Các mặt cong phương trình đạo hàm riêng và ứng dụng trong đồ họa máy tính

i MỤC LỤC Trang LỜI CẢM ƠN iv LỜI CAM ĐOAN v DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU VÀ CHỮ VIẾT TẮT vi DANH MỤC CÁC HÌNH vii MỞ ĐẦU Chương MỘT SỐ KHÁI NIỆM TRONG HÌNH HỌC 12 1.1 ĐƯỜNG CONG 12 1.1.1 Biểu diễn đường cong 12 1.1.2 Ðặc tính đường cong 13 1.1.2.1 Độ chảy 13 1.1.2.2 Vectơ tiếp tuyến đơn vị 14 1.1.2.3 Vectơ pháp tuyến 14 1.1.2.4 Độ cong bán kính cong 15 1.1.2.5 Độ xoắn đường cong 15 1.2 MẶT CONG 16 1.2.1 Phương pháp biểu diễn mặt cong 16 1.2.1.1 Mô hình mặt cong dạng phương trình ẩn 16 1.2.1.2 Mô hình mặt cong dạng phương trình tham số 16 1.2.1.3 Mô hình mặt cong dạng phương trình phi tham số .177 1.2.2 Tiếp tuyến pháp tuyến mặt cong 17 1.2.3 Độ cong 19 ii 1.3 CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI TỌA ĐỘ 21 1.3.1 Phép biến đổi tọa độ 2D 21 1.3.2 Phép biến đổi tọa độ 3D 23 1.3.3 Phép ánh xạ 25 1.3.4 Khung tọa độ 26 1.4 TỔNG KẾT CHƯƠNG 27 Chương PHƯƠNG PHÁP PHƯƠNG TRÌNH ĐẠO HÀM RIÊNG TRONG THIẾT KẾ HÌNH HỌC 29 2.1 MỘT SỐ KIẾN THỨC VỀ PHƯƠNG TRÌNH ĐẠO HÀM RIÊNG29 2.1.1 Giới thiệu chung phương trình đạo hàm riêng 29 2.1.2 Phương trình eliptic phương pháp giải 31 2.1.2.1.Phương pháp tách biến Fourier 31 2.1.2.2.Phương pháp sai phân 32 2.1.2.3.Phương pháp phần tử hữu hạn 33 2.2 PHƯƠNG PHÁP SINH MẶT CONG NHỜ PHƯƠNG TRÌNH ELIPTIC CẤP BỐN 35 2.3 PHƯƠNG PHÁP SINH MẶT CONG NHỜ PHƯƠNG TRÌNH TAM ĐIỀU HÒA 42 2.4 PHƯƠNG PHÁP SINH MẶT CONG NHỜ PHƯƠNG TRÌNH CẤP SÁU KHÁC 50 2.5 TỔNG KẾT CHƯƠNG 56 CHƯƠNG XÂY DỰNG CHƯƠNG TRÌNH THIẾT KẾ MẶT CONG NHỜ PHƯƠNG TRÌNH TAM ĐIỀU HÒA VÀ PHƯƠNG TRÌNH PDE CẤP SÁU KHÁC 57 3.1 XÂY DỰNG CHƯƠNG TRÌNH THIẾT KẾ MẶT CONG NHỜ PHƯƠNG TRÌNH TAM ĐIỀU HÒA 57 3.2 XÂY DỰNG CHƯƠNG TRÌNH THIẾT KẾ MẶT CONG NHỜ PHƯƠNG TRÌNH PDE CẤP SÁU KHÁC 61 iii 3.3 TỔNG KẾT CHƯƠNG 64 KẾT LUẬN 65 DANH MỤC TÀI LIỆU THAM KHẢO 66 iv LỜI CẢM ƠN Em xin chân thành cảm ơn Ban Giám hiệu, Phòng Đào tạo Sau Đại học, Khoa Công nghệ Thông tin Trường Đại học công nghệ thông tin truyền thông Thái Nguyên tận tình giúp đỡ, tạo điều kiện thuận lợi cho em trình học tập, nghiên cứu thực luận văn Đặc biệt, em xin gửi lời tri ân sâu sắc đến GS TS Đặng Quang Á – người dành nhiều thời gian, công sức tận tình hướng dẫn khoa học cho em suốt trình hình thành hoàn chỉnh luận văn Xin chân thành cảm ơn Quý Thầy, Cô giảng dạy, truyền đạt cho em tri thức quý báu, thiết thực suốt khóa học Cuối xin bày tỏ lòng biết ơn gia đình, người thân, bạn bè, đồng nghiệp giúp đỡ, động viên, đóng góp ý kiến quý báu cho em việc hoàn thành luận văn Thái Nguyên, ngày tháng năm 2015 Tác giả Lương Ngọc Tú v LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan công trình nghiên cứu riêng