Cấu trúc và tính chính quy của nghiệm toàn cục của bài toán cauchy cho phương trình hamilton jacobi với dữ kiện ban đầu lồi

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI ĐỖ THỊ HỒNG THẮM CẤU TRÚC VÀ TÍNH CHÍNH QUY CỦA NGHIỆM TỒN CỤC CỦA BÀI TỐN CAUCHY CHO PHƯƠNG TRÌNH HAMILTON – JACOBI VỚI DỮ KIỆN BAN ĐẦU LỒI Chun ngành: Tốn giải tích Mã số: 60 46 01 02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: TS NGUYỄN HỮU THỌ HÀ NỘI, 2014 LỜI CẢM ƠN Luận văn hoàn thành trường Đại học Sư phạm Hà Nội hướng dẫn TS Nguyễn Hữu Thọ Tác giả xin gửi lời cảm ơn chân thành lòng biết ơn sâu sắc tới thầy giáo TS Nguyễn Hữu Thọ, đồng thời tác giả xin gửi lời cảm ơn chân thành tới Thầy, Cô tham gia giảng dạy cao học chuyên ngành Toán giải tích giúp đỡ tác giả suốt q trình học tập Tác giả xin chân thành cảm ơn Ban Giám hiệu, phòng Sau đại học trường Đại học Sư phạm Hà Nội tạo điều kiện thuận lợi trình tác giả học tập nghiên cứu Hà Nội, tháng năm 2014 Tác giả ii LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan luận văn thực hướng dẫn TS Nguyễn Hữu Thọ Trong hồn thiện luận văn, tơi kế thừa thành khoa học nhà khoa học với trân trọng biết ơn Hà Nội, tháng năm 2014 Tác giả Mục lục Mở đầu 1 Kiến thức chuẩn bị 1.1 Ánh xạ đa trị 1.2 Tập đóng, tập mở 1.3 Hàm lồi 1.4 Hàm liên tục Lipchitz 1.5 Liên hợp Fenchel 1.6 Công thức Hopf trường hợp kiện ban đầu hàm lồi 10 1.7 Kết luận 11 Đặc trưng phương trình đạo hàm riêng phi tuyến cấp 13 2.1 Phương trình vi phân thường đặc trưng 13 2.2 Một số ví dụ 17 2.3 Điều kiện biên 25 iii iv 2.4 Nghiệm địa phương 30 Cấu trúc tính quy nghiệm tồn cục với kiện ban đầu lồi 35 3.1 Hệ phương trình vi phân đặc trưng 36 3.2 Công thức dạng Hopf đặc trưng 37 3.3 Dải khả vi nghiệm xác định qua công thức dạng Hopf 45 Kết luận 50 Tài liệu tham khảo 51 BẢNG KÍ HIỆU Luận văn sử dụng kí hiệu với ý nghĩa xác định bảng đây: R Đường thẳng thực Rn Không gian Euclid n chiều ¯ R = R ∪ {−∞, +∞} Tập số thực suy rộng Ø Tập hợp rỗng ∥.∥ Chuẩn không gian domf Miền hữu hiệu f epif Trên đồ thị f Ux Lân cận mở x f|Ux Thu hẹp f Ux |x| Giá trị tuyệt đối x ⟨x, y⟩ Tích vơ hướng x y f∗ Liên hợp Fenchel f Lip(Ω) Tập hợp hàm số liên tục Lipchitz địa phương Ω C k (U ) Tập hợp hàm số khả vi liên tục cấp k U ¯ A Bao đóng A A∩B Giao tập A tập B A\B Hiệu tập A tập B MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Việc nghiên cứu phương trình phi tuyến nói chung phương trình vi