Bài toán biên đối với phương trình đạo hàm riêng mờ dạng hyperbolic (Luận án tiến sĩ)Bài toán biên đối với phương trình đạo hàm riêng mờ dạng hyperbolic (Luận án tiến sĩ)Bài toán biên đối với phương trình đạo hàm riêng mờ dạng hyperbolic (Luận án tiến sĩ)Bài toán biên đối với phương trình đạo hàm riêng mờ dạng hyperbolic (Luận án tiến sĩ)Bài toán biên đối với phương trình đạo hàm riêng mờ dạng hyperbolic (Luận án tiến sĩ)Bài toán biên đối với phương trình đạo hàm riêng mờ dạng hyperbolic (Luận án tiến sĩ)Bài toán biên đối với phương trình đạo hàm riêng mờ dạng hyperbolic (Luận án tiến sĩ)Bài toán biên đối với phương trình đạo hàm riêng mờ dạng hyperbolic (Luận án tiến sĩ)Bài toán biên đối với phương trình đạo hàm riêng mờ dạng hyperbolic (Luận án tiến sĩ)Bài toán biên đối với phương trình đạo hàm riêng mờ dạng hyperbolic (Luận án tiến sĩ)Bài toán biên đối với phương trình đạo hàm riêng mờ dạng hyperbolic (Luận án tiến sĩ)Bài toán biên đối với phương trình đạo hàm riêng mờ dạng hyperbolic (Luận án tiến sĩ)Bài toán biên đối với phương trình đạo hàm riêng mờ dạng hyperbolic (Luận án tiến sĩ)
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI ——————— * ——————— HÀ THỊ THANH TÂM BÀI TỐN BIÊN ĐỐI VỚI PHƯƠNG TRÌNH ĐẠO HÀM RIÊNG MỜ DẠNG HYPERBOLIC LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC Hà Nội - 2018 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI ——————— * ——————— HÀ THỊ THANH TÂM BÀI TỐN BIÊN ĐỐI VỚI PHƯƠNG TRÌNH ĐẠO HÀM RIÊNG MỜ DẠNG HYPERBOLIC Chuyên ngành: Phương trình vi phân tích phân Mã số: 9.46.01.03 LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC TS Nguyễn Thị Kim Sơn PGS.TS Hoàng Việt Long Hà Nội - 2018 LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan cơng trình nghiên cứu tơi hướng dẫn TS Nguyễn Thị Kim Sơn PGS.TS Hoàng Việt Long Các kết phát biểu luận án trung thực chưa cơng bố cơng trình tác giả khác Nghiên cứu sinh Hà Thị Thanh Tâm LỜI CẢM ƠN Luận án thực Bộ mơn Giải tích, Khoa Tốn - Tin, Trường Đại học Sư phạm Hà Nội, hướng dẫn nghiêm khắc, tận tình, chu đáo TS Nguyễn Thị Kim Sơn PGS.TS Hoàng Việt Long Tác giả xin bày tỏ lòng kính trọng biết ơn sâu sắc đến thầy cô, người dẫn dắt tác giả vào hướng nghiên cứu khó khăn, vất vả thực thú vị có ý nghĩa Tác giả trân trọng gửi lời cảm ơn đến Ban Giám hiệu, Phòng Sau Đại học, Ban Chủ nhiệm Khoa Toán- Tin, Trường Đại học Sư phạm Hà Nội, đặc biệt thầy giáo, giáo Bộ mơn Giải tích giúp đỡ, tạo điều kiện thuận lợi động viên tác giả suốt trình học tập nghiên cứu Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn đến Ban Giám hiệu Trường Đại học Công nghệ Giao thông vận tải, đồng nghiệp Bộ môn Toán học, Khoa Khoa học