hướng dẫn trực tiếp GS.TS Đặng Quang Á Mọi trích dẫn sử dụng báo cáo ghi rõ nguồn tài liệu tham khảo theo qui định Mọi chép không hợp lệ, vi phạm quy chế đào tạo, hay gian trá, xin chịu hoàn toàn trách nhiệm Thái Nguyên, ngày tháng Tác giả Lương Ngọc Tú năm 2015 vi DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU VÀ CHỮ VIẾT TẮT Tiếng Anh Từ viết tắt Tên đầy đủ Diễn giải CAD Computer Aided Design PDE Partial differential equations Phương trình đạo hàm riêng CSG Constructive solid geometry Phương pháp hình học lập thể B-rep Boundary representation Phương pháp biểu diễn biên FFD free-form deformation Tự biến dạng Hệ thống thiết kế có trợ giúp máy tính vii DANH MỤC HÌNH Hình 1.1 Tham số hóa đường tròn đơn vị 12 Hình 1.2 Vectơ pháp truyến đường tròn mật tiếp 15 Hình 1.3 Hình học mặt cong 17 Hình 1.4 Đường cong mặt cong mặt phẳng tiếp tuyến 18 Hình 1.5 Phép biến đổi tọa độ 2D Hình 1.6 Phép biến đổi tọa độ hình thức hệ tọa độ chuyển động Hình 2.1 Bề mặt bình tạo nghiệm đóng PDEs 31 Hình 2.2 Các dạng bề mặt cách thay đổi điều kiện biên tiếp tuyến 33 Hình 2.3 Các mặt cong PDE tương ứng với điều kiện biên cụ thể 41 Hình 2.4 Các mặt cong PDE tương ứng với điều kiện biên cụ thể 41 Hình 3.1 Thiết kế đối tượng phương trình tam điều hòa 52 Hình 3.2 Thiết kế đối tượng phương trình tam điều hòa 52 Hình 3.3 Thiết kế đối tượng phương trình cấp sáu khác 54 Hình 3.4 Thiết kế đối tượng phương trình cấp sáu khác 55 Hình 3.5 Giao diện mô đối tượng phương trình tam điều hòa 56 Hình 3.6 Giao diện mô đối tượng phương trình cấp sáu khác 56 MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Sinh mặt (surface) chủ thể quan trọng đồ họa máy tính (computer graphics) thiết kế có trợ giúp máy tính (Computer Aided Design – CAD [1]) mô hình hóa hình học cách chi tiết Nhờ phát triển công nghệ thông tin, ngành công nghiệp có liên quan đến ngành hàng không vũ trụ, điện tử tự động hóa sử dụng CAD ngày nhiều Thông thường quy trình khởi đầu với việc định nghĩa hình dạng mẫu yêu cầu khái niệm đặc tả hình dạng sản phẩm chức Quy trình sau xử lý qua chuỗi hoạt động lặp lại đạt thiết kế tối ưu Ngày nay, quy trình việc thiết kế tự động theo chức dựa việc gia tăng sử dụng máy tính Mặc dù việc thiết kế hình dạng dựa việc mở rộng sử dụng máy tính không cung cấp giải pháp tự động cho toán thiết kế cho trước, làm tăng tính hiệu quy trình thiết kế Bởi vậy, trình thiết kế mặt cong bao gồm việc mô tả hiệu hình dáng thao tác tham số mô hình biểu diễn Mặt biểu diễn tường minh dạng ẩn dạng tham số, dạng dạng tham số phổ biến đồ họa máy tính, thực ảo CAD Hầu hết mặt tham số sử dụng phương pháp mô hình hóa dựa điểm điều khiển (control-point based modelling) Bezier, Bspline NURBS Gần phương pháp mô