Hàm khoảng cách và một số ứng dụng

LỜI CẢM ƠN Luận văn hoàn thành trường Đại học Sư phạm Hà Nội hướng dẫn thầy giáo PGS TS Nguyễn Năng Tâm Sự giúp đỡ hướng dẫn tận tình song nghiêm túc thầy suốt trình thực luận văn giúp tác giả trưởng thành nhiều cách tiếp cận vấn đề Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn, lòng kính trọng sâu sắc thầy Tác giả xin trân trọng cảm ơn Ban giám hiệu trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2, phòng Sau đại học, thầy cô giáo nhà trường thầy cô giáo dạy cao học chuyên ngành Toán giải tích giúp đỡ, tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả suốt trình học tập Tác giả xin chân thành cảm ơn đồng nghiệp gia đình, người thân, bạn bè giúp đỡ, động viên tạo điều kiện thuận lợi để tác giả hoàn thành khóa học Thạc sĩ hoàn thành luận văn Hà Nội, ngày 20 tháng 11 năm 2013 Tác giả Nguyễn Thị Thanh Hà LỜI CAM ĐOAN Luận văn hoàn thành trường Đại Học Sư phạm Hà Nội hướng dẫn PGS TS Nguyễn Năng Tâm Tôi xin cam đoan luận văn công trình nghiên cứu riêng Trong trình nghiên cứu hoàn thành luận văn kế thừa thành khoa học nhà khoa học đồng nghiệp với trân trọng biết ơn Tôi xin cam đoan thông tin trích dẫn luận văn rõ nguồn gốc Hà Nội, ngày 20 tháng 11 năm 2013 Tác giả Nguyễn Thị Thanh Hà Mục lục Lời cảm ơn i Lời cam đoan ii Bảng ký hiệu v Mở đầu 1 Một số kiến thức chuẩn bị 1.1 Một số khái niệm không gian 1.2 Hàm liên tục, hàm Lipschitz, hàm khả vi 1.3 Một số khái niệm vi phân Hàm khoảng cách số ứng dụng 12 2.1 Hàm khoảng cách 12 2.2 Tính chất 13 2.3 Tính khả vi địa phương 18 2.4 Đạo hàm theo hướng, vi phân Clarke 35 Dưới Gradient hàm khoảng cách có nhiễu ứng dụng 42 iii 3.1 Một số khái niệm 42 3.2 Dưới gradient tựa Fréchet hàm khoảng cách 47 3.3 Dưới gradient qua giới hạn hàm khoảng cách 55 3.4 Ứng dụng để nghiên cứu tính ổn định Lipschitz 65 Kết luận 70 Tài liệu tham khảo 71 iv BẢNG KÝ HIỆU N Tập số tự nhiên R ¯ R Tập số thực x∗ , x R ∪ {−∞; +∞} x∗ (x) X∗ Không gian đối ngẫu X X ∗∗ Không gian đối ngẫu thứ hai X τ Tôpô τw Tôpô yếu τw∗ Tôpô yếu* δf (x, h) Chuẩn Vi phân cấp f với gia lượng h F : X ⇒ Y Ánh xạ đa trị F gphF Đồ thị F epif Trên đồ thị domF Miền hữu hiệu F X ×Y Tích đề X Y intA A¯ Phần A f (x; d) Đạo hàm theo hướng f x theo hướng d f − (x; d) Đạo hàm theo hướng Contigent f x theo hướng d f (x; d) Đạo hàm theo hướng Clarke f x theo hướng d ∂f (x) ∂ˆε ϕ(x) Dưới vi phân Clarke f x ∂ˆF ϕ(x) ∂ˆ+ ϕ(x) Dưới vi phân Fréchet ϕ x ∂p ϕ(x) Dưới vi phân gần kề ϕ x Bao đóng A ε - građient Fréchet ϕ x Dưới vi phân Fréchet ϕ x ∂ ∞ ϕ(x) Dưới vi phân suy biến ϕ x ∂≥ f (x) Dưới vi phân phải f x ∂≥∞ f (x) Dưới vi phân phải suy biến f x DFz (.) Đạo hàm Contigent F Db Fz (.) Đạo hàm gần kề F CF z (.) Đạo hàm Clarke F D∗F Đối đạo hàm F dC (x) Khoảng cách từ x đến tập C TC (x) Nón tiếp tuyến C x NC (x) Nón pháp tuyến C x SC (x) ˆε (x, C) N Tập pháp tuyến