phân đạo hàm riêng phi tuyến nói riêng vấn đề cần thiết Giải tích đại: lĩnh vực Phương trình đạo hàm riêng phi tuyến cấp thơi thấy hàng loạt cơng trình nhiều nhà Tốn học giới, Phương trình Hamilton-Jacobi quan tâm nhiều Phương trình Hamilton-Jacobi phương trình đạo hàm riêng phi tuyến cấp có dạng sau: ∂u + H(t, x, u, Du) = 0, t > 0, x ∈ Rn ∂t H gọi Hamiltonian Những nghiên cứu phương trình Hamilton-Jacobi xuất từ lâu, có lẽ từ việc khảo sát toán biến phân với đầu mút động Có nhiều phương pháp cổ điển nghiên cứu nghiệm trơn, địa phương phương trình Định lý Cauchy-Kovalevskaya định lý nói tồn tại, nghiệm địa phương với kiện đặt hàm giải tích Các phương pháp tách biến, biến đổi Legendre, tích phân tồn phần, lý thuyết đặc trưng Cauchy, biến phân, đồng dạng góp phần làm phong phú lĩnh vực nghiên cứu phương trình Hamilton-Jacobi Tuy nhiên, nhiều toán vật lý ứng dụng, nghiệm cổ điển địa phương phương trình Hamilton-Jacobi chưa đáp ứng yêu cầu thực tế mong muốn nhận thông tin tổng thể đầy đủ Nhìn chung, nghiên cứu cổ điển trước chưa quan tâm đến vấn đề nghiệm tồn cục, chưa có cách hiểu nghiệm cách mềm dẻo (do chất phi tuyến phương trình HamiltonJacobi, nghiệm cổ điển tồn cục tốn Cauchy phương trình Hamilton-Jacobi nói chung tồn số lớp đặc biệt) Bắt đầu từ năm 1950-1951, với đời báo E Hopf J.D Cole phương trình Burger, việc nghiên cứu nghiệm tồn cục phương trình Hamilton-Jacobi đặt móng nhà Tốn học quan tâm, sau có nhiều kết kinh điển đời tạo định hướng quan trọng Do tính phi tuyến Hamiltonian nên miền xác định nghiệm nói chung bị hạn chế nghiêm ngặt Để đạt tồn toàn cục cho nghiệm cổ điển tốn Cauchy địi hỏi phải có điều kiện ngặt đặt Hamiltonian kiện ban đầu Đây nguyên nhân thúc đẩy phát triển phương pháp tìm nghiệm tồn cục, nghĩa tìm nghiệm tồn miền cho Để nhận điều không hy vọng đạt độ trơn cao nghiệm mà thiết phải giảm yêu cầu Một lớp hàm quan tâm trước hết việc mở rộng khái niệm nghiệm tồn cục lớp hàm liên tục Lipschitz Theo Định lý Rademacher: “Mỗi hàm liên tục Lipschitz địa phương khả vi hầu khắp nơi miền xác định nó”, thấy lớp hàm lớp không rộng lớp hàm liên tục chứa lớp hàm khả vi, từ gợi ý cho nghiên cứu lớp nghiệm suy rộng Với mong muốn tiếp cận tới lý thuyết nghiệm suy rộng Bài tốn Cauchy phương trình Hamilton-Jacobi, hướng dẫn Tiến sỹ Nguyễn Hữu Thọ, chọn đề tài về: "Cấu trúc tính quy nghiệm tồn cục Bài tốn Cauchy cho phương trình Hamilton - Jacobi với kiện ban