hình hóa nhờ phương trình đạo hàm riêng (Partial differential equations - PDE [2]) phát triển mạnh mẽ Việc sinh mặt sử dụng lời giải PDE gắn với điều kiện biên xác định xem phương pháp mô hình hóa dựa vật lý (physics-base modelling) Trong phương pháp việc lựa chọn phương trình điều kiện biên yếu tố quan trọng Một số phương pháp giải tích phương pháp số phát triển để tìm lời giải cho phương trình [6], [7] So với kỹ thuật thông thường sử dụng đồ họa máy tính, phương pháp thiết kế đồ họa, tạo bề mặt cong dựa phương trình đạo hàm riêng có nhiều lợi thế: - Sự tác động đối tượng PDE xác định giá trị biên phương trình vi phân bề mặt dễ dàng xác định thông qua phương trình vi phân bậc cao [5] - Về nguyên tắc đối tượng PDE tái tạo lại từ tập nhỏ điều kiện biên Thông tin nội chúng tự động thu hồi thông qua việc giải phương trình vi phân Do mô hình PDE yêu cầu tham số mô hình lập thể dạng tự tham số - Đặc biệt mô hình PDE có nhiều lợi so với kỹ thuật mô hình hóa hình khối thông thường, chẳng hạn hoạt động dựa đường, biểu diễn bề mặt biên Vì phương pháp PDE có tiềm để tích hợp phương pháp hình học lập thể (Constructive solid geometry-CSG [3]), phương pháp biểu diễn biên (Boundary representation- B-rep) v.v vào khung - Tham số mô hình PDE cung cấp ánh xạ chúng không gian vật lý Do mô hình PDE đặc biệt dạng biến thể chúng cung cấp nguyên dạng tự biến dạng (free-form deformation, FFD) cho đối tượng nhúng bên mô hình PDE - Các đối tượng PDE thống hai khía cạnh hình học vật lý mô hình giới thực, yêu cầu không đồng khác thi hành thỏa mãn cách đồng thời 10 Ngoài phương pháp PDE sử dụng cho mô hình dạng ẩn mô hình dạng ẩn có lợi việc biểu diễn đối tượng có hình dạng tùy ý Tuy nhiên, hai mô hình sử dụng tham số mô hình ẩn có mặt mạnh hạn chế riêng chúng Ví dụ mô hình tham số cung cấp mô tả hình dạng tường minh mô hình ẩn lại điều Do đó, việc sử dụng cách thống hai phương pháp có nhiều lợi việc mô hình hóa hình học [4] Nhận thấy tính thiết thực vấn đề gợi ý giảng viên hướng dẫn, chọn đề tài “Các mặt cong phương trình đạo hàm riêng ứng dụng đồ họa máy tính” làm đề tài cho luận văn tốt nghiệp Đối tượng nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu đề tài phương pháp phương trình đạo hàm riêng tạo dựng mặt cong nắn chỉnh hình dạng chúng nhờ can thiệp vào tham số chương trình thay đổi điều kiện biên Phạm vi nghiên cứu Luận văn tập trung nghiên cứu kiến thức có liên quan, sở lý thuyết Cơ sở toán học thiết kế hình học, phương pháp, kỹ thuật sử dụng việc thiết kế hình học, kỹ thuật sử dụng phương trình đạo hàm riêng đặc biệt dạng phương trình elliptic cấp bốn cấp sáu kết hợp với điều kiện biên ứng dụng thiết kế hình dạng, bề mặt vật thể Nhiệm vụ nghiên cứu - Tìm hiểu