Hàm rbf và một số ứng dụng trong đồ họa máy tính

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN KHOA CÔNG NGHỆ THÔNG TIN DANH MỤC CÁC TỪ VIẾT TẮT: IMQ: Inverse Multi Quadric MQ: Multi Quadric RBF: Radian Basic Function DANH MỤC BẢNG Trần Đức Thụ HÀM RBF VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG TRONG ĐỒ HỌA MÁY TÍNH Bảng 1.1: Sai số nội suy hàm Frank với  = 11 Bảng 2.1 : So sánh phƣơng pháp trực tiếp phƣơng pháp nhanh 26 Bảng 2.2: So sánh việc khớp hàm RBF thời gian tính toán máy tính PIII tốc độ 550MHz Ram 512 33 Bảng 2.3: So sánh yêu cầu lƣu trữ việc nội suy RBF lƣới đƣợc suy 36 DANH MỤC HÌNH VẼ Hình 2.1: Khớp hàm RBF phục hồi lƣới RBF Chuyên nghành: Khoa học máy tính Mã số: 60.48.01 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC MÁY TÍNH NGƢỜI HƢỚNG DẪN KHOA HỌC PGS.TS Đặng Quang Á 15 Hình 2.2: Mô tả điểm bề mặt 18 Hình 2.3: Khôi phục bàn tay 18 Hình 2.4: Mặt cắt qua ngón tay 20 Hình 2.5: Phƣơng pháp điều chỉnh nhanh 25 Hình 2.6: Thuật toán tham lam cho việc khớp RBF 25 Hình 2.7: Rút gọn tâm 28 Hình 2.8: Xấp xỉ liệu LIDAR 31 Hình 2.9: Mức làm trơn 31 Hình 2.10: Gia công đẳng mặt 32 Hình 2.11: Lấp lỗ ngoại suy bề mặt 34 Hình 2.12: Biểu diễn đối tƣợng phức tạp 35 Hình 2.13: Khôi phục hành tinh Eros 35 Hình 3.1: Dữ liệu 3D tải vào 40 Thái Nguyên 2009 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Hình 3.2: Lƣới thu đƣợc sau đổi trật tự mảng giá trị đối số 43 MỤC LỤC Hình 3.3: Bề mặt đƣa vào 44 MỞ ĐẦU Hình 3.4: Bề mặt với đƣờng pháp tuyến 45 Chƣơng 1: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Hình 3.5: Bề mặt với đƣờng pháp tuyến có đô dài < 0,5mm bị loại bỏ 46 1.1 Hàm sở bán kính (RBF) Hình 3.6: Bề mặt sau khớp rút gọn tâm 1.1.1 Nội suy liệu rời rạc 48 1.1.2 Ma trận hàm xác định dƣơng Hình 3.7: Bề mặt sau khớp có rút gọn tâm 49 1.1.3 Hàm sở bán kính Hình 3.8: Tính giá trị bề mặt lƣới 3D 50 1.1.4 Hàm xác định dƣơng đơn điệu hoàn toàn Hình 3.9: Lƣới đƣợc sinh 51 Hình 3.10: Lƣới đa giác đƣợc sinh 52 1.1.5 Nội suy với độ xác đa thức hàm xác định dƣơng có điều kiện Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 1.1.6 Ví dụ nội suy RBF 10 1.2 Bài toán khôi phục biểu diễn đối tƣợng 3D 11 Chƣơng 2: NGHIÊN CỨU ỨNG DỤNG HÀM RBF VÀO CÁC BÀI TOÁN KHÔI PHỤC VÀ BIỂU DIỄN CÁC ĐỐI TƢỢNG 3D 14 2.1 Các bề mặt ẩn 15 2.2 Khớp hàm ẩn vào bề mặt 16 2.3 Nội suy hàm sở bán kính 23 2.4 Các phƣơng pháp nhanh 26 2.5 Rút gọn tâm 27 2.6 Xấp xỉ liệu nhiễu RBF 29 2.7 Tính toán bề mặt 30 2.8 Các kết 32 2.9 Kết luận 37 Chƣơng 3: KHAI THÁC PHẦN MỀM FASTRBF 38 3.1 Phần mềm FastRBF làm 38 3.2 Ai sử dụng phần mềm FastRBF 38 3.3 Những lợi ích phần mềm FastRBF 38 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn MỞ ĐẦU 3.4.Các ứng dụng 39 3.5 Các kết đạt đƣợc sử dụng phần mềm FastRBF 39 Ngày với phát triển mạnh mẽ công nghệ thông tin, ngƣời 3.5.1 Khớp tính toán liệu 3D 39 ứng dụng thành tựu nhiều lĩnh vực khác Máy 3.5.1.1 Rút gọn tâm RBF 41 tính trở thành công cụ hỗ trợ đắc lực cho ngƣời việc xử lý 3.5.1.2 Tính toán lƣới 3D 42 3.5.2 Khớp liệu bề mặt 3D liệu cách nhanh chóng xác 43 3.5.2.1 Khớp bề mặt vào liệu lƣới 43 3.5.2.2 Gia công đẳng mặt 51 3.6 Kết luận 53 KẾT LUẬN 54 Đồ họa máy tính lĩnh vực khoa học máy tính nghiên cứu phƣơng pháp kỹ thuật biểu diễn thao tác liệu số hóa vật thể thực tế Lĩnh vực đƣợc phát triển dựa tảng hình học họa hình, hình học tính toán, hình học vi phân nhiều kiến thức toán học đại số giải tích, nhƣ thành tựu phần cứng máy tính Thuật ngữ "đồ họa máy tính" (computer graphics) đƣợc đề xuất chuyên gia ngƣời Mỹ tên William Fetter vào năm 1960 Khi ông nghiên cứu xây dựng mô hình buồng lái máy bay cho hãng Boeing William Fetter dựa hình ảnh chiều mô hình ngƣời phi công buồng lái để xây dựng nên mô hình buồng lái tối ƣu cho máy bay Boeing Đây phƣơng pháp nghiên cứu vào thời kỳ Trong đồ họa máy tính toán khôi phục biểu diễn đối tƣợng 3D toán Công cụ quan trọng để giải toán lý thuyết nội suy hàm số nhiều biến Để nội suy hàm số từ tập điểm biết thông thƣờng ngƣời ta sử dụng hàm ghép trơn (spline) biến dạng Từ khoảng hai chục năm ngƣời ta phát triển kỹ thuật nội suy có độ xác cao Đó nội suy hàm sở bán kính (radial basis functions) viết tắt RBF Phƣơng pháp nội suy đƣợc sử dụng nhiều lĩnh vực CNTT nhƣ xử lý tín hiệu, xử lý ảnh lý thuyết điều khiển Một số phần mềm hàm RBF ứng dụng đƣợc phát triển Luận văn gồm có ba chƣơng: Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Chƣơng 1: Trình bày số kiến thức hàm RBF Những tính chất hàm RBF đƣợc áp dụng cho toán nội suy liệu rời rạc Đây kiến thức sở quan trọng Tìm hiểu toán khôi phục biểu diễn đối tƣợng 3D Chƣơng 1: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Trong chƣơng này, trình bày kiến thức sở hàm sở bán kính (RBF), toán khôi phục biểu diễn đối tƣợng 3D 1.1 Chƣơng 2: Nghiên cứu ứng dụng hàm RBF vào toán khôi phục biểu diễn đối tƣợng 3D Hàm sở bán kính (RBF): 1.1.1 Nội suy liệu rời rạc: Trong nhiều vấn đề khoa học kỹ thuật cần giải toán: Cho tập Chƣơng 3: Tiến hành khai thác phần mềm FASTRBF liệu (gồm kết đo đạc vị trí thu đƣợc kết đó), yêu cầu tìm quy tắc cho phép suy diễn thông tin từ kết có Vì Em xin đƣợc bày tỏ lòng biết ơn đến thầy giáo PGS.TS Đặng Quang ta mong muốn tìm hàm “đủ tốt” phù hợp với tập liệu có Có Á tận tình hƣớng dẫn em hoàn thành luận văn Em xin chân nhiều cách để định tốt tiêu chuẩn thành cảm ơn thầy cô giáo, bạn bè, đồng nghiệp, Khoa Công nghệ muốn hàm xấp xỉ có giá trị xác với kết đo đạc đƣợc Thông tin – Đại học Thái Nguyên Trƣờng Cao đẳng Công nghiệp Việt vị trí cho – Đáp ứng tiêu chuẩn gọi toán nội suy Và Đức (Thái Nguyên) động viên, giúp đỡ em trình học tập vị trí mà cho kết đo đạc không nằm lƣới chuẩn nghiên cứu tiến trình gọi nội suy liệu rời rạc Chính xác ta có: Bài toán 1.1 Cho tập liệu x j , y j  , j  1, ,n với x j  Rs, y j  R Tìm Thái Nguyên, ngày 30 tháng 10 năm 2009 TÁC GIẢ hàm (liên tục) Pf thỏa mãn: Pf x j   y j , j=1,…,n (1.1) Ý tƣởng chung để giải toán nội suy tìm hàm Pf dƣới dạng tổ hợp tuyến tính hệ hàm sở Bk nk1 , nghĩa là: n Pf x    ck Bk x  , x  Rs (1.2) k 1 Từ đó, thay điều kiện (1.1) dẫn đến việc giải hệ phƣơng trình đại số tuyến tính để xác định hệ số ck nk1 : Ac  y (1.3) Trong Ajk  Bk x j ; j, k  1, , n ; c  c1 , , cn  ; y   y1 , , yn  T Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên T http://www.lrc-tnu.edu.vn Bài toán 1.1 đƣợc đặt đúng, nghĩa tồn nghiệm, ma trận A không suy biến liệu tƣơng ứng Phƣơng pháp đƣợc đề xuất R.L Hardy năm 1971 đƣợc gọi phƣơng pháp hàm cở sở bán kính Trong trƣờng hợp chiều, ta xây dựng đƣợc đa thức nội suy 1.1.2 Ma trận hàm xác định dƣơng: bậc n – cho n điểm nội suy phân biệt tùy ý Tuy nhiên s ≥ 2, ta có kết Định nghĩa 1.2 Ma trận giá trị thực, đối xứng A gọi nửa xác định phủ định sau: dương dạng toàn phương tương ứng không âm: Định lý 1.1 (Mairhuber-Curtis) Nếu   R , s ≥ chứa điểm s  không tồn không gian Haar hàm liên tục, trừ trường hợp không gian chiều Trong đó, không gian Haar đƣợc định nghĩa nhƣ sau: Định nghĩa 1.1 Cho không gian hàm tuyến tính hữu hạn chiều B  C() Gọi B1 , B2 , , Bn  sở B Khi B gọi không gian Haar  det A  với tập điểm phân biệt x1 , x2 , , xn    Ở ma trận A ma trận xây dựng Aj ,k  Bk x j  ; j, k  1, , n Sự tồn không gian Haar đảm bảo tính khả nghịch ma trận nội suy, nghĩa tồn nghiệm toán nội suy 1.1 Không gian đa thức biến bậc n  không gian Haar n chiều với tập liệu x j , y j  , j  1, , n , x j  R, y j  R Cơ sở tắc không gian B1  1, B2  x, B3  x , , Bn  x n1 n n  c c A j 1 k 1 j k jk 0 (1.4) với c  c1 , , cn T  Rn Nếu dấu xảy c  0, , 0T ma trận A gọi xác định dương Tính chất quan trọng ma trận xác định dƣơng có tất giá trị riêng dƣơng không suy biến Nếu hệ hàm sở Bk nk1 khai triển (1.2) làm cho ma trận nội suy xác định dƣơng toán nội suy đƣợc đặt Hàm xác định dƣơng đƣợc định nghĩa nhƣ sau: Định nghĩa 1.3 Hàm liên tục  : Rs  R xác định đương hàm chẵn thỏa mãn:  c c x n n j 1 k 1 j k j  xk   (1.5) với n điểm đôi khác x1 , , xn  Rs c  c1 , , cn T  Rn Định lý cho thấy, để giải toán nội suy liệu rời rạc không gian nhiều chiều xây dựng trƣớc tập Hàm  gọi xác định dương chặt dấu (1.5) xảy c  0, , 0T hàm sở không phụ thuộc liệu Để giải vấn đề không suy biến Từ định nghĩa 1.3 tính chất ma trận xác định dƣơng ta thấy, có ma trận A, ta cần phƣơng pháp khác để xây dựng hàm nội suy thể sử dụng hàm xác định dƣơng chặt Bk  x  xk  làm hệ hàm sở, Thay sử dụng biểu diễn tuyến tính thông qua hệ hàm sở không phụ thuộc liệu, ta biểu diễn tuyến tính thông qua hàm đơn phụ thuộc liệu cho, có tính khoảng cách, đối xứng với tâm ta có: n Pf x    ck x  xk  (1.6) k 1 Ma trận nội suy trở thành: Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Ajk  Bk x j   x j  xk  ; j, k  1, , n (1.7) Xét hàm (t) = e–t với  ≥ Ta có: (– 1)l(l)(t) = ()l e–t > Suy Tuy nhiên giải toán nội suy trở nên khó khăn không gian hàm đơn điệu hoàn toàn Do hàm Gaussian (GA) (r)=e– có nhiều chiều Do đó, thay sử dụng hàm đa biến x  (độ phức tạp tăng thể sử dụng làm hàm sở bán kính đảm bảo tính xác định dƣơng ma lên theo số chiều), làm việc với hàm biến  cho tất số chiều s trận nội suy r2 Tƣơng tự, hàm (t) = (t + 2)   , , > hàm đơn điệu hoàn 1.1.3 Hàm sở bán kính: Định nghĩa 1.4 Hàm : Rs  R gọi hàm bán kính tồn hàm toàn Hàm sở bán kính (r) = (r2 + 2)   , , > đƣợc gọi hàm biến : [0,+)  R thỏa mãn: Inverse Multiquadric (IMQ) x    r  (1.8) Theo định nghĩa hàm đơn điệu hoàn toàn, ta có (t) ≥ 0,   (t)  0, … Với r  x chuẩn Rs (thường dùng chuẩn Tuy nhiên có   đơn điệu hoàn toàn (   (t) ≥ 0,  (t)  0, …) ta có Euclidean) Hàm  tương ứng gọi hàm sở bán kính Ta nói hàm  thể sử dụng đƣợc hàm  đảm bảo ma trận không suy biến xác định dương (chặt) hàm  xác định dương (chặt) Định lý 1.3 Cho   C[0,+) hàm thỏa mãn   đơn điệu hoàn toàn, khác số Giả sử thêm (0) ≥ Khi ma trận nội suy 1.1.4 Hàm xác định dƣơng đơn điệu hoàn toàn: Trong phần trình bày kết quan trọng xây dựng số hàm bán kính thỏa mãn tính khả nghịch ma trận nội suy tƣơng ứng, dựa tính chất hàm đơn điệu hoàn toàn không suy biến với (x) = (||x||) = (r2) Trong trƣờng hợp tổng quát, với giả thiết yếu tính đơn điệu hoàn toàn , nghĩa (k), k ≥ hàm đơn điệu hoàn toàn cần Định nghĩa 1.5 Hàm   C R0  gọi đơn điệu hoàn toàn điều kiện để sử dụng đƣợc  (theo định nghĩa ma trận nội suy tƣơng  1l  l  t   ứng không suy biến)? Vấn đề đƣợc Micchelli (1986) nghiên cứu  (1.9) đƣa kết quan trọng hàm xác định dƣơng có điều kiện với l  0,1, , với t Việc xây dựng hàm bán kính xác định dƣơng thông qua hàm đơn điệu hoàn toàn dựa vào kết sau, đƣợc đƣa Schoenberg năm 1938 1.1.5 Nội suy với độ xác đa thức hàm xác định dƣơng có điều kiện: Định lý 1.2 Cho : R+  R hàm liên tục đơn điệu hoàn toàn Khi Định nghĩa 1.6 Hàm : Rs  R gọi xác định dương có điều kiện với tập điểm hữu hạn phân biệt đôi x1 , x2 , , xn   Rs, hàm bậc m bán kính  x    r  , r  x hàm xác định dương n n j 1 k 1   cjck(xj – xk) ≥ c  Rn thỏa mãn: Ví dụ 1.1 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn n  cjp(xj) = 0, pP j 1 m 1 s (đa thức thuộc không gian đa thức s biến có bậc Để xác định hệ số a1,a2,a3 sử dụng (1.11), đƣợc thêm ba điều kiện sau:  m – 1) Nếu đẳng thức xảy với c =  gọi xác định dương chặt có điều kiện n  cj = j 1 Điều quan trọng sử dụng hàm xác định dƣơng có điều kiện bậc n  m để nội suy ta cộng vào biểu thức (1.6) đa thức đa biến bậc j 1 m  1 triệt tiêu tập liệu cho Cụ thể, hàm nội suy với độ  cjxj = n cjyj = j 1 xác đa thức đƣợc cho dƣới dạng: Vậy ta đƣợc hệ n + phƣơng trình n + ẩn Từ tìm đƣợc Pf(x,y) n   Pf x    c j  x  x j   px  j 1  n  c j xj  0,   m   j 1 Trong trƣờng hợp tổng quát, toán (1.10) dẫn tới hệ đại số tuyến (1.10)   với ký hiệu đa số:   N 80 , || = A  PT  i, x = x 1 x 2 x s i 1 s hệ số p(x) ta sử dụng điều kiện  j 1 cjx j = 0, || < m (1.11) Xây dựng hàm