Bài toán cauchy đối với phương trình đạo hàm riêng tuyến tính tổng quát

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2PHẠM THU HIỀN BÀI TOÁN CAUCHY ĐỐI VỚI PHƯƠNG TRÌNH ĐẠO HÀM RIÊNG TUYẾN TÍNH TỔNG QUÁT LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC HÀ NỘI, 2015... TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ N

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

PHẠM THU HIỀN

BÀI TOÁN CAUCHY ĐỐI VỚI PHƯƠNG TRÌNH ĐẠO HÀM

RIÊNG TUYẾN TÍNH TỔNG QUÁT

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

HÀ NỘI, 2015

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

PHẠM THU HIỀN

BÀI TOÁN CAUCHY ĐỐI VỚI PHƯƠNG TRÌNH ĐẠO HÀM

RIÊNG TUYẾN TÍNH TỔNG QUÁT

Chuyên ngành : Toán giải tích

Mã số : 60 46 01 02

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học: PGS TS HÀ TIẾN NGOẠN

HÀ NỘI, 2015

Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến PGS TS Hà Tiến Ngoạn, ngườithầy đã định hướng chọn đề tài và nhiệt tình hướng dẫn để tôi có thể hoànthành luận văn này.

Tôi cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới Phòng Sau đại học, cácthầy, cô giáo giảng dạy chuyên ngành Toán giải tích, trường Đại học sưphạm Hà Nội 2 đã giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập tại trường.Nhân dịp này tôi cũng xin gửi lời cảm ơn đến gia đình, bạn bè đã cổ vũ,động viên để tôi hoàn thành luận văn này

Hà Nội, tháng 6 năm 2015

Tác giả

Phạm Thu Hiền

Tôi xin cam đoan, dưới sự chỉ bảo và hướng dẫn của PGS TS HàTiến Ngoạn, luận văn chuyên ngành Toán giải tích với đề tài:" Bài toánCauchy đối với phương trình đạo hàm riêng tuyến tính tổngquát " được hoàn thành bởi sự nhận thức và tìm hiểu của bản thân tácgiả.

Trong quá trình nghiên cứu và thực hiện luận văn, tác giả đã kế thừanhững kết quả của các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn

Hà Nội, tháng 6 năm 2015

Tác giả

Phạm Thu Hiền

Mục lục

1.1 Một số không gian hàm 3

1.1.1 Không gian L2 3

1.1.2 Không gian Cm(Ω) 3

1.1.3 Không gian Sobolev W2m(Ω) 3

1.1.4 Không gian Bm 4

1.1.5 Không gian B 4

1.1.6 Không gian S 4

1.2 Bài toán Cauchy cho phương trình đạo hàm riêng 5

1.2.1 Bài toán Cauchy chính tắc cho phương trình đạo hàm riêng 5

1.2.2 Siêu mặt trong không gian Rn 5

1.2.3 Bài toán Cauchy tổng quát cho phương trình đạo hàm riêng 6

1.2.4 Đưa bài toán Cauchy tổng quát cho phương trình đạo hàm riêng về dạng chính tắc 7

1.3 Định lý Cauchy-Kovalevskaya 9

1.4 Định lý Holmgren 13

2.1 Khái niệm về tính đặt đúng đắn của bài toán Cauchy 162.2 Tính giải được của bài toán Cauchy 172.2.1 Khái niệm về tính giải được địa phương của bài toán

Cauchy 172.2.2 Tính giải được địa phương của bài toán Cauchy 202.3 Sự phụ thuộc liên tục của nghiệm vào dữ kiện ban đầu 262.3.1 Sự phụ thuộc liên tục của nghiệm vào dữ kiện ban đầu 262.3.2 Miền phụ thuộc 352.4 Phương trình hyperbolic với hệ số hằng 392.4.1 Định lý về sự tồn tại nghiệm 392.4.2 Điều kiện cần đối với hiện tượng truyền nhiễu với

