình Hamilton–Jacobi Đóng góp đề tài Trình bày cách có hệ thống cấu trúc nghiệm nhớt quy nghiệm nhớt toán Cauchy cho phương trình Hamilton-Jacobi mô tả công thức dạng Hopf-Lax Hà Nội, ngày 05 tháng năm 2015 Tác giả Trần Thị Phương Chương Kiến thức chuẩn bị Trong chương sử dụng kết tài liệu [2], [4], [8] 1.1 Tập đóng, tập mở Định nghĩa 1.1 Cho x0 ∈ Rn , ε > 0, ta gọi tập B(x0, ε) := x ∈ Rn : x − x0 < ε hình cầu mở Rn có tâm x0, bán kính ε Định nghĩa 1.2 Tập U ⊂ Rn gọi mở ∀x0 ∈ U, ∃ε > cho B(x0, ε) ⊂ U Tập F ⊂ Rn gọi đóng U := Rn \F mở Tập V ⊂ Rn gọi lân cận x ∈ Rn tồn ε > cho B(x, ε) ⊂ V Định nghĩa 1.3 Cho A tập Rn Kí hiệu {Fj (A)}j∈J họ tất tập đóng chứa A 48 [p, p0] bị chứa D = {z ∈ domσ ∗ /∂σ ∗(z) = ∅} σ ∗ không lồi ngặt tập [p, p0] Điều mâu thuẫn, σ(x) ∈ C 1(R) chất lồi D Đặc biệt, σ ∗ lồi [p, p0] Do đó, thường hợp bất kỳ, p ∈ / l(t0, x0) p ∈ / l(t, x) Chứng minh hoàn thành Nếu ta tăng giả thiết (A2) ta có kết mạnh trình bày định lý sau Định lý 3.4 Giả sử có (A1) (A2) Trong trường hợp H(t, ) hàm lõm, ta giả thiết thêm H(t, ) lõm ngặt với hầu khắp t ∈ (0, T ) Cho (t0 , x0) ∈ Ω, p0 = σy (y) ∈ l(t0, x0) xét t C : x = x0 + Hp (τ, p0)dτ, < t < T t0 đường đặc trưng loại (I) (t0 , x0) Khi đó, l(t, x) = {p0} với (t, x) ∈ C, ≤ t < t0 Chứng minh Ta sử dụng ký hiệu phần chứng minh Định lý 3.3 Lấy p ∈ l(t1, x1) (t1, x1) ∈ C t1 ∈ [0, t0) Ta kiểm tra p = p0 Giả sử ngược lại p = p0 Đặt η(t, p) = φ(t, x, p) − φ(t, x, p0), (t, x) ∈ C, t ∈ [0, t0] 49 đó, t φ(t, x, p) = x, p − σ ∗ (p) − H(τ, p)dτ Theo Định lý 3.3, l(t1, x1) ⊂ l(t0, x0), η(t0 , p) = η(t1, p) = p ∈ l(t0, x0) Điều suy t0 x0 , p − p0 − (σ ∗(p) − σ ∗(p0)) = (H(τ, p) − H(τ, p0))dτ (3.15) Trừ hai vế cho t0 Hp (τ, p0)dτ, p − p0 , ý t0 y = x0 − Hp (τ, p0)dτ Ta có t y, p − p0 − (σ ∗(p) − σ ∗(p0)) = H(τ, p) − H(τ, p0) − Hp (τ, p0), p − p0 dτ (3.16) Như phương pháp trước, p0 = σy (y) nên y ∈ ∂σ ∗(p0) Áp dụng Bổ đề 3.1 lập luận phần chứng minh Định lý 3.3, ta thấy p = p0 y, p − p0 − (σ ∗(p) − σ ∗ (p0)) < (3.17) 50 Do đó, t (3.18) (H(τ, p) − H(τ, p0) − Hp (τ, p0), p − p0 )dτ < 0 Ta xem xét trường hợp sau : Trường hợp 1: Giả sử H(t, ) hàm lồi Khi đó, H(t, p) − H(t, p0) − Hp (t, p0), p − p0 ≥ 0, ∀t ∈ [0, t0] Điều mâu thuẫn với (3.18) Trường hợp 2: Giả sử H (t, p) = g(t)h(p) + k(t) Đẳng thức (3.16) viết lại sau y, p − p0 − (σ ∗(p) − σ ∗(p0)) =  t  = g(τ )dτ  (h(p) − h(p0) − hp (p0), p − p0 ) (3.19) Nói thông tin điều kiện (3.16) ý từ (3.19) ta kết luận t0 g(τ )dτ = 0 h(p) − h(p0) − hp (p0), p − p0 = η ′ (t, p) = ( hp (p0), p − p0 − (h(p) − h(p0)))g(t) không đổi dấu [0, t0] giả thiết g(t) không đổi dấu 51 Sử dụng tính đơn điệu ngặt hàm