nội suy không gian chiều với tập liệu cho trƣớc {(xj,yj), f(xj,yj)} nj 1 , sử dụng hàm xác định dƣơng có điều kiện bậc ta đƣợc: n A =  xk  x j nk , j 1 ; P = xj  , j = 1, 2, …, n; d ma trận hệ số p(x) Việc xây dựng cấu trúc cụ thể hàm bán kính xác định dƣơng có  Định lý 1.4 Cho  hàm liên tục thỏa mãn k  1k d  k r  , r  hàm dr đơn điệu hoàn toàn khác số Khi đó, hàm (x) = (||x||) = (r2) hàm xác định dương chặt bậc k cj((x,y) – (xj,yj)) + p(x,y), (1.12) j 1 p(x,y) đa thức hai biến bậc triệt tiêu điểm nội suy, p x, y   a1  a2 x  a3 y (1.13)  c j xk , yk   x j , y j   f xk , yk  ; Hàm (r) = (– 1)   (r + 2),  > 0,  > 0,   N thỏa mãn:  k  r    1     1   k  1r     k     k = 1, 2, …,n  r      1      1r   Vì vậy:      hàm đơn điệu hoàn toàn Hơn nữa, với m, m ≥   , (– 1)  (r) hàm đơn điệu m (m) j 1 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên Ví dụ 1.3  1 Cho (1.12) thỏa điều kiện nội suy đƣợc hệ: n (1.14) điều kiện (x) = (r) dựa định lý: Ví dụ 1.2 Pf(x,y) = P  c   y  =   d    Trong đó: Khi thay điều kiện nội suy ta đƣợc hệ phƣơng trình Ac = y Để xác định n tính sau: http://www.lrc-tnu.edu.vn Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 10 11 hoàn toàn Vì vậy, hàm bán kính Multiquadric (MQ) tổng quát Cho trƣớc tập giá trị zij  f xi , y j  ; i, j = 1,…,n, (xi,yj)  [0,1]2  r   1  r   tập điểm nội suy Để đơn giản, chọn tập điểm nội suy lƣới   xác định dƣơng chặt có điều kiện bậc m, m ≥   Hàm (r)=(– 1)  /  /2 (k)(r)=(– 1)  /  miền [0,1]2 tập tâm trùng với tập điểm nội suy r ,  > 0,   2N thỏa mãn:       k  /2  /2   1   k  1r (–1)      (r) 22  2  Xây dựng hàm nội suy Pj = n  ck(||u - uk||) Trong uk = (x,y)Tập điểm j 1 hàm đơn điệu hoàn toàn Hơn nữa, với m, m ≥  / 2 hàm tâm,  đƣợc chọn hàm IMQ 1m  m r  hàm đơn điệu hoàn toàn Vì vậy, hàm Năng lượng Cho thỏa mãn điều kiện nội suy ta đƣợc hệ n2 phƣơng trình, n2 ẩn Kết  r    1 / 2 r  ,  > 0,   2N hàm xác định dƣơng chặt có điều kiện số lƣới đƣợc cho bảng 1.1, với sai số đƣợc định nghĩa bậc m, m ≥  / 2 Hàm Thin plates spline (TPS) (r) = (– 1)k+1r2k lnr, k N Là hàm xác định dƣơng chặt có điều kiện bậc m ≥ k+1 Thật vậy: Xét hàm (r) = (– 1)k+1(r)k lnr Khi đó, đào hàm cấp l, l  k (r) là: (l)(r) = (–1)k+1k(k – 1)…(k – l +1)rk-l lnr + pl(r), pl(r) đa thức bậc k – l Vì vậy, đạo hàm cấp k là: (k)(r) = (–1)k+1k! lnr k! ( k 1) k 1 +C, đạo hàm cấp k +  (r )  (1) r , hàm đơn điệu hoàn toàn (0, ) Do đó, hàm (r) = (–1)k+1r2k lnr = (r2) hàm xác định dƣơng chặt có điều kiện bậc m ≥ k + 1.1.6 Ví dụ nội suy hàm RBF: Cho hàm mẫu Franke nhƣ sau:  ( x 1) ( y 1)    49 10  1   (9 x  2)  (9 y  2) ; f  e f1  e 4 n2 - Sai số tƣơng đối:  P    f   n2 j 1 f j j  Pf  f n - Sai số lớn nhất: max Pf  j   f  j   Pf  f j 1, ,n2  Bảng 1.1 Sai số nội suy hàm Frank với  = Lưới IMQ MQ Sai số tƣơng đối Sai số lớn Sai số tƣơng đối Sai số lớn 7x7 1.211536e-002 8.600572e-002 1.260168e-002 8.722025e-002 10 x 10 1.685702e-003 1.122684e-002 2.241647e-003 1.548224e-002 13 x 13 4.226489e-004 2.856954e-003 4.470312e-004 2.756763e-003 17 x 17 3.761833e-005 3.703740e-004 4.168475e-005 4.447710e-004 20 x 20 4.346574e-006 7.352464e-005 5.739650e-006 6.316986e-005 1.2 ; Bài toán khôi phục biểu diễn đối tượng 3D: Ngày nay, nhờ phát triển nhƣ vũ bão khoa học kỹ thuật – công 2 9 x7 2 9 y 32  e ; f  e 9 x4  9 y7   ; 1 f3  nhƣ sau: nghệ mà loài ngƣời có bƣớc tiến lớn nhiều lĩnh vực khác Và số vấn đề khôi phục biểu diễn đối tƣợng f  f1  f  f  f ; 3D Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 12 13 Khôi phục đối tƣợng 3D trở thành nhu cầu cần thiết lĩnh vực khác nhƣ: Tạo ảnh y học, ứng dụng mỹ thuật, thiết kế sản phẩm, tạo nguyên mẫu nhanh phạm vi khác Việc tạo mô hình 3D phƣơng pháp thủ công tốn nhiều thời gian chi cuối khôi phục ảnh đối tƣợng vẽ nét đƣợc biết tới mảnh chiều Nhƣ thấy toán khôi phục biểu diễn đối tƣợng 3D toán có ý nghĩa lớn quan trọng phí đắt đỏ Vì lý đó, kỹ thuật tiếp tục đƣợc nghiên cứu, kỹ thuật cho phép khôi phục tự động đối tƣợng 3D Các kỹ thuật chia thành phƣơng pháp: phƣơng pháp chủ động phƣơng pháp bị động [25] Nhƣợc điểm phƣơng pháp chủ động trình khôi phục trở thành công trình ngân sách cao Vì lý đó, cách tiếp cận đƣợc giới thiệu thuộc phƣơng pháp bị động, yêu cầu thiết bị áp dụng cách tổng quát Các phƣơng pháp khôi phục đối tƣợng 3D truyền thống không thực tốt hai hƣớng: - Thứ nhất: Chúng xử lý trƣờng hợp có độ phức tạp cao đƣợc tìm thấy tự nhiên (Ví dụ: phận ngƣời hay ảnh cực nhỏ mô) - Thứ hai: Chúng không đƣa liệu bề mặt vào định dạng làm cho gọn thích hợp để mô phỏng, hiển thị định vị Có trƣờng hợp khôi phục đối tƣợng 3D [26] Trƣờng hợp với ảnh đƣợc chụp máy ảnh không định cỡ, làm việc với loại ảnh khôi phục lại đối tƣợng so sánh với phép biến đổi ảnh xạ Hai là, khôi phục từ máy ảnh định cỡ làm việc với loại ảnh khôi phục lại đối tƣợng so sánh với phép biến đổi đồng dạng Ba là, thuộc tính đại số hàm đa tuyến tính lý tƣởng phát sinh chúng đƣợc nghiên cứu Trƣờng hợp thứ tƣ sử dụng kỹ thuật khôi phục Ơ-clít số thông tin máy ảnh đƣợc đƣa Trƣờng hợp Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 14 15 Chƣơng 2: NGHIÊN CỨU ỨNG DỤNG HÀM RBF VÀO BÀI TOÁN KHÔI PHỤC VÀ BIỂU DIỄN CÁC ĐỐI TƢỢNG 3D Chúng ta sử dụng hàm sở bán kính đa điều hòa (RBFs) để khôi phục lại bề mặt nhẵn, đa tạp từ tập điểm liệu tập trung phục hồi lƣới điểm không đầy đủ Một bề mặt đối tƣợng đƣợc định nghĩa hoàn toàn giống nhƣ tập hợp số hàm sở bán kính phù hợp với liệu bề mặt cho Các phƣơng pháp nhanh cho việc khớp liệu tính giá trị hàm RBF cho phép mô hình tập hợp liệu lớn, bao gồm hàng Hình 2.1: (a) Khớp hàm RBF vào tập hợp điểm liệu tập trung 438.000 điểm (b) Sự phục hồi lƣới tự động sử dụng hàm RBF song điều hòa triệu điểm bề mặt, hàm RBF đơn trƣớc toán khó giải Một thuật toán tham lam trình khớp liệu làm rút gọn số lƣợng tâm RBF yêu cầu để biểu diễn bề mặt kết dạng nén đáng 2.1 Các bề mặt ẩn: Bài toán khôi phục biểu diễn bề mặt phát biểu nhƣ sau: kể thuận lợi cho tính toán Đặc trƣng cực tiểu hóa lƣợng Bài toán 2.1 Cho n điểm phân biệt x i , y i , z i in1 bề mặt M hàm ghép trơn đa điều hòa dẫn đến nội suy trơn Đặc trƣng tỷ lệ không gian R3, tìm bề mặt M’ gần hợp lý với M điều hòa đủ thích hợp để khôi phục bề mặt từ liệu mẫu không Phƣơng pháp mô hình bề mặt ẩn hàm f ( x, y, z) Các lỗ khớp liệu nhẵn ngoại suy nhẵn bề mặt Chúng Nếu bề mặt M gồm có tất điểm ( x, y, z) thỏa mãn phƣơng trình: ta sử dụng phép xấp xỉ không nội suy liệu nhiễu Sự biểu diễn f ( x, y, z )  , (2.1) hàm thực mà nói mô hình đặc, có nghĩa độ chênh lệch chuẩn nói hàm f xác định không tƣờng minh bề mặt M Mô tả bề mặt đƣợc phân tích rõ ràng Sự hỗ trợ sinh lƣới bề mặt ẩn với nhiều loại hàm kỹ thuật tiếng [10] thấy biểu diễn RBF có lợi ích cho việc rút gọn lƣới Trong hình học kiến thiết vật thể (CSG) mô hình ẩn đƣợc tạo thành từ áp dụng lại lƣới hàm sơ cấp đơn giản nhờ kết hợp phép toán Boolean (phép hợp, phép giao vv ) hàm trộn Các kỹ thuật CSG thích hợp cho việc thiết kế đối tƣợng CAD phục hồi đối tƣợng từ liệu mẫu Các mặt đại số bậc thấp mẩu, đƣợc xem nhƣ miếng vá ẩn tập nửa đại số, đƣợc sử dụng để định nghĩa bề mặt ẩn Chúng ta mong muốn mô hình đƣợc toàn đối tƣợng với hàm đơn liên tục khả vi Sự mô tả hàm đơn có số ƣu điểm thông qua Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 28 29 minh họa hình 2.7 Một thuật toán tham lam mà đƣợc toán nhanh hơn, không bị mát độ xác Hình 2.6 minh họa sử dụng để khớp lại hàm RBF phạm vi độ xác khớp trình khớp liệu với rút gọn tâm Giống nhƣ nhiều tâm bổ sung vào liệu mong muốn hàm RBF, bề mặt số xấp xỉ gần tập hợp toàn vẹn điểm liệu Trong trƣờng hợp này, quét laser tƣợng phật bao gồm 544.000 điểm đƣợc xấp xỉ hàm RBF với 80.000 tâm tới độ xác tƣơng đối 1.4 x 10-4 (đạt đƣợc tất điểm liệu) Thuật toán tham lam thƣờng dẫn đến lƣới với thời gian khớp liệu nhanh hơn, chí với rút gọn vừa phải số lƣợng tâm Điều khả khớp liệu với việc giải tính toán hệ tƣơng tự lần lặp thật trình lặp ban đầu bao gồm việc giải Tập rút gọn tâm RBF Các tâm RBF Hình 2.7: Minh họa rút gọn tâm toán nhỏ nhiều 2.6 Một thuật toán tham lam đơn giản gồm bƣớc sau : Chọn tập từ nút nội suy xi khớp hàm RBF cho Xấp xỉ liệu nhiễu RBF: Trong phần 2.3 tìm kiếm phép nội suy mà tối giản bƣớc việc làm trơn Tuy nhiên, có nhiễu liệu, điều kiện nội suy phƣơng trình (2.2) chặt chẽ thích nút Tính toán phần dƣ,  i  f i  s ( xi ) , tất nút đánh giá tập trung vào việc tìm hàm làm trơn, với độ trơn đƣợc Nếu max i  < độ xác khớp liệu dừng lại đo phƣơng trình (2.4) Nhƣ vậy, coi toán Còn không thêm tâm với  i lớn Khớp lại hàm RBf quay lên bƣớc s  s  BL (R ) ( 2) N  (s( xi )  fi )2 , N i 1 (2.9) với   đƣợc xác định phƣơng trình (2.4) Tham số  làm Nếu độ xác khác  i đƣợc ghi rõ điểm điều kiện bƣớc đƣợc thay  i <  i cân độ mƣợt dựa vào độ xác tới liệu Nó cho thấy lời giải s* cho toán có dạng phƣơng trình (2.5) Việc rút gọn tâm không cần thiết sử dụng phƣơng pháp nhanh đƣợc mô tả phần 2.4 Ví dụ, rút gọn đƣợc sử dụng khớp liệu cho ví dụ LIDAR hình 2.8 Tuy nhiên, rút gọn số nhƣng lúc hệ số véc tơ (T , c T ) T lời giải tới  A  Nl  PT  P     f       ,  c    (2.10) lƣợng tâm RBF dẫn đến yêu cầu nhớ nhỏ thời gian tính Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 30 31 với ma trận A P giống nhƣ phƣơng trình (2.8) Tham số  coi nhƣ độ cứng hàm RBF s(x) Hệ (2.10) giải việc sử dụng phƣơng pháp nhanh 2.7 Tính toán bề mặt Một hàm RBF khớp tập liệu bề mặt tạo thành mô hình vật thể đối tƣợng Bề mặt đối tƣợng nơi điểm với hàm RBF Bề mặt hiển thị trực tiếp việc sử dụng mũi vạch tia ẩn [11] biểu diễn trung gian rõ ràng, nhƣ lƣới đa giác, tách đƣợc Một hệ thống tối ƣu lƣới đƣợc đƣa vào dẫn đến tam giác với (a) (b) (c) Hình 2.8 : Xấp xỉ RBF liệu LIDAR (a) 350.000 điểm tập trung, (b) Bề mặt làm trơn RBF xấp xỉ liệu tập trung gốc khuôn dạng tốt hơn, tức tam giác mỏng dài đƣợc ngăn ngừa Một lƣới tiêu biểu đƣa từ thuật toán đƣợc minh họa hình 2.10(b) Các mặt sóng mặt trải từ điểm hạt băng qua bề mặt chúng gặp cắt hộp giới hạn Rõ ràng, mặt sóng từ hạt đơn lẻ màu đỏ hình 2.10(a) lan rộng bề mặt tƣợng phật trình tạo bề mặt đồng Bề mặt đƣợc điểm hạt với tâm hàm RBF Ý đồ nhiều tâm nằm (a) (c) (b) bề mặt gần bề mặt Trong trƣờng hợp tâm bề mặt, Hình 2.9 : (a) khớp xác, (b) số lƣợng trung bình việc áp dụng làm trơn độ chênh lệch RBF dùng để tìm chỗ giao gần Sự hội tụ nhanh (hàm RBF xấp xỉ điểm liệu), (c) làm trơn tăng lên chóng độ chênh lệch số xấp xỉ gần bề mặt Trong trƣờng hợp nào, tập nhỏ tâm đƣợc yêu cầu để khởi đầu bề mặt, tâm cho phần bề mặt phân biệt Chiến lƣợc bề mặt ngăn ngừa yêu cầu thông thƣờng cho mảng chiều điểm mẫu giảm thiểu số lƣợng tính toán RBF Do đó, đòi hỏi tính toán tăng lên với bình phƣơng độ xác, lũy thừa ba, nhƣ muốn số lƣợng đầy đủ đƣợc làm mẫu Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 32 33 Chi phí nhớ giảm thiểu cần để giữ lại đỉnh lấy mẫu kết Bảng 2.2 : So sánh việc khớp hàm RBF thời gian tính toán máy tính PIII hợp với mặt sóng cải tiến Các lƣới tứ giác đƣợc sinh tốc độ 550MHz Ram 512 MB cách Sự nhập nhằng bề mặt đƣợc giải lại dễ dàng khả tính toán theo phép phân tích độ chênh lệch hàm RBF 2.8 Các kết : Bảng 2.2 xác định lƣợng thời gian khớp liệu tính toán cho hình đƣợc đƣa luận văn Trong tất trƣờng hợp hàm ghép trơn song điều hòa khớp liệu Hai điểm bề mặt đƣợc sinh cho điểm thứ hai liệu bề mặt gốc, số lƣợng nút nội suy tới mà hàm RBF đƣợc khớp xấp xỉ hai lần số lƣợng điểm bề mặt Sự rút gọn tâm đƣợc sử dụng khắp nơi, trừ mẫu LIDAR nơi mà số lƣợng tâm hàm RBF xấp xỉ số lƣợng nút nội suy Hình 2.1(a), 2.3, 2.6, 2.12, 2.13 2.14 minh họa việc khớp liệu bề mặt tới điểm tập trung hình 2.1(b) 2.11 minh họa việc khớp với lƣới riêng Hình 2.8 giải thích việc xấp xỉ hàm RBF tinh khớp bề mặt nhẵn với liệu LIDAR nhiễu Số lƣợng Số lƣợng Thời gian Độ Số lƣợng