kề C x ˆ (x, C) N Nón pháp tuyến sở KC (x) Nón contigent tiếp tuyến C x PC (x) Hình chiếu x C B Hình cầu đơn vị X B∗ Hình cầu đơn vị X ∗ S Mặt cầu đơn vị đóng X S∗ Mặt cầu đơn vị đóng X ∗ δC (x) Hàm tập C x I Ánh xạ đồng l.s.c Nửa liên tục ε - pháp tuyến C x Kết thúc chứng minh vi MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Trong thực tiễn lý thuyết thường gặp toán đòi hỏi phải khảo sát ánh xạ liên quan đến hàm khoảng cách Một lớp hàm không trơn chất tạo nhờ hàm khoảng cách d(x; C) := inf x − y y∈C (I) x ∈ E điểm, C ⊂ E tập cố định không gian Banach E với chuẩn Một lớp hàm khoảng cách tổng quát tạo nên ρ(z, x) := inf x − y = d(x, F (z)) (II) y∈F(z) F ánh xạ đa trị từ không gian Banach Z vào không gian Banach X Rõ ràng, hàm (II) có hai biến, biểu thị khoảng cách từ x đến tập chuyển động F (z), mở rộng hàm khoảng cách quen biết (I) ứng với (II) F (z) ≡ C Những hàm dạng (I), (II) đóng vai trò đáng lưu ý giải tích biến phân, tối ưu hóa ứng dụng chúng Sau học kiến thức Toán giải tích, với mong muốn tìm hiểu sâu kiến thức học, mối quan hệ ứng dụng chúng, chọn đề tài nghiên cứu “ Hàm khoảng cách số ứng dụng ” Mục đích nghiên cứu Nắm thuộc tính hàm khoảng cách số ứng dụng chúng giải tích biến phân, tối ưu hóa Nhiệm vụ nghiên cứu Nghiên cứu tính liên tục, tính khả vi, tính khả vi hàm khoảng cách Nghiên cứu ứng dụng hàm khoảng cách giải tích tối ưu Đối tượng phạm vi nghiên cứu Hàm khoảng cách không gian Hilbert không gian Banach Một số ứng dụng hàm khoảng cách Phương pháp nghiên cứu Nghiên cứu lý thuyết: Thu thập tài liệu, đọc phân tích, tổng hợp để nghiên cứu tổng quan hàm khoảng cách Dự kiến đóng góp Tổng quan hàm khoảng cách số ứng dụng hàm khoảng cách Chương Một số kiến thức chuẩn bị Chương trình bày số khái niệm không gian ánh xạ làm công cụ để trình bày chương sau 1.1 Một số khái niệm không gian Định nghĩa 1.1.1 Cho X tập khác rỗng Một họ τ tập X gọi tôpô X thỏa mãn (i) φ, X ∈ τ (ii) Giao số hữu hạn phần tử thuộc τ thuộc τ (iii) Hợp họ tùy ý phần tử thuộc τ thuộc τ Khi (X, τ ) gọi không gian tôpô, phần tử U ∈ τ tập mở X Một không gian metric với họ tập mở không gian tôpô Định nghĩa 1.1.2 Cho không gian tôpô (X, τ ) Một họ V ⊆ τ gọi sở lân cận x0 ∈ X với lân cận U x0 , tồn V ∈ V cho x0 ∈ V ⊆ U Định nghĩa 1.1.3 Không gian tôpô (X, τ ) gọi không gian tôpô tuyến tính nếu: (i) Mọi x, y ∈ X , lân cận W x + y , tồn lân cận U x, lân cận V y cho U + V ⊂ W (ii) Mọi λ ∈ R, x ∈ X , lân cận W λx, tồn ε > 0, lân cận V x cho µV ⊂ W, ∀µ ∈ (λ − ε, λ + ε) Định nghĩa 1.1.4 Cho X không gian véc tơ Tập A ⊂ X gọi lồi với cặp điểm x, y ∈ A, ∀λ ∈ (0, 1) có λx + (1 − λ)y ∈ A Định nghĩa 1.1.5 Cho (X, τ ) không gian tôpô tuyến tính, tồn sở lân cận gốc gồm toàn tập lồi τ gọi tôpô (tuyến tính) lồi địa phương X gọi không gian tôpô tuyến tính lồi địa phương Định nghĩa 1.1.6 Cho (X, τ ) không gian tôpô lồi