đầu lồi." Mục đích nghiên cứu Mơ tả cấu trúc nghiệm tồn cục tốn Cauchy cho phương trình Hamilton-Jacobi thông qua đặc trưng trường hợp kiện ban đầu lồi xét tính quy nghiệm toàn cục Nhiệm vụ nghiên cứu Tổng quan phương pháp đặc trưng phương trình đạo hàm riêng phi tuyến cấp Mơ tả nghiệm tồn cục cho tốn Cauchy cho phương trình HamiltonJacobi trường hợp kiện ban đầu lồi thông qua nghiệm hệ phương trình vi phân đặc trưng Khảo sát tính quy nghiệm tồn cục tốn Cauchy cho phương trình Hamilton-Jacobi kiện ban đầu lồi Đối tượng phạm vi nghiên cứu Bài toán Cauchy cho phương trình Hamilton-Jacobi trường hợp kiện ban đầu lồi, hệ phương trình vi phân đặc trưng, cơng thức dạng Hopf-Lax cho nghiệm tồn cục Phương pháp nghiên cứu Nghiên cứu lý thuyết, thu thập tài liệu, đọc phân tích, tổng hợp để nhận nghiên cứu cấu trúc nghiệm toàn cục tốn Cauchy cho phương trình Hamilton-Jacobi trường hợp kiện ban đầu lồi Dự kiến đóng góp đề tài Trình bày cách có hệ thống cấu trúc nghiệm tồn cục mơ tả cơng thức dạng Hopf-Lax tốn Cauchy cho phương trình Hamilton-Jacobi trường hợp kiện ban đầu lồi 37 với điều kiện ban đầu:   x(0) = y     v(0) = σ(y)     p(0) = σ ′ (y), y ∈ Rn (3.4) Khi dải đặc trưng tốn (3.1) − (3.2) (nghiệm phương trình vi phân (3.3) − (3.4)) xác định bởi:  t   x = x(t, y) = y + ∫ H (τ, σ ′ (y))dτ  p     ∫t ∫t v = v(t, y) = σ(y) + ⟨Hp (τ, σ ′ (y)) , σ ′ (y)⟩dτ − H (τ, σ ′ (y)) dτ    0   ′   p = p(t, y) = σ (y) (3.5) Phương trình thứ (3.5) gọi đường đặc trưng xuất phát từ y Với (t0 , x0 ) ∈ Ω, ký hiệu l∗ (t0 , x0 ) tập tất y ∈ Rn cho tồn đường đặc trưng xuất phát từ y qua điểm (t0 , x0 ) Trong lân cận V (0, x) hàm y → x(t, y) vi phôi từ V vào tập mở W ⊂ Rn Khi nghiệm thuộc lớp C (3.1) − (3.2) tồn V xác định : u(t, x) = v(t, x−1 (t, x)) 3.2 (3.6) Công thức dạng Hopf đặc trưng Trong mục xét toán Cauchy phương trình Hamilton - Jacobi với Hamiltonian H = H(t, p) phụ thuộc vào gradient ẩn hàm biến thời gian: ut + H(t, Du) = 0, (t, x) ∈ Ω = (0, T ) × Rn (3.7) 38 u(0, x) = σ(x), x ∈ Rn (3.8) Bên cạnh giả thiết sau đặt ra: { } (A1) Hamiltonian H = H(t, p) liên tục (t, p) : t ∈ (0, +∞)\G với G tập đóng R có độ đo Lebesgue Hơn nữa, với N ∈ (0, +∞), tồn hàm gN = gN (t) ∈ L∞ (R) cho loc sup |H(t, p)| gN với hầu hết t ∈ (0, +∞) ∥p∥ N (A2) Với (t0 , x0 ) ∈ [0, T ) × Rn , tồn số dương r N cho: ⟨x, p⟩ − σ ∗ (p) −   ∫t H (τ, p) dτ < max ∥q∥≤N  ⟨x, q⟩ − σ ∗ (q) −   ∫t H (τ, q) dτ  với (t, x) ∈ [0, T ) × Rn , |t − t0 | + ||x − x0 || < r ||p|| > N Với (t, x) ∈ Ω, đặt ℓ(t, x) tập hợp tất p ∈ Rn mà ∫t hàm q → ⟨x, q⟩ − σ ∗ (q) − H (τ, q) dτ đạt giá trị cực đại Với giả thiết (A2) ta thấy ℓ(t, x) ̸= ∅ Điều kiện (A2) xem điều kiện tương thích Hamiltonian H(p) kiện ban đầu σ(x) để đảm bảo cho tồn nghiệm toàn cục Lipschitz toán Cauchy (3.7) − (3.8) Khi đó, tác giả Trần Đức Vân cộng thiết lập công thức dạng Hopf cho nghiệm tồn cục tốn Cauchy (3.7) − (3.8) Định lý 3.2.1 [5] Cho σ hàm lồi Rn với giả thiết (A1) − (A2), hàm u(t, x) xác định bởi:   ∫t   ∗ u (t, x) = max ⟨x, q⟩ − σ (q) − H (τ, q) dτ q∈Rn   (3.9) 39 nghiệm toàn cục Lipschitz toán (3.7) − (3.8) Hơn nữa, u(t, x) thuộc lớp C (V ) tập mở V ⊂ Ω với (t, x) ∈ V, ℓ(t, x) singleton Định nghĩa 3.2.1 Với giả thiết (A1) − (A2), hàm u(t, x) xác định công thức (3.9) gọi công thức dạng Hopf toán Cauchy (3.7) − (3.8) trường hợp kiện ban đầu lồi Để chứng minh định lý cần mệnh đề bổ trợ sau Mệnh đề 3.2.1 Cho O tập mở Rm ω = ω(ξ, p) hàm nửa liên tục từ O × Rn đến [−∞, +∞) thỏa mãn hai tính chất sau: (i) Tồn tập khác rỗng E ⊂ Rn cho ω = ω(ξ, p) nhận giá trị hữu hạn O × E ω = ω(ξ, p)|(ξ,p)∈O×E c ≡ −∞, E c := Rn \E Hơn nữa, với tập bị chặn V O tồn số dương tương ứng N (V ) cho ω(ξ, p) < max ω(ξ, q) với ξ ∈ V, ∥p∥ > N (V ) ∥q∥ N (V ) (ii) Với điểm cố định p ∈ E, hàm ω(ξ, p) khả vi theo biến ξ ∈ O Bên cạnh đó, gradient ∂ω/∂ξ = ∂ω(ξ, p)/∂ξ liên tục O × E Khi ta có: a) ψ = ψ(ξ) := sup {ω(ξ, p), p ∈ Rn } hàm liên tục Lipschitz địa phương O b) ψ = ψ(ξ) khả vi theo hướng O với ∂e ψ(ξ) = max ⟨∂ω(ξ, p)/∂ξ, e⟩ p∈L(ξ) (ξ ∈ O, e ∈ Rm ) 40 { } L(ξ) := p ∈ Rn : ω(ξ, p) = ψ(ξ) ⊂ E Mệnh đề 3.2.2 Giả sử tính chất (i) Mệnh đề 3.2.1 thỏa mãn hàm ω = ω(ξ, p), ω giả thiết hàm liên tục theo biến ξ ∈ O (với p ∈ E) nửa liên tục theo (ξ, p) O × Rn Khi { } L(ξ) := p ∈ Rn : ω(ξ, p) = ψ(ξ) ⊂ E xác định hàm đa trị đóng, bị chặn địa phương, có miền giá trị khác rỗng Đây mệnh đề 9.2 9.3 [5], công nhận kết chúng khơng trình bày chứng minh mệnh đề Chứng minh Định lý 3.2.1 Ta dễ dàng kiểm tra hàm ω = ω(ξ, p) := φ(t, x, p) thỏa mãn tất giả thiết mệnh đề 3.2.1 3.2.2 với E = ¯ domσ ∗ khác rỗng m = n + 1, ξ := (t, x) Ở đặt O := D thấy { } L(t, x) = p ∈ E : φ(t, x, p) = u(t, x) xác định hàm đa trị đóng, bị chặn địa phương có miền giá trị khác rỗng Từ Mệnh đề 3.2.1 suy u(t, x) hàm liên tục Lipschitz địa phương Tiếp theo, lấy e0 := (1, 0, , 0), e1 = (0, 1, , 0), , en = (0, 