RAM tối Thời gian điểm bề nút nội chỉnh bề xác liên tâm RBF đa (MB) khớp mặt suy mặt quan Bề mặt 14.806 29.074 3.564 29 68s 27s x 10-4 Bàn tay 13.348 26.696 4.299 29 97s 32s x 10-3 Con rồng 437.645 872.487 72.461 306 2:51:09 0:04:40 x 10-4 Tƣợng 331.135 662.269 83.293 187 3:09:06 0:06:41 x 10-4 đứa trẻ Xƣơng 327.323 654.645 85.468 188 3:08:44 0:04:04 x 10-4 bàn tay Tƣợng 345.910 518.864 518.864 390 3:08:21 0:25:39 x 10-3 LIDAR Hình Con rồng hình 2.1(a), tƣợng phật (hình 2.6) xƣơng tay (hình 2.12) chứng minh khả phƣơng pháp nhanh để mô hình hóa tập liệu phức tạp lớn với độ xác cao đặc tính nén việc biểu diễn hàm RBF Dữ liệu rồng đƣợc lấy từ lƣới bao gồm 438.000 đỉnh 871.000 mặt, tƣợng phật đƣợc lấy từ 544.000 đỉnh 1.087.000 mặt Các đƣờng pháp tuyến đƣợc tính đỉnh từ mặt liền kề Các phƣơng pháp trực tiếp chắn khả toán Ví dụ, phƣơng pháp trực tiếp để khớp liệu tƣợng phật yêu cầu 4.700GB nhớ để lƣu trữ ma trận hệ nội suy (2.8) Các yêu cầu nhớ lõi tối đa phƣơng pháp nhanh bảng 2.2 đặc biệt đáng ý khía cạnh (a) (b) Hình 2.10 : Gia công đẳng mặt hàm RBF (a) Bề mặt từ hạt đơn giản, (b) ví dụ lƣới tối ƣu Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 34 35 Hình 2.12 : Với việc lấy mẫu đủ, đối tƣợng phức tạp biểu biễn với hàm RBF Hình 2.11 : Một hàm RBF tự động lấp lỗ nhỏ ngoại suy qua vùng bít kín liệu quét (bên trái), để tạo mô hình kín, không rỉ nƣớc Cấu trúc liên kết phức tạp tƣợng đƣợc bảo tồn Hình 2.1(b) hình 2.11 minh họa ứng dụng việc khớp liệu hàm RBF với sụ phục hồi lƣới Trong hình 2.1(b) hàm RBF khớp lƣới không hoàn toàn thu đƣợc từ máy quét laser Hình ảnh chứng minh khả hàm ghép trơn song điều hòa với phép nội suy nhẵn qua lỗ không lớn, ví dụ dƣới cằm ngoại suy nhẵn bề mặt không liệu Trong hình 2.11 hàm RBF đƣợc khớp vào tập hợp liệu tƣợng lớn Dù quét cẩn thận, tƣợng chứa nhiều lỗ nhỏ lỗ lớn tƣơng ứng với vùng bị che khuất hinh ôm Việc khớp hàm RBF tự động lấp tất lỗ sinh mô hình không rỉ nƣớc tƣợng không cần ngƣời dùng phải rõ tham số khác với độ xác khớp liệu muốn có Chú ý làm thể mà Hình 2.13 : Sự khôi phục RBF hành tinh Eros từ liệu phạm vi phân bố mảnh vỡ liệu vai bên phải tƣợng nhỏ đƣợc ngoại suy để không (trên) Ảnh môt hình từ hình vẽ tƣơng tự khôi phục liệu ngực bị thiếu Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 36 37 Hình 2.13 minh họa khôi phục hành tinh Eros từ dãy liệu tán xạ Đây ví dụ điển hình liệu phân bố không đều, thƣờng khó khôi phục sử dụng phƣơng pháp khác 2.9 Kết luận: Các phƣơng pháp nhanh làm cho thực tính toán để biểu diễn đối tƣợng phức tạp cấu trúc liên kết hàm RBF Lớp độc lập, mô tả „bộ nội suy trơn nhất‟ hàm ghép trơn đa điều Bảng 2.3: So sánh yêu cầu lƣu trữ việc nội suy RBF lƣới đƣợc hòa làm cho hàm RBF đặc biệt phù hợp cho việc khớp bề mặt với suy điểm tập trung lấy mẫu không lƣới không hoàn toàn mà chứa Hình Con rồng Bức tƣợng Xƣơng bàn tay Lưới gốc #Đỉnh #Mặt Bộ nhớ #Đỉnh 437.645 847.414 15.4MB 126.998 543.652 1.086.798 19.6MB 97.766 327.323 654.666 11.8MB Lưới Biểu diễn RBF #Mặt Bộ nhớ Tâm RBF Bộ nhớ 254.016 4.5MB 72.461 1.4MB 193.604 3.5MB 80.518 1.6MB 81.829 163.698 2.9MB 85.468 1.7MB Bảng 2.3 so sánh kích thƣớc lƣới gốc tập liệu rồng, tƣợng phật xƣơng bàn tay với kích thƣớc biểu diễn RBF tƣơng ứng Các kích thƣớc lới không nén nhận đƣợc việc cho float (12 byte) tới đỉnh số nguyên (12 byte) tới cạnh tam giác Kích thƣớc tệp RBF không nén tƣơng đƣơng để biểu diễn tâm với float (12byte) hệ số (i ) với số xác hai lần (8 byte) Có nghĩa độ xác đơn giản thích hợp, mà dẫn đến nén nhiều hơn, nhƣng chƣa xác định đƣợc tầm ảnh hƣởng hệ số độ xác lên bề mặt tính toán Bảng chứng minh độ nén đáng kể lỗ lớn không Bề mặt nhẵn nhất, phù hợp với liệu vào, đƣợc sinh Các kiện đƣợc giải quyết, với điều kiện chúng mẫu thỏa đáng Bản chất hàm số biểu diễn hàm RBF cung cấp triển vọng cho thuật toán cân chỉnh bề mặt, rút gọn lƣới, nén thuật toán làm nhẵn Hàm RBF có liên quan tới toán việc hiển thị hóa khối liệu thu đƣợc lƣới tọa độ không đều, nhƣ khớp tới liệu mẫu hợp lệ để xấp xỉ phân bố vô hƣớng nằm dƣới Các trƣờng véc tơ đƣợc mô hình dễ dàng thành phần độc lập Trong trƣờng hợp đó, hàm RBF khớp tới trƣờng thành phần Điều không yêu cầu thời gian tính toán nhiều ma trận phƣơng trình (2.8) phụ thuộc vào vị trí nút nội suy thuộc thành phần hàm RBF tập điểm liệu lƣới mà biểu diễn RBF cung cấp Chúng ta liệt kê kích thƣớc lƣới dẫn xuất từ việc tính toán hàm RBF với độ xác so sánh với liệu gốc Nó xuất từ kết ban đầu mà ứng dụng có triển vọng hàm RBF đan lại lƣới lƣới có Khớp hàm RBF không lấp lỗ, nhƣng lƣới (và chặt hơn) dẫn xuất từ Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 38 39 Chƣơng 3: KHAI THÁC PHẦN MỀM FASTRBF thông thƣờng Các hàm ghép trơn đa điều hòa mà phần mềm FastRBF sử dụng kết phép nội suy nhẵn nhất, dò chúng làm giảm đến mức tối thiểu lƣợng đạo hàm bậc 2, bậc cao 3.1 Phần mềm FastRBF làm gì? Phần mềm FastRBF nội suy nhẹ nhàng liệu tán xạ 2D 3D Những kết khả ngoại suy đặc biệt độ hàm sở bán kính (RBFs) Không có kỹ thuật khác mô chênh lệch lớn xuất tập hợp liệu trƣờng hợp liệu hình liệu bất quy tắc, không hiệu phép nội suy RBF Với nhiễu, khớp dải lỗi phần mềm FastRBF khớp gần liệu phần mềm FastRBF công nghệ FarField hàng triệu phép đo liệu có hàm ghép trơn biên lỗi định vị điểm liệu Sự lọc thể đƣợc nội suy hàm đơn – công việc trƣớc thông thấp liệu tán xạ đƣợc hoàn thành nghĩ đƣợc máy tính để bàn Hàm khớp độ chênh lệch với phần mềm FastRBF mà không cần lấy mẫu lại lƣới chuẩn tính toán nơi nhƣ lƣới, mặt phẳng bề sử dụng phép tính toán nhân chập có chiều sâu không gian mặt Những khả làm cho phần mềm FastRBF lý tƣởng cho miền Fourier việc hiển thị liệu tán xạ, đặc biệt liệu lấy mẫu bất quy tắc, không xây dựng lại bề mặt từ dải liệu 3.4 Các ứng dụng: Phần mềm FastRBF đƣợc ứng dụng số lĩnh vực khác khoa học nghiên cứu vấn đề từ tạo nguyên mẫu nhanh CAD- 3.2 Ai sử dụng