Hàm đặc trưng và một số ứng dụng

Với mong muốn được tìm hiểu sâu hơn về Hàm đặc trưng trong lý thuyết xác suất, tôi đã chọn đề tài: "Hàm đặc trưng và một số ứng dụng" Mục đích của luận văn này là tìm hiểu khái niệm, các

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Người hướng dẫn khoa học:

PGS TS PHAN VIẾT THƯ

HÀ NỘI - NĂM 2016

Mục lục

1 Khái niệm và tính chất của hàm đặc trưng 71.1 Biến ngẫu nhiên của giá trị phức 71.2 Hàm đặc trưng và tính chất cơ bản 81.3 Một số định lý cơ bản của hàm đặc trưng 17

2 Hàm đặc trưng của một số phân phối 292.1 Hàm đặc trưng của một số phân phối quan trọng 292.2 Tính chất đặc trưng của phân phối chuẩn 312.3 Hàm đặc trưng của phân phối nhiều chiều 49

3 Một số ứng dụng của Hàm đặc trưng 573.1 Phân phối phân chia vô hạn 573.2 Phân phối ổn định 593.3 Ứng dụng của Hàm đặc trưng trong Luật số lớn 643.4 Ứng dụng của Hàm đặc trưng trong Định lý giới hạn trung tâm 67

Lời cảm ơn

Tôi xin được bày tỏ lòng kính trọng và lòng biết ơn sâu sắc đếnPGS TS Phan Viết Thư, người thầy đã tận tình giảng dạy, truyềnthụ những kiến thức bổ ích và tạo điều kiện để tôi hoàn thành luậnvăn này Thầy đã dành nhiều thời gian hướng dẫn cũng như giải đápcác thắc mắc của tôi trong suốt quá trình tôi thực hiện đề tài

Tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành tới các thầy cô Khoa Toán - Cơ

- Tin học, Phòng sau đại học Trường Đại học Khoa học Tự nhiên,Đại học Quốc gia Hà Nội; các thầy cô đã tham gia giảng dạy khóacao học 2013 -2015 đã tạo điều kiện thuận lợi cho tôi trong suốt quátrình học tập và nghiên cứu

Cuối cùng, tôi xin chân thành cảm ơn gia đình, người thân, bạn

bè đã luôn động viên ủng hộ và giúp đỡ tôi trong suốt quá trình họctập và hoàn thành luận văn này

Hà Nội, tháng 4 năm 2016

Học viên

Đỗ Thùy Dung

MỞ ĐẦU

Hàm đặc trưng là một khái niệm quan trọng của toán học vớinhiều ứng dụng trong lý thuyết nhóm, lý thuyết độ đo và tích phân

và đặc biệt là trong lý thuyết xác suất

Với mong muốn được tìm hiểu sâu hơn về Hàm đặc trưng trong

lý thuyết xác suất, tôi đã chọn đề tài:

"Hàm đặc trưng và một số ứng dụng"

Mục đích của luận văn này là tìm hiểu khái niệm, các tính chất

và một số ứng dụng của Hàm đặc trưng

Bản luận văn được chia làm 3 chương:

Chương 1: Khái niệm và tính chất của hàm đặc trưng

Trình bày các khái niệm, tính chất và một số định lý cơ bản củahàm đặc trưng để phục vụ cho các chương sau

Chương 2: Hàm đặc trưng của một số phân phối

Chương này trình bày hàm đặc trưng của một số phân phối quantrọng như phân phối chuẩn, phân phối mũ, phân phối nhị thức, phânphối χ2, cũng như hàm đặc trưng của phân phối chuẩn nhiều chiều

Và chú trọng vào tính chất đặc trưng của phân phối chuẩn

Chương 3: Một số ứng dụng của Hàm đặc trưng

Đề cập đến một số ứng dụng của Hàm đặc trưng trong khái niệmphân phối phân chia vô hạn, phân phối ổn định, và quan trọng hơn làứng dụng của hàm đặc trưng trong Luật số lớn vàtrong Định lý giớihạn trung tâm

Mặc dù có nhiều cố gắng, xong do nhiều yếu tố khách quan và chủquan, nên trong quá trình chọn lọc tư liệu và trình bày nội dung khó

tránh khỏi những thiếu sót Vì vậy tôi rất mong nhận được những ýkiến chỉ bảo của thầy cô, sự góp ý chân thành của các bạn học viên

để luận văn được hoàn thiện hơn

Chương 1

Khái niệm và tính chất của hàm

đặc trưng

Hàm đặc trưng là công cụ phân tích hữu ích của lý thuyết xác suất, đặc biệt

là để nghiên cứu các định lý giới hạn của lý thuyết xác suất Ở chương này sẽtrình bày các định nghĩa và tính chất của hàm đặc trưng