tốc độ hữu hạn 422.4.3 Phương trình truyền sóng 45

Mở đầu

1 Lí do chọn đề tài

Bài toán Cauchy cho phương trình đạo hàm riêng tuyến tính là một vấn

đề quan trọng của lý thuyết phương trình đạo hàm riêng Nhà toán họcHadamard đã đưa ra khái niệm đặt chỉnh của bài toán này gồm ba yếutố: sự tồn tại nghiệm, tính duy nhất nghiệm và sự phụ thuộc liên tục củanghiệm vào dữ kiện ban đầu Luận văn trình bày bài toán Cauchy chínhtắc và trình bày mối quan hệ giữa ba yếu tố trên của bài toán đặt chỉnh.Một lớp phương trình được quan tâm nhiều hơn, đó là loại phương trìnhhyperbolic

2 Mục đích nghiên cứu

Trình bày một cách hệ thống các vấn đề: bài toán Cauchy chính tắccho phương trình đạo hàm riêng tuyến tính, tính đặt chỉnh của bài toánCauchy đối với các lớp phương trình khác nhau, tính giải được của bàitoán Cauchy

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

Trình bày các điều kiện cần và đủ của tính đặt chỉnh và mối quan hệgiữa ba yếu tố đặt chỉnh của bài toán Cauchy

4 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

- Tính đặt chỉnh của bài toán Cauchy

- Điều kiện cần và đủ của tính đặt chỉnh

- Bài toán Cauchy cho phương trình loại hyperbolic

5 Phương pháp nghiên cứu

Các phương pháp của Giải tích hàm tuyến tính

Các phương pháp định lượng của Lý thuyết phương trình đạo hàm riêng

6 Đóng góp của đề tài

Luận văn là một tài liệu tổng quan về lý thuyết đặt chỉnh của bài toánCauchy cho phương trình đạo hàm riêng tuyến tính cấp bất kỳ

Chương 1

Các kiến thức chuẩn bị

1.1.1 Không gian L2

Định nghĩa 1.1.1 Giả sử Ω ⊂ C là một tập mở trong Rn Họ các hàm

u : Ω →C được gọi là không gian L2(Ω) nếu nó đo được và có chuẩn sauhữu hạn:

kukL2 (Ω) =



Z

< +∞

1.1.2 Không gian Cm(Ω)

Định nghĩa 1.1.2 Không gian Cm(Ω) là không gian bao gồm các hàmkhả vi, liên tục đến cấp m trên miền Ω

1.1.3 Không gian Sobolev Wm2 (Ω)

Định nghĩa 1.1.3 Không gian Wm2 (Ω) là không gian bao gồm tất cảcác hàm u (x) ∈ L2(Ω), sao cho tồn tại các đạo hàm suy rộng mọi cấp

α, |α| ≤ m thuộc L2(Ω) và được trang bị chuẩn

kukWm

2 (Ω) =



X

Định nghĩa 1.1.5 Không gian B hay B∞ là không gian bao gồm toàn

bộ các hàm khả vi vô hạn mà mọi đạo hàm của nó bị chặn và liên tụctrong Rn

Định nghĩa 1.1.6 Không gian S là không gian bao gồm tất cả các hàm

ϕ ∈ C∞ sao cho với mỗi k, α tùy ý



1 + |x|2

k

Dαϕ(x) bị chặn trong Rn

1.2 Bài toán Cauchy cho phương trình đạo hàm

1.2.2 Siêu mặt trong không gian Rn

Giả sử ϕ(x) = ϕ(x1, x2, , xn) là hàm số trơn có tính chất sau: Nếu

là vectơ pháp tuyến đơn vị trên S.

1.2.3 Bài toán Cauchy tổng quát cho phương trình đạo hàm

Cho f xác định trong lân cận U của x0 (∈ S), và cho Ψ thuộc một lâncận xác định của x0 trong S

Bài toán Cauchy tổng quát cho toán tử vi phân là bài toán tìm nghiệm

u(x, t) trong lân cận thích hợp W (⊂ U ) của x0 sao cho nó thỏa mãn

trong đó ν là vectơ pháp tuyến đơn vị trên S.