sản phẩm FastRBF? Các kỹ sƣ, ngƣời phát triển phần mềm nhà khoa học đối mặt với CAM, tạo ảnh y học, đồ họa máy tính xử lý tín hiệu… vấn đề nội suy liệu phân tán lớn Nghiên cứu đồ họa máy tính, nghiên cứu đảo ngƣợc, thị giác nhân tạo cần xây dựng lại bề mặt từ dải liệu 3.5 Các kết đạt sử dụng phần mềm FastRBF: 3.5.1 Khớp tính toán liệu 3D: Các sinh viên nhà nghiên cứu làm việc với mẫu đơn 2D 3D không Trƣớc tiên, tải liệu điểm 3D lệnh sau: data=fastrbf_load('C:\Program Files\FarField Technology\FastRBF Những ngƣời làm việc với hàm RBF cần giải hệ thống v1.4\Matlab\tutorial\FitAndEval\data.p3d') Ta thu đƣợc kết nhƣ sau: cực lớn data = Location: [3x5000 double] 3.3 Những lợi ích phần mềm FastRBF Phần mềm FastRBF cho phép hàm sở bán kính phù hợp với hệ thống có nhiều triệu điểm liệu phần cứng tính toán Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Value: [1x5000 double] Để hiển thị liệu 3D tải ta dùng câu lệnh sau: Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 40 41 colormap(jet(256)) rbf=fastrbf_fit(data,0.001) fastrbf_view(data) Sau khớp ta đƣợc kết quả: Sau dùng lệnh ta thu đƣợc hình ảnh liệu 3D đƣợc rbf = tải nhƣ hình 3.1 AchievedAcc: 3.3439e-004 DefaultEvalAcc: 1.0000e-005 Centres: [3x5000 double] Coeffs: [1x5004 double] PolyBase: [0.5000 0.5001 0.5000] DataMin: [3.8337e-005 2.0880e-004 4.3258e-005] DataMax: [1.0000 0.9999 1.0000] BasicFunc: BasicFuncParam: BasicFuncParam2: PolyDegree: Rho: FitType: Version: 'FastRBF V 1.4.2' 3.5.1.1 Rút gọn tâm RBF: Hình 3.1: Dữ liệu 3D đƣợc tải vào Để an toàn xử lý liệu hàm unique nhƣ sau: data=fastrbf_unique(data) rbf=fastrbf_fit(data,0.001,‟reduce‟,‟verbose‟) Sau rút gọn tâm ta thu đƣợc kết quả: rbf = Ta thu đƣợc kết quả: AchievedAcc: 9.0459e-004 data = DefaultEvalAcc: 1.0000e-005 Location: [3x5000 double] Centres: [3x843 double] Value: [1x5000 double] Vì phạm vi giá trị liệu 0,1 khớp hàm RBF với độ xác 0,001 sử dụng hàm fit Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên Để rút gọn tâm RBF ta sử dụng câu lệnh sau: Coeffs: [1x847 double] PolyBase: [0.5000 0.5001 0.5000] DataMin: [3.8337e-005 2.0880e-004 4.3258e-005] http://www.lrc-tnu.edu.vn Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 42 43 DataMax: [1.0000 0.9999 1.0000] BasicFunc: BasicFuncParam: BasicFuncParam2: PolyDegree: Rho: FitType: Version: 'FastRBF V 1.4.2' Indices: [1x843 double] Rút gọn tâm có kết 843 tâm so với 5000 tâm phƣơng pháp trực tiếp 3.5.1.2 Tính toán lƣới 3D: Bây tính toán hàm RBF 3D lƣới câu lệnh: g=fastrbf_grideval(rbf,‟spacing‟,0.02) Ta thu đƣợc kết quả: Hình 3.2: Lƣới thu đƣợc sau đổi trật tự mảng giá trị đối số g= Value: [51x51x51 double] Min: [3.8337e-005 2.0880e-004 4.3258e-005] 3.5.2 Khớp liệu bề mặt 3D: Max: [1.0000 1.0002 1.0000] 3.5.2.1 Khớp bề mặt vào liệu lƣới: Dữ liệu lƣới đƣợc tạo từ nhiều loại máy quét thƣờng chứa Spacing: [0.0200 0.0200 0.0200] Chúng ta phải đổi trật tự mảng giá trị đối số lệnh sau: lỗ không đều, lỗ lớn lỗ nhỏ [gX, gY, gZ] = fastrbf_gridcoords(g); Bƣớc ta nhập vào tệp holey_face.obj câu lệnh sau: gV = permute(g.Value, [2 3]); mesh = fastrbf_import('C:\Program Files\FarField Technology\FastRBF slice(gY, gX, gZ, gV, 7, 7, 3); colorbar; axis tight; v1.4\Matlab\tutorial\SurfaceFit\holey_face.obj') Sau thực lệnh ta thu đƣợc lƣới nhƣ hình 3.2 Sau thực lệnh ta thu đƣợc kết quả: Mesh = Location: [3x3328 double] Tri: [3x6283 double] Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 44 45 Dùng lênh: fastrbf_view(Mesh); để hiển thị đƣợc hình ảnh bề mặt nhƣ hình 3.3 Hình 3.4 Bề mặt với đƣờng pháp tuyến Trong ví dụ này, độ dài đƣờng pháp tuyến tối đa 5mm đƣợc sử dụng Các đƣờng pháp tuyến ngắn 0,5mm đƣợc loại bỏ lệnh Hình 3.3 Hình ảnh bề mặt đƣa vào Sau xác định đƣờng pháp tuyến câu lệnh sau: sau: MeshWithNormals = fastrbf_normalsfrommesh(Mesh) Density = fastrbf_densityfromnormals(MeshWithNormals, 0.5, 5.0) Sau dùng lệnh ta thu đƣợc kết quả: Sau thực lệnh thu đƣợc kết quả: MeshWithNormals = Density = Location: [3x3328 double] Location: [3x6656 double] Tri: [3x6283 double] Value: [1x6656 double] Gradient: [3x6656 double] Gradient: [3x3328 double] Để hiển thị bề mặt với đƣờng pháp tuyến ta dùng lệnh: Để hiển thị đƣợc kết (Hình 3.5) sau loại bỏ đƣờng pháp tuyến ngắn 0,5mm ta dùng lệnh: fastrbf_view(MeshWithNormals, 'fv'); Sau dùng lệnh ta thu đƣợc bề mặt với đƣờng pháp tuyến fastrbf_view(Density); nhƣ đƣợc mô tả hình 3.4 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 46 47 Finished fitting RBF rbf = AchievedAcc: 0.1093 DefaultEvalAcc: 0.0050 Centres: [3x6653 double] Coeffs: [1x6657 double] PolyBase: [2.3315 -7.9726 52.4559] DataMin: [-74.7032 -121.5387 7.3864] DataMax: [79.3662 105.5934 97.5255] BasicFunc: BasicFuncParam: BasicFuncParam2: PolyDegree: Rho: FitType: Hình 3.5: Bề mặt với đƣờng pháp tuyến có độ dài nhỏ 0,5mm bị loại bỏ Version: 'FastRBF V 1.4.2' Dùng lệnh: fastrbf_view(rbf); để hiển thị kết nhƣ hình 3.6: Trƣớc khớp liệu dùng lệnh sau: Density = fastrbf_unique(Density) Sau dùng lệnh ta thu đƣợc: Density = Location: [3x6653 double] Value: [1x6653 double] Gradient: [3x6653 double] Để so sánh lợi ích việc rút gọn tâm khớp rút gọn tâm Bằng câu lệnh sau: rbf = fastrbf_fit(Density, 0.5, ‟direct‟) Sau khớp ta có kết quả: Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 48 49 BasicFunc: BasicFuncParam: BasicFuncParam2: PolyDegree: Rho: FitType: Version: 'FastRBF V 1.4.2' Indices: [1x1628 double] Dùng lệnh: fastrbf_view(rbf); để hiển thị kết nhƣ hình 3.7 Hình 3.6: Bề mặt sau khớp rút gọn tâm Bây khớp bề mặt với rút gọn tâm câu lệnh sau: rbf = fastrbf_fit(Density, 0.5,‟reduce‟) Sau thực h iện lệnh ta thu đƣợc: rbf = AchievedAcc: 0.4614 DefaultEvalAcc: 0.0050 Centres: [3x1628 double] Coeffs: [1x1632 double] Hình 3.7: Khớp sau rút gọn tâm PolyBase: [2.3315 -7.9726 52.4559] DataMin: [-74.7032 -121.5387 7.3864] DataMax: [79.3662 105.5934 