η(t, p) [t1 , t0 ] ta thấy = η(t1 , p) < η(t0 , p) = = η(t1 , p) > η(t0, p) = Điều tạo mâu thuẫn Trường hợp 3: Giả sử H(t, ) hàm lõm ngặt với hầu hết t ∈ (0, T ) Khi đó, η ′ (t, p) > hầu khắp (0, t0) Ta suy = η(t1, p) < η(t0, p) = Điều dẫn tới mâu thuẫn Do đó, trường hợp nào, ta có p = p0 l(t, x) = {p0} cho tất (t, x) ∈ C, ≤ t < t0 Chúng ta vừa thấy rằng, đường đặc trưng C loại (I) (t0 , x0) loại (I) điểm (t, x) ∈ C, ≤ t < t0 Tuy nhiên, đường đặc trưng loại (II), ta nhận kết khác hơn, kết phát biểu định lý sau Định lý 3.5 Giả sử có (A1) (A2) Hơn nữa, giả thiết thêm H, σ t thuộc lớp C Lấy (t0, x0) ∈ Ω cho C: x = x(t) = x0 + Hp (τ, σy (y0))dτ t0 đường đặc trưng loại (II) (t0 , x0) Khi đó, tồn θ ∈ (0, t0) cho C loại (I) (θ, x(θ)) C loại (II) với tất điểm (t, x) ∈ C, t ∈ (θ, t0] Chứng minh Cho t C : x = x(t) = x0 + Hp (τ, σy (y0))dτ t0 52 đường đặc trưng loại (II) (t0 , x0) xuất phát từ (0, y0) Khi đó, σy (y0) ∈ σy (l∗(t0, x0))\l(t0, x0) Bằng phương pháp đặc trưng Cauchy, hàm định nghĩa công thức dạng Hopf - Lax u(t, x) trùng với nghiệm địa phương C toán Cauchy (3.1) - (3.2) Khi đó, tồn t1 ∈ (0, t0) cho u(t, x) khả vi điểm (t, x(t)) ∈ C, ux (t, x) = σy (y0) l(t, x) = {σy (y0)} , ≤ t ≤ t1 Đặt θ = sup {t1 ∈ [0, t0) /l (s, x(s)) = {σy (y0)} ; ≤ s ≤ t1 } Do ánh xạ đa trị (t, x) → l(t, x) nửa liên tục nên ta có σy (y0 ) ∈ l(θ, x(θ)) Rõ ràng θ < t0 σy (y0) ∈ / l(t0, x0) C loại (I) (θ, x(θ)) Mặt khác, với t ∈ (θ, t0 ], C loại (II) (t, x(t)) định nghĩa θ Định lý 3.3 Định nghĩa 3.2 Cho u = u(t, x) : Ω → R l(t0, x0) ∈ Ω Cho (h, k) ∈ R × Rn , ta ký hiệu τ (p, q, h, k) = u(t0 + h, x0 + k) − u(t0, x0) − ph − q, k =0 h2 + |k| D+ u(t0, x0) = (p, q) ∈ Rn+1| lim sup τ (p, q, h, k) ≤ (h,k)→(0,0) D− u(t0, x0) = p ∈ R, q ∈ Rn+1 (p, q) ∈ Rn+1| lim inf τ (p, q, h, k) ≥ (h,k)→(0,0) 53 Khi đó, D+ u(t0, x0) (D− u(t0, x0)) gọi vi phân (dưới vi phân) u(t, x) (t0, x0) Chúng ta xét D∗ u(t0, x0) gradient tới hạn u(t, x) (t0 , x0) sau Cho (p, q) ∈ R × Rn , ta nói (p, q) ∈ D∗ u(t0, x0) tồn dãy (tk , xk )k ⊂ Ω\ {(t0 , x0)} cho u(t, x) khả vi (tk , xk ) (tk , xk ) → (t0, x0); (uk (tk , xk ), ux(tk , xk )) → (p, q) k → ∞ Nếu u(t, x) hàm Lipschitz địa phương, D∗ u(t, x) = ∅ tập compact Bây giờ, cho u(t, x) xác định công thức dạng Hopf - Lax cho (t0, x0) ∈ Ω Ta ký hiệu H(t0 , x0) = {(−H(t0, q), q)|q ∈ l(t0, x0)} Khi đó, mối quan hệ D∗ u(t0, x0) tập l(t0, x0) cho định lý sau : Định lý 3.6 Giả sử có (A1) (A2) Trong trường hợp H(t, ) hàm lồi, ta giả sử thêm H(t, ) hàm lõm ngặt với hầu hết t ∈ (0, T ) Cho u(t, x) nghiệm nhớt toán (3.1)-(3.2) xác định công thức dạng Hopf - Lax Khi đó, với (t0, x0) ∈ Ω ta có D∗ u(t0, x0) = H(t0 , x0) Chứng minh Cho (p0, q0) phần tử H(t0, x0), p0 = −H(t0 , q0) 54 t với q0 ∈ l(t0, x0) Cho C : x = x0 + Hp (τ, q0)dτ đường đặc trưng loại t0 (I) Bằng giả thiết Định lý 3.3, tất điểm (t, x) ∈ C, t ∈ [0, t0) quy Đặt tk = t0 − k1 lấy (tk , xk ) ∈ C, k = 1, 2, ta thấy (tk , xk ) → (t0, x0) (ut(tk , xk ), ux(tk , xk )) = (−H(tk , q0), q0) → (−H(t0, q0), q0) ∈ D∗ u(t0, x0) k → ∞ Do đó, D∗ u(t0, x0) ⊃ H(t0 , x0) Mặt khác, cho (p, q) ∈ D∗ u(t0, x0) (tk , xk )k ⊂ Ω\ {(t0 , x0)} cho u(t, x) khả vi (tk , xk ) (tk , xk ) → (t0 , x0); (uk (tk , xk ), ux(tk , xk )) → (p, q) k → ∞ Vì (ut(tk , xk ), ux(tk , xk )) = (−H(tk , qk ), qk ) với qk ∈ l(tk , xk ) hàm đa trị nửa liên tục trên, cho k → ∞ ta thấy q ∈ l(t0, x0) p = lim (−H(tk , qk )) = H(t0 , q) Tức (p, q) ∈ H(t0 , x0), k→∞ định lý chứng minh 55 3.2 Tính quy nghiệm cho công thức HopfLax Trong phần nghiên cứu tập dạng V = (0, t0) × Rn ⊂ Ω cho u(t, x) khả vi liên tục Tiếp đó, giả thiết cực tiểu ta (t0, x0) điểm kỳ dị u(t, x) tồn điểm kỳ dị khác (t, x) với t > t0 x đủ gần với x0 Định lý 3.7 Giả sử có (A1) (A2) Cho u(t, x) nghiệm nhớt toán (3.1)-(3.2) xác định công thức dạng Hopf - Lax (3.3) Gỉả sử tồn t∗ ∈ (0, T ) cho ánh xạ y → x(t∗, y) với x(t∗, y) = y + t∗ (τ, σy (y))dτ đơn ánh Khi đó, u(t, x) khả vi liên tục dải mở (0, t∗) × Rn t Chứng minh Cho (t0, x0) ∈ (0, t∗)×Rn cho C : x = x0 + Hp (τ, p0)dτ t0 p0 = σy (y0 ) ∈ l(t0, x0) đường đặc trưng qua (t0 , x0) định nghĩa Mệnh đề 3.1 Gọi (t∗, x∗) giao điểm C mặt phẳng ∆t∗ : t = t∗ Do ánh xạ y → x(t∗, y) đơn ánh l(t, x) = ∅, nên tồn đường đặc trưng qua (t∗, x∗) Đường C Do đó, ta viết lại C sau t x = x∗ + Hp(τ, p∗)dτ t0 p∗ ∈ l(t∗, x∗) Theo giả thiết, l∗(t∗, x∗) đơn trị, l(t∗, x∗) đơn trị Rõ ràng, theo Định lý 3.3, C loại (I) (t, x) l(t, x) = {p∗} , ∀(t, x) ∈ C, < 56 t < t∗ Cụ (t0 , x0) ta có p = p∗ Bằng cách áp dụng Định lý 2.1, thấy u(t, x) thuộc lớp C (0, t∗) × Rn Chú ý số điểm (t0, x0) ∈ Ω u(t, x) khả vi có nhiều đường đặc trưng qua, tức l∗(t0 , x0) không đơn trị Tiếp theo ta có kết sau Định lý 3.8 Giả sử có (A1) (A2) Ngoài ra, cho σ Lipschitz Rn Giả sử l(t∗, x) đơn trị với điểm mặt phẳng ∆t∗ = (t∗, x) ∈ Rn+1 : x ∈ Rn , < t∗ ≤ T Khi đó, nghiệm nhớt u(t, x) toán (3.1)-(3.2) xác định công thức dạng Hopf - Lax (3.3) khả vi liên tục dải mở (0, t∗) × Rn Chứng minh Theo giả thiết, hàm σ(x) lồi Lipschitz Rn , D = dom σ ∗ = {q ∈ Rn /σ ∗(q) < +∞} tập bị chặn (và lồi) Rn Từ l(t, x) ⊂ D với (t, x) ∈ Ω Xét (t0, x0) ∈ (0, t∗) × Rn Với y ∈ Rn ta đặt t0 Λ(y) = x0 − Hp (τ, p(y))dτ t∗ p(y) ∈ l(t∗, y) ∈ D Vì hàm đa trị y → l(t∗, y) nửa liên tục trên, theo giả thiết l(t∗, y) = {p(y)} đơn