kiến thức tổng quan thiết kế hình dạng, bề mặt vật thể - Tìm hiểu phương pháp phương trình đạo hàm riêng ứng dụng thiết kế hình dạng, bề mặt vật thể 56 2 z  2r2  6r3u  12r4u  20r5u u từ điều kiện biên suy hệ phương trình  r0  h0  h sinh u0  r  h cosh u 1   r2  h sinh u0   r0  r1  r2  r3  r4  r5  A sinu1   r1  2r2  3r3  r4  5r5  A cosu1  r  r  12r  20r   A sinu  (2.32) giải hệ (2.32) tìm r1 , r2 , r3 , r4 , r5 biểu diễn qua h0 , h, u0 , u1 , A tham số xác định hình dạng mặt a, b, u0 , u1 , R, A, h0 , h 2.5 TỔNG KẾT CHƯƠNG Trong chương luận văn giới thiệu chung phương trình đạo hàm riêng, số vấn đề liên quan đến bề mặt tạo từ phương trình đạo hàm riêng, ứng dụng bề mặt PDE việc thiết kế hình dạng vật thể, có phương pháp sinh mặt nhờ phương trình eliptic, tập trung vào dạng tổng quát phương trình eliptic cấp 4, phương trình tam điều hòa phương trình eliptic cấp khác 57 Chương XÂY DỰNG CHƯƠNG TRÌNH THIẾT KẾ MẶT CONG NHỜ PHƯƠNG TRÌNH TAM ĐIỀU HÒA VÀ PHƯƠNG TRÌNH PDE CẤP SÁU KHÁC Chúng ta biết bề mặt PDE công cụ mạnh việc thiết kế hình học, bảo đảm độ mịn bề mặt phụ thuộc vào bậc phương trình PDE tạo hay sửa đổi bề mặt Các bề mặt PDE chủ yếu phân thành hai loại bề mặt PDE dạng ẩn bề mặt PDE dạng tham số Thông thường bề mặt dạng ẩn thu từ phương trình PDE Parabolic bề mặt dạng tham số thu từ phương trình PDE elliptic Các bề mặt PDE dạng tham số xem việc giải phương trình PDE elliptic miền tham số Đây kỹ thuật tạo bề mặt hiệu kết hợp trình rời rạc hóa toán tử liên quan với phương trình PDE elliptic để đưa giải pháp trung bình cho họ phương trình PDE, đảm bảo bề mặt thu có độ trơn mịn định phụ thuộc vào bậc phương trình PDE Các bề mặt PDE dạng tham số chứng minh hữu ích phương pháp tạo bề mặt để giải vấn đề chẳng hạn pha trộn hình dạng, tối ưu hóa, thiết kế tương tác điêu khắc…Để mô tả cho ưu điểm này, chương trình bày phương pháp thiết kế hình dạng dựa phương trình PDE elliptic cấp sáu 3.1 XÂY DỰNG CHƯƠNG TRÌNH THIẾT KẾ MẶT CONG NHỜ PHƯƠNG TRÌNH TAM ĐIỀU HÒA Trong chương hai, mục 2.3 xây dựng phương pháp sinh mặt nhờ phương trình tam điều hòa việc tìm lời giải cho phương trình (2.17): 58  2    a   S(u , v )  v   u a tham số điều khiển thỏa mãn điều kiện biên: u=0 S(0,v) = f o (v) Su (0, v)  g0 (v) Suu (0, v)  h0 (v) u=1 S (1, v)  f1 (v) Su (1, v)  g1 (v) Suu (1, v)  h1(v) Ở trên, Su , Suu đạo hàm riêng cấp cấp hai S, f , , h1 véc tơ hàm Sử dụng phương pháp tách biến nghiệm tường minh S(u,v) phương trình (2.17) viết sau: N S  u, v   A0 (u )    An (u ) cosnv Bn (u )sin nv  , n 1 A0 (u ), A n (u ), Bn (u ) véc tơ hàm dạng A0 (u)  a00  a01u  a02u2  a03u3  a04u4  a05u5 An (u)  (an0  an1u  an 2u ) eau  (an3u  an 4u  an5u ) e au Bn (u)  (bn  bn1u  bn 2u ) eau  (bn3u  bn 4u  bn5u ) e au Các hệ số chưa biết xác định từ điều kiện biên Giả sử hàm điều kiện biên khai triển: 59 N f (v)  G01   Gn1 cos( nv)  H n1 sin(nv)  n 1 N f1 (v)  G02   Gn2 cos(nv)  H n2 sin(nv)  n 1 N g (v)  G03   Gn3 cos(nv)  H n3 sin(nv)  n 1 N g1 (v)  G04   Gn4 cos( nv)  H n4 sin(nv)  n 1 N h0 (v)  G05   Gn5 cos(nv)  H n5 sin(nv)  n 1 N h1 (v)  G06   Gn6 cos(nv)  H n6 sin(nv )  n 1 hệ số Gin , , H in biết Khi từ điều kiện biên xác định phương trình để tìm hệ số chưa biết aij , bij Từ dạng cụ thể điều kiện biên suy hàm x(u, v) y (u , v) có dạng x (u , v )  A1 (u ) cosv, y (u , v )  B1 (u ) sinv , Từ phương pháp trên, xây dựng chương trình thiết kế mặt cong nhờ phương trình tam điều hòa cách gắn điều kiện biên cụ thể xác định hệ số, cho kết đối tượng (hình 3.1, hình 3.2, hình 3.3) thiết kế nhờ phương trình tam điều hòa: 60 Hình 3.1 Các thông số đầu vào biểu diễn gắn với điều kiện biên cụ thể, từ tìm hệ số, cho kết đối tượng hình 3.1 Hình 3.2 61 Thay đổi thông số đầu vào biểu diễn trên, cho kết đối tượng hình 3.2 Hình 3.3 3.2 XÂY DỰNG CHƯƠNG TRÌNH THIẾT KẾ MẶT CONG NHỜ PHƯƠNG TRÌNH CẤP SÁU KHÁC Theo sở nghiên cứu chương hai, mục 2.4, phần thiết kế mặt cong khác nhờ phương trình PDE cấp sáu sau:  6 6 6 6   x         u 4v u v v   y   u Giả sử cho hàm điều kiện biên khai triển: 62 u0 x  a cosh u0 cos v y  b cosh u0 sin v z  h0  h sinh u0 u 1 x   R  A cos u1  cos v y   R  A cos u1  sin v z  A sin u1 x  a sinh u0 cos v u y  b sinh u0 sin v u z  h cosh u0 u x   A sin u1 cos v u y   A sin u1 sin v u z  A cos u1 u 2 x  a cosh u0 cos v u 2 y  b cosh u0 sin v u 2 z  h sinh u0 u 2 x   A cos u1 cos v u 2 y   A cos u1 sin v su u 2z   A sin u1 u y dạng x, y x  f (u ) cosv y  g(u) sinv với f (u )  (c1  c2u )eu  (c3  c4u )eu  c5 cos u  c6 sin u g (u )  (d1  d 2u )eu  (d3  d 4u )e u  d5 cos u  d sin u z  r0  r1u  r2u  r3u  r4 u  r5u từ điều kiện biên suy hệ phương trình tìm hệ số c1, ,6 , d1, ,6 , z1, ,5 , tham số xác định hình dạng mặt a, b, u0 , u1 , R, A, h0 , h Từ phương pháp trên, xây dựng chương trình thiết kế mặt cong nhờ phương trình cấp sáu khác cách gắn điều kiện biên cụ thể xác định hệ số, cho kết đối tượng (hình 3.4, hình 3.5, hình 3.6) thiết kế nhờ phương trình cấp sáu khác: 63 Hình 3.4 Các thông số đầu vào biểu diễn gắn với điều kiện biên cụ thể, từ tìm hệ số, cho kết đối tượng hình 3.4 Hình 3.5 Thay đổi thông số đầu vào biểu diễn trên, cho kết đối tượng hình 3.5 64 Hình 3.6 3.3 TỔNG KẾT CHƯƠNG Trong chương luận văn xây dựng chương trình thiết kế mặt cong nhờ phương trình tam điều hòa phương trình cấp sáu khác, thiết kế, nắn chỉnh hình dạng nhờ thay đổi điều kiện biên, tham số điều khiển khác cho hình dạng khác 65 KẾT LUẬN Luận văn trình bày