97.5255] Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 50 51 Trong trƣờng hợp này, khớp liệu với việc rút gọn tâm yêu cầu 1157 tâm khớp liệu việc rút gọn tâm yêu cầu 3984 Đẳng mặt lƣới 3D đƣợc hiểu điểm hàm RBF có giá trị không Một lƣới đƣợc sinh câu lệnh sau: NewMesh = fastrbf_isosurf(rbf, 2) tâm Tiếp theo, tính giá trị lƣới 3D lệnh Bằng lệnh: fastrbf_view(NewMesh); ta thu đƣợc hình 3.9 sau: g = fastrbf_grideval(rbf, 0.1, ‟spacing‟, 3); slice(g.Value, 40, 27, 15); Sau tính giá trị lƣới 3D ta có kết nhƣ hình 3.8 Hình 3.9: Lƣới đƣợc sinh Cuối cùng, xuất lƣới thành file newmesh.obj phép tải đƣợc vào gói 3D khác lệnh sau: fastrbf_export(NewMesh, ‟NewMesh.obj‟) 3.5.1.2 Gia công đẳng mặt: Hình 3.8: Tính giá trị bề mặt lƣới 3D Chúng ta bắt đầu việc tải liệu quét laser từ bàn tay khớp hàm RBF vào lƣới không đầy đủ Các điểm bề mặt đƣợc sinh nhô khoảng 0,5mm 5mm bên bề mặt bàn tay Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 52 53 Trƣớc hết ta đƣa liệu bàn tay vào câu lệnh sau: 3.6 Kết luận: Với việc khai thác phần mềm FastRBF giúp ta hiểu vể quy trình Mesh = fastrbf_import(‟Hand.obj‟); Density = fastrbf_densityfromnormals(Mesh, 0.5, 5.0); bƣớc để khôi phục, biểu diễn đối tƣợng 3D cách rõ ràng cụ thể Density = fastrbf_unique(Density); Từ hiểu rõ toán khôi phục biểu diễn đối tƣợng 3D, cụ rbf = fastrbf_fit(Density, 0.25,‟reduce‟); thể vấn đề bề mặt ẩn, khớp hàm ẩn vào bề mặt… Bây muốn rút lƣới đa giác Một lƣới 1mm đƣợc sinh lệnh sau: Qua số thí dụ trình bày, thấy đƣợc lợi ích phần mềm FastRBF việc khôi phục biểu diễn đối tƣợng 3D NewMesh = fastrbf_isosurf(rbf, 1); Đây phần mềm hữu ích cho đối tƣợng cần sử dụng Dùng lệnh: figure; fastrbf_view(NewMesh); để xem hình ảnh chi tiết lƣới sinh nhƣ hình 3.10 kết vào công việc Qua đó, hiểu rõ vấn đề khôi phục biểu diễn đối tƣợng 3D để từ vận dụng vào trƣờng hợp cụ thể trình làm việc Hình 3.10: Lƣới đa giác 1mm dƣợc sinh Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 54 55 TÀI LIỆU THAM KHẢO KẾT LUẬN Luận văn đề cập đến hàm sở bán kính, hàm có nhiều ứng dụng [TIẾNG VIỆT] khác ứng dụng đồ họa máy tính Đây ứng [1] Phạm Kỳ Anh (2000), Giải tích số, NXB Đại học Quốc Gia Hà Nội dụng quan trọng nhiều lĩnh vực khoa học Kết luận văn gồm [TIẾNG ANH] có: [1]M D Buhmann, Radial Basis Functions: Theory and Implementations, Trình bày tóm lƣợc kết quan trọng ứng dụng hàm RBF Cambridge University Press, Cambridge, 2003 vào đồ họa máy tính mà xuất phát điểm giải toán nội suy [2] FastRBF Toolbox, MATLAB Interface, Version 1.4, 4th August 2004, liệu rời rạc Từ việc nghiên cứu tính khả nghịch ma trận nội suy dẫn FarField Technology Ltd đến nghiên cứu hàm RBF Các phƣơng pháp xây dựng hàm RBF [3] R K Beatson, J B Cherrie, and C T Mouat Fast fitting of radial basis đảm bảo tính đặt toán nội suy mà tảng kiến thức functions: Methods based on preconditioned GMRES iteration Advances in hàm xác định dƣơng, hàm xác định dƣơng chặt, hàm đơn điệu hoàn toàn Computational Mathematics, 11:253–270, 1999 (GA, IMQ …) Thông qua hàm xác định dƣơng có điều kiện, xây dựng [4] R K Beatson, J B Cherrie, and D L Ragozin Fast evaluation of radial mô hình nội suy với độ xác đa thức hàm RBF sử dụng tƣơng basis functions: Methods for four-dimensional polyharmonic splines SIAM J ứng (TPS, MQ…) Math.Anal., 32(6):1272–1310, 2001 Trong chƣơng 2, luận văn trình bày ứng dụng hàm RBF vào việc [5] R K Beatson and L Greengard A short course on fast multipole khôi phục biểu diễn đối tƣợng 3D Các vấn đề: Bề mặt ẩn; Khớp methods In M Ainsworth, J Levesley, W.A Light, and M Marletta, editors, hàm ẩn vào bề mặt; Nội suy hàm sở bán kính; Các phƣơng pháp nhanh; Wavelets Multilevel Methods and Elliptic PDEs, pages 1–37 Oxford Rút gọn tâm… đƣợc đƣa để giải toán ứng dụng hàm RBF University Press 1997 vào việc khôi phục biểu diễn đối tƣợng 3D [6] R K Beatson and W A Light Fast evaluation of radial basis functions: Trong chƣơng 3, luận văn giới thiệu sơ lƣợc phần mềm FastRBF đƣa kết số thí dụ cụ thể Method for two-dimensional polyharmonic splines IMA Journal of Numerical Analysis, 17:343–372, 1997 Mặc dù cố gắng xong luận văn nhiều hạn chế tránh khỏi sai sót Em mong nhận đƣợc phê bình, đóng góp [7] R K Beatson, W A Light, and S Billings Fast solution of the radial basis function interpolation equations: Domain decomposition methods SIAM J Sci Comput., 22(5):1717–1740, 2000 ý kiến thầy cô bạn đọc Cuối cùng, lần em xin chân thành cảm ơn giúp đỡ, bảo [8] R K Beatson, A M Tan, and M J D Powell Fast evaluation of radial basis functions: Methods for 3-dimensional polyharmonic splines In nhiệt tình thầy giáo PGS.TS Đặng Quang Á preparation Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 56 57 [9] F Bernardini, C L Bajaj, J Chen, and D R Schikore Automatic [19] V V Savchenko, A A Pasko, O G Okunev, and T L Kunii Function reconstruction of 3D CAD models from digital scans Int J on Comp Geom representation of solids reconstructed from scattered surface points and and Appl., 9(4–5):327, Aug & Oct 1999 contours Computer Graphics Forum, 14(4):181–188, 1995 [10] J Bloomenthal, editor Introduction to Implicit Surfaces Morgan [20] G.M Treece, R.W Prager, and A H Gee Regularised marching Kaufmann, San Francisco, California, 1997 etrahedra: improved iso-surface extraction Computers and Graphics, [11] J C Carr, W R Fright, and R K Beatson Surface interpolation with 23(4):583–598, 1999 radial basis functions for medical imaging IEEE Trans Medical Imaging, [21] G Turk and J F O‟Brien Shape transformation using variational 16(1):96–107, February 1997 implicit surfaces In SIGGRAPH’99, pages 335–342, Aug 1999 [12] E W Cheney and W A Light A Course in Approximation Theory [22] G Turk and J F O‟Brien Variational implicit surfaces Technical Brooks Cole, Pacific Grove, 1999 Report GITGVU-99-15, Georgia Institute of Technology, May 1999 [13] J