địa phương Hausdorff f : X → [ − ∞, ∞] phiếm hàm X epif := {(x, γ) ∈ X× R |f (x) ≤ γ} đồ thị f f gọi hàm lồi epif tập lồi Định nghĩa 1.1.7 Một tập K ⊂ X gọi nón điểm k ∈ K λ > ta có λk ∈ K K tập lồi gọi nón lồi Định nghĩa 1.1.8 Cho X không gian tôpô tuyến tính, tập phiếm hàm tuyến tính liên tục X gọi không gian liên hợp (hay không gian đối ngẫu) X , kí hiệu X ∗ Với x∗ ∈ X ∗ , v ∈ X , ta kí hiệu x∗ , v = x∗ (v) Định nghĩa 1.1.9 Không gian định chuẩn X gọi không gian phản xạ X = X ∗∗ Định nghĩa 1.1.10 Tôpô lồi địa phương yếu X đảm bảo liên tục tất phiếm hàm f ∈ X ∗ gọi tôpô yếu X , kí hiệu τw 59 Ta thấy ρ (zk , xk ) = r = ρ (¯ z , x¯), không x∗k = Do định lý (3.2.2)(i) thỏa mãn, theo gỉa thiết ρ Lipschitz, tồn dãy số dương bị chặn αk cho (zk∗ , x∗k ) ∈ ∂αk εk ρ (zk , xk ) x∗k ˜ k → ∞ với λ ˜>0 Do dãy { x∗k } bị chặn, ta giả sử x∗k → λ ˜ ≥ ρ (¯ nêncó (z ∗ , x∗ ) ∈ λ∂ z , x¯) ⊂ λ∂≥ ρ (¯ z , x¯), (ii) chứng λ≥0 minh, suy định lý chứng minh Bổ đề 3.3.1 Cho F : Z ⇒ X ánh xạ đồ thị đóng không gian Banach, cho (¯ z , x¯) ∈ gphF cho γ > Giả sử hàm khoảng cách tổng quát ρ nửa liên tục (¯ z , x¯), ta có (z ∗ , x∗ ) ∈ Nε ((¯ z , x¯) ; gphF ) ⇒ (z ∗ , x∗ ) ∈ λ∂ε ρ (¯ z , x¯) với λ := x∗ + ε + γ (3.31) Chứng minh Lấy (z ∗ , x∗ ) ∈ Nε ((¯ z , x¯) ; gphF ) ∀η ∈ (0, γ) , ∃δ ∈ (0, 1) cho z ∗ , z − z¯ + x∗ , x − x¯ ≤ (η + ε) ( z − z¯ + x − x¯ ) , (3.32) với z − z¯ < δ, x − x ¯ < δ (z, x) ∈ gphF Do tính nửa liên tục ρ (z, x), ta chọn δ1 > cho ρ (z, x) − ρ (¯ z , x¯) = ρ (z, x) < δ/8 z − z¯ < δ1 , x − x ¯ < δ1 Đặt δ¯ := min{δ1 , δ/4} cố định (z, x) ∈ (¯ z , x¯) + δ¯ (B×B) Nếu (z, x) ∈ gphF (3.32) ta có đánh giá z ∗ , z − z¯ + x∗ , x − x¯ ≤ (η + ε) ( z − z¯ + x − x¯ ) ≤ λρ (z, x) + (η + ε) ( z − z¯ + x − x¯ ) (3.33) 60 với λ định nghĩa (3.31) Nếu (z, x) ∈ / gphF , x ∈ / F (z) ta tìm x1 ∈ F (z) thỏa mãn x1 − x ≤ ρ (z, x) + z − z¯ + x − x¯ ≤ δ/8 + δ/16 + δ/16 < δ/2, điều dẫn đến x1 − x¯ ≤ x1 − x + x − x¯ < δ/2 + δ¯ < δ Do (3.32) có z ∗ , z − z¯ + x∗ , x1 − x¯ ≤ (η + ε) ( z − z¯ + x1 − x¯ ) Từ biến đổi ta có: z ∗ , z − z¯ + x∗ , x − x¯ ≤ x∗ , x − x1 + (η + ε) ( z − z¯ + x1 − x ) ≤ ( x∗ + η + ε) x − x1 + (η + ε) ( z − z¯ + x − x¯ ) ≤ ( x∗ + γ + ε) ρ (z, x) + (η + ε) ( z − z¯ + x − x¯ ) + + ( x∗ + γ + ε) z − z¯ + x − x¯ ≤ λρ (z, x) + (η + ε) ( z − z¯ + x − x¯ ) + λ z − z¯ + x − x¯ , điều có (3.33) (z, x) → (¯ z , x¯), (z ∗ , x∗ ) ∈ λ∂ˆε ρ (¯ z , x¯) Tức (3.31) chứng minh Định lý 3.3.2 Cho F : Z ⇒ X ánh xạ đồ thị đóng không gian Banach Giả thiết hàm khoảng cách tổng quát ρ nửa liên tục (¯ z , x¯) ∈ gphF Khi ∗ ∂ ∞ ρ (¯ z , x¯) = { (z ∗ , 0) ∈ Z ∗ × X ∗ |z ∗ ∈ DM F (¯ z , x¯) (0) } (3.34) Chứng minh Do định nghĩa (3.9) vi phân suy biến , ta có ∂ ∞ ρ (¯ z , x¯) = Lim ρ sup λ∂ε ρ (z, x) (3.35) (z,x) → (¯ z ,¯ x) ε,λ↓0 Do lấy (z ∗ , x∗ ) ∈ ∂ ∞ ρ (¯ z , x¯), tồn dãy εk ↓ 0, λk ↓ 0, (zk , xk ) → (¯ z , x¯) với ρ (zk , xk ) → ρ (¯ z , x¯) = (zk∗ , x∗k ) ∈ ∂εk ρ (zk , xk ) cho 61 w∗ λk (zk∗ , x∗k ) → (z ∗ , x∗ ) k → ∞ Nếu (zk , xk ) ∈ gphF dãy theo định lý (3.2.1)(i) thỏa mãn x∗k ≤ + εk (zk∗ , x∗k ) ∈ Nεk ((zk , xk ) ; gphF ) Vì (λk zk∗ , λk x∗k ) ∈ Nλk εk ((zk , xk ) ; gphF ) λk x∗k → ∗ Do x∗ = z ∗ ∈ DM F (¯ z , x¯) (0) Nếu (zk , xk ) ∈ / gphF, ∀k ∈ N, k đủ lớn, ta định nghĩa η k := ρ (zk , xk ) > [6 định lý 3.6], tồn (vk , uk ) ∈ gphF cho zk − vk ≤ ηk , xk − uk ≤ ρ (zk , xk ) + ηk = 2ηk , ˆε +η ((vk , uk ) ; gphF ) − εk ≤ x∗ ≤ + εk (z ∗ , x∗ ) ∈ N k k k k k Tương tự trường hợp đầu điều x∗ = ∗ z ∗ ∈ DM F (¯ z , x¯) (0), điều thỏa mãn bao hàm thức ” ⊂ ” (3.34) ∗ F (¯ z , x¯) (0) Để chứng minh điều ngược lại, lấy z ∗ ∈ Z ∗ với z ∗ ∈ DM cách xây dựng (3.11) đối đạo hàm hỗn hợp, tồn dãy εk ↓ gphF 0, (zk , xk ) → (¯ z , x¯) (zk∗ , x∗k ) ∈ Nεk ((zk , xk ) ; gphF ) cho w∗ ∗ ∗→ zk z zk∗ → k → ∞ Áp dụng bổ đề (3.3.1) γ = 1/k , ta có (zk∗ , x∗k ) ∈ λk ∂ρ (zk , xk ), với λk = x∗k + εk + 1/k, ∀k ∈ N Do λk → nên (z ∗ , 0) ∈ ∂ ∞ ρ (¯ z , x¯), định lý chứng minh Định lý 3.3.3 Lấy điểm (¯ z , x¯) ∈ / gphF với r = ρ (¯ z , x¯), F : Z ⇒ X ánh xạ đa trị không gian Banach cho gphF gphFr đóng địa phương quanh điểm Khi ∗ ∂≥∞ ρ (¯ z , x¯) ⊂ { (z ∗ , 0) ∈ Z ∗ × X ∗ |z ∗ ∈ DM Fr (¯ z , x¯) (0) } (3.36) Chứng minh Chọn (z ∗ , x∗ ) ∈ ∂≥∞ ρ (¯ z , x¯), theo định nghĩa tồn dãy εk ↓ ρ 0, (zk , xk ) → (¯ z , x¯) với ρ (zk , xk ) ≥ ρ (¯ z , x¯) = r, (zk∗ , x∗k ) ∈ ∂εk ρ (zk , xk ) 62 w∗ λk ↓ cho λk (zk∗ , x∗k ) → (z ∗ , x∗ ) , k → ∞ Không làm tính tổng quát, ta giả sử (zk , xk ) ∈ / gphF, ∀k ∈ N Nếu ρ(zk , xk ) = r dãy định lý 3.2.1, ta có (zk∗ , x∗k ) ∈ Nεk ((zk , xk ) ; gphFr ) với − εk ≤ x∗k ≤ + εk Mặt khác, giả sử ρ (zk , xk ) > r, ∀k ∈ N tương tự chứng minh định lý 3.3.1, tồn dãy ηk ↓ (vk , uk ) ∈ gphFr cho (vk , uk ) → (¯ z , x¯) (zk∗ , x∗k ) ∈ Nεk +ηk ((vk , uk ) ; gphFr ) với − εk ≤ x∗k ≤ + εk w∗ Nhận thấy λk (zk∗ , x∗k ) ∈ Nλk (εk +ηk ) ((vk , uk ) ; gphFr ) , λk zk∗ → z ∗ , λk x∗k → k → ∞ ρ (zk , xk ) > r ∗ Tương tự ρ (zk , xk ) = r, điều x∗ = z ∗ ∈ DM Fr (¯ z , x¯) (0) Tức (3.36) chứng minh Tiếp theo ta chứng minh mối quan hệ gradient suy biến hàm khoảng cách ρ điểm tập hợp (¯ z , x¯) pháp tuyến đến đồ thị ánh xạ tổng quát F điểm chiếu (¯ z , x¯) với y¯ ∈ PF (¯z ) (¯ x) Kết tổng quát cho ρ hàm khoảng cách tiêu chuẩn d (.; C) nhận không gian Banach theo số giả thiết đặt chỉnh, điều hiển nhiên không gian với chuẩn Kadec Định lý 3.3.4 Cho F : Z ⇒ X ánh xạ đồ thị đóng không gian Banach, cho (¯ z , x¯) ∈ / gphF Áp dụng điều kiện đặt chỉnh đây: ρ cho dãy εk ↓ (zk , xk ) → (¯ z , x¯) với ∂εk ρ (zk , xk ) = φ có dãy yk ∈ PF (zk ) (xk ) chứa dãy hội tụ Khi (i) Có bao hàm {(z ∗ , x∗ ) ∈N ((¯ z , y¯) ; gphF ) , x∗ ≤ 1} (3.37) ∂ρ (¯ z , x¯) ⊂ y¯∈PF (¯z) (¯ x) điều thay bao hàm mạnh 63 {(z ∗ , x∗ ) ∈N ((¯ z , y¯) ; gphF ) , = x∗ ≤ 1} ∂ρ (¯ z , x¯) ⊂ y¯∈PF (¯z) (¯ x) tập gphF SNC X điểm (¯ z , y¯) với y¯ ∈ PF (¯z ) (¯ x) Hơn nữa, {(z ∗ , x∗ ) ∈N ((¯ z , y¯) ; gphF ) , x∗ = 1} ∂ρ (¯ z , x¯) ⊂ y¯∈PF (¯z) (¯ x) X không gian hữu hạn chiều (ii) Luôn có ∂ ∞ ρ (¯ z , x¯) ⊂ ∗ {(z ∗ , 0) |z ∗ ∈ DM F (¯ z , y¯) (0)} (3.38) y¯∈PF (¯z) (¯ x) Chứng minh Để chứng minh (i), ta cần xét trường hợp ∂ρ (¯ z , x¯) = φ Ta chứng minh trường hợp PF (¯z ) (¯ x) = φ (3.37) ρ Lấy (z ∗ , x∗ ) ∈ ∂ρ (¯ z , x¯), theo định nghĩa tồn dãy εk ↓ 0, (zk , xk ) → ρ (¯ z , x¯), w∗ (zk∗ , x∗k ) → (z ∗ , x∗ ) với (zk∗ , x∗k ) ∈ ∂εk ρ (zk , xk ) Do giả thiết đặt chỉnh định lý, tồn dãy yk ∈ PF (zk ) (xk ) hội tụ ( không gán lại) đến y¯ ∈ PF (¯z ) (¯ x) Hơn nữa, (zk , xk ) ∈ / gphF , với k ∈ N đủ lớn Khi mệnh đề 3.2.2 thỏa mãn (zk∗ , x∗k ) ∈ Nεk ((xk , yk ) ; gphF ) với − εk ≤ x∗k ≤ + εk Lấy giới hạn k → ∞, ta (z ∗ , x∗ ) ∈ N ((¯ z , y¯) ; gphF ), với x∗ ≤ 1, điều suy (3.37) chứng minh Chứng minh kết luận khác (i) tương tự trường hợp định lý 3.3.1(i) Để chứng minh (ii), lấy (z ∗ , x∗ ) ∈ ∂ ∞ ρ (¯ z , x¯) (3.35), tồn dãy ρ εk ↓ 0, λk ↓ 0, (zk , xk ) → (¯ z , x¯) (zk∗ , x∗k ) ∈ ∂εk ρ (zk , xk ) w∗ với λk (zk∗ , x∗k ) → (z ∗ , x∗ ) k → ∞ Giả thiết đặt chỉnh cho phép ta chọn dãy yk ∈ PF (zk ) (xk ) hội tụ đến y¯ ∈ PF (¯z ) (¯ x) Từ (zk , xk ) ∈ / gphF với k ∈ N đủ lớn, mệnh đề 3.2.2, có 64 (zk∗ , x∗k ) ∈ Nεk ((xk , yk ) ; gphF ) với − εk ≤ x∗k ≤ + εk Do λk x∗k → k → ∞, điều cho x∗ = z ∗ ∈ ∗ DM F (¯ z , y¯) (0), suy (3.38) chứng minh, định lý chứng minh Nhận xét Giả thiết đặt chỉnh [6 định lý 4.9] thay đổi sau (bổ sung thêm F đồ thị đóng ρ l.s.c quanh (¯ z , x¯) ∈ / gphF Cho dãy (vk , xk ) → (¯ z , x¯) uk ∈ F (vk ) thỏa mãn uk − xk − ρ (vk , xk ) → k → ∞ tồn dãy hội tụ {uk } Nhận thấy khác chủ yếu điều kiện đặt chỉnh định lý 3.3.4 sửa đổi thay yêu cầu vi phân ∂εk ρ (zk , xk ) = φ với dãy ρ (zk , xk ) → (¯ z , x¯) định lý 3.3.4, áp dụng tính compact chặt dãy cực tiểu tập điểm uk ∈ F (xk ) Để chứng minh tính đầy đủ điều kiện đặt chỉnh sửa đổi cho tính chặt mối quan hệ bao hàm (3.37) sử dụng kết [6 định lý 3.6 ] (thay cho điều mệnh đề 3.2.2) ρ Thật vậy, chọn (z ∗ , x∗ ) ∈ ∂ρ (¯ z , x¯) tồn dãy εk ↓ 0, (zk , xk ) →(z, x) w∗ (zk∗ , x∗k ) →(z ∗ , x∗ ) thỏa mãn bao hàm (zk∗ , x∗k ) ∈ ∂εk ρ (zk , xk ) , ∀k ∈ N Do [6 định lý 3.6], ta có (vk , uk ) ∈ gphF mà vk − zk ≤ εk , uk − xk ≤ ρ (xk , xk ) + εk (zk∗ , x∗k ) ∈ N2εk ((vk , uk ) ; gphF ) Cuối suy ρ (vk , xk ) ≤ uk − xk ≤ ρ (zk , xk ) + εk ≤ uk − xk − ρ (vk , xk ) ≤ ρ (zk , xk ) − ρ (vk , zk ) + εk Đánh giá với ρ (zk , xk ) → ρ (¯ z , x¯) giả thiết l.s.c ρ, cho ≤ lim inf ( uk − xk − ρ (vk , xk )) ≤ lim sup (ρ (zk , xk ) − ρ (vk , xk ) + εk ) k→∞ k→∞ ≤ ρ (¯ z , x¯) − lim infρ (vk , xk ) ≤ k→∞ 65 Vì uk − xk − ρ (vk , xk ) → k → ∞ Ta rút dãy hội tụ {uk }, ta có u ¯ ∈ PF (¯z ) (¯ x) điểm giới hạn (z ∗ , x∗ ) ∈ N ((¯ z , u¯) ; gphF ), điều chứng minh (3.37) Để kết thúc nhận xét này, ta thấy điều kiện đặt chỉnh sửa đổi hiển nhiên không gian phản xạ X với chuẩn Kadec (là chuẩn mà tôpô yếu tôpô theo chuẩn trùng mặt cầu đơn vị) 3.4 Ứng dụng để nghiên cứu tính ổn định Lipschitz Ứng dụng tính ổn định Lipschitz thu phần dựa việc mô tả sau tính chất Lipschitz ánh xạ hàm không gian Asplund Ta dựa vào kết không gian hữu hạn chiều (A) Hàm l.s.c f : X → R hữu hạn x Lipschitz địa phương quanh x ∂ ∞ f (¯ x) = {0} f SNEC điểm (B) Một ánh xạ đồ thị đóng F : X ⇒ Y tựa Lipschitz quanh (¯ x, y¯) ∈ ∗ gphF DM F (¯ x, y¯) (0) = {0} F PSNC điểm (C) Một ánh xạ đồ thị đóng F : X ⇒ Y compact địa phương quanh x (tức F (U ) thuộc tập compact Y với U lân cận x) Lipschitz địa phương quanh điểm ∗ DM F (¯ x, y¯) (0) = {0} F PSNC (¯ x, y¯) với y¯ ∈ F (¯ x) Ta bắt đầu mối quan hệ tính liên tục Lipschitz địa phương ρ quanh (¯ z , x¯) ∈ / gphF tính Lipschitz địa phương ánh xạ F quanh z Mệnh đề 3.4.1 Cho F : Z ⇒ X ánh xạ đa trị không gian Banach, cho (¯ z , x¯) ∈ / gphF Giả sử F Lipschitz địa phương quanh z Khi hàm khoảng cách tổng quát ρ liên tục Lipschitz quanh (¯ z , x¯) 66 Chứng minh Do tính Lipschitz địa phương F , tồn l ≥ δ > thỏa mãn F (u) ⊂ F (v) + l u − v B với u, v ∈ z¯ + δ B (3.39) Cố định x0 ∈ x ¯ + δ B, u, v ∈ z¯ + δ B ε > 0, chọn x˜ ∈ F (v) với x˜ − x0 ≤ d (x0 , F (v)) + ε Do (3.39), tồn x1 ∈ F (u) b ∈ B cho x ˜ = x1 +l v − u b Do x1 − x0 + l u − v b ≤ d (x0 ; F (u))+ε, suy x1 − x0 − l u − v ≤ d (x0 ; F (u)) d (x0 ; F (v)) ≤ x1 − x0 ≤ l u − v + d (x0 ; F (u)) + ε Vì ε nhỏ tùy ý, có |d (x0 ; F (u)) − d (x0 ; F (v))| ≤ l u − v Lấy tùy ý (z1 , x1 ) , (z2 , x2 ) ∈ (¯ z , x¯) + δ (B×B), ta |d (x1 ; F (z1 )) − d (x2 ; F (z2 ))| ≤ |d (x1 ; F (z1 )) − d (x1 ; F (z2 ))| + |d (x1 ; F (z2 )) − d (x2 ; F (z2 ))| ≤ l z1 − z2 + x1 − x2 ≤ max {1, l} ( z1 − z2 + x1 − x2 ) , điều chứng minh ρ Lipschitz địa phương quanh (z, x) Hệ 3.4.1 Cho ρ (II) với F : Z ⇒ X ánh xạ đồ thị đóng không gian Asplund, cho (¯ z , x¯) ∈ / gphF Giả sử F z , x¯) compact địa phương quanh z Khi ρ liên tục Lipschitz quanh (¯ ∗ DM F (¯ z , y¯) = {0} F PSNC (¯ z , y¯) , ∀¯ y ∈ F (¯ z ) Chứng minh Được kéo theo trực tiếp từ mệnh đề 3.4.1 đặc tính (C) tính chất Lipschitz địa phương F quanh z ¯ hữu Bổ đề 3.4.1 Cho X không gian Asplund, cho f : X → R hạn x l.s.c quanh điểm Khi f SNEC x f với dãy λk ↓ 0, xk → x ¯ x∗k ∈ λk ∂f (xk ) ta có w∗ x∗k → ⇒ [ x∗k → 0] k → ∞ (3.40) 67 f Chứng minh Giả sử f SNEC x Lấy dãy λk ↓ 0, xk → x ¯ w∗ x∗k ∈ λk ∂f (xk ) với x∗k → k → ∞ Khi (x∗k , −λk ) ∈ N ((xk , f (xk )) ; epif ) , k ∈ N (3.41) thuộc tính SNEC f x, là, tính chất SNC epif (¯ x, f (¯ x)), kết x∗k → 0, suy (3.40) đươc chứng minh epif Ngược lại, lấy dãy (xk , µk ) → (¯ x, f (¯ x)) (x∗k , −λk ) ∈ N ((xk , µk ) ; epif) w∗ thỏa mãn λk → 0, x∗k → Ta x∗k → k → ∞ Thật vậy, ta cần chứng minh thuộc