1.2.4 Đưa bài toán Cauchy tổng quát cho phương trình đạo

, (j = 1, 2, , n − 1), ∂u

∂xn = ϕxn

∂v

∂x0 n

m

Ta chú ý các số hạng Σ trong (1.11) chứa đạo hàm riêng nhiều nhất bậc

m − 1 theo x0n Ta chia các trường hợp như sau:

(1) Nếu h(x, ϕx) 6= 0 trong lân cận của x = x0, thì ta chia cả hai vế của(1.11) cho h(x, ϕx), tức là

˜u(x, t) = u(x, t) −

m−1

X

j=0

tjj!uj(x).

Vì vậy, ta viết lại (1.14) thành



Không mất tính tổng quát, ta có thể giả sử dữ kiện ban đầu của u(x, t)

là 0 Đầu tiên, nếu u(x, t) là giải tích trong lân cận của gốc tọa độ, thì

u(x, t) được xác định một cách duy nhất Trên thực tế, ta có thể chứngminh rằng khai triển Taylor của u(x, t) tại gốc tọa độ được xác định mộtcách duy nhất Để chứng minh điều này, ta viết (1.14) thành

trong đó αj(x, t; ξ) là đa thức bậc (m − j) có các hệ số giải tích trong lâncận U của gốc tọa độ Bởi vì giá trị ban đầu của u(x, t) là 0 theo giả thiết,nếu ta xét

Cν,j > |cν,j|

Ta mở rộng định nghĩa sang trường hợp đa thức khả vi Bằng cách nói

A(x, t; ξ) là chuỗi hàm trội của α(x, t; ξ) ta hàm ý với mỗi hàm số là hệ sốcủa ξν, hàm số tương ứng của Alà một chuỗi hàm trội của các hàm tươngứng của α theo nghĩa xác định như trên Đối với (1.15), ta định nghĩa cácchuỗi hàm trội Aj(x, t; ξ), F (x, t) của αj(x, t; ξ), f (x, t) một cách tươngứng

Bây giờ ta chứng minh như sau: Nếu nghiệm w của phương trình có dữliệu Cauchy dương (ta hàm ý tất cả w(x, 0), ∂

Bây giờ, ta giả sử tất cả các hệ số của αj(x, t; ξ) và f (x, t) là giảitích trong |xi| 6 r (i = 1, 2, , n), |t| < r Cho tất cả các hệ số của

αj(x, t; ξ) < M, và cho f (x, t) < d Trong trường hợp này tất cả các hệ

số của αj(x, t; ξ) có chuỗi hàm trội

M(1 − x1/r) · · · (1 − xn/r)(1 − t/r),

ds,

1r

d

ds, ,

1r

dds

d

ds,

1r

d

ds, ,

1r

dds

Trong lý thuyết phương trình vi phân tuyến tính, (1.19) với dữ kiện banđầu w(j)(0), (j = 0, 1, , m − 1), luôn có một nghiệm chính quy duynhất trong |s| < 1 − b(ρ)ρ−m Hiển nhiên, w(s) có khai triển Taylor với

hệ số dương Do vậy, nếu ta xét

và khả vi liên tục m lần kể cả trên biên.

Chứng minh Ta định nghĩa một loại phép biến đổi đặc biệt mà cần thiếttrong phần tiếp theo Phép biến đổi Holmgren là phép biến đổi được xácđịnh bởi x0j = xj (j = 1, 2, , n), t0 = t + x21 + · · · + x2n, và ánh xạ từnửa không gian t > 0 vào miền Ω = {(x0, t0) ∈ Rn+1; t0 − |x0|2

trong đó, các hệ số là giải tích, và giá của u nằm trong Ω.