Cho biến ngẫu nhiên ξ, xét kì vọng của một biến ngẫu nhiên giá trị phức

eiξt, ta sẽ nghiên cứu kỳ vọng của biến ngẫu nhiên với giá trị phức trước; sau đó

ta sẽ thấy định lý về biến ngẫu nhiên thực có thể mở rộng đến các biến ngẫunhiên phức như thế nào Nếu ξ và η là các biến ngẫu nhiên thực, đặt đại lượng

ζ = ξ + iη là một biến ngẫu nhiên phức Phân phối của ζ có thể đặc trưng bởiphân phối của ξ và η

Chúng ta định nghĩa kì vọng của ζ = ξ + iη bởi

Biến ngẫu nhiên ζ1= ξ1+ iη1 và ζ2 = ξ2+ iη2 được gọi là độc lập nếu các véc

tơ ngẫu nhiên hai chiều (ξ1; η1) và (ξ2; η2) là độc lập Sự độc lập của nhiều biếnngẫu nhiên phức được định nghĩa tương tự

Nếu ξ1, ξ2, , ξn là các biến ngẫu nhiên phức độc lập, và tồn tại kỳ vọng

E (ξk) (k = 0, 1, 2, , n) thì:

E (Πξk) = ΠE (ξk) (1.1.3)

Nếu A (x) = a (x) + ib (x) là một hàm Borel giá trị phức của biến x thực và ξ

là một biến ngẫu nhiên thực, hơn nữa nếu kỳ vọng của ζ = A(ξ) tồn tại, khi đó

Nếu hàm phân phối của ξ là rời rạc và ξ có giá trị giả định là xk (k=1,2, )với xác suất tương ứng là : pk (k=1,2, ) thì ϕξ(t)có thể viết dưới dạng:

Do đó ϕξ(t) là phép biến đổi Fourier - Stieltjes của f(x)

Từ đó chúng ta thấy rằng hàm đặc trưng của biến ngẫu nhiên tùy ý chỉ phụthuộc vào phân phối xác suất của nó; hàm đặc trưng của biến ngẫu nhiên cócùng phân phối là đồng nhất Hàm đặc trưng được định nghĩa theo công thức(1.2.2) có thể được gọi là hàm đặc trưng của F(x) (Hay là hàm đặc trưng củabiến ngẫu nhiên với hàm phân phối F(x))

Trước tiên, hãy chú ý rằng: mọi hàm phân phối đều có một hàm đặc trưngkhi tích phân Slieltjes (1.2.2) tồn tại, theo quy ước: eixt = 1

Nếu giả thiết ξ chỉ nhận giá trị nguyên dương với :

Ta sẽ chứng minh một số định lý cơ bản về hàm đặc trưng của phân phốixác suất

Định lí 1.2.1 Ta luôn có ϕξ(t) ≤ 1, dấu "="xảy ra khi t=0.

Lấy ε > 0, chọn λ > 0 sao cho: P (|ξ| > λ) < ε3

Nếu ta ký hiệu Aλ là biến cố :|ξ| > λ

eib− eia =

Z

|x|>λ

eitxdF n (x)

< ε

4 khi n ≥ n1 (1.3.35)

Vì vậy, khi n ≥ n1:

|ϕn(t) − ϕ (t)| ≤

Với |F n (x) − F (x)| ≤ 2 và theo Định lý giới hạn Lebesgue và việc tích phân

có thể trao đổi thì vế phải của (1.3.37) và (1.3.26) ϕ n (t) − ϕ (t) cũng vậy, khicho n → ∞ thì đều tiến về 0 nếu |t| ≤ T Vì vậy ta chứng minh được rằng điềukiện cần của Định lý 1.3.3

Bây giờ ta chỉ ra điều kiện đủ cũng được thỏa mãn, đó là từ (1.3.32) và ϕ(t)

là liên tục với t = 0 được suy ra từ (1.3.31) Theo một định lý nổi tiếng củaHelly: mọi dãy Fn(x) có một dãy con Fnk(x) hội tụ tới một hàm đơn điệu tăngF(x) tại tất cả các điểm liên tục về sau này

Đầu tiên ta thấy rằng hàm F(x) nhất thiết là một hàm phân phối Điều

đó đủ để cho thấy F (+∞) = 1; F (−∞) = 0 và F(x) là liên tục trái Điều kiệnsau có thể luôn thực hiện được bởi một cải tiến phù hợp của F(x) tại nhữngđiểm gián đoạn của nó Từ F(x) là một giới hạn của hàm phân phối, ta luôn có

0 ≤ F (x) ≤ 1 Do đó nó đủ để chứng minh rằng F (+∞) − F (−∞) = 1 Trướctiên ta chứng minh công thức được suy ra sau :

( thứ tự của tích phân có thể thay đổi vì tính khả tích của 1−cos xtt2 và vì|ϕn(t)| ≤ 1)

Ta có:

1 π

Lấy tích phân bởi phần trong (1.3.42) dẫn tới (1.3.38)

Từ F n (y) − F n (−y) là một hàm tăng của y, ta thu được từ (1.3.38)

Giả sử x và -x là 2 điểm liên tục của F(x) và n chạy qua dãynk Sau đó từ định

lý của Lebesgue và sự trao đổi của giới hạn và tích phân suy ra điều sau:

Theo đó F (+∞) = 1 và F (−∞) = 0; F(x) do đó là một hàm phân phối.