số kiến thức thiết kế hình học phương trình đạo hàm riêng; tóm tắt phương pháp phương trình đạo hàm riêng thiết kế hình học, tìm hiểu phương trình elliptic cấp bốn cấp sáu xây dựng bề mặt PDE ứng dụng phương trình để thiết kế số mặt cong thực tế Kết luận văn gồm có: - Luận văn đưa số kiến thức liên quan làm sở cho việc thiết kế số đối tượng hình học mặt cong hệ tọa độ 3D - Trình bày số vấn đề liên quan đến bề mặt tạo từ phương trình đạo hàm riêng ứng dụng bề mặt PDE việc thiết kế mô hình hóa hình học - Trình bày chi tiết phương trình elliptic cấp bốn, phương trình tam điều hòa phương trình eliptic cấp sáu khác, vận dụng phương trình thiết kế bề mặt PDE cho số đối hình dạng vật thể - Cài đặt thành công thuật toán ứng dụng phương trình elliptic cấp bốn để thiết kế đối tượng hình học dựa việc xác định điều kiện biên phương trình tham số đối tượng hình học Trên sở kết trình bày, thời gian tới tiếp tục nghiên cứu sâu để thiết kế bề mặt PDE cho đối tượng 3D phức tạp dựa phương trình phương trình tam điều hòa phương trình eliptic cấp sáu khác.Vận dụng phương trình elliptic cấp bốn, phương trình tam điều hòa phương trình eliptic cấp sáu khác việc tái tạo lại vật thể bị biến dạng, pha trộn bề mặt khác để tạo nên vật thể có hình dạng phức tạp 66 DANH MỤC TÀI LIỆU THAM KHẢO Tài liệu tiếng Việt [1] Nguyễn Thế Tranh, Giáo trình công nghệ CAD-CAM, Trường Đại học Bách Khoa Đà Nẵng, Chương 2, tr 1-11 [2] Nguyễn Minh Chương (cb),Phương trình đạo hàm riêng, NXB GD,(2000) Tài liệu tiếng Anh [3] H Ugail, M.I.G Bloor, and M.J Wilson, Techniques for Interactive Design Using the PDE Method, ACM Transactions on Graphics,pp 195-212, (1999) [4] Ugail, H., Wilson, M.J, Efficient shape parametrisation for automatic design optimisation using a partial differential equation formulation Comput.Struct, pp 2601–2609, (2003) [5] Bloor, M.I.G., Wilson, M.J, Functionality in solids obtained from partial differential equations Computing,pp 21–42, (1993) [6] G Gonz´alez Castro, H Ugail et al., A survey of partial differential equationsin geometric design, Visual Comput 24,pp 213–225, (2008) [7] Farin, G Curves and Surfaces for Computer Aided Geometric Design, a Practical Guide, 5th edn MorganKaufmann, San Diego, CA (2001) [8] Zhang, J.J., You, L Fast surface modelling using a 6th order PDE Comput.Graph, Forum 23(3), pp 311–320, (2004) [9] J Monterde and H Ugail, A General 4th-Order PDE Method to Generate Bézier Surfaces from the Boundary, Computer Aided Geometric Design, 23 (2), pp 208-225, (2006) 67 [10] H Ugail, 3D Facial Data Fitting using the Biharmonic Equation, in Visualization, Imaging and Image Processing, J.J Villanueva (ed.), ACTA Press ISBN 0-88986-598-1, pp 302-307, (2006) [11] M