dãy Có khả (a) λk > thuộc dãy (b) λk = với k đủ lớn, k ∈ N Trường hợp (a), từ (3.41) có µk = f (xk ) (x∗k /λk , −1) ∈ N ((xk , f (xk )) ; epif) Do x∗k ∈ λk ∂f (xk ) x∗k → Trường hợp (b), không làm tính tổng quát, giả sử λk = αk = f (xk ) , ∀k ∈ N Theo (x∗k , 0) ∈ N ((xk , f (xk )) ; epif) Áp dụng [9, bổ đề 2.36] cho k (ở tính chất Asplund X định), chọn dãy λnk , x ˜nk , x˜∗nk cho 1 < λnk < , x˜nk − xk ≤ , |f (˜ xnk ) − f (xk )| ≤ , x˜∗nk − x∗k ≤ k k k k x ˜∗nk ∈ λnk ∂f (˜ x nk ) w∗ w∗ Rõ ràng có x ˜∗nk → theo cách xây dựng x˜∗nk giả sử x∗k → Khi x˜∗nk → (3.40) x∗nk → 0, điều chứng minh tính chất SNEC f x, nên bổ đề chứng minh Định lý 3.4.1 Cho F : Z ⇒ X ánh xạ đồ thị đóng không gian Asplund với (¯ z , x¯) ∈ / gphF PF (¯z ) (¯ x) = φ cho điều kiện đặt chỉnh từ hai định lý 3.3.4 nhận xét Khi hàm khoảng cách ρ sinh F Lipschitz địa phương quanh (¯ z , x¯) F tựa Lipschitz quanh (¯ z , y¯), với điểm chiếu y¯ ∈ PF (¯z ) (¯ x) Hơn nữa, tính liên tục Lipschitz ρ quanh (¯ z , x¯) đảm bảo 68 ∗ DM F (¯ z , y¯) (0) = {0} F PSNC (¯ z , y¯) , y¯ ∈ PF (¯z ) (¯ x) (3.42) Chứng minh Do giả sử F tựa Lipschitz quanh (¯ z , y¯), y¯ ∈ PF (¯z ) (¯ x) theo cách mô tả (B), điều cho không gian Banach có điều kiện (3.42) Bây sử dụng mối quan hệ tính vi phân suy biến (3.38) từ định lý 3.3.4 thỏa mãn điều kiện đặt chỉnh từ định lý 3.3.4 nhận xét Ta có ∂ ∞ ρ (¯ z , x¯) = {0}, cho phép ta ρ SNEC (¯ z , x¯), ρ Lipschitz địa phương quanh (¯ z , x¯), cách biểu diễn (A) không gian Asplund Để tiếp tục, sử dụng thuộc tính SNEC từ bổ đề 3.4.1 xét với dãy ρ λk ↓ 0, (zk , xk ) → (¯ z , x¯) (zk∗ , x∗k ) ∈ λk ∂ρ (zk , xk ) w∗ với (zk∗ , x∗k ) → k → ∞ Ta cần chứng minh (zk∗ , x∗k ) → zk∗ , x˜∗k ) giả sử Lấy dãy (˜ zk∗ , x˜∗k ) ∈ ∂ρ (zk , xk ) thỏa mãn (zk∗ , x∗k ) = λk (˜ với định nghĩa điều kiện đặt chỉnh từ định lý 3.3.4; lập luận tương tự theo điều kiện đặt chỉnh từ nhận xét với việc áp dụng [6 định lý 3.6 ] thay cho mệnh đề 3.2.2 Khi theo mệnh đề 3.2.2 ta có yk ∈ PF (¯z ) (¯ x) cho (˜ zk∗ , x˜∗k ) ∈ N ((zk , yk ) ; gphF ) với x˜∗k = suy x∗k = λk x ˜∗k → k → ∞ Do điều kiện đặt chỉnh, giả sử yk hội tụ đến y¯ ∈ PF (¯z ) (¯ x) Từ (zk∗ , x∗k ) ∈ N ((zk , xk ) ; gphF ) với x∗k → từ F PSNC (¯ z , y¯) cách mô tả (B), ta có zk∗ → k → ∞ Định lý chứng minh 69 Kết luận Chương trình bày số kết gradient hàm khoảng cách có nhiễu số ứng dụng 70 KẾT LUẬN Luận văn trình bày cách có hệ thống nội dung sau: Khái niệm hàm khoảng cách tính chất hàm khoảng cách không gian Banach Một số ứng dụng hàm khoảng cách vào nghiên cứu giải tích biến phân không gian Banach Vì khả điều kiện có hạn, luận văn chắn tránh thiếu sót Kính mong thầy cô đồng nghiệp góp ý kiến để em có điều kiện chỉnh sửa luận văn tốt Tài liệu tham khảo [A] Tài liệu tiếng Việt [1] Hoàng Tụy (2002), Hàm thực giải tích hàm, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội [2] Nguyễn