trị với y ∈ Rn , ta kết luận hàm đơn trị y → p(y) liên tục Do hàm Λ : Rn → Rn 57 định nghĩa t0 y → Λ(y) = x0 − Hp (τ, p(y))dτ t∗ liên tục Rn Do p(y) thuộc tập bị chặn D Hp (t, p) liên tục, nên tồn M > cho t0 |Hp (τ, p(y))dτ| ≤ M |Λ(y) − x0| ≤ t∗ Do đó, Λ hàm liên tục từ hình cầu đóng B ′ (x0, M) vào Theo Định lý Brouwer, Λ có điểm cố định x∗ ∈ B ′ (x0, M), tức Λ(x∗) = x∗ t0 x0 = x∗ + Hp (τ, p(x∗))dτ t∗ Mặt khác, tồn đường đặc trưng C loại (I) (t∗, x∗) mô tả Định lý 3.3 qua (t0, x0) Vì l(t∗, x∗) đơn trị nên l(t0, x0), đơn trị Áp dụng Định lý 3.1, ta thấy u(t, x) khả vi liên tục (0, t∗) × Rn Chúng ta ý giả thiết định lý tương đương với điều sau Tồn đường đặc trưng loại (I) điểm (t∗ , x∗), x∗ ∈ Rn qua điểm (t0, x0) Nhìn chung điểm (t0, x0) ∈ (0, t∗) × Rn mà u(t, x) khả vi, có hai hay nhiều đường đặc trưng loại (I) (II) điểm (t∗, x∗), số chúng qua (t0 , x0), l∗(t∗ , x∗) không đơn trị, chí l(t∗, x∗) không đơn trị Tuy nhiên ta có 58 khẳng định sau Định lý 3.9 Giả sử có (A1) (A2) Trong trường hợp H(t, ) hàm lõm, ta giả sử thêm H(t, ) lõm ngặt với hầu hết t (0, T ) Cho u(t, x) nghiệm nhớt toán Cauchy (3.1)-(3.2) xác định công thức dạng Hopf - Lax Giả sử tồn t∗ ∈ (0, T ) cho đường đặc trưng qua (t∗ , x), x ∈ Rn loại (I) Khi đó, u(t, x) khả vi liên tục dải mở (0, t∗) × Rn Chứng minh Ta chứng minh tương tự phần chứng minh Định lý 3.1 Cho (t0, x0) ∈ (0, t∗) × Rn cho t C : x = x0 + Hp (τ, p0)dτ t0 p0 = σy (y0) ∈ l(t0, x0) đường đặc trưng qua điểm (t0 , x0) định nghĩa Bổ đề 3.1 Gọi (t∗, x∗) giao điểm C mặt phẳng ∆t∗ : t = t∗ Khi ta có t∗ x∗ = x0 + Hp (τ, p0)dτ t0 Do đó, ta viết lại C sau t∗ x = x∗ − t Hp(τ, p0)dτ + t0 t Hp (τ, p0)dτ = x∗ + t0 Hp(τ, p0)dτ, t∗ C đường đặc trưng qua (t∗ , x∗) Theo giả thiết, C loại (I) điểm này, nên điểm (t, x) ∈ C, ≤ t < t∗ quy theo 59 Định lý 3.4 Do đó, l(t0, x0) đơn trị Như ta điều phải chứng minh 60 Kết luận Phương trình Hamilton-Jacobi nghiên cứu tiếp cận nhiều góc độ khác Có nhiều kết phong phú đặc sắc công bố giới thập kỷ qua Riêng khuôn khổ luận văn này, trình bày số vấn đề sau: 1) Hệ thống lại khái niệm tính chất nghiệm nhớt toán Cauchy cho phương trình Hamilton-Jacobi 2) Trình bày số kết tính quy nghiệm nhớt cho công thức dạng Hopf – Lax toán Cauchy cho phương trình Hamilton – Jacobi, trường hợp H = H(t, p) xét dải mở mà nghiệm nhớt khả vi Tuy nhiều hạn chế song hi vọng kết đạt luận văn tài liệu tham khảo tốt cho nghiên cứu mở rộng phương trình Hamilton-Jacobi nói riêng phương trình vi phân đạo hàm riêng phi tuyến nói chung Rất cảm ơn độc giả theo dõi luận văn mong quý độc giả đóng góp ý kiến để luận văn thêm hoàn thiện 61 Tài liệu tham