G Bloor and M J Wilson, Generaring blend surfaces using partial differential equations, Comput Aided Des.21(3), pp 165-171, (1989) [12] M G Bloor and M J Wilson, Functionnality in blend desgign, Comput Aided Des.22(3), pp 655-664, (1989) [13] S N Ishak, J Md Ali, Parametric Geometric Surface Generation using Triharmonic PDE, (2009), pp 380-385 [14] J.J Zhang, L.h You, PDE based suface representation – vasedesign Computer & Graphics 26 (2002) 89-98 68 PHỤ LỤC CÁC CHƯƠNG TRÌNH NGUỒN TRÊN MATLAB Thiết kế đối tượng sử dụng phương trình tam điều hòa % triharmonic surface a=2; n=10; u = (0:1:n)/n; v = 2*pi*(0:1:n)'/n; e1 = 'a0+a1+a2+a3+a4+a5 = 0.3'; e2 = '(a0+a1+a2)*exp(a)+(a3+a4+a5)*exp(-a) = 1.5'; e3 = 'a*a0+a1-a*a3+a4 = 2'; e4 = '(a*a0+a1+(a*a1+2*a2)+a*a2)*exp(a)+(-a*a3+a4+(-a*a4+2*a5)-a*a5)*exp(a) = 1.1'; e5 = 'a*(a*a0+a1)+a*a1+2*a2 + (-a*(-a*a3+a4)-a*a4+2*a5) = 5.5'; e6 = '(a*(a*a0+a1+(a*a1+2*a2)+a*a2) + a*a1+2*a2+2*a*a2) * exp(a) + (-a*(a*a3+a4+(-a*a4+2*a5)-a*a5) - a*a4+2*a5-2*a*a5) * exp(-a) = 1'; [a0,a1,a2,a3,a4,a5]=solve(e1,e2,e3,e4,e5,e6,'a0,a1,a2,a3,a4,a5'); X = cos(v)*((a0+a1*u+a2*u.^2).*exp(a*u)+(a3+a4*u+a5*u.^2).*exp(-a*u)); X=subs(X); e1 = 'b0+b1+b2+b3+b4+b5 = 0.3'; e2 = '(b0+b1+b2)*exp(a)+(b3+b4+b5)*exp(-a) = 1.5'; e3 = 'a*b0+b1-a*b3+b4 = 2'; e4 = '(a*b0+b1+(a*b1+2*b2)+a*b2)*exp(a)+(-a*b3+b4+(-a*b4+2*b5)-a*b5)*exp(a) = 1.1'; e5 = 'a*(a*b0+b1)+a*b1+2*b2 + (-a*(-a*b3+b4)-a*b4+2*b5) = 5.5'; e6 = '(a*(a*b0+b1+(a*b1+2*b2)+a*b2) + a*b1+2*b2+2*a*b2) * exp(a) + (-a*(a*b3+b4+(-a*b4+2*b5)-a*b5) - a*b4+2*b5-2*a*b5) * exp(-a) = 1'; [b0,b1,b2,b3,b4,b5]=solve(e1,e2,e3,e4,e5,e6,'b0,b1,b2,b3,b4,b5'); Y =sin(v)*((b0+b1*u+b2*u.^2).*exp(a*u)+(b3+b4*u+b5*u.^2).*exp(-a*u)); Y=subs(Y); e1 = 'z0 = 3.1'; e2 = 'z1 = 1.5'; e3 = 'z2 = 0.5 * 0.7'; e4 = 'z3+z4+z5 = - 3.1 - 1.5 - 0.5 * 0.7'; e5 = '3*z3 + 4*z4 + 5*z5 = - 1.5 - 0.7'; e6 = '6*z3 + 12*z4 + 20*z5 = - 0.7'; [z0,z1,z2,z3,z4,z5]=solve(e1,e2,e3,e4,e5,e6,'z0,z1,z2,z3,z4,z5'); Z = ones(size(v))*(z0+z1*u+z2*u.^2+z3*u.^3+z4*u.^4+z5*u.^5); Z=subs(Z); 69 figure(1) surf(X,Y,Z) title(['a=' num2str(a)]) axis off Thiết kế đối tượng sử dụng phương trình cấp sáu khác a=1; b=1.5; u0=1; u1=2; R=1; A=2; h0=2; h=1; n=14; u = (0:1:n)/n; v = 2*pi*(0:1:n)'/n; e1 = 'c1 + c3 + c5 = a*cosh(u0)'; e2 = 'c1 + c2- c3 + c4 + c6 = a*sinh(u0)'; e3 = 'c1 + 2*c2+ c3 - 2*c4 - c5 = a*cosh(u0)'; e4 = '(c1+c2)*exp(1) + (c3+c4)*exp(-1) + c5*cos(1) + c6*sin(1) = R+A*cos(u1)'; e5 = '(c1+2*c2)*exp(1) - c3*exp(-1) - c5*sin(1) + c6*cos(1) = -A*sin(u1)'; e6 = '(c1+3*c2)*exp(1) + (c3-c4)*exp(-1) - c5*cos(1) - c6*sin(1) = -A*cos(u1)'; [c1,c2,c3,c4,c5,c6]=solve(e1,e2,e3,e4,e5,e6,'c1,c2,c3,c4,c5,c6'); X = cos(v)*((c1+c2*u).*exp(u)+(c3+c4*u).