Đông Yên (2007), Giải tích đa trị, NXB Khoa học tự nhiên công nghệ [B] Tài liệu tiếng Anh [3] A Levy, R A Poliquin and L Thibault, (1995), Partial extension of Attouch’s theorem with appli- cations to proto-derivatives of subgradient mappings, Trans Amer Math Soc 347, 1269–1294 MR 95k:49035 [4] A S Shapiro (1994), Existence and differentiability of metric projections in Hilbert spaces, SIAM J Optimization 4, 130–141 MR 94m:90111 [5] Aubin, J.-P, (1984), Lipschitz behavior of solutions to convex minimization problems, Math Oper Res 9, 87-111 [6] B.S Mordukhovich and N.M Nam (2005),Subgradient of distance functions with applications to Lipschitz ian stability, Math Program., Ser B 104, 635-668 71 72 [7] B.S.Mordukhovich, (1984), Variational Analysis and Generalized Differentiation, Vol I: Basic Theory, Vol II: Applications, Springer, Berlin (to appear) [8] B.S Mordukhovich, (1976), Maximum principle in problems of time optimal control with nonsmooth constraints, J Appl Math Mech 40, 960–969 [9] Bounkhel, M., Thibault, L.(2002), On various notions of regularity of sets in nonsmooth analysis Nonlinear Anal 48, 223–246 [10] F H Clarke, (1983), Optimization and Nonsmooth Analysis, John Wiley and Sons [11] F H Clarke, R J Stern and P R Wolenski (1995), Proximal smoothness and the lower-C property, J Convex Analysis, 117–144 MR 96j:49014 [12] H Federer, (1959), Curvature measures, Trans Amer Math Soc 93, 418–491 MR 22:961 [13] J B Hiriart-Urruty, (1998), Ensembles de Tchebychev vs ensembles convexes: l’etat de la situation vu par l’analyse convexe non lisse, Ann Sci Math Que 22, 47-62 MR 99f:49018 [14] J M Borwein and J R Giles, (1987), The proximal normal formula in Banach space, Trans Amer Math Soc 302, 371–381 MR 88m:49013 [15] Jourani, A., Thibault, L.(1995),Metric regularity and subdifferential calculus in Banach space Set-Valued Anal.3, 87–100 [16] J V Burke, (1987), An Exact Penalization Viewpoint of Constrained Optimization, Technical Report ANL/MCS-TM-95, Mathematics and Computer Science Division, Argonne National Laboratories, Argonne, IL 60439 73 [17] J V Burke and R A Poliquin, (1992), Optimality conditions for non-finite valued convex compositd functions, M h Programming, to appear [18] J V Burke and S.-P Han, (1986), A Gauss-Newton approach to solving generalized inequalities, M h Oper Res 11, 632-643 [19] R A Poliquin, R T Rockafellar, and L Thibault, (2000) , local differentiability of distance functions , TRANS of the American Math Society Vol.352, No 11, 5231-5249 [20] R Correa, A Jofré and L Thibault, (1992), Characterization of lower semicontinuous convex func- tions, Proc Amer Math Soc 116, 61-72 MR 92k:49027 [21] R R Phelps, (1993), Convex Functions, Monotone Operators and Differentiability, Lecture Notes in Mathematics, Vol 1364 2nd edition, Springer-Verlag MR 94f:46055