khảo [1] Barron E N., Canarsa P., Jensen R and Sinestrari C., Regularity of Hamilton-Jacobi equations when forward is backward, Indiana University Math Journal, 48 (1999), 385-409 [2] Canarsa P and Sinestrari C., Semiconcave functions, HamiltonJacobi equations and optimal control, Birkhauser, Boston 2004 [3] Crandall M G and Lions P L., Viscosity solutions of HamiltonJacobi equations, Trans Amer Math Soc 277 (1983), 1-42 [4] Evans L C., Partial Differential Equations, Graduate Studies in Math Vol 19, AMS, Providence, Rhode Island 1998 [5] Ishii H., Uniqueness of unbounded viscosity solutions of HamiltonJacobi equations, Indiana Univ Math J 33 (1984), 721-748 [6] Lions P L and Perthame B., Remarks on Hanilton-Jacobi equations with measurable time-dependent Hamiltonians, Nonlinear Anal Theory Meth Appl., 11 (1987), 613-621 [7] Nguyen Hoang, Regularity of viscosity solutions defined by Hopf–Type formula for Hamilton–Jacobi equations, Arxiv:(2013), 1208.3288v2 62 [8] Tran Duc Van, Hopf–Lax–Oleinik–type Formulas for Solutions to First–order Nonlinear Partial Differential Equations, Vietnamese Academy of Science and Technology, (2006), 378pp [...]... tại nghiệm địa phương) Hàm u xác định duy nhất như trong (1.23) là C 2 và thỏa mãn phương trình đạo hàm riêng F (x, u(x), Du(x)) = 0, (x ∈ V ), với điều kiện biên: u(x) = g(x), (x ∈ Γ ∩ V ) 21 Chương 2 Nghiệm nhớt của phương trình đạo hàm riêng cấp một Chương này dành cho việc trình bày về định nghĩa và một số tính chất cơ bản của nghiệm nhớt, một loại nghiệm yếu của bài toán Cauchy đối với phương trình. .. , ǫ n (2.2) với ǫ > 0 Để ý rằng (2.1) chứa phương trình đạo hàm riêng cấp một hoàn toàn phi tuyến, còn (2.2) là bài toán giá trị ban đầu đối với phương trình parabolic tựa tuyến tính mà ta đã biết nó có nghiệm trơn Thừa số ǫ△ trong (2.2) là tác nhân chính quy hóa của phương trình Hamilton- Jacobi Chúng ta hi vọng khi cho ǫ → 0 các nghiệm uǫ của (2.2) sẽ hội tụ tới một loại nghiệm suy rộng của (2.1) Như... ξ, p), trog đó “ξ” and “p” là các biến thay thế cho hàm u và gradient Du trong phương trình đạo hàm riêng tương ứng Nhìn chung, bài toán giá trị ban đầu đối với phương trình HamiltonJacobi đã được khẳng định là không có nghiệm u trơn với mọi t Ý tưởng 22 hình thành nghiệm nhớt dựa trên kỹ thuật của phương pháp triệt tiêu độ nhớt Trước hết ta xét bài toán xấp xỉ: uǫt + H(t, x, uǫ, Duǫ) − ǫ△uǫ = 0 trong... địa phương ngặt tại (t0 , x0) Lý luận tương tự như trên ta cũng có ut(t0 , x0) + H(x0, Du(t0, x0)) 0 Kết hợp với (2.15) ta được điều phải chứng minh 2.2 Tính duy nhất của nghiệm nhớt Với T > 0 cố định, chúng ta xét tính