0, , 0, 1) ∈ Rn+1 Từ Mệnh đề 3.2.1 ta có u(t, x) có đạo hàm theo hướng với { } ∂e0 u(t, x) = max − H(t, p) : p ∈ L(t, x) = ℓ(t, x) (3.10) { } ∂−e0 u(t, x) = max H(t, p) : p ∈ L(t, x) = ℓ(t, x) , 41 với i n { } ∂ei u(t, x) = max pi : p ∈ L(t, x) = ℓ(t, x) { } ∂−ei u(t, x) = max − pi : p ∈ L(t, x) = ℓ(t, x) (3.11) Mặt khác, theo Định lý Rademacher u(t, x) hàm khả vi hầu khắp nơi với ∂u(t, x) = ∂e0 u(t, x) = −∂−e0 u(t, x) ∂t ∂u(t, x) = ∂ei u(t, x) = −∂−ei u(t, x) ∂xi Do từ (3.11) - (3.12) suy (với i (3.12) n) { } ∂u(t, x) = max pi : p ∈ L(t, x) = ℓ(t, x) ∂xi { } = pi : p ∈ L(t, x) = ℓ(t, x) { } ∂u(t, x) hầu khắp nơi, tức ℓ(t, x) singleton Kết hợp (3.10) ∂x (3.12) suy ∂u(t, x) = −H(t, p) hầu khắp nơi Ω, ∂t tức ∂u(t, x) + H(t, Du) = hầu khắp nơi Ω ∂t Mặt khác, từ tính chất liên hợp Fenchel ta có { } ∗ u(0, x) = max ⟨p, x⟩ − σ (p) = σ ∗∗ (x) = σ(x) với x ∈ Rn p∈R Do u(t, x) nghiệm tồn cục Lipschitz toán (3.7)−(3.8) Ngược lại, giả sử ℓ(t, x) singleton với tập mở V ⊂ Ω mà H(t, p) hàm liên tục Khi đó, theo Mệnh đề 3.2.2, ánh xạ đơn trị (t, x) → ℓ(t, x) (t, x) ∈ V 42 liên tục Như vậy, từ công thức (3.10) (3.11) đạo hàm ∂u/∂t, ∂u/∂x1 , , ∂u/∂xn tồn liên tục V , điều nghĩa nghiệm toàn cục u(t, x) khả vi liên tục V Mặt khác lại có khẳng định sau Định lý 3.2.2 [2] Với giả thiết (A2) Giả sử σ, σ ∗ H = H(t, p) hàm thuộc lớp C Khi , ta có: u(t, x) = max y∈σ ′ (ℓ∗ (t,x)) φ(t, x, y) đây: ∫ ∗ t φ(t, x, y) = ⟨x, y⟩ − σ (y) − H(τ, y)dτ ℓ∗ (t, x) tập tất giá trị z ∈ Rn cho có đường đặc trưng xuất phát từ z qua điểm (t, x) Chứng minh Đặt ∫ ∗ φ(t, x, y) = ⟨x, y⟩ − σ (y) − t H(τ, y)dτ Với (t, x) ∈ Ω, ta lấy phần tử y0 ∈ ℓ(t, x), u(t, x) = φ(t, x, y0 ) = max φ(t, x, y) n y∈R Như y0 điểm dừng φ(t, x, ), ta có: ∫ t ∗′ φy (t, x, y0 ) = x − σ (y0 ) − Hp (τ, y0 )dτ = 0 43 ′ ′ Chúng ta đặt z0 = σ ∗ (y0 ) nhận y0 = σ (z0 ) Khi ∫ t ′ x = z0 + Hp (τ, σ (z0 ))dτ ′ Điều có nghĩa z0 ∈ ℓ∗ (t, x) y0 ∈ σ (ℓ∗ (t, x)) từ ′ ℓ(t, x) ⊂ σ (ℓ∗ (t, x)) Ta viết lại sau u(t, x) = max y∈σ ′ (ℓ∗ (t,x)) φ(t, x, y) Định lý chứng minh xong Mối quan hệ công thức dạng Hopf đặc trưng thiết lập sau Định lý 3.2.3 [2] Cho H, σ σ ∗ thuộc lớp C với giả thiết (A2) ∫t Giả sử ánh xạ: y −→ x(t, y) = y + Hp (τ, y)dτ song ánh từ Rn vào Rn với t ∈ (0, T ), nghiệm u(t, x) cho (3.9) xác định bởi: u(t, x) = v(t, x−1 (t, x)) ∫t v (t, y) = σ (y) + ⟨Hp (τ, σ ′ (y)) , σ ′ (y)⟩ dτ − ∫t H (τ, σ ′ (y)) dτ Hơn u(t, x) hàm khả vi liên tục (0, T ) × Rn Chứng minh Như thấy ′ ℓ(t, x) ⊂ σ (ℓ∗ (t, x)) 44 Theo giả thiết, hàm y −→ x(t, y) = x song ánh, tồn hàm ngược y = x−1 (t, x) Điều suy ℓ∗ (t, x) = {y} singleton { } ℓ(t, x) = σ (y) ′ với (t, x) ∈ Ω Khi ta có u (t, x) = ⟨x, σ ′ (y)⟩ − σ ∗ (σ ′ (y)) − ∫t H (τ, σ ′ (y)) dτ (3.13) Đường đặc trưng (0, y) qua (t, x) thỏa mãn ∫ t ′ x=y+ Hp (τ, σ (y))dτ Do cơng thức (3.13) viết lại sau ∫t u(t, x) = ⟨y, σ ′ (y)⟩−σ ∗ (σ ′ (y))+ ⟨Hp (τ, σ ′ (y)) , σ ′ (y)⟩dτ − ∫t − H (τ, σ ′ (y))dτ ∫t = σ (y)+ ∫t ⟨Hp (τ, σ ′ (y)) , σ ′ (y)⟩dτ − H(τ, σ ′ (y))dτ ( ) = v t, x−1 (t, x) Từ Định lí 3.2.1, hoàn thành chứng minh Định lý 3.2.3 cách sử dụng khẳng định ℓ(t, x) singleton với (t, x) ∈ (0, T ) × Rn 45 3.3 Dải khả vi nghiệm xác định qua công thức dạng Hopf Ta biết rằng, với t ∈ (0, T ) hàm y → x(t, y) vi phơi từ Rn → Rn tồn lớp nghiệm C toán (3.1) − (3.2) miền Ω = (0, T ) × Rn xác định công thức sau ( ) u (t, x) = v t, x−1 (t, x) (3.14) Do phương trình Hamilton-Jacobi phi tuyến nên hàm y → x(t, y) khơng đơn ánh tồn ánh t ∈ (0, T ) Ngay t nhỏ vài trường hợp ánh xạ y → x(t, y) đơn ánh toàn ánh địa phương Để minh họa điều này, ta xét ví dụ sau Xét toán (3.1) − (3.2), với H(p) = p3 , σ(x) = x2 , x ∈ R Khi x(t, y) = y + 12ty , v(t, y) = 16ty + y , y ∈ R Ta giải y theo x từ phương trình x(t, y) = x tức phương trình 12ty + y − x = ∆ = + 48tx ≥ x ≥ Do đó, với x1 > −1 , t > 48t −1 có hai đường đặc trưng xuất phát từ 48t1 √ −1 ± + 48tx1 y1,2 = 24t1 46 −1 48t2 khơng có đường đặc trưng qua Như nghiệm cổ điển qua điểm M (t1 , x1 ) Điều nghĩa điểm N (t2 , x2 ) với x2 < tốn (3.1) − (3.2) khơng tồn dải (0, t0 ) × R t0 nhỏ Bằng cách khai thác công thức dạng Hopf , ta số kết tồn dải có dạng (0, t0 ) × Rn , < t0 ≤ T mà nghiệm suy rộng khả vi liên tục Đặt { } θ = sup t > : u khả vi (t, x), ∀x ∈ Rn Khi tập (0, θ) × Rn dải lớn Rn+1 mà u khả vi liên tục Chúng ta gọi (0, θ) × Rn dải khả vi nghiệm u(t, x) Trong mục này, trình bày cụ thể kết trường hợp khơng gian với số chiều n (trong R) Hamiltonian H = H(p) phụ thuộc vào gradient ẩn hàm Như ta biết, với Hamiltonian H = H(p) hàm liên tục σ hàm lồi liên tục Lipschitz Rn , hàm u(t, x) = max {⟨x, q⟩ − σ ∗ (q) − tH(q)} n q∈R (3.15) cơng thức dạng Hopf cho ta nghiệm tồn cục Lipschitz toán Cauchy (3.1) − (3.2) Nhắc lại ℓ(t, x) ký hiệu tập tất p ∈ R mà hàm q → ⟨x, q⟩ − σ ∗ (q) − tH(q) đạt giá trị cực đại 47 Ký hiệu C = {(t, x) | x = x0 + (t − t0 )H ′ (p0 ); ≤ t ≤ t0 } (3.16) H khả vi Ta có kết quan trọng sau Bổ đề 3.1 [2] Cho (t0 , x0 ) ∈ (0, T )×R, p0 ∈ ℓ(t0 , x0 ) Khi p0 ∈ ℓ(t, x) với (t, x) ∈ C Hơn nữa, ℓ(t0 , x0 ) singleton ℓ(t, x) singleton với (t, x) ∈ C Tính khả vi nghiệm tồn cục toán Cauchy (3.1) − (3.2) (trong trường hợp Hamiltonian H = H(p) phụ thuộc vào gradient ẩn hàm) xác định công thức dạng Hopf khẳng định định lý sau: Định lý 3.3.1 [2] Cho Haminlton H ∈ C (R), σ lồi liên tục Lipschitz R Giả sử nghiệm u(t, x) định nghĩa (3.15) hàm { } khả vi điểm đường thẳng ∆ = (t, x) ∈ R2 : t = t0 ∈ (0, T ), x ∈ R Khi u(t, x) khả vi liên tục dải mở O = (0, t0 ) × R Chứng minh Vì σ = σ(x) hàm lồi liên tục Lipschitz R nên dom σ ∗ = {q ∈ R | σ ∗ (q) < +∞} =: D tập đóng (và lồi) R Do với (t, x) ∈ Ω ta có ℓ(t, x) ⊂ D Bây ta cố định (t, x) ∈ O, < t < t0 , x ∈ R Xét phương trình sau (với x∗ ẩn hàm) x = x∗ + (t − t0 )H ′ (p∗ ) (3.17) 48 p∗ = p(t0 , x∗ ) ∈ ℓ(t0 , x∗ ) Từ giả thiết, u(t, x) khả vi điểm đường thẳng ∆, nên theo Định lí 3.2.1 suy ℓ(t0 , x∗ ) = {p(t0 , x∗ )} = {p∗ } singleton với x∗ ∈ R Do ta viết lại phương trình (3.17) sau: ′ x = x∗ + (t − t0 )H (p(t0 , x∗ )) Hơn nữa, p(t0 , x∗ ) hàm liên tục, không giảm theo x∗ Đặt ′ g(z) = z + (t − t0 )H (p(t0 , z)) g hàm liên tục R Bên cạnh đó, p(t0 , z) ∈ D bị chặn nên ta dễ dàng nhận thấy lim g(z) = +∞; z→+∞ lim g(z) = −∞ z→−∞ Vì g liên tục R nên tồn x0 ∈ R cho x = g(x0 ) hay x = x0 + (t − t0 )H ′ (p(t0 , x0 )) = x0 + (t − t0 )H ′ (p0 ) Nói cách khác, (t, x) ∈ C định nghĩa (3.16) Từ giả thiết Định lí 3.2.1 ta suy ℓ(t0 , x0 ) singleton, ta nhận khẳng định tương tự ℓ(t, x) Vì u(t, x) hàm lồi nên khả vi (t, x) ∈ O Hơn nữa, từ Định lý 1.3.2, suy u ∈ C (O) Ví dụ 3.3.1 Cho σ ∗ H thuộc lớp C , σ hàm lồi liên tục Lipschitz ′′ Hơn nữa, tồn ε > cho với q ∈ D = dom σ ∗ ta có (σ ∗ ) (q) ≥ ε Khi đó, dải khả vi u(t, x) không rỗng Chứng minh Xét hàm φ(q) = xq − σ ∗ (q) − tH(q) 49 Nếu ta chọn t = t0 đủ nhỏ ′′ ′′ φ” (q) = −(σ ∗ ) (q) − t0 H (q) < 0, ∀q ∈ D ′ Phương trình φ (q) = có nhiều nghiệm Do đó, ℓ(t0 , x) singleton với (t0 , x), x ∈ R Do u(t, x) khả vi điểm đường thẳng t = t0 Áp dụng Định lí 3.3.1 tìm dải khả vi u(t, x) chứa (0, t0 ) × R Ví dụ 3.3.2 Xét bái tốn Cauchy [ ( ∂u )2 ] ∂u − 1+ = trong{t > 0, x ∈ R} ∂t ∂x x2 u(0, x) = {t = 0, x ∈ R} Nghiệm tồn cục tốn xác định công thức dạng Hopf (3.9) { } p2 u(t, x) = max px − + t(1 + p2 )1/2 p∈R Bằng tính tốn trực tiếp áp dụng Định lý 3.2.1 ta thấy