*exp(-u)+c5*cos(u)+c6*sin(u)); %subs(X) e1 = 'd1 + d3 + d5 = b*cosh(u0)'; e2 = 'd1 + d2- d3 + d4 + d6 = b*sinh(u0)'; e3 = 'd1 + 2*d2+ d3 - 2*d4 - d5 = b*cosh(u0)'; e4 = '(d1+d2)*exp(1) + (d3+d4)*exp(-1) + d5*cos(1) + d6*sin(1) = R+A*cos(u1)'; e5 = '(d1+2*d2)*exp(1) - d3*exp(-1) - d5*sin(1) + d6*cos(1) = -A*sin(u1)'; e6 = '(d1+3*d2)*exp(1) + (d3-d4)*exp(-1) - d5*cos(1) - d6*sin(1) = -A*cos(u1)'; [d1,d2,d3,d4,d5,d6]=solve(e1,e2,e3,e4,e5,e6,'d1,d2,d3,d4,d5,d6'); Y = sin(v)*((d1+d2*u).*exp(u)+(d3+d4*u).*exp(-u)+d5*cos(u)+d6*sin(u)); %subs(Y) 70 e1 = 'r0 = h0+h*sinh(u0)'; e2 = 'r1 = h*cosh(u0)'; e3 = 'r2 = 0.5*h*sinh(u0)'; e4 = 'r0 + r1 + r2 + r3 + r4 + r5 = A*sin(u1)'; e5 = 'r1 + 2*r2 + 3*r3 + 4*r4 + 5*r5 = A*cos(u1)'; e6 = '2*r2 + 6*r3 + 12*r4 + 20*r5 = -A*sin(u1)'; [r0,r1,r2,r3,r4,r5]=solve(e1,e2,e3,e4,e5,e6,'r0,r1,r2,r3,r4,r5'); Z = ones(size(v))*(r0 +r1*u + r2*u.^2 + r3*u.^3 + r4*u.^4 + r5*u.^5); %subs(Z) disp('Hay doi') figure(1) surf(subs(X),subs(Y),subs(Z)) disp('Xong roi') [...]... - Tính đồng nhất: Đặc tính này phân loại các phương trình vi phân đạo hàm riêng là đồng nhất hay không đồng nhất theo G(x,y) Nếu G(x,y) =0 thì phương trình được gọi là đồng nhất, ngược lại là không đồng nhất - Tính tuyến tính: Một phương trình vi phân đạo hàm riêng được gọi là tuyến tính khi các hệ số không phụ thuộc vào hàm u(x,y) và đạo hàm riêng của chúng, ngược lại là phương trình phi tuyến tính. .. một số phương pháp đã được phát triển trong quá trình đi tìm lời giải cho các phương trình vi phân đạo hàm riêng Những phương pháp này biến đổi từ việc phân tích các lược đồ cho tới các kỹ thuật số hoàn chỉnh Ngày nay các phương trình vi phân đạo hàm riêng đã được biết đến trong các lĩnh vực đồ họa máy tính và hoạt hình giúp giải quyết nhiều vấn đề rất hiệu quả 2.1.2 Phương trình Eliptic và phương. .. và phương trình Laplace, v.v Các phương trình vi phân đạo hàm riêng cũng được mở rộng sang các lĩnh vực như tài chính mà tiêu biểu là các phương trình biểu diễn mô hình BlackScholes với giá cổ phiếu biến đổi theo thời gian Các phương trình vi phân đạo hàm riêng có thể được phân loại theo các đặc tính khác nhau như - Bậc được xác định dựa trên bậc cao nhất của đạo hàm riêng xuất hiện trong phương trình. .. phi tuyến tính Ngoài ra các phương trình vi phân đạo hàm riêng tuyến tính cũng được phân loại theo hệ số Theo cách này chúng được chia thành ba loại phương trình Parabolic, Hyperbolic và Elliptic Ví dụ phương trình (2.4) có thể rơi vào bất kỳ các loại nào sau đây: + Parabolic: Phương trìnhvi phân đạo hàm riêng phải thỏa mãn B2-4AC=0 + Hyperpolic: Phương trình vi phân đạo hàm riêng phải thỏa mãn nếu... Elliptic: Phương trình vi phân đạo hàm riêng rơi phải thỏa mãn nếu B2- 4AC