duy nhất của nghiệm nhớt đối với bài toán Cauchy ut + H(x, Du) = 0 trong (0, T ] × Rn u = g trên {t = 0} × Rn (2.16) Bổ đề 2.2 (Cực trị tại thời điểm cuối) Giả sử u là một nghiệm nhớt. .. đưa ra định nghĩa nghiệm nhớt của bài toán Cauchy đối với phương trình Hamilton- Jacobi dạng đơn giản: ut + H(x, Du) = 0 trong U := (0, ∞) × Rn (2.7) 25 u(0, x) = σ(x) trên {t = 0} × Rn (2.8) Ở đây Hamiltonian H(x, p) là hàm liên tục theo x và p Định nghĩa 2.1 Một hàm liên tục đều, bị chặn u được gọi là một nghiệm nhớt của (2.7) - (2.8) nếu: (i) u = σ trên {t = 0} × Rn ; và (ii) với mỗi v ∈ C ∞ (0,... một nghiệm của phương trình đạo hàm riêng phi tuyến cấp một (1.5), khi đó hệ phương trình vi phân thường đặc trưng là một hệ đóng đối với x(.) z(.) = u(x(.)) và p(.) = Du(x(.)) 1.7.2 Điều kiện biên Bây giờ ta quay trở lại để hoàn thiện lý thuyết tổng quát về đặc trưng cho phương trình đạo hàm riêng cấp 1 a Làm phẳng biên Chúng ta sẽ sử dụng hệ phương trình vi phân đặc trưng (1.10) để giải bài toán. .. đo được theo t và ωR (·, s) ∈ L1(0, T ) với mọi s, ωR (t, 0) = 0 h.k.n Ta muốn đưa ra cách thiết lập các dạng yếu của (2.1) với u ∈ C([0, T ] × Rn ); ở đây chỉ trình bày cách thiết lập nghiệm u của ut + H(t, x, u, Du) 0 trong (0, ∞) × Rn (2.3) Đối với nghiệm trên ta tiến hành tương tự Hàm u = u(t, x) sẽ là nghiệm của bài toán nếu nó vừa là nghiệm trên vừa là nghiệm dưới Xét hàm thử v như sau: v ∈ C... giới hạn đó xác định cho ta một nghiệm nhớt của bài toán (2.1) - loại nghiệm sẽ được giới thiệu trong phần sau 2.1 Khái niệm và một số tính chất chung của nghiệm nhớt Cho H : H là một hàm liên tục theo (x, ξ, p) và đo được theo t; hơn nữa H(t, 0, 0, 0) ∈ L1(0, T ) và |H(t, x, ξ, p) − H(t, y, ξ ′, q)| ωR (t, |x − y| + |ξ − ξ ′| + |p − q|), 23 với |x|, |y|, |ξ|, |ξ ′ |, |p|, |q| R (với R > 0 nào đó), ωR... nhận được Ta sẽ xây dựng một nghiệm u của (1.5)-(1.6) trong U gần x0 bằng cách tích phân hệ phương trình vi phân thường đặc trưng (1.10) tương ứng Hơn nữa, ta thấy p(0) = p0, z(0) = z 0 , x(0) = x0 là điều kiện biên phù hợp cho hệ phương trình vi phân thường đặc trưng với x(.) cắt Γ tại x0 Nhưng trên thực tế ta còn phải giải hệ phương trình vi phân thường đặc trưng đó với những điểm ban đầu 18 gần... cách thiết lập các dạng tương đương với (2.3), chẳng hạn có thể thay v ∈ C 1 bởi v ∈ C 2, C ∞ Trong (2.4) - (2.6) ta có thể thay cực đại địa phương bằng cực đại toàn cục, hoặc cực đại địa phương ngặt, hoặc cực đại toàn cục ngặt Dĩ nhiên do mối quan hệ tương đương của các hệ thức trên nên ta có thể định nghĩa nghiệm nhớt dưới (hoặc nghiệm nhớt trên, nghiệm nhớt) của (2.1) bằng một trong các dạng đó