u = u(t, x) khả vi liên tục {t > 0, x ∈ R}\{(t, 0) : t 1} Qua việc áp dụng phương pháp đặc trưng, ta thấy t > 1, đường đặc trưng cắt Cụ thể, hai đường đặc trưng xuất phát từ (0, 1) (0, 2) :{(t, x(t, 1)) : t 0} {(t, x(t, 2)) : t ty đó: x(t, y) = y − √ ) cắt điểm + y2 √ √ ( √10 2( − 5) ) √ √ , √ √ 2− 2− 0} ( Tuy nhiên, tính khả vi nghiệm tồn cục khơng bị phá vỡ vài lân cận điểm 50 KẾT LUẬN Luận văn nhằm trình bày cách có hệ thống việc mơ tả cấu trúc nghiệm (suy rộng) tồn cục tốn Cauchy cho phương trình Hamilton-Jacobi thơng qua nghiệm hệ phương trình vi phân đặc trưng trường hợp kiện ban đầu lồi xét tính quy nghiệm tồn cục Trong luận văn, nghiệm tồn cục tốn cho dạng thông qua công thức dạng Hopf Riêng tính quy nghiệm tồn cục Lipschitz, luận văn trình bày trường hợp số chiều không gian n = Với số chiều khơng gian n > 1, tốn xét tính quy nghiệm tồn cục Lipschitz cho tốn Cauchy phương trình HamiltonJacobi tốn phức tạp, nhiều nhà Toán học quan tâm Với phạm vi luận văn thời gian có hạn, luận văn khơng tránh khỏi thiếu sót Tác giả mong nhận bảo, góp ý Thầy Cô bạn đọc để vấn đề trình bày luận văn hồn thiện luận văn trở thành tài liệu khoa học hữu ích Xin chân thành cảm ơn ! Tài liệu tham khảo [A] Tài liệu tiếng Việt [1] Trần Đức Vân (2003), Lý thuyết phương trình Vi phân Đạo hàm riêng, Nhà xuất Đại học Quốc Gia Hà Nội [B] Tài liệu tiếng Anh [2] Nguyen Hoang (2004), Regularity of generalized solutions of Hamilton - Jacobi equations, Nonlinear Anal 59, 745 - 757 [3] E Hopf (1965) Generalized solutions of nonlinear equations of fisrt order, J Math and Mech 14, 951-973 [4] Rockafellar T (1970), Convex Analysis, Princeton Univ Press [5] Tran Duc Van, Mikio Tsuji, Nguyen Duy Thai Son (2000), The characteristic method and its generalizations for first order nonlinear PDEs, Chapman Hall/CRC 51 ... trúc tính quy nghiệm tồn cục Bài tốn Cauchy cho phương trình Hamilton - Jacobi với kiện ban đầu lồi. " Mục đích nghiên cứu Mơ tả cấu trúc nghiệm tồn cục tốn Cauchy cho phương trình Hamilton- Jacobi. .. trình HamiltonJacobi trường hợp kiện ban đầu lồi thơng qua nghiệm hệ phương trình vi phân đặc trưng Khảo sát tính quy nghiệm tồn cục tốn Cauchy cho phương trình Hamilton- Jacobi kiện ban đầu lồi. .. phạm vi nghiên cứu Bài toán Cauchy cho phương trình Hamilton- Jacobi trường hợp kiện ban đầu lồi, hệ phương trình vi phân đặc trưng, cơng thức dạng Hopf-Lax cho nghiệm toàn cục Phương pháp nghiên