Duchon Splines minimizing rotation-invariant semi-norms in Sobolev [23] G Wahba Spline Models for Observational Data Number 59 in CBM- spaces In W Schempp and K Zeller, editors, Constructive Theory of SNSF Regional Conference Series in Applied Math SIAM, 1990 Functions of Several Variables, number 571 in Lecture Notes in Mathematics, [24] G Yngve and G Turk Creating smooth implicit surfaces from polygonal pages 85–100, Berlin, 1977 Springer-Verlag meshes Technical Report GIT-GVU-99-42, Georgia Institute of Technology, [14] N Dyn, D Levin, and S Rippa Numerical procedures for surface fitting 1999 ofscattered data by radial functions SIAM J Sci Stat Comput., 7(2):639– [25] WOLFGANG NIEM, JOCHEN WINGBERMUHLE 1997 Automatic 659, 1986 Reconstruction of 3D Objects Using a Mobile Monoscopic Camera In [15] J Flusser An adaptive method for image registration Pattern Proceedings of the International Conference on Recent Advances in 3D Recognition, 25(1):45–54, 1992 Imaging and Modelling",Ottawa, Canada [16] H Hoppe, T DeRose, T Duchamp, J McDonald, and W Stuetzle [26] ANDERS HEYDEN 1995 Geometry and Algebra of Multiple Surface reconstuction from unorganized points Computer Graphics Projective Transformations Dept of Mathematics, Lund University, Sweden (SIGGRAPH’92 proceedings), 26(2):71–78, July 1992 [27] L Greengard and V Rokhlin A fast algorithm for particle simulations [17] W E Lorensen and H E Cline Marching cubes: A high resolution 3D J.Comput Phys, 73:325–348, 1987 surface construction algorithm Computer Graphics, 21(4):163–169, July 1987 [18] C A Micchelli Interpolation of scattered data: Distance matrices and conditionally positive definite functions Constr Approx., 2:11–22, 1986 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn [...]... hình 2.11 minh họa ứng dụng việc khớp dữ liệu của hàm RBF với sụ phục hồi lƣới Trong hình 2.1(b) một hàm RBF khớp một lƣới không hoàn toàn thu đƣợc từ một máy quét laser Hình ảnh này chứng minh khả năng của hàm ghép trơn song điều hòa với phép nội suy nhẵn qua các lỗ không đều lớn, ví dụ dƣới cằm và ngoại suy nhẵn một bề mặt không dữ liệu Trong hình 2.11 một hàm RBF đã đƣợc khớp vào một tập hợp dữ... trình (2.2) dẫn đến một hệ tuyến tính để tìm ra các hệ số định rõ hàm RBF i 1 Với p là một đa thức tuyến tính, các hệ số i là các số thực và | | là quy tắc Cho {p1,…,pl} là một cơ sở các đa thực bậc cao nhất là m và cho c  c1 , , cl  là các hệ số tạo lên p trong cơ sở này Thì phƣơng trình (2.2) Ơ cơ lít trên R3 Hàm này là một ví dụ đặc biệt của hàm RBF Thông thƣờng, một hàm RBF có dạng: N s (... đến hàm cơ sở bán kính, một hàm có nhiều ứng dụng [TIẾNG VIỆT] khác nhau trong đó là ứng dụng trong đồ họa máy tính Đây là một ứng [1] Phạm Kỳ Anh (2000), Giải tích số, NXB Đại học Quốc Gia Hà Nội dụng quan trọng trong nhiều lĩnh vực khoa học Kết quả của luận văn gồm [TIẾNG ANH] có: [1]M D Buhmann, Radial Basis Functions: Theory and Implementations, 1 Trình bày tóm lƣợc các kết quả quan trọng về ứng dụng. .. trong một đám đặc biệt Một cách sử Khớp dữ liệu Phƣơng pháp trực tiếp Phƣơng pháp nhanh dụng đúng đắn phép tính xấp xỉ cho các đám cách xa từ một điểm tính toán Đòi hỏi bộ nhớ N ( N  1) 2 O(N) cho phép hàm RBF có thể tính toán độ chính xác định trƣớc và phép tính N3  O( N 2 ) 6 O(NlogN) Khối lƣợng tính toán giải hệ trực tiếp cho các đám ở gần tới một điểm tính toán cho phép hàm RBF tính gian tính. .. lấy mẫu bất quy tắc, không đều và xây dựng lại các bề mặt từ dải dữ liệu 3.4 Các ứng dụng: Phần mềm FastRBF đã đƣợc ứng dụng trong một số lĩnh vực khác nhau của khoa học và nghiên cứu các vấn đề từ tạo nguyên mẫu nhanh CAD- 3.2 Ai có thể sử dụng sản phẩm FastRBF? Các kỹ sƣ, ngƣời phát triển phần mềm và các nhà khoa học đối mặt với CAM, sự tạo ảnh y học, đồ họa máy tính và sự xử lý tín hiệu… các vấn... liệu vào Với sự tính toán một hàm RBF, phép xấp xỉ một lựa chọn là sự mở rộng (của biến xi‟ trong phƣơng trình (2.2)) nhƣ các nút của phép nội suy và phạm vi xa và gần Với các tâm gộp lại trong một phƣơng pháp phân cấp, nhƣ là các tâm của hàm RBF Tuy nhiên, dữ liệu vào cùng loại có thể xấp sự mở rộng phạm vi xa và gần đƣợc sử dụng để sinh ra một phép xấp xỉ tới xỉ tới độ chính xác mong muốn sử dụng. .. hai lần số lƣợng các điểm bề mặt Sự rút gọn tâm đƣợc sử dụng ở khắp nơi, trừ trong mẫu LIDAR nơi mà số lƣợng các tâm hàm RBF xấp xỉ bằng số lƣợng nút nội suy Hình 2.1(a), 2.3, 2.6, 2.12, 2.13 và 2.14 minh họa việc khớp dữ liệu các bề mặt tới các điểm tập trung trong khi hình 2.1(b) và 2.11 minh họa việc khớp với các lƣới riêng Hình 2.8 giải thích việc xấp xỉ một hàm RBF trong tinh huống khớp một bề... thành ngay lập tức nghĩ đƣợc trên một máy tính để bàn Hàm khớp và độ chênh lệch của nó với phần mềm FastRBF mà không cần lấy mẫu lại trên một lƣới chuẩn và có thể tính toán ở mọi nơi nhƣ trên một lƣới, một mặt phẳng hoặc một bề sử dụng các phép tính toán nhân chập có chiều sâu trong không gian hoặc mặt bất kỳ Những khả năng này làm cho phần mềm FastRBF lý tƣởng cho trong miền Fourier việc hiển thị dữ... lập Trong trƣờng hợp đó, một hàm RBF có thể khớp tới mỗi trƣờng thành phần Điều này không yêu cầu thời gian tính toán nhiều hơn là bao nhiêu vì ma trận trong phƣơng trình (2.8) chỉ phụ thuộc vào vị trí của các nút nội suy và vì thế là thuộc mỗi thành phần hàm RBF tập điểm và dữ liệu lƣới mà một biểu diễn RBF cung cấp Chúng ta cũng đã liệt kê kích thƣớc của các lƣới dẫn xuất từ việc tính toán hàm RBF. .. bàn tay Hình ảnh minh họa toán có thể đƣợc phát biểu nhƣ sau: cách hàm RBF xấp xỉ một hàm khoảng cách gần giống bề mặt của đối Bài toán 2.2 Cho một tập hợp các nút riêng biệt X  xi iN1  R3 và một tập tƣợng Các đẳng đƣờng tại +1, 0 và -1 ở phần trên của hình và hình dáng hợp các giá trị hàm  f i iN1  R, tìm một hàm nội suy: R3 → R nhƣ sau: hàm tƣơng ứng bên dƣới, minh họa việc làm thế nào các