bản, Trường Đại học Công nghệ Giao thông vận tải giúp đỡ, tạo điều kiện thuận lợi động viên tác giả suốt trình học tập nghiên cứu Lời cảm ơn sau cùng, tác giả xin dành cho gia đình, người ln u thương, chia sẻ, động viên tác giả vượt qua khó khăn để hồn thành luận án Mục lục Lời cam đoan Lời cảm ơn Mục lục MỞ ĐẦU Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 16 1.1 Không gian metric số mờ 17 1.1.1 Tập mờ 17 1.1.2 Nguyên lý suy rộng Zadeh 17 1.1.3 Không gian metric số mờ 19 1.2 Sơ lược giải tích mờ 24 1.2.1 Hàm nhận giá trị số mờ 24 1.2.2 Các tính chất giải tích hàm nhận giá trị số mờ 25 1.3 Sơ lược giải tích bậc phân số mờ 32 1.4 Một số định lý điểm bất động 33 Chương BÀI TOÁN BIÊN ĐỐI VỚI PHƯƠNG TRÌNH HYPERBOLIC MỜ CĨ TRỄ 35 2.1 Bài toán biên phương trình hyperbolic mờ có trễ miền bị chặn 36 2.1.1 Đặt toán 36 2.1.2 Nghiệm tích phân 37 2.1.3 Tính giải tốn 40 2.2 Bài toán biên phương trình hyperbolic mờ có trễ miền vô hạn 46 2.2.1 Đặt toán 46 2.2.2 Nghiệm tích phân 47 2.2.3 Tính giải tốn 47 2.3 Một số ví dụ minh họa 55 Chương BÀI TOÁN BIÊN ĐỐI VỚI PHƯƠNG TRÌNH ĐẠO HÀM RIÊNG MỜ DẠNG HYPERBOLIC BẬC PHÂN SỐ 60 3.1 Đạo hàm bậc phân số hàm hai biến giá trị số mờ 61 3.2 3.3 3.1.1 Đạo hàm bậc phân số hàm hai biến giá trị thực 61 3.1.2 Đạo hàm bậc phân số hàm hai biến giá trị mờ 64 Bài tốn biên phương trình đạo hàm riêng mờ dạng hyperbolic bậc phân số miền bị chặn 70 3.2.1 Đặt toán 70 3.2.2 Tính giải toán 71 Bài tốn biên phương trình đạo hàm riêng mờ dạng hyperbolic bậc phân số miền vô hạn 79 3.3.1 Đặt toán 79 3.3.2 Tính giải toán 80 3.4 Một số ví dụ minh họa 83 Chương MỘT SỐ TÍNH CHẤT ĐỊNH TÍNH CỦA NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH ĐẠO HÀM RIÊNG MỜ DẠNG HYPERBOLIC BẬC PHÂN SỐ 88 4.1 Tính ổn định Ulam 89 4.1.1 Tính ổn định Hyers-Ulam 90 4.1.2 Tính ổn định Hyers-Ulam-Rassias 94 4.2 Tính ổn định Lyapunov 97 4.3 Một số ví dụ minh họa 100 DANH MỤC CÁC CÔNG TRÌNH ĐÃ CƠNG BỐ CỦA LUẬN ÁN 105 TÀI LIỆU THAM KHẢO 106 MỘT SỐ KÍ HIỆU THƯỜNG DÙNG TRONG LUẬN ÁN R Tập hợp số thực 17 E Không gian số mờ 19 KC Tập tất tập lồi, compact khác rỗng R 27 F(X) Tập tất tập mờ tập hợp X 17 [u]α + − + = {x ∈ R : u(x) ≥ α, < α ≤ 1} = [u− α , uα ], uα , uα ∈ R 19 [u]0 = {x ∈ R : u(x) > 0} 19 Ec {u ∈ E : α → [u]α liên tục theo metric Hausdorff trên[0, 1]} 26 len[u]α − = u+ α − uα 20 ∫ +∞ 32 B(., ) Hàm Gamma xác định Γ(α) = xα−1 e−x dx ∫1 Hàm Beta xác định B(a, b) = xa−1 (1 − x)b−1 dx, a, b > U Tập khác rỗng R2 24 Jab = [0, a] × [0, b], a, b > 36 Jrab = [−r, a] × [−r, b], r, a, b > 36 Jr0 = [−r, 0] × [−r, 0], r > 36 J˜rab = Jr \ (0, a] × (0, b], r, a, b > 36 J0∞ = [0, ∞) × [0, ∞) 46 Jr∞ = [−r, ∞) × [−r, ∞), r > 46 J˜r∞ = Jr∞ \ (0, ∞) × (0, ∞), r > 46 ΩbT = [0, T ] × [0, b], T, b > 70 Ωb∞ ∂f ∂x = [0, ∞) × [0, b], b > 79 Đạo hàm riêng Hukuhara suy rộng hàm giá trị mờ f theo x 29 Dxy u(x, y) Đạo hàm riêng Hukuhara suy rộng cấp hai hàm giá trị 30 Γ(.) số mờ u theo x y 32 RL q I 0+ u Tích phân Riemann - Liouville bậc q hàm giá trị thực u 32,61 C Đạo hàm Caputo bậc q hàm giá trị thực u 61 RL q F I 0+ u Tích phân Riemann - Liouville bậc q hàm giá trị mờ u 32,65 RL q gH D u Đạo hàm gH-Riemann-Liouville bậc q hàm giá trị mờ u 33 Đạo hàm gH-Caputo bậc q hàm giá trị mờ u 33,68 dH (A, B) Khoảng cách Hausdorff tập A tập B 24 d∞ (u, v) = sup dH ([u] , [v] ) H(u, v) = sup d∞ (u (x, y) , v (x, y)) Dq u C q gH D u α α 24 0≤α≤1 26 (x,y)∈U d0C (φ, ϕ) = Hλ (u, v) = sup sup d∞ (φ(ω, θ), ϕ(ω, θ)) (x,y)∈U dr (u, v) 36 (ω,θ)∈Jr0{ = sup (t,x)∈ΩbT } d∞ (u (x, y) , v (x, y))e−λ(x+y) { } r1 r2 t x d∞ (u(t, x), v(t, x)) , r = (r1 , r2 ), r1 , r2 > { d∞ (u(t, x), v(t, x))e−βt } 40 72 Hβ0 (u, v) = ψ(x, y) Tψf [u](x, y) = η1 (x) ⊕ [η2 (y) ⊖H u(0, 0)], (x, y) ∈ U ∫ x∫ y = ψ(x, y) ⊖H (−1) f (s, t, u(s,t) )dtds, (x, y) ∈ U Fψf,q [u](t, x) = ψ(t, x) C(U, E) Tập tất hàm liên tục từ U vào E L1 (U, X) Tập tất hàm khả tích từ U vào X, X = R X = E 61 L∞ (U, R) Tập tất hàm bị chặn từ U vào R 94 W1 (U, E) Tập tất hàm u : U → E cho u, sup (t,x)∈Ωb∞ 80 0 RL q ⊖H (−1)F I0+ f (t, x, u(t, x)), (t, x) ∈U Tập tất hàm u : U → E cho u, f Cλ,ψ (Jrab , E) 73 30 ∂u gH-khả vi ∂x khác kiểu Cλ (Jrab , E) 42 ∂u gH-khả vi ∂x kiểu W2 (U, E) 36 30 Không gian hàm u ∈ C(Jrab , E) cho u(x, y) = φ(x, y), ab (x, y) ∈ J˜r với metric Hλ 40 = {u ∈ Cλ (Jrab , E) : Tψf [u](x, y) ∈ E, (x, y) ∈ Jab } 42 Cλ∞ (Jr∞ , E) Không gian hàm u ∈ C(Jr∞ , E) với metric Hλ thỏa 48 mãn: i) u(x, y) = φ(x, y), (x, y) ∈ J˜r∞ ii) sup (x,y)∈Jr∞ ∞,f Cλ,ψ (Jr∞ , E) Cψf (ΩbT , E) Cβ∞ (Ωb∞ , E) d∞ (u(x, y), ˆ0)e−λ(x+y) < ∞ = {u ∈ Cλ∞ (Jr∞ , E) : Tψf [u](x, y) ∈ E, (x, y) ∈ Jr∞ } 54 = {u ∈ (C(ΩbT , E), dr ) : Fψf,q [u](t, x) ∈ E, (t, x) ∈ ΩbT } 73 Không gian hàm u ∈ C(Ωb∞ , E) với metric Hβ0 (u, v) } { thỏa mãn sup d∞ (u(t, x), v(t, x))e−βt < ∞ 80 = {u ∈ Cβ∞ (Ωb∞ , E) : Fψf,q [u](t, x) ∈ E, (t, x) ∈ Ωb∞ } 83 (t,x)∈Ωb∞ ∞,f Cβ,ψ (Ωb∞ , E) ... 33 Chương BÀI TOÁN BIÊN ĐỐI VỚI PHƯƠNG TRÌNH HYPERBOLIC MỜ CĨ TRỄ 35 2.1 Bài toán biên phương trình hyperbolic mờ có trễ miền bị... trị thực 61 3.1.2 Đạo hàm bậc phân số hàm hai biến giá trị mờ 64 Bài toán biên phương trình đạo hàm riêng mờ dạng hyperbolic bậc phân số miền bị chặn 70 3.2.1 Đặt toán ... TỐN BIÊN ĐỐI VỚI PHƯƠNG TRÌNH ĐẠO HÀM RIÊNG MỜ DẠNG HYPERBOLIC BẬC PHÂN SỐ 60 3.1 Đạo hàm bậc phân số hàm hai biến giá trị số mờ 61 3.2 3.3 3.1.1 Đạo hàm bậc phân số hàm hai biến