Bây giờ ta định nghĩa một toán tử quan trọng Một toán tử được gọi làtoán tử chuyển vị nếu nó thỏa mãn

Lưu ý, ở đây tL có dạng như (1.11), và các hệ số của v(x, t) giải tích

Do đó, từ Định lý 1.3.1 và các chú ý sau nó, nếu ta thêm điều kiện

đa thức P (x), tức là cho u(x, h) là hàm liên tục có giá compắc theo x thì

u(x, h) trực giao với bất kỳ P (x)

Khi đó, theo Định lý Weierstrass ([1], Định lý 1.13), u(x, h) = 0, do đó

u(x, t) ≡ 0, trong (x, t) ∈ Ω ∩ {0 6 t 6 h0} Nếu t 6 0, thì ta thay t bởi

−t

Định lý 1.4.2 (Calderón) Cho tất cả các hệ số của aν,j(x, t) (|ν|+j = m)

bậc cao nhất của toán tử L trong (1.13) là thực và thuộc C1+σ (σ > 0)

trong lân cận U của gốc tọa độ (σ là một số dương tùy ý), và cho các hệ sốkhác bị chặn trong U Trong trường hợp này, nếu phương trình đặc trưngcủa L tại gốc tọa độ

- Sự tồn tại nghiệm.

- Tính duy nhất nghiệm

- Sự phụ thuộc liên tục của nghiệm vào dữ kiện ban đầu

2.2 Tính giải được của bài toán Cauchy

2.2.1 Khái niệm về tính giải được địa phương của bài toán

là hàm khả vi liên tục (m − 1) lần thỏa mãn điều kiện ban đầu tại t = 0

Một số ví dụ về các phương trình không giải được địa phương theo nghĩatrong Định nghĩa 2.2.2

Ví dụ 2.2.1 (Hadamard) Bài toán Cauchy cho phương trình



u(x, y, z) (z > 0),u(x, y, −z) (z < 0),

thì u˜ là hàm xác định trên Bδ thỏa mãn ∆˜u = 0 trong Bδ theo nghĩa hàmsuy rộng Do đó, u(x, y, z)˜ là một hàm giải tích của (x, y, z) trong Bδ như

ta sẽ chứng minh sau này.u(x, y, 0) (≡ u˜ 0(x, y))cũng là một hàm giải tíchcủa (x, y)

Cuối cùng, từ điều trên, với u0(x, y) nếu ta chọn một hàm sao cho hạnchế của nó trên bất kỳ lân cận nào của gốc tọa độ không giải tích, thì bàitoán Cauchy tương ứng cho hàm này không có nghiệm địa phương u tạigốc tọa độ

Ta chứng minh ∆˜u = 0 trong Bδ Đây chính là định lý cổ điển củanguyên lý phản xạ Schwartz Theo ngôn ngữ hàm suy rộng, ý nghĩa của

nó là: cho ϕ ∈ D(Bδ), và cho

h˜u, ∆ϕi =

Z

˜u(x, y, z)∆ϕ(x, y, z)dxdydz

Khi đó, ta có thể thấy rằng u(x, y, z) ∈ C(B˜ δ) theo [1] (Hệ quả của Định

lý 3.22), tức là u˜ là hàm giải tích và điều hòa

Để thấy điều này, ta chứng minh kết quả sau: Bất kỳ hàm điều hòa xácđịnh trên tập mở Ω ⊂ Rn là giải tích Đầu tiên, ta có

Nhân E(x) vào hai vế của phương trình thu được

E(x) ∗ ∆(αu) = αu = E(x) ∗ g(x) = − 1

Từ đây, ta thấy u(x) là giải tích trong lân cận của x0, trong đó x0 là tùy

ý Do đó, u(x) là giải tích trong Ω

để thu được kết quả tương tự

Ta sẽ kết thúc mục này bằng chú ý về sự tồn tại nghiệm toàn cục Tađưa ví dụ mà chỉ ra kết quả rằng nếu các hệ số của toán tử L, f và Ψ giảitích, thì theo Định lý Cauchy-Kowalewski tồn tại một nghiệm địa phương,mặc dù, trong trường hợp tổng quát, nghiệm địa phương không thể mởrộng thành một nghiệm toàn cục

Ví dụ 2.2.2 (Hadamard) ChoL ≡ ∂2/∂x2
+ ∂2/∂y2
trong R2 Trongtrường hợp này,

u(x, y) = Re 1

z − a =

x − a(x − a)2 + y2, (a > 0)

thỏa mãn L[u] = 0 Hiển nhiên, giá trị ban đầu u(0, y) và (∂/∂x)u(0, y)

là giải tích đối với y Nhưng, do tính kỳ dị của nghiệm tại (a, 0), ta khôngthể coi nghiệm này là nghiệm toàn cục cho phương trình L[u] = 0 trong

x > 0 Mặt khác, nghiệm của ∆u = 0 là giải tích, nên nghiệm của phươngtrình L[u] = 0 với dữ liệu ban đầu cho trước tại x = 0 không là mộtnghiệm trong nửa không gian x > 0

2.2.2 Tính giải được địa phương của bài toán Cauchy

Trong mục trước, ta đã chứng minh rằng tính giải được của bài toánCauchy không được thỏa mãn nếu L = ∆ Mặt khác, trong mục này, ta sẽthu được điều kiện cần của tính giải được từ quan điểm tổng quát Trongphần tiếp theo, ’Tính giải được địa phương’ được hiểu theo nghĩa của Địnhnghĩa 2.2.1 Trước tiên, ta trình bày kết quả thu được bởi Lax

Mệnh đề 2.2.1 Cho các hệ số của (2.2) là giải tích Giả sử bài toánCauchy liên quan đến L là giải được địa phương tại gốc tọa độ Trongtrường hợp này, tồn tại δ(> 0), và với bất kỳ dữ kiện ban đầu Ψ ≡(u0(x), , um−1(x)) ∈ C, tồn tại duy nhất một nghiệm u(x, t) ∈ Cm(Dδ)

Chú ý Ta vừa đưa định nghĩa Dδ trước định lý của Holmgren, tức là

Dδ = {(x, t) ∈ Rn+1 : |x|2+ |t| < δ} Trong định nghĩa của tính giải đượcđịa phương, mỗi miền giá trị của một nghiệm phụ thuộc giá trị ban đầu

Ψ Mặt khác, bổ đề trên nói rằng mọi u tương ứng với Ψ có chung miềnxác định

Chứng minh Theo Định lý Holmgren 1.4.1, tồn tại ε0(> 0), với ε < ε0,nghiệm thỏa mãn

Ta thấy Ak,p đối xứng, tức là, nếu Ψ ∈ Ak,p thì −Ψ ∈ Ak,p, và lồi

Từ giả thiết của tính giải được địa phương, ta có [

kp

Ak,p = YC(Rn)

Ngoài ra, Ak,p cũng đóng (ta sẽ chứng minh sau) Cho Ψj ∈ Ak,p → Ψ0

trong QC(Rn) uj(x, t) tương ứng với Ψj tạo thành một tập bị chặn của

Vì vậy, nếu ta viết giới hạn của hội tụ yếu của ujp là u0 thì ta thấy

1

2 n]+m 2(loc) (Dεk) Để thấy Ak,p đóng,

ta tiến hành như sau:

Từ Lujp = 0, với bất kỳ ϕ ∈ D(Dεk) ta có hLujp, ϕi = hujp,tLϕi = 0

do đó hu0,tLϕi = 0 Theo Bổ đề Sobolev, ta có

Theo Định lý phạm trù của Baire (xem [1], Định lý 2.2), một trong

Ak,p, Ak0,p0 chứa hình cầu mở của Q

C(Rn) Mặt khác, bởi vì Ak0,p0 đốixứng và lồi (như một tập), nó chứa một lân cận nhất định của gốc tọa

độ Cho nên, nếu ta viết Ψ là giá trị ban đầu, thì với λ(6= 0) đủ nhỏ, λΨ

Ψ(x) ≡ (u0(x), , um−1(x)) → u(x, t)

là một ánh xạ liên tục từ Q

C(Rn) tới Cm(Dδ).Chứng minh Đồ thị của ánh xạ tuyến tính Ψ → u là đồ thị đóng theotính duy nhất nghiệm Thật ra, nếu Ψj → 0 trong Q

p(λ, ξ) = λm+ X

|ν|+j=m

aν,j(0, 0)ξνλj = 0 (1.21)

đều có giá trị thực với mọi ξ

Chứng minh Việc chứng minh khá phức tạp Ta chỉ đưa ra chứng minhkhi các hệ số của L là hằng số Để làm được điều này, ta chỉ cần chỉ ratồn tại ξ∗ và λi (tại điểm này ta giả sử nó là λ1), nếu λ1(ξ∗) 6= 0, tính liêntục của nghiệm với giá trị ban đầu không bao giờ có hiệu lực Thật ra, ta

Bây giờ, cho ξ = τ ξ∗ trong (2.4), và cho τ (> 0) đủ lớn Ta chứng minhrằng trong những nghiệm λ∗i(τ ξ∗), (i = 1, 2, , m) của P (λ, iτ ξ∗) = 0,tồn tại λ∗(τ ξ∗) thỏa mãn

trong đó Q(λ0, τ ) là một đa thức có bậc nhỏ hơn (m − 1) đối với λ0, và các

hệ số của nó là các đa thức của 1/τ Theo giả thiết, p(λ0, iξ∗) = 0 có mộtnghiệm iλ1(ξ∗), do đó, khi τ → +∞, iλ(ξ∗) có một nghiệm iλ1(ξ∗) + ε,trong đó ε tiến tới 0 khi 1/τ → 0

Do đó, nếu τ > τ0, thì phần thực của nghiệm iλ1(ξ∗) + ε lớn hơn

−12 Im λ1(ξ∗) Cho nên nếu τ > τ0, thì (2.4) có λ∗(τ ξ) thỏa mãn

Tiếp theo, nếu (2.6) là đúng, thì dễ thấy tính liên tục của nghiệm vớigiá trị ban đầu cho trước (theo Định lý 2.2.1) không còn hiệu lực Thật ra,nếu nó có hiệu lực, thì với bất kỳ tập compắc K trong Dδ, tồn tại một sốthực dương C và một số nguyên dương l, vớiu(x, t) ∈ C thỏa mãn Lu = 0

l

(2.7)

trong đó | · |l là ký hiệu chuẩn của Bl(Rn) Giả sử chọn K chứa điểm

(0, t0) ⊂ Dδ (t0 > 0) Thì uτ(x, t) = exp[λ∗(τ ξ∗)t] exp(iτ ξ∗x) là mộtnghiệm trong C thỏa mãn Luτ = 0 Từ |λ∗(τ ξ∗)| 6 c0τ (τ > τ0), (2.6) và(2.7), ta có exp(12cτ t0) ≤ exp[Reλ∗(τ ξ∗)t0] = |uτ(0, t0)| 6 Cτm+l−1, với

τ > τ0 Nếu τ → +∞ thì bất đẳng thức sai

Từ Mệnh đề này và Định lý 2.2.1 ta có:

Định lý 2.2.3 Trong (2.2), giả sử các hệ số là giải tích Điều kiện cần

để bài toán Cauchy cho L giải được địa phương trong lớp C là các nghiệm

2.3 Sự phụ thuộc liên tục của nghiệm vào dữ kiện

ban đầu

2.3.1 Sự phụ thuộc liên tục của nghiệm vào dữ kiện ban đầu

Định lý 2.2.2 có thể được cải tiến nếu các hệ số của L là hằng số, tức

là, điều kiện cần và đủ cho tính liên tục của nghiệm bài toán của L đốivới giá trị ban đầu có thể được đưa ra

Trong trường hợp này, ta lưu ý phương trình đặc trưng của L bao gồm các

số hạng bậc thấp hơn đã được giải trong mục trước, tức là

P (λ, iξ) ≡ λm + X

|ν|+j6m

aν,j(iξ)νλj = 0, (2.4)

Định lý sau được biết đến với tên là điều kiện Hadamard

Định lý 2.3.1 Cho phương trình (2.8) Theo nghĩa của Định lý 2.2.1,điều kiện cần để nghiệm phụ thuộc liên tục vào dữ kiện ban đầu là tồn tại

số dương C và p thích hợp, với mọi ξ ∈ Rn,

| Re λi(ξ)| 6 p log(1 + |ξ|) + C, (i = 1, 2, , m), (2.9)trong đó λi(ξ) (i = 1, 2, , m) là các nghiệm của (2.4)