Vẫn cần phải chứng minh 1) ϕ(t)là hàm đặc trưng của F(x) và 2) dãy Fn(x)

hội tụ tới F(x); theo định lý của Helly đủ để chỉ ra rằng dãyFn(x)không có dãycon hội tụ tới hàm nào đó mà khác F(x) Cả hai đều được xác nhận trực tiếp từsau Định lý 1.3.1b và từ phần thứ nhất đã được chứng minh từ định lý hiện tại

Do vậy, từ dãy của hàm phân phối Fn(x) (n=1,2, ) không thể chọn dãy con

mà nó hội tụ tới F(x); điều này có nghĩa là lim

n→∞ F n (x) = F (x) Sự hội tụ đềutrong hệ thức lim

n→∞ ϕ n (t) = ϕ (t) khi |t| ≤ T ( T>0 cố định tùy ý ) được suy ra

từ điều kiện cần thiết đã được chứng minh của định lý Định lý đã được chứng

Nếu điều kiện F(x) là hàm phân phối bị bỏ qua, thì dãy các hàm đặc trưng

ϕn(t) không nhất thiết hội tụ Lấy ví dụ :

Fn(x) =



1 khi x > n

0 khi x ≤ n

thì với mọi x hữu hạn lim

n→∞ Fn(x) = 0 Tuy nhiên ϕn(t) = eint không dần tớimột giới hạn ( trừ khi: t = 2kΠ;k = 0, ±1, )

2 Ta chứng minh được nếu hàm đặc trưng ϕ n (t) của hàm F n (x) là hội tụ tớimột hàm ϕ(t) liên tục tại t=0, thì hàm Fn(x) hội tụ tới một hàm phânphối F(x) với hàm đặc trưng là ϕ(t) Nếu ta bỏ qua điều kiện ϕ(t) là liêntục tại điểm gốc thì mệnh đề của ta không còn hiệu lực Ví dụ nếu Fn(x)

là hàm phân phối của phân phối đều trên khoảng (-n;n) vàFn(x) = 12+2nx

với |x| ≤ n thì ϕn(t) = sin ntnt và do đó giới hạn lim

n→∞ ϕn(t) = ϕ (t) tồn tại với

do vậy ϕ(t) là không liên tục với t = 0 Dãy Fn(x) hội tụ tới 12 khi n → ∞

với mọi x F(x) theo đó đồng nhất bằng 12 nó không phải là một hàm phânphối

3 Ta đưa ra điều cuối cùng là hàm đặc trưng của 2 phân phối khác nhau cóthể là trùng nhau trên một khoảng hữu hạn

Xét biến ngẫu nhiên ξ với giả thiết ξ nhận giá trị ±(2k + 1) ( k =0,1,2 )với xác suất

!

= 1 − 2 |t|

π (|t| ≤ π) (1.3.48)

Hơn nữa ϕξ(t) là tuân hoàn với chu kỳ 2Π

Lấyη là biến ngẫu nhiên với giả thiết η nhận giá trị0; ±(4k + 2) (k=0,1,2 )với xác suất

2 |t|

π



|t| ≤ π2

(1.3.49)

sau đó ta thấy hàm ϕη(t) và ϕξ(t) là trùng nhau trên các khoảng với một

hệ số k chẵn và chúng là đối nhau trên một khoảng với k lẻ

Ta sẽ xác định rõ hơn hàm đặc trưng của một vài phân phối:

2.1.1 Hàm đặc trưng của phân phối chuẩn

Lấyξ là một biến ngẫu nhiên tuân theo phân phối chuẩn vớiE(ξ) = 0; D(ξ) =

L

e−z22 dz

ở đây L là đường thẳng (đường bình độ) z = x − it(−∞ < x < +∞) của mặtphẳng phức; e−z22 là một hàm nguyên, do đó tích phân của nó là bằng 0 theobất kỳ đường cong khép kín nào cụ thể dọc theo hình chữ nhật Rx với các đỉnh

−x − it, x − it, x, −x Do

... độc lập hàm? ?ặc trưng tổng biến ngẫu nhiên tích hàm đặc trưng củatừng biến riêng lẻ:

6 ngược lại, định lý đưa phép tính đơn giản hàm đặctrưng tổng biến ngẫu nhiên độc lập từ hàm đặc trưng. .. ϕξ(t) với số thực t xác định

nó hàm giải tích Trong phần sau ta thấy : hàm phân phối xácđịnh hàm đặc trưng Do vậy, cơng thức (1.2.19) đượcthỏa mãn hàm đặc trưng ξ... chất hàm đặc trưng nói đến cần thiếtcho chứng minh định lý phân phối giới hạn lý thuyết xác suất

Định lí 1.3.1 a Nếu ϕ(t